lớp hàm giả affine và ứng dụng

LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn PGS TS Tạ Duy Phượng Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy cô giáo trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau Đại học thầy cô giáo dạy Cao học chuyên ngành Toán Giải tích giúp đỡ tác giả suốt trình học tập Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Tạ Duy Phượng, người quan tâm, động viên tận tình hướng dẫn tác giả suốt trình thực luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân động viên tạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn Hà Nội, ngày 10 tháng năm 2013 Tác giả Vũ Diệu Linh LỜI CAM ĐOAN Luận văn hoàn thành nhờ nỗ lực cố gắng nghiên cứu thân hướng dẫn tận tình thầy giáo PGS TS Tạ Duy Phượng, thầy, cô giáo Hội đồng chấm Luận văn đóng góp bạn nhóm Trong trình nghiên cứu, tác giả kế thừa thành nhà khoa học với trân trọng biết ơn Tôi xin cam đoan số liệu, kết nghiên cứu luận văn trung thực, giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, ngày tháng Tác giả Vũ Diệu Linh năm 2013 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương Các tính chất ánh xạ giả affine 1.1 Hàm lồi suy rộng 1.2 Ánh xạ giả affine 1.2.1 Hàm giả lồi 1.2.2 Hàm giả tuyến tính 10 1.2.3 Hàm tựa tuyến tính 10 1.2.4 Ánh xạ đơn điệu 11 1.2.5 Ánh xạ giả đơn điệu 12 1.2.6 Ánh xạ giả affine 13 1.2.6.1 Các tính chất đặc trưng ánh xạ giả affine 13 1.2.6.2 Đưa trường hợp liên tục 23 1.2.6.3 Các tính chất ánh xạ giả affine xác định toàn không gian 27 1.2.6.4 Trường hợp n  30 1.2.6.5 Tính chất thẳng ánh xạ giả affine 32 1.2.6.6 Trường hợp T có nghiệm 37 1.2.6.7 Trường hợp n  42 1.2.6.8 Trường hợp T nghiệm 47 Chương Bất đẳng thức biến phân với ánh xạ giả affine 55 2.1 Bất đẳng thức biến phân 55 2.2 Tập nghiệm bất đẳng thức biến phân với ánh xạ giả affine 56 KẾT LUẬN 62 TÀI LIỆU THAM KHẢO 63 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Các hàm giả lồi đóng vai trò quan trọng nghiên cứu hàm lồi suy rộng ứng dụng chúng, xem, thí dụ, [1] Hàm f giả lồi mà  f giả lồi gọi hàm giả tuyến tính Đây lớp hàm thú vị, có ứng dụng qui hoạch giả tuyến tính, mà đại diện quan trọng lớp toán qui hoạch phân thức tuyến tính, mô hình nhiều toán thực tế (xem, thí dụ, [4]) Hàm giả lồi khả vi f :  n   đặc trưng tính giả đơn điệu theo nghĩa Karamardian ánh xạ gradient (đạo hàm f :  n   n ) Do hàm giả tuyến tính đặc trưng tính giả đơn điệu gradient f mà f giả đơn điệu Từ đây, ta nghiên cứu lớp ánh xạ T :  n   n rộng (không thiết phải ánh xạ đạo hàm) có tính chất: T giả đơn điệu T giả đơn điệu Lớp ánh xạ gọi lớp ánh xạ giả affine (xem [3]) Bất đẳng thức biến phân mô hình toán học chứa đựng có liên quan đến nhiều toán khác toán học thực tế (bài toán tối ưu, toán bù, toán cân bằng, hệ phương trình suy rộng,…), thu hút quan tâm nhiều nhà toán học giới Việt Nam Một câu hỏi cần trả lời nghiên cứu bất đẳng thức biến phân vấn đề tồn nghiệm cấu trúc tập nghiệm (tính đóng, tính compact, tính liên thông, tính co rút, tính ổn định tập