ierbein và trường Gauge với chiều không gian phụ trội

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI - - VŨ THỊ HƯƠNG VIERBEIN VÀ TRƯỜNG GAUGE VỚI CHIỀU KHÔNG GIAN PHỤ TRỘI Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết Vật lí toán Mã số: 60 44 01 03 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH ĐÀO VỌNG ĐỨC HÀ NỘI, 2013 LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS.TSKH Đào Vọng Đức, người tận tình giúp đỡ bảo cung cấp cho kiến thức tảng để hoàn thành luận văn Thầy người giúp ngày tiếp cận có niềm say mê khoa học suốt thời gian làm việc thầy Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy, cô công tác phòng Sau Đại Học, trường Đại học sư phạm Hà Nội thầy, cô giáo trực tiếp giảng dạy, truyền đạt cho kiến thức quý báu chuyên môn kinh nghiệm nghiên cứu khoa học thời gian qua Cuối cùng, xin chân thành gửi lời cảm ơn đến người thân gia đình, bạn bè giúp đỡ, động viên tạo điều kiện cho suốt trình học tập hoàn thiện luận văn Hà Nội, tháng năm 2013 Người thực Vũ Thị Hương MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu CẤU TRÚC LUẬN VĂN NỘI DUNG CHƯƠNG : NGUYÊN LÝ BẤT BIẾN GAUGE 1.1 Biến đổi toàn cục biến đổi định xứ 1.2 Biến đổi gauge phi abel 1.3 Lagrangian bất biến 1.4 Tương tác gauge 11 CHƯƠNG 2: BẤT BIẾN TƯƠNG ĐỐI TỔNG QUÁT 14 2.1 Phép biến đổi tương đối tổng quát 14 2.2 Các đại lượng tensor 15 2.3 Liên thông affine 17 2.4 Metric Vierbein 19 2.5 Tiên đề Vierbein 22 CHƯƠNG 3: KHÔNG - THỜI GIAN PHỤ TRỘI 24 3.1 Trường gauge mô hình Kaluza - Klein 24 3.2 Co gọn chiều không gian phụ trội 28 3.3 Vierbein Metric không - thời gian chiều 32 3.4 Không - thời gian lý thuyết dây 34 KẾT LUẬN 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Xây dựng lý thuyết thống tương tác phương hướng nghiên cứu có tính thời bậc Vật lý học đại Những cách tiếp cận nhìn nhận có nhiều triển vọng là: Thứ là: Lý thuyết siêu dây Thứ hai là: Lý thuyết mô hình chuẩn xây dựng sở nguyên lý bất biến gauge Thứ ba là: Lý thuyết thống xây dựng sở mở rộng lý thuyết tương đối tổng quát Các công trình nghiên cứu thuộc phương hướng chứng tỏ cần thiết tồn chiều không gian phụ trội Với lý thuyết Siêu Dây phải có chiều không gian phụ trội Với cách tiếp cận thứ ba số chiều phụ trội phụ thuộc vào nhóm đối xứng gauge, trường gauge gắn liền với metric ứng với chiều phụ trội thông qua vierbein Vì lý chọn đề tài “Vierbein trường gauge với chiều không gian phụ trội” Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu đề tài tìm hiểu nghiên cứu số vấn đề trường gauge thể vierbein không thời gian nhiều chiều  D  4 lý thuyết tương đối tổng quát mở rộng Nhiệm vụ nghiên cứu Vierbein trường gauge với chiều không gian phụ trội Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu trường gauge thể qua vierbein với chiều không gian phụ trội Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp vật lý lý thuyết vật lý toán đặc biệt là:  Lý thuyết trường lượng tử hạt  Lý thuyết nhóm đối xứng gauge  Lý thuyết tương đối tổng quát nhiều chiều CẤU TRÚC LUẬN VĂN Luận văn trình bày thành 03 chương với nội dung chương sau:  Chương 1: Trình bày nguyên lý trường gauge abel phi abel, đặc biệt Lagrangian tương tác gauge  Chương 2: Trình bày nguyên lý Lý thuyết tương đối tổng quát đặc biệt hình thức luận Vierbein  Chương 3: Nghiên cứu lý thuyết tương đối tổng quát không thời gian với chiều phụ trội, thành phần vierbein metric gắn với chiều phụ trội trường gauge NỘI DUNG CHƯƠNG 1: NGUYÊN LÝ BẤT BIẾN GAUGE 1.1 Biến đổi toàn cục biến đổi định xứ Đến kết nghiên cứu lý thuyết thực nghiệm cho phép ta khẳng định tương tác hạt - mạnh, điện từ, yếu (và hấp dẫn) có chất bắt nguồn từ nguyên lý bất biến gauge Trong mục trình bày phép biến đổi gauge đơn giản - tương ứng với nhóm gauge thông số U(1), chẳng hạn phép biến đổi điện tích Dưới tác dụng phép biến đổi điện tích trường  ( x) ứng với hạt mang điện tích q biến đổi theo quy luật  ( x)   '( x)  eiq ( x) (1.1.1) Trong đó:  thông số phép biến đổi Khi  không phụ thuộc vào x Lagrangian trường tích điện bất biến phép biến đổi (1.1.1) Khi  không phụ thuộc vào x ta có phép biến đổi toàn cục Khi    ( x) ta có phép biến đổi:  ( x)   '( x)  eiq ( x ) ( x) (1.1.2) Được gọi biến đổi định xứ Số hạng khối lượng dạng  *( x) ( x), *( x)  ( x), ( x) ( x) Lagrangian bất biến số hạng động (chứa đạo hàm không thời gian không bất biến nữa) Để khôi phục lại tính bất biến Lagrangian ta tiến hành sau:  Đưa vào trường  ( x) ; gọi trường gauge  Lập đạo hàm hiệp biến theo công thức: D ( x)  (   iqA ) ( x) Và buộc trường gauge  ( x) phải biến đổi theo quy luật: ' ( x)   ( x)    ( x) (1.1.3) Để cho D ( x) biến đổi giống  ( x) ( D ( x))'    '( x)  i' ( x) '( x)  eiq ( x ) D ( x) Thay đạo hàm trường   ( x) L đạo hàm hiệp biến D ( x) Kết cho ta Lagrangian trường  ( x) tự với Lagrangian mô tả tương tác trường  ( x) trường gauge  ( x) Chẳng hạn với trường vô hướng tích điện xuất phát từ Lagrangian tự L0 ( x)    * ( x).  ( x)  m2 * ( x) ( x) Ta có: L  D * ( x).D  ( x)  m2 * ( x) ( x) L( ,  )  L0 ( )  Lint ( ,  ) Xét trường spinor Thay cho Lagrangian tự ta phải dùng lagrangian: i L( x)  (  D   D    )  m  L0 ( x)  q       L0 ( x)  Lint ( , A ) Với (1.1.4) i L0 ( )       m Lint ( , A )  q  A Trong đó: Lint mô tả tương tác trường spinor trường gauge   Như vậy, nguyên lý bất biến gauge cho phép xác định cách đơn trị Lagrangian mô tả tương tác giữa trường vật chất mang điện