Bài toán quan hệ biên phân và ứng dụng

Lời cảm ơn Luận văn hồn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn GS TSKH Nguyễn Xn Tấn Tơi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành sâu sắc tới thầy giáo - GS TSKH Nguyễn Xn Tấn, người ln quan tâm, động viên, tận tình hướng dẫn tơi suốt q trình tơi làm luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau Đại học, thầy giáo giảng dạy cao học chun ngành Tốn giải tích tạo điều kiện thuận lời cho tơi q trình học tập nghiên cứu Tơi bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè học , động viên tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2013 Lê Danh Tun Lời cam đoan Tơi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu riêng tơi hướng dẫn GS TSKH Nguyễn Xn Tấn Số liệu kết nghiên cứu luận văn trung thực khơng trùng lặp với đề tài khác Hà Nội, tháng năm 2013 Lê Danh Tun MỤC LỤC Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Nón – khái niệm tính chất liên quan 1.2 Ánh xạ đa trị 1.3 Tính liên tục theo nón ánh xạ đa trị 1.4 Tính lồi tính tựa lồi theo nón ánh xạ đa trị 11 1.5 Ánh xạ tựa đơn điệu 12 1.6 Một số định lý bổ trợ 13 Chương Bài tốn quan hệ biến phân 15 2.1 Bài tốn quan hệ biến phân 15 2.2 Ví dụ tốn quan hệ biến phân 16 2.3 Các điều kiện tồn nghiệm tốn quan hệ biến phân 17 2.4 Định lý điểm bất động tồn nghiệm tốn quan hệ biến phân 28 Chương Một số tốn liên quan 34 3.1 Bài tốn tựa tối ưu loại hai 34 3.1.1 Phát biểu tốn 34 3.1.2 Định lý tồn nghiệm tốn tựa tối ưu loại hai 35 3.2 Bài tốn bao hàm thức tựa biến phân 37 3.2.1 Phát biểu tốn 37 3.2.2 Định lý tồn nghiệm tốn bao hàm thức tựa biến phân 37 3.3 Bài tốn tựa cân tổng qt 40 3.3.1 Phát biểu tốn 40 3.3.2 Định lý tồn nghiệm tốn tựa cân tổng qt 40 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 Mở đầu Lý chọn đề tài Các tốn cở lý thuyết tối ưu tốn tối ưu, tốn cân bằng, tốn bao hàm thức biến phân, tốn bất đẳng thức biến phân, dạng tốn liên quan tới ánh xạ đa trị Bài tốn: Tìm x  D ,  F x  F  x  x  D D tập khơng gian định chuẩn X (được gọi miền chấp nhận được), F : D  R hàm mục tiêu Đóng vai trò trung tâm lý thuyết tối ưu có nhiều ứng dụng tốn thực tế Cụ thể, cho X , Y hai khơng gian véctơ tơpơ, D  X tập khác rỗng Cho C nón Y , A  Y Tập điểm hữu hiệu A nón C , kí hiệu  Min  A / C  , với   I , P, Pr, W tương ứng loại điểm hữu hiệu lý tưởng, điểm hữu hiệu Pareto, điểm hữu hiệu thực điểm hữu hiệu yếu (các khái niệm trình bày Chương luận văn) Cho F : D  Y  Bài tốn đặt ra: Tìm x  D cho F x  Min  F  D  / C  Là mở rộng tốn cho hàm véctơ F gọi tốn tối ưu véctơ  tương ứng với D, F , C Các tốn tối ưu liên quan tới tốn điểm cân bằng, tốn bao hàm thức biến phân tốn cân đa trị Và tốn đưa tốn quan hệ biến phân