nghiệm theo tham số,…) Việc nghiên cứu tính chất lớp ánh xạ cụ thể, thí dụ, lớp ánh xạ giả affine, giúp giải câu hỏi tồn nghiên cứu cấu trúc tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân với toán tử giả affine, làm rõ quan hệ bất đẳng thức biến phân với toán vấn đề khác liên quan Với mong muốn tìm hiểu vấn đề thời cụ thể giải tích tối ưu, đồng thời mong muốn nghiên cứu sâu tập nghiệm bất đẳng thức biến phân với ánh xạ giả affine, chọn LỚP HÀM GIẢ AFFINE VÀ ỨNG DỤNG làm đề tài luận văn cao học Mục đích nghiên cứu Trình bày tính chất ánh xạ giả affine áp dụng nghiên cứu tồn cấu trúc tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân với ánh xạ giả affine Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu tính chất ánh xạ giả affine tồn cấu trúc tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân với ánh xạ giả affine Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Ánh xạ giả affine Bài toán bất đẳng thức biến phân với ánh xạ giả affine Phạm vi nghiên cứu: Các báo tài liệu liên quan đến ánh xạ giả affine bất đẳng thức biến phân với ánh xạ giả affine Phương pháp nghiên cứu Sử dụng kiến thức công cụ giải tích, giải tích hàm, lí thuyết tối ưu bất đẳng thức biến phân để tiếp cận giải vấn đề Thu thập, nghiên cứu tổng hợp tài liệu liên quan, đặc biệt báo vấn đề mà luận văn đề cập Đóng góp luận văn Chúng hi vọng rằng, luận văn tài liệu tổng quan tham khảo tốt cho sinh viên học viên cao học toán bất đẳng thức biến phân với ánh xạ giả affine Chương CÁC TÍNH CHẤT CỦA ÁNH XẠ GIẢ AFFINE Trước tiên nhắc lại số định nghĩa định lí hàm lồi suy rộng cần thiết cho nghiên cứu ánh xạ giả affine 1.1 Hàm lồi suy rộng 1.1.1 Tập lồi Tập K   n gọi tập lồi K chứa đoạn thẳng nối hai điểm nó, tức với x1 , x2  K  x1  1    x2  K với    0,1 1.1.2 Hàm lồi Hàm f xác định tập lồi K   n gọi hàm lồi K f   x1  1    x2    f  x1   1    f  x2  với x1 , x2  K   0,1 1.1.3 Hàm lồi chặt Hàm f gọi hàm lồi chặt tập lồi K   n với    0,1 f   x1  1    x2    f  x1   1    f  x2  Hàm f gọi hàm lõm (lõm chặt )  f lồi (lồi chặt) Hàm tuyến tính f  x  : aT x  c , với a   n vectơ c số, thỏa mãn đẳng thức f   x1  1    x2    f  x1   1    f  x2  với x1 , x2  K với    0,1 nên vừa hàm lồi vừa hàm lõm, nói chung hàm lồi chặt lõm chặt Thí dụ, hàm f  x   c tuyến tính, vừa lồi vừa lõm hàm lồi chặt hàm lõm chặt 1.1.4 Hàm tựa lồi Cho hàm f xác định tập lồi K   n Hàm f gọi tựa lồi K với x1 , x2  K với    0,1 ta có f  x1   f  x2   f   x1  1    x2   f  x2  (1.1) Định nghĩa tương đương với: Với x1 , x2  K với   0,1 ta có f   x1  1    x2   max  f  x1  , f  x2  Hàm f gọi tựa lõm  f tựa lồi, tức với cặp x1 , x2  K với   0,1 ta có f  x1   f  x2   f  x1   f   x1  1    x2  1.1.5 Hàm tựa lồi ngặt Hàm f xác định tập lồi K   n gọi hàm tựa lồi ngặt K với x1 , x2  K , x1  x2 ,    0,1 ta có f   x1  1    x2   max  f  x1  , f  x2  Định nghĩa tương đương với: với x1 , x2  K , x1  x2 , f  x1   f  x2   f   x1  1    x2   f  x2  với    0,1 Hàm f gọi tựa lõm ngặt  f tựa lồi ngặt, tức với