trường gauge   (ở đồng với trường điện từ) Ta thấy F '   F tức tensor cường độ trường gauge (cũng trường điện từ) F       v  bất biến với phép biến đổi,  '  '    tức không bất biến lagrangian bất biến có chứa số hạng khối lượng, điều có nghĩa trường gauge phải không khối lượng Lagrangian đầy đủ mô tả hệ trường vật chất  ( x) trường gauge có dạng: L( , A )  L0 ( )  F ( x) F( x)  Lint ( , A ) Trong đó: L0 ( ) tự do, Lint ( , A ) mô tả tương tác trường vật chất  ( x) trường gauge A 1.2 Biến đổi gauge phi abel Ta tổng quát hóa kết mục cho nhóm G với đại số gồm n vi tử Ta , a = 1, 2, 3…n tuân theo hệ thức giao hoán: Ta ,Tb   ifabcTc (1.2.1) ( f abc số cấu trúc nhóm G) Giả sử tác dụng phép biến đổi thuộc G với thông số a  x  đa tuyến r trường  i  x  , i = 1, 2, 3…r, biến đổi theo quy luật: j  ig a ( x ) M a     i ( x)   i '( x)  e a 1   j ( x)  i n (1.2.2) Trong đó: M a ma trận r  r tuân theo hệ thức giao hoán (1.2.1):  M a , M b   ifabc M c Đưa vào n trường gauge   a , a = 1, 2, ….n, lập thành đạo hàm hiệp biến n D i    i  ig   a  M a i  j j (1.2.3) a 1 Với đòi hỏi biến đổi theo quy tắc: j  ig a ( x ) M a    ( D i ( x))'  e a 1  D j ( x)  i n (1.2.4) Có thể chứng tỏ để thỏa mãn (1.2.4) trường gauge   a phải biến đổi theo quy tắc sau: '  ( x)  i S ( x)  S ( x)  S ( x)   ( x) S 1 ( x) g (1.2.5) Trong đó: n       a ( x ) a (1.2.6) a 1 S ( x)  e  ig n a ( x ) M a a 1 (1.2.7) Tensor cường độ trường gauge định nghĩa là: Fva    va   v a  g  f abc b vc (1.2.8) b c Trong trường hợp nhóm phi abelian (G  U(1)) Fva không bất biến mà biến đổi theo quy luật: F 'v ( x)  S ( x) Fv S 1( x) (1.2.9) 27 Để tính G  det(GAB ) trước hết ta tính G '  det(G ' AB ) theo (3.1.5) G '  g Tiếp theo ta dùng công thức G '  J 2G J định thức ma trận với phần tử hàng A cột B x B tính theo (3.1.4): x ' A    (J )   0 B A A    Tức là: J v   v ; J v  A ; J 5v  0; J 55  Và đó: J = G '  G  g (3.1.9) Chứng tỏ phép biến đổi gauge trường   :    '       ( x) (3.1.10) Tương ứng với phép biến đổi đặc biệt không thời gian sau: x   x '  x  x5  x '5  x5   ( x) Áp dụng công thức: x 'C x 'D GAB ( x)  A B G 'CD ( x ') x x Với biến đổi (3.1.11) ta tính được: x 'C x 'D G55 ( x)  G 'CD ( x ') x x5 x ' x ' x ' x '5  G ' ( x ')  G ' ( x ') x x5 x x5 x '5 x ' x '5 x '5  G '5 ( x ')  G '55 ( x ') x x5 x x5  G '55 ( x ') (3.1.11) 28 Vậy G55 ( x)  G '55 ( x ') x ' x ' x ' x '5 G ( x)  G ' ( x ')   G ' ( x ') x x5 x x x '5 x ' x '5 x '5   G '5 ( x ')   G '55 ( x ') x x5 x x  ( x)     G ' ( x ')   G '55 ( x ') x   G ' ( x ')    ( x)G '55 ( x ') Vì vậy: G ( x)  G ' ( x ')   ( x)G '55 ( x ') Tức là:  ( x)   '( x ') (x ) ( x)  ' ( x ') '( x ')    ( x) ( x) Từ ta suy (3.1.10) Trong mô hình Kaluza - Klein