mà ngày nhà tốn học giới quan tâm nghiên cứu ứng dụng nhiều lĩnh vực tốn học Bài tốn phát biểu sau: Cho A, B, Y tập khác rỗng Xét S1 : A A, S2 : A B, T : A  B Y, ánh xạ đa trị có giá trị khác rỗng Giả sử R  a, b, y   A  B  Y quan hệ ba ngơi a  A, b  B, y Y Nếu ba phần tử có quan hệ R ta nói R  a, b, y  xảy Xét tốn sau, kí hiệu (VR) Tìm a  A cho:  1) a điểm bất động S1 , tức a  S1 a       2) R a, b, y xảy với b  S2 a , y T a, b Bài tốn (VR) gọi tốn quan hệ biến phân, ánh xạ đa trị S1 , S2 , T ràng buộc R quan hệ biến phân Quan hệ R thường xác định đẳng thức bất đẳng thức hàm thực, bao hàm thức giao ánh xạ đa trị Với mong muốn tìm hiểu sâu tốn quan hệ biến phân ứng dụng nên tơi chọn đề tài “Bài tốn quan hệ biến phân ứng dụng” để làm luận văn cao học Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn trình bày chi tiết kết tốn quan hệ biến phân báo “An abstract problem in variational analysis” tác giả D T Luc [7] Đó định lý tồn nghiệm tốn quan hệ biến phân kết cho tốn liên quan Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu tốn quan hệ biến phân, phát biểu tốn quan hệ biến phân, chứng minh cách chi tiết định lý tồn nghiệm tốn quan hệ biến phân, đồng thời đưa số ứng dụng ví dụ tốn liên quan Đối tượng phạm vi nghiên cứu Bài tốn quan hệ biến phân, định lý tồn nghiệm tốn quan hệ biến phân, mối liên hệ tốn quan hệ biến phân tốn tựa tối ưu, tốn bao hàm thức tựa biến phân tốn cân tổng qt Phương pháp nghiên cứu - Tìm hiểu tài liệu qua báo đăng sách in - Sử dụng phương pháp giải tích phương pháp điểm bất động, ngun lý KKM… - Tìm ví dụ minh họa số ứng dụng tốn thực tế Dự kiến đóng góp Luận văn trình bày cách tổng quan tốn quan hệ biến phân, định lý tồn nghiệm tốn quan hệ biến phân Sử dụng định lý cho việc chứng minh định lý tồn nghiệm tốn khác lý thuyết tối ưu Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương ta nêu lại số khái niệm tính chất nón ánh xạ đa trị để giúp cho việc trình bày vấn đề chương hệ thống 1.1 Nón – khái niệm tính chất liên quan Ta biết trường số thực , hai số so sánh với thơng qua quan hệ thứ tự tồn phần Trong khơng gian tuyến tính, ta khơng có tính chất Tuy nhiên cách sử dụng khái niệm nón khơng gian tuyến tính, người ta đưa thứ tự phần để so sánh hai phần tử với Ta có định nghĩa sau: Định nghĩa 1.1.1 Cho Y khơng gian tuyến tính, C tập Y Ta nói C nón có đỉnh điểm gốc Y tc  C với c  C, t  Trong luận văn này, quan tâm đến nón có đỉnh điểm gốc nói đến nón ta hiểu nón có đỉnh điểm gốc Nón C gọi nón lồi (đóng) C tập lồi (đóng) Kí hiệu cl C, int C , conv C  tương ứng bao đóng, phần bao lồi C Kí hiệu l  C   C   C  phần tuyến tính C Khi đó, C nón lồi l  C  khơng gian tuyến tính nhỏ nằm C Ta định nghĩa quan hệ thứ tự phần