x1 , x2  K , x1  x2 ,    0,1 ta có f  x1   f  x2   f   x1  1    x2   f  x2  Định lí 1.1 (Mối liên hệ hàm tựa lồi ngặt hàm tựa lồi) Cho f hàm xác định tập lồi K   n Nếu f tựa lồi ngặt K f tựa lồi K Điều ngược lại nói chung không Chứng minh Vì f hàm tựa lồi ngặt nên theo định nghĩa ta có f   x1  1    x2   max  f  x1  , f  x2  với x1  x2    0,1 Suy f   x1  1    x2   max  f  x1  , f  x2  với x1  x2    0,1 Nếu x1  x2 (     ) ta có dấu đẳng thức) Vậy với i x1 , x2  K với    0,1 ta có f  x1   f  x2   f   x1  1    x2   f  x2  hay f hàm tựa lồi Chiều ngược lại không ví dụ sau Ví dụ 1.1 Xét hàm số 1,  f  x   signx  0, 1,  x  0; x  0; x  Hàm f hàm lồi  Thí dụ, chọn   , x1  2, x2  f ( x1 )  1 f ( x1 )  Bất đẳng thức cho hàm lồi không đúng: 1 1  f (1)  f ( x1  x2 )  f ( x1 )  f ( x2 )  2 2 Nhận xét 1.1 Mọi hàm đơn điệu tăng hàm tựa lồi Thật vậy, x1  x2 f hàm tăng từ x1   x1  (1   ) x2  x2 ta suy f ( x1 )  f ( x1  (1   ) x2 )  f ( x2 ) hay f tựa lồi Hàm f cho tựa lồi f hàm tăng (không ngặt) Hàm f hàm tựa lồi ngặt vì, thí dụ, chọn,  x1  x2  2, với    0,1 ta dấu bất đẳng thức ngặt: f ( x1 )  f ( x1  (1   ) x2 )  f ( x2 ) 1.1.6 Hàm tựa lồi nửa ngặt Hàm f xác định tập lồi K   n gọi hàm tựa lồi nửa ngặt (semistrictly quasiconvex function) K với x1 , x2  K mà f  x1   f  x2  với    0,1 ta có f   x1  1    x2   max  f  x1  , f  x2  (1.2) Hàm f gọi tựa lõm nửa ngặt  f tựa lồi nửa ngặt, tức với x1 , x2  K mà f  x1   f  x2  với    0,1 ta có f   x1  1    x2    f  x1  , f  x2  Định lí 1.2 (Mối liên hệ hàm tựa lồi ngặt hàm tựa lồi nửa ngặt) Cho f hàm xác định tập lồi K   n Nếu f tựa lồi ngặt K f hàm tựa lồi nửa ngặt K Chứng minh Thật vậy, f  x1   f  x2  hiển nhiên x1  x2 Do f tựa lồi ngặt K nên với x1 , x2  K , x1  x2 ,    0,1 ta có f   x1  1    x2   max  f  x1  , f  x2  Suy với x1 , x2  K mà f  x1   f  x2  với    0,1 ta có f   x1  1    x2   max  f  x1  , f  x2  Chứng tỏ f hàm tựa lồi nửa ngặt K 1.1.7 Hàm nửa liên tục Cho K   n tập lồi mở Hàm f : K   gọi nửa liên tục x  K   n lim inf f  xn   f  x  x x n với dãy  xn   K hội tụ đến x 50 T  x  , T  y  độc lập tuyến tính với cặp điểm x  y, x, y  N Cuối x, y,0 phân biệt T    sp T  x  , T  y   Chứng minh Theo Mệnh đề 1.17, tập M thực không gian Lập luận chứng minh Mệnh đề 1.14 ta suy M chứa đường thẳng qua điểm gốc Ta chứng tỏ T  x  , T  y  độc lập tuyến tính Thật vậy, chúng phụ thuộc tuyến tính theo Mệnh đề 1.10, T có hướng không đổi đường thẳng l  N qua x, y Khi theo Mệnh đề 1.17, T có hướng không đổi đường thẳng l  qua song song với l Từ l   N Điều nghĩa M N cắt l  Mâu thuẫn Bây ta giả sử x, y  T    sp T  x  , T  y   Với z  sp  x, y  giả sử a, b   cho z  ax  by Áp dụng Mệnh đề 1.12 ta có T  2ax   sp T   , T  x    sp T  x  , T  y   T  2by   sp T  x  ,T  y  1 Từ z  2ax  2by , ta tìm 2 T  z   sp T  2ax  ,T  2by   sp T  x  , T  y   Do thu hẹp T sp  x, y  ánh xạ liên tục từ sp  x, y  vào không gian hai chiều sp T  x  , T  y   Theo phần đầu chứng minh, ánh xạ biến điểm phân biệt thành điểm độc lập tuyến tính