tồn chiều thời gian chiều không gian có chiều không gian phụ trội 3.2 Co gọn chiều không gian phụ trội Trong mô hình Kaluza - Klein tồn chiều thời gian chiều không gian chiều không gian phụ trội giả thiết uống cong lại thành vòng tròn bé bán kính cỡ 1033 cm đến mức không quan sát với thang lượng Người ta gọi co gọn chiều không gian phụ trội Mọi số liệu thực nghiệm vùng lượng không đủ lớn xem trung bình hóa theo chiều phụ trội Lúc thành phần metric khai triển Fourier sau: GAB ( x  , x5 )   G n  (n) AB R5 bán kính vòng tròn thu gọn ( x  ).e in x5 R5 ,0  x5  2 R5 (3.2.1) 29 Lý thuyết hiệu dụng vùng lượng thấp xây dựng sở xem GAB không phụ thuộc vào x , tức bỏ qua số hạng với n  biểu thức khai triển (3.2.1) Bán kính R5 xác định điện tích để chứng tỏ điều ta xét trường vô hướng phức  ( x) với Lagrangian dạng: L( )  GGAB  A   B 2   g W ( ) [G     v  G  (   5   5  v )  G 55 5   5 ] Lagrangian Lagrangian hiệu dụng Viết tác dụng dạng bốn chiều thông thường : S   d xL( , x ) Trong đó: L( , x )   d xL( , x) Thay vào biểu thức khai triển Fourier  ( x  ; x5 )  ( x  ; x5 )  2 R5  (n) ( x  )e in x5 R5 n Ta có: 2 L( , x)   g W ( ) {G  G [ 2 R5 5  2 R5  G 55    2 R5 (n) e   ( n )  e i n x5 R5 n  in x R5 2 R5 n in ( n )  (  n R ) e 2 R5   i n x5 R5  in  ( n )  n   R  e  5 2 R5 2 R5 i n x5 R5 im m R  ( m)e   v ( m) e imx R5 imx5 R5    n  ] m 2 R5 im ( m )  e  R m imx5 R5 } imx5 ( m ) R5 e 30 x  i ( mn ) R5  (n) (m) L  , x    g W ( ) G      e    R n , m  5 x5 i ( mn )  im ( m ) R5 (n)  G5      e     2 R5 m R5 x5 i ( mn )   in  ( n ) R5 ( m)          e  2 R5 m  R5   x i ( mn )   in   im  ( n ) R5  55 ( m) G          e 2 R5 m  R5   R5   Áp dụng công thức: 2 R e i ( mn ) x R dx   mn 2 R Ta có:  L  , x    g W ( ) G    mn  ( n )    ( n )  n ,m   im   in   G    mn   ( m )  ( n )   G    mn    ( n )    ( m ) n ,m n ,m  R5   R5    in   im   G 55       mn ( n )  ( m )  R5   R5  n ,m   L  , x    g W ( ) W 1 g     ( n )   v ( n ) n   in    in   A g      ( n )  ( n )     mn    ( n )   v ( n )  n  R5   n  R5      in 1  (n) (n)   (  g A Av )       R5  n   31 n2 1 ( n ) ( n )    ( n ) (n) L  , x    g W ( )  g D Dv       n R5  n  2 Trong đó: D ( n )  (   in A ) ( n ) R5 Đặt:  e  ( x )  1  1  n ( x) n!   F ( ) Ta có: L  , x    g W ( )   g  D ( n )  Dv (n) n  n2  (1  F ( ) ( n ) ( n ) )  R5  L  , x    g W ( )   g  D ( n )  Dv ( n )  n n ( n ) ( n ) n ( n ) ( n )     F (  )    R52 R52  Trong Lagrangian tương tác: n2 Lint  F ( ) ( n ) ( n ) R5 Mọi hàm vật lý xác định vòng tròn co gọn phải thỏa mãn điều kiện tuần hoàn: f ( x5  2 R5 )  f ( x5 ) (3.2.1) Với  x5  2 R5 ; Trong R5 bán kính vòng tròn co gọn Do hàm vật lý xác định không - thời gian chiều khai triển theo dạng: f ( x  ; x5 )    n  f ( n ) ( x  ).e in x5 R5 (3.2.2) 32 Lý thuyết hiệu dụng miền lượng thấp xây dựng sở xem tensor metric GAB không phụ thuộc x tức bỏ qua số hạng với n  biểu thức khai triển: GAB ( x  , x5 )   G n  (n) AB ( x  ).e in x5 R5 (3.2.3) Và viết gần (0) GAB ( x ', x5 )  GAB ( x ) (3.2.4) Kích thước chiều không gian phụ trội liên qua trực tiếp đến điện tích khối lượng trường Cụ thể chứng tỏ thành phần  ( n ) ( x  ) biểu thức khai triển trường  ( x)  ( x  , x5 )    ( n) ( x  )e in x5 R5 (3.2.5) n  Tương ứng với hạt có điện tích khối lượng tỷ lệ với n R5 3.3 Vierbein Metric không - thời gian chiều Vierbein không - thời gian chiều định nghĩa tương tự trường hợp chiều Trong trường hợp chiều năm vector độc lập tuyến tính V '( M ) ( x) với thành phần VA( M ) ( x) thỏa mãn điều kiện: G AB ( x)  MNVA( M ) ( x)VB( M ) ( x) (3.3.1)  MN metric phẳng Minkovski chiều dạng: MN  diag (1, 1, 1, 1, 1) M, N số Vierbein chiều nhận giá trị 0, 1, 2, 3, Từ (3.3.1) ta tìm biểu thức VA( M ) ( x) cách khai triển (3.3.1) ta có: 33 G ( x)  MNV( M ) ( x)V( N ) ( x)  abV( a )V(b)  5bV(5)V(b)  a 5V( a )V(5)  55V(5)V(5) Chú ý đến thành phần G ( x);MN có dạng: G ( x)  abV( M ) ( x)V( N ) ( x)  V(5) ( x)V(5) ( x) (3.3.2) Làm tương tự: G ( x)  G5  ( x)  abV( a ) ( x)V5(b ) ( x)  V(5) ( x)V(5) ( x) G55 ( x)  abV5( a ) ( x)V5(b ) ( x)  V5(5) ( x)V5(5) ( x) (3.3.3) Mặt khác ta có: G ( x)  g  ( x)  A ( x) A ( x) ( x) G ( x)  G ( x)  A ( x) ( x) G55 ( x)   ( x) So sánh (3.3.2), (3.3.3) với biểu thức vierbein ta hệ phương trình: abV( a ) ( x)V(b ) ( x)  V(5) ( x)V(5) ( x)  abV( a ) ( x)Vv( b ) ( x)  A ( x) A ( x) ( x)   (a) (b) (5) (5) abV ( x)V5 ( x)  V ( x)V5 ( x)  A ( x)  (a) (b) (5) (5)  abV5 ( x)V5 ( x)  V5 ( x)V5 ( x)   ( x) Hệ ba phương trình có bốn ẩn nên ta cần thêm điều kiện để giải hệ Giả sử V5( a ) ( x)  Khi nghiệm hệ là: V( a ) ( x)  v( a ) ( x),  , a  0,1,2,3 V ( x)  i ( x) A ( x) (5) (3.3.4) V5( a ) ( x)  V ( x)  i ( x) (5) 34 Như ta xác định biểu thức vierbein không - thời gian chiều từ hệ thức(3.3.1) vierbein có liên quan đến thành phần tọa độ thứ năm phụ thuộc vào A và ( x) Điều hợp lý mặt trường điện từ ta lại thu thành phần vierbein chiều Để đảm bảo tính hợp lý, ta thử lại chứng tỏ vierbein tìm thỏa mãn hệ thức(3.3.1) G AB ( x)  MNVA( M ) ( x)VB( M ) ( x) Ta kí hiệu: (V) ma trận  có phần tử hàng M cột A làVA( M ) ( x) (G) ma trận  có phần tử hàng M cột A GAB ( x) ( ) ma trận  có phần tử hàng M cột A là MN Khi hệ thức (3.3.1) viết lại dạng sau: (G)  (V )T ( )(V ) (3.3.5) Với kí hiệu ta nhận thấy ma trận (G) (vế phải) ma trận:  g ( x)  A ( x) A ( x) ( x) (G)     A ( x) ( x)  A ( x) ( x)    ( x)  Vế trái (VT) có dạng:  (a)  v ( x ) i  ( x ) A ( x )      VT       i ( x)   (b )    v ( x)  1 1  i ( x) A ( x) i ( x)       v( a ) ( x)vv(b ) ( x)  A ( x) Av ( x) ( x) VT   Av ( x) ( x)  A ( x) ( x)    ( x)  Kết hợp so sánh vế phải vế trái , rõ ràng (3.3.5) thỏa mãn 3.4 Không - thời gian lý thuyết dây Tensor - xung lượng T   X    X   ab X   X  (3.4.1) 35 Với định nghĩa:  L   T     X   L        ( X )  Từ tensor - xung lượng ta lập toán tử in  L  e  d (T00 cos n iT10 sin n ); n  Z n  (3.4.2) 1 L0   d T00  P0 0 Biểu diễn L qua dao động tử quỹ đạo từ (3.4.1) ta có: n T00  ( X  X   X ' X ' ) T10  X ' X  Từ biểu thức khai triển X ' ; X  trường hợp dây mở đóng ta tính L L sau: n n Với dây mở:   L L    k n n  ,n  k k  (3.4.3) Với dây đóng: L L L n n n   L     k   ,n  k n k  (3.4.4) Ta nhận thấy: Ln  L n ; Ln  L n     Bây ta xem  ; với n > toán tử hủy,  ; n n n n toán tử sinh định nghĩa lại L L : n n 36 Viết (3.4.3) (3.4.4) dạng tích normal toán tử sinh đứng trước toán tử hủy tức là:   L  :  : k n  ,n  k k  (3.4.5)   L   : k  ,n k : n k  Ta tính giao hoán tử  Ln , Lm  :     L , L  ( n  m )  n m      k  , n  k  m  k    (3.4.6) Ta phân biệt tích normal tích bình thường L0 ,vì n  ta có:  k  ,nk    ,nk k Vậy trường hợp n + m  (3.4.6) cho ta:  Ln , Lm   (n  m)Lnm (3.4.7) Trường hợp n  m  vế phải (3.4.7) xuất thêm số hạng dị thường kí hiệu A(n) Một cách tổng quát ta viết:  Ln , Lm   (n  m) Lnm  A(n) nm,0 Số hạng dị thường A(n) tính bằng: A  n   (3.4.8) D n( n2  1) 12 Với D số chiều không - thời gian Vậy ta có: D n(n  1) nm,0 12 (3.4.9) D  Ln , Lm   (n  m) Lnm  n(n  1) nm,0 12 (3.4.10)  Ln , Lm   (n  m) Lnm  Với L hoàn toàn vậy: n 37 Đại số tạo nên hệ thức giao hoán dạng (3.4.9) (3.4.10) gọi đại số Virasoro dị thường Ta có nhóm đối xứng gauge với vi tử Tn thỏa mãn hệ thức giao hoán: T n ,T m   ifnmkT k (3.4.11) f nmk số cấu trúc nhóm, phản xứng theo số n, m, k ứng với vi tử T n người ta đưa vào cặp biến số vong cn phản vong bn (thỏa mãn hệ thức phản giao hoán) Từ vong ta lập toán tử Q gọi tải BRST, theo công thức: Q  Tncn  n i  f nmk cncmbk n ,m ,k (3.4.12) Ta chứng minh Q nilpotent ( Q  ) Trong lý thuyết dây lấy đại số Virasoro làm tảng Đại số Virasoro khác với đại số Lie đối xứng gauge thông thường số nét bản:  Đại số Virasoro bao gồm vô hạn số vi tử  Trong hệ thức giao hoán đại số Virasoro có số hạng dị thường  Trong trường hợp siêu dây bên cạnh giao hoán tử có phản giao hoán tử Tuy lý thuyết dây xây dựng toán tử Q nilpotent, Q2  Trong trường hợp dây boson Nếu bỏ qua số hạng dị thường tức nếu:  Ln , Lm   (n  m)Lnm toán tử: Q   Lncn  nZ i  (n  m)cncmbnm n,mZ 38 Là nilpotent, Q  Mặt khác ta có :   13    Q  Q, Q   (a   2a0 )   b   n nc ncn 6   n 1  Với dây bosson A  n   Q2  (3.4.13) D D