với nón C khơng gian tơpơ tuyến tính Y sau: Với x, y  Y , x  y x  y  C Để đơn giản ta C viết x y khơng có nhầm lẫn Với x  y  C \ l  C  x y x  y  int C x, y Y , x > y Ví dụ 1.1.1 i) Xét Y    x   x1 , x2 , C n  gọi  n   x   x1 , x2 , nón , n Với  , xn  xi  0, i  1,  , xn  xi  , i  1, , n C nón lồi, đóng Y Orthant dương n Với  C  x   x1 , x2 , , xn  x1  C nón lồi khơng đóng Y Tập C  x1 > 0  x1  0, x2 > 0   x1  x2   xn1  0, xn > 0 nón Y gọi nón từ điển ii) Xét Y  Tập C   x ,  x , , xn , , xn ,  có hữu hạn phần tử x i  khác  có phần tử khác cuối không âm nón Y gọi nón trải khắp Tiếp theo ta xét số khái niệm loại điểm hữu hiệu Đây khái niệm tảng tối ưu véctơ Định nghĩa 1.1.2 Cho Y khơng gian tơpơ tuyến tính với thứ tự sinh nón C Xét A tập Y , A  , Y Cho a  A i) Điểm a gọi điểm hữu hiệu lý tưởng A nón C a  a với a  A Kí hiệu tập tất điểm hữu hiệu lý tưởng A nón C IMin  A, C  Ta có a  IMin  A, C  A  a  C ii) Điểm a gọi điểm hữu hiệu Pareto A nón C a  b , với b đó, b  a Kí hiệu tập tất điểm hữu hiệu Pareto A nón C Min  A, C  Ta có a  Min  A, C     A a C  a iii) Điểm a gọi điểm hữu hiệu yếu A nón C ( int C   C  Y ) a điểm hữu hiệu nón C0  A \ 0 Kí hiệu tập tất điểm hữu hiệu yếu WMin  A, C  Ta có a WMin  A, C    A  a  int C   iv) Điểm a gọi điểm hữu hiệu thực A nón C tồn hình nón lồi K khác Y cho C \ l  C   int K a  Min  A, K  Kí hiệu tập tất điểm hữu hiệu thực A nón C PrMin  A, C  Ta có a  PrMin  A, C  A   a  K   a Ta có liên hệ sau loại điểm hữu hiệu: IMin  A, C   PrMin  A, C   Min  A, C   WMin  A, C  1.2 Ánh xạ đa trị Định nghĩa 1.2.1 Cho X , Y hai tập Cho F : X Y ánh xạ đa trị từ X vào Y , tức ánh xạ đơn trị từ tập X vào tập 2Y gồm tồn tập Y Như vậy, với x  X , F  x  tập Y F  x  gọi ảnh x qua F Ta nói F có giá trị khác rỗng F  x    với x  X Miền hữu hiệu (miền định nghĩa) dom F đồ thị Graph F ánh xạ đa trị F : X Y định nghĩa sau: dom F  x  X : F  x   ; Graph F   x, y   X  Y : x  dom F , y  F  x  Giả sử X , Y khơng gian véctơ tơpơ Bao lồi, bao đóng ánh xạ F kí hiệu Conv F , Cl F định nghĩa bởi: Conv F   y Y :  x, y   co  Graph F  , x  X  ,   Cl F  y Y :  x, y   Graph F , x  X , co  Graph F  , Graph F tập lồi nhỏ chứa Graph F bao đóng tập Graph F Ánh xạ ngược F ánh xạ đa trị F 1 : Y X xác định bởi: F 1  y   x  X : y  F  x  , với y  Y Giả sử X , Y khơng gian véctơ tơpơ F : X Y ánh xạ đa trị Ta nhắc lại số định nghĩa sau: i) F gọi ánh xạ đóng (mở) Graph F tập đóng (mở) khơng gian tơpơ tích X  Y ii) F gọi ánh xạ có giá trị đóng F  x  tập đóng với x X iii) Nếu Y khơng gian véctơ tơpơ F gọi ánh xạ có giá trị lồi F  x  tập lồi, với x  X iv) F gọi ánh xạ compắc F  x  tập compắc Y với x  X Cho X , Y khơng gian véctơ tơpơ, F : X có tính chất sau: Y ánh xạ đa