Nếu ta xét đường cong đơn, đóng, liên tục C sp  x, y  ảnh qua T đường cong đơn, đóng, liên tục không gian hai chiều sp T  x  , T  y   Từ dễ dàng suy có hai điểm đường cong ảnh phụ thuộc tuyến tính, mâu thuẫn 51 Mệnh đề chứng minh Bây ta chứng minh Định lí 1.6 trường hợp cuối Chứng minh Định lí 1.6 Theo Định lí 1.8 ta giả sử T liên tục Theo Định lí 1.11, 1.14, 1.15 nhận xét sau Định lí 1.6, ta giả sử n  T nghiệm Gọi M N Mệnh đề 1.19 Từ Mệnh đề 1.12 Mệnh đề 1.19 ta biết đường thẳng l  N qua gốc tọa độ T (l ) nằm không gian hai chiều Gọi Vl không gian sinh l Pl phép chiếu trực giao lên Vl Khi Vl có hai ba chiều, PT giả affine Vl PT  T l l l Vậy theo Định lí 1.11 Định lí 1.14, tồn hàm dương g l : Vl  , ánh xạ tuyến tính Al : Vl  Vl vec tơ u cho PTz  gl  z  A1 z  ul  , z Vl l Ta chọn g l cho gl    Đặc biệt, l ta có T  x   g l  x  Al x  ul  , x  l (1.30) Cho x  0, ta T    u1 , ul không phụ thuộc vào l nên ta kí hiệu u Bây ta xác định hàm dương g : N    g    1; g  x    g sp x   x  , x  N \ 0 Khi (1.30) trở thành   T  x   g  x  Asp x  x  u , x  N , ta đặt Asp0   52 Nếu ta xác định ánh xạ T  : N   n công thức T   x   T  x T  giả g  x affine Cuối cùng, ta xác định ánh xạ A : N   n Ax  Asp x  x với x  N T   x   Ax  u , x  N (1.31) Ta chứng tỏ ánh xạ A tuyến tính Để ý với t  , x  N ta có A tx   Asp x   tx   tAsp x  x  tAx (1.32) Ta với x, y  N , A  x  y   Ax  Ay Điều rõ ràng x, y phụ thuộc tuyến tính, chúng thuộc vào đường thẳng qua gốc Vậy ta giả sử chúng độc lập tuyến tính Trước hết ta với x, y độc lập tuyến tính t  A tx  1  t  y  thuộc đường thẳng nối hai điểm T  x  , T  y  Theo Mệnh đề 1.12 cách xác định T , tồn a, b  (phụ thuộc vào x, y, t ) cho T   tx  1  t  y   aT x  bT   y  Vậy A tx  1  t  y   u  aAx  bAy   a  b  u (1.33) Hệ thức với x, y, t Nếu ta thay x, y x,2 y giữ nguyên t , ta suy tồn a, b   cho A t x  1  t  y   u  aA2 x  bA2 y   a  b u Theo (1.32), hệ thức trở thành A  tx  1  t  y   u  2aAx  2bAy   a  b u (1.34) Kết hợp (1.31) với (1.34) ta  a  a  Ax   b  b Ay   a  b   a  b    u  (1.35) 53 Ta chứng minh u  sp  Ax, Ay  Ax, Ay độc lập tuyến tính Thật vậy, ta giả sử u  aAx  bAy Khi a, b đồng thời u  T    Từ (1.29) ta suy u  aT x  bT y   a  b  u (1.36) Lưu ý a  b  1 , ngược lại, từ (1.36) suy T   x  ,T   y  phụ thuộc tuyến tính, điều bị loại trừ theo Mệnh đề 1.19 Giải phương trình (1.36) với biến u, suy u  sp T x,T y  Vậy u  sp Tx, Ty  điều mâu thuẫn với Mệnh đề 1.19 Do u  sp  Ax, Ay  Viết Ax  T   x   u Ay  T   y   u, dễ dàng thấy Ax, Ay độc lập tuyến tính Từ (1.35) suy a  a, b  b, a  b  Từ (1.33) suy A  tx  1  t  y   aAx  bAy , a  b  Vậy, w   x  y   ,    với     Aw   Ax   Ay (1.37)  y  x x Với  t  1, w  t    1  t    đường thẳng nối 2t  2t   1  t   y , 1  t   y   t   t   x Aw   t  A      t  A  Ax  Ay ,   t t  t      2t      t  ,   t  hàm số biến t cho   t    t   Bởi Ax, Ay độc lập tuyến tính, kết hợp với (1.37) ta có 54   t   2t ,   t   1  t   Do 2t  1  t    1,0  t  từ suy     1  Vậy A( x  y )  A   x  y    Aw  Ax  Ay A tuyến