n(n2  1) , a  b   đó: 12 12  ( D  26)n  ( D   24a0 )c ncn   12 n1 Vậy Q  D=26, a0  Như số chiều phụ trội dây boson 22 Trong trường hợp siêu dây NS ta có siêu đại số phân bậc:  Ln , Lm   (n  m) Lnm  A( L ) (n) n, m G , G   2L     A(G ) ( )  ,  (3.4.14) Ln , G    n     Gn 2  Với số hạng dị thường tổng quát A ( L )  n   an  bn3 A (G )     a  4b (3.4.15) Ở ta phân biệt hai loại số: số chẵn ký hiệu chữ Latinh n, m, k… số lẻ ký hiệu chữ Hy Lạp  ,  ,  Ta dùng chữ lớn A, B… để ký hiệu siêu số - chung cho hai loại chẵn lẻ Dùng FA ký hiệu chung cho vi tử Ln G (cụ thể Fn  Ln ; F  G ) Dùng A( F ) chung cho số hạng dị thường A( L ) A(G ) (cụ thể A( F ) (n)  A( L) (n); A( F ) ( )  A(G ) ( ) ) Từ ta tính Q : Q2    Q, Q   (a  )  ( B) B   b   2a0  f  B  g  B g  B 4   B 0  39 Với siêu dây NS a  b   Q2  D từ ta có: ( D  10)  ( B) B  ( D   16a0 ) f ( B) g  B g B   B 0 Vậy Q  D=10, a0  Như số chiều phụ trội siêu dây NS Trong trường hợp siêu dây R siêu đại số phân bậc có dạng giống (3.4.14) (3.4.15) số lẻ nhận giá trị nguyên Do ta có:    Q   (b  )  ( B) B   a  2a0  f  B  g  B g  B  a0 o2  B 1  Với siêu dây R a  0; b  Q2  D từ ta có:  ( D  10)  ( B) B  16a0  f ( B) g  B g B  a0 o2   B1 Vậy Q  D=10, a0  Như số chiều phụ trội siêu dây R 40 KẾT LUẬN Luận văn nghiên cứu hình thức luận vierbein trường gauge với chiều không gian phụ trội Các kết luận văn tóm tắt sau:  Trình bày nét tổng quan trường gauge abel phi abel, đặc biệt lagrangian tương tác gauge  Trình bày nguyên lý lý thuyết tương đối tổng quát đặc biệt hình thức luận Vierbein  Phần đóng góp học viên chủ yếu chương 3: : Nghiên cứu lý thuyết tương đối tổng quát không thời gian với chiều phụ trội, thành phần vierbein metric gắn với chiều phụ trội trường gauge Các kết sử dụng việc xây dựng mô hình lý thuyết thống tương tác tảng lý thuyết tương đối rộng nhiều chiều 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đào Vọng Đức, (2011 – 2012), Các giảng Vật Lý Lý Thuyết lớp cao học ĐHSP Hà Nội 2, [2] Đào Vọng Đức, (2007), Các nguyên lý lý thuyết Siêu Dây lượng tử, NXB khoa học tự nhiên công nghệ [3] Đào Vọng Đức, Phù Chí Hòa, (2011), Lý thuyết hạt bản, NXB khoa học kỹ thuật [4] B.Dewitt, P.Fayet, P.Van Niewenhuizen, (1984), Suprsymmetry and Supergravity, World Scientific [5] H.C.Lee, (1983), An Introduction to Kaluza – Klein Theories, World Scientific [6] NV.Mitzkevich, (1969), Physical fields in Genenral Theory of Relativity, Science Publishing House, Moscow [7] S.M.Carroll, (1997), Lecture Notes on General Relativity, University of California [8] S.Weinberg, (1995), The quantum theory of fields, Cambridge University Press, New York [9] J Yepez, (2011), Einstein’s vierbein field theory of curwed space