tính 2  Từ (1.31) suy T  x   g  x  Ax  u  , x  N , (1.38) A : N   n tuyến tính g : N   hàm dương Gọi P phép chiếu trực giao lên N Khi với x   n , đường thẳng l nối x với Px song song với đường thẳng l   M Bởi T có hướng không đổi l  có hướng không đổi l (theo Mệnh đề 1.18) Do T  x  TP  x  có hướng Vậy với x   n , tồn g1  x   cho T  x   g1  x TP  x  Sử dụng (1.38) ta nhận T  x   g1  x  g  Px  APx  u  , x   n , AP :  n   n ánh xạ tuyến tính g1  x  g  Px  số dương Định lí 1.6 chứng minh hoàn toàn 55 Chương BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VỚI ÁNH XẠ GIẢ AFFINE 2.1 Bất đẳng thức biến phân n n n n Định nghĩa Cho T :    ánh xạ từ  vào  K tập n khác rỗng  Bài toán bất đẳng thức biến phân (variational inequality, viết tắt VI) phát biểu sau: Tìm x*  K cho T  x*  , x  x*  0, x  K (2.1) Bất đẳng thức (2.1) thường viết dạng T T  x*   x  x*   0, x  K , a, b kí hiệu tích vô hướng hai vectơ a b không gian  n , AT xT chuyển vị ma trận A vectơ x Ta quy ước vectơ x   n vectơ cột Bài toán bất đẳng thức biến phân xác định ánh xạ T tập K , vậy, cần làm rõ, ta kí hiệu toán bất đẳng thức biến phân VI (T , K ) Điểm x*  K thỏa mãn (2.1) gọi nghiệm bất đẳng thức biến phân (2.1) Tập tất nghiệm bất đẳng thức biến phân kí hiệu Sol VI  Sol VI T , K   Kí hiệu  n  x   n ; x  0 Khi   n   x   n : x  0 Vậy bất đẳng thức T  x*  , x  x*  0, x  K viết dạng: T  x*  , x  x*    \ 0 56 Ngôn ngữ bất đẳng thức biến phân thuận tiện, thống nhiều toán, thí dụ, toán tối ưu, toán cân bằng, phương trình suy rộng,…trong mô hình bất đẳng thức biến phân 2.2 Tập nghiệm bất đẳng thức biến phân với ánh xạ giả affine Xét toán bất đẳng thức biến phân: Tìm x*  K cho T  x*  , x  x *  với x  K Giả sử tập nghiệm Sol VI  khác rỗng Kết sau cho ánh xạ giả đơn điệu Ở ta chứng minh trực tiếp trường hợp ánh xạ giả affine Kết suy tính lồi tập nghiệm Mệnh đề 2.1 Cho K   n tập lồi T : K   n ánh xạ giả affine Véc tơ x*  Sol VI  T  x  , x  x*  với x  K Chứng minh Nếu x*  Sol VI  ta có T  x*  , x  x*  với x  K Từ tính giả đơn điệu ánh xạ T ta có T  x  , x  x*  với x  K Ngược lại, T  x  , x  x*  với x  K , ta có T  x  , x*  x  với x  K Từ tính giả đơn điệu T ta T  x *  , x*  x  0, tức T  x*  , x  x*  với x  K hay x*  Sol VI  Mệnh đề 2.1 chứng minh   Giả sử x*  Sol VI  đặt K  x*   x  K : T  x*  , x  x*  Ta dễ dàng chứng minh kết sau Mệnh đề 2.2 Cho K   n tập lồi T : K   n ánh xạ giả affine liên tục Khi đó, tập nghiệm Sol VI  tập K  x *  với x*  K * Hơn nữa, với z  l  x, x*   K ta có 57     K  x *   x  K : T  x *  , x  x*   x  K : T  x  , x  x *     x  K : T  z  , x  x*  Chứng minh Lấy x  Sol VI  , tức T  x  , y  x  với y  K Theo Mệnh đề 2.1 ta có T  y  , y  x  Vì x*  K nên T  x*  , x *  x  Mặt khác, x*  Sol VI  nên T  x*  , x  x*  Vậy T  x*  , x  x*  , tức x  S ( x* ) Nghĩa là, Sol VI   K ( x* ) Nếu T  x*  , x  x*  theo Nhận xét 1.3 ta có T  x  , x  x*  theo Hệ 1.3 ta có T  z  , x *  x  với z  l  x, x*   K Ta chứng minh điều ngược lại cách chọn z  x* Nhận xét 2.1 Nếu T  f với hàm f giả tuyến tính Sol (VI )  K  x*  K  x*  không phụ thuộc vào cách chọn x* Tuy nhiên kết không ánh xạ giả affine tổng quát ví dụ sau T Ví dụ 2.1 Cho T  x     x2 , x1  K   2 Dễ dàng thấy: K *   x  K : x2  0 ,  T K  0,0   K,  T K 1,0 K * Giả sử T  x*   x*  Sol (VI ) K  x*   K Gọi không điểm T nghiệm tầm thường bất đẳng thức biến phân Nếu ta sử dụng nghiệm không tầm thường để tính K  x *  Sol (VI ) tập K  x *  không thiết phải trùng với K  x*  T Để chứng minh điều này, ta xét hàm T  x     x2 , x1  K  x   : x2  0 Trong trường hợp này,  T  Sol (VI )   x   : x1  0, x2  0, K 1,0   x   : x2  0 58 Cuối cùng, ví dụ sau rằng, ánh xạ giả affine không điểm, bao hàm thức K *  K  x *  không xảy dấu Xét K  x   : x1  1, x2  0, x4  0 ma trận đối xứng lệch 0  1 P  2   1 0 1  1  0 Do P không suy biến nên P không triệt tiêu K Tập nghiệm bất đẳng thức biến phân tương ứng với T  x   Px K Sol (VI )   x   : x1  0, x2  0,0  x3  x1 / 2, x4  0 T Mặt khác, với x*  1,0,0,0  Sol (VI ) , ta có K  x*   x   : x1  1, x2  0, x4  0 Như vậy, Sol (VI ) thực chứa K  x*  Để đảm bảo tập nghiệm Sol (VI ) trùng với K  x *  nghiệm x* , ta cần thêm vào giả thiết phụ cho ánh xạ gradient Dưới trình bày trường hợp xảy cách đưa vào khái niệm sau Định nghĩa 2.1 Cho K tập lồi  n T : K   n T gọi G -ánh xạ tồn hàm dương k  x, y  K  K cho với x, y  K T  x , y  x   T  x   k  x, y  T  y  Ta dễ dàng chứng tỏ ánh xạ G -ánh xạ ánh xạ afine Tuy nhiên, điều ngược lại không Ví dụ, 3 xét ánh xạ affine T  x   Px với ma trận đối xứng lệch 59  2 P   1     2 1  T T Với xT   2,0,1 y T   0, 4,1 ta có T  x   T  y  T  x  , y  x  Ta lưu ý gradient hàm giả tuyến tính (không đổi) G -ánh xạ với k  x, y   T  x T  y Mặt khác, ta có ví dụ G -ánh xạ ánh xạ gradient: T T  x    0, x1  x2  1 K   2 Trong trường hợp k  x, y   x y  x2  1  x2  1 1 Cũng giống gradient hàm giả tuyến tính, G -ánh xạ triệt tiêu điểm miền xác định triệt tiêu nơi Ta chứng minh định lí sau n Định lí 2.1 Cho K tập lồi  T : K   n G -ánh xạ liên tục Khi tập nghiệm Sol (VI ) trùng với K  x *  với nghiệm x*  Sol (VI ) Chứng minh Ta chứng minh có điểm x  K  x * nghiệm Từ giả thiết T  x*  , x  x*  , ta suy T  x*   k  x*, x T  x  Khi từ bất đẳng thức T  x*  , y  x*  , với y  K ta có T  x  , y  x*  Vậy T  x  , y  x  T  x  , y  x*  T  x  , x*  x  Định lí chứng minh 60 Với G -ánh xạ, ta dễ dàng chứng minh kết sau Mệnh đề 2.3 Cho K   n tập lồi T : K   n G -ánh xạ liên tục Khi Sol (VI )  K  x*  ,     K  x*   x  K : T  x*  , x *  x   x  K : T  x  , x *  x     x  K : T  z  , x*  x  0, for all z  M  x, x*   K Chứng minh Ta biết Sol (VI )  K  x*    K  x *   x  K : T  x *  , x*  x  Ta dễ dàng kiểm tra x  K : T  x  , x * *     x   x  K : T  x  , x*  x    x  K : T  z  , x*  x  0, for all z  M  x, x*   K  Để hoàn thành chứng minh, ta cần nhận xét không tồn x  K cho T  x*  , x*  x  , ngược lại mâu thuẫn với giả thiết x*  Sol (VI ) Mệnh đề 2.4 Cho K   n tập lồi T : K   n G -ánh xạ liên tục Khi Sol (VI )  K  x*  ,   x  K : T  x  , x K  x*   x  K : T  x*  , x *  x  T  x  , x  x* * *  x  T  x  , x  x*   Chứng minh Ta biết Sol (VI )  K  x*    K  x *   x  K : T  x*  , x*  x  T  x  , x  x* Để hoàn thành chứng minh, ta cần phần tử x x  K : T  x  , x  x * *  T  x  , x  x*  nghiệm 61 Do x*  K * , T  x*  , x  x*  theo tính giả đơn điệu hàm T ta có T  x  , x  x*  Do định nghĩa x , điều dẫn đến T  x*  , x*  x  Do T  x*  , x  x*  , tức x  K  x *  Theo Định lí 2.1 ta có x  Sol (VI ) Mệnh đề chứng minh xong 62 KẾT LUẬN Luận văn trình bày tổng quan tính chất hàm giả affine áp dụng nghiên cứu tập nghiệm bất đẳng thức biến phân với ánh xạ giả affine, chủ yếu dựa tài liệu [1]-[3], có tham khảo thêm tài liệu khác Nội dung luận văn nằm Chương Chương Chương viết dựa Mục báo [2] Theo khảo sát chúng tôi, nghiên cứu tập nghiệm bất đẳng thức biến phân với ánh xạ giả đơn điệu nhiều Tuy nhiên, báo [2], chưa tìm thấy tài liệu khác nói cấu trúc tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân với ánh xạ giả affine Nghiên cứu sâu đề tài có lẽ điều thú vị Hy vọng luận văn sinh vien học viên cao học sử dụng làm tài liệu tham khảo hàm giả affine toán bất đẳng thức biến phân với ánh xạ giả affine 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] M Avriel, W E Diewert, S Chaible, I Zang, Generalized Concavity, Plenum Publ Corp., New York, 1988 [2] M Bianchi, S Chaible, An Extenson of Pseudolinear functions and Variational Inequality Problems, Journal of Optimization Theory and Applications, Vol 104, No1, 59-71, 2000 [3] M Bianchi, N Hadjisavvas, S Chaible: On Pseudomonotone Map T for which T is also Pseudomonotone, Journal of Convex Analysis, Vol 10 , No1, 149-168, 2003 [4] B D Craven, Fractional Programming, Helderman Verlag, Berlin, 1988 [5] J P Crouzeix and Ferland, Criteria for differentiable generalized monotone maps, Mathematical Programming, Vol 75, 399-406, 1996 [6] R John, First-order characterization of generalized monotonicity, Discussion Paper A-490, University of Bonn, Bonn, Germany, 1995 [7] S Karamardian, Complementarity over cones with monotone and pseudomonotone maps, Journal of Optimization Theory and Applications, Vol 18, 445-454, 1976 [8] S Karamardian, S Schaible, and Crouzeix, Characterization of generalized monotone maps, Journal of Optimization Theory and Applications, Vol 76, 399-413, 1993 [9] S Komlósi, First and second order characterizations of pseudolinear functions, Eur J Oper Res 67, 278-286, 1993 [10] Olvi L Mangasarian, Nonlinear Programming, SIAM Classics in applied mathematics, New York, 1994 (first edition 1964) [11] J E Martínez-Legaz, Quasiconvex duality theory by generalized conjugation methods, Optimization 19, 603-652, 1988 64 [12] Lu Qi-hui, Zeng Li-fei, Characterization of Solutions Sets of Pseudolinear Programs, Journal of Fudan University, Vol 43, No 1, 130134, 2004 [13] W A Thomson, D W Parke, Some properties of generalized concave functions, Oper Res 21, 305-313, 1973 [14] Hoang Tuy, Sur le fonctions presque affines, Colloqium Math 22, 301309, 1971