trị Ta 29 Bổ đề 2.4.1 i) Với a  A quan hệ R  a, a, y  xảy với y  T  a, a  a khơng điểm bất động Q Đặc biệt R KKM Q khơng có điểm bất động ii) Nếu Q  a  lồi với a  A Q khơng có điểm bất động R KKM iii) Với a  A ta có A \ Q1  a   PR  a  ánh xạ Q có giá trị mở PR có giá trị đóng Chứng minh i) Ta chứng minh a khơng điểm bất động Q phản chứng Giả sử a điểm bất động Q tức a  Q  a  Theo định nghĩa Q  a  tồn y  T  a, a  cho R  a, a, y  khơng xảy Điều mâu thuẫn với R  a, a, y  xảy với y  T  a, a  Vậy a khơng điểm bất động Q Ngược lại, a khơng điểm bất động Q tức a  Q  a  Do khơng tồn y T  a, a  cho R  a, b, y  khơng xảy với a  A Vậy ta có với a  A R  a, a, y  với y  T  a, a  Hơn R KKM Q  a    với a  A Điều chứng tỏ Q khơng có điểm bất động ii) Giả sử R khơng KKM tồn a1 , a1 , , ak cho với i 1, , ak  A tổ hợp lồi a , k , R  a, , yi  khơng xảy với yi  T  a,  Ta suy  Q  a  với i 1, lồi a1 , , k Lại a tổ hợp , ak , Q  a  lồi với a  A nên a  Q  a  Vậy a điểm bất động Q , trái với giả thiết Q khơng có điểm bất động Vậy R KKM 30 iii) Ta có Q1  a   b  A : a  Q  b  PR  a   x  A : R  x, a, y  xảy với y  T  x, a  Q  b   x  A : R  b, x, y  khơng xảy với y  T  b, x  đó} Giả sử a1  A \ Q1  a  , tức a1  Q 1  a  Ta suy a  Q  a1  Điều chứng tỏ với y T  a1 , a  , R  a1 , a, y  xảy Vậy a1  PR  a  hay A \ Q1  a   PR  a  Định lý sau hệ trực tiếp định lý 2.3.2 bổ đề 2.4.1: Định lý 2.4.1 Bài tốn (VR) có lời giải điều kiện sau thỏa mãn: i) A tập lồi, compắc, khác rỗng ii) Tập tất điểm bất động S1 đóng A iii) Ánh xạ S có giá trị lồi ánh xạ ngược mở S2  a   S1  a  với a  A iv) Ánh xạ Q có giá trị lồi, mở khơng có điểm bất động Chứng minh Áp dụng bổ đề 2.4.1 định lý 2.3.2 Chú ý: Định lý chứng minh dựa vào định lý điểm bất động Fan – Browder [2] Thật ta chứng minh A \ P 1  a    Theo (ii), tập điểm bất động E  a  A : a  S1  a  S1 tập đóng Xét ánh xạ đa trị P' : A A xác định P'  a   P 1  a  Nếu tồn 31 a  A cho A \ P 1  a    theo hệ 2.3.1, a lời giải tốn (VR) Nếu khơng tồn a  A cho A \ P 1  a    với a  A ta có A \ P 1  a     A \ P 1  1 Suy A 1 aA  a   x  A \ E :  A \  P   a  1 Hơn ta có a  S2  x   x  E : a  S2  x   Q  x    A \ E   Q1  a   S21  a  Ta có  A \ P 1  1 tập mở A tập A \ E, Q1  a  , S21  a  mở A Do A  aA int  A \  P 1   1 a Áp dụng định lý Fan –   Browder [2] tồn điểm bất động a  A A \ P 1 , tức a  A \ P 1 a        hay a  P 1 a Vậy a  P 1 a hay a  S2 a Theo (iii) a  S1 a  a  E Ta có a  Q a Điều mâu thuẫn với (iv) Vậy A \ P 1  a    với a  A Theo hệ 2.3.1 tốn (VR) có lời giải Xét trường hợp X khơng gian véctơ tơpơ lồi địa phương, A  X Ta có hệ sau: Hệ 2.4.1 Giả sử X khơng gian véctơ tơpơ lồi địa phương Khi tốn (VR) có lời giải thỏa mãn điều kiện sau: i) A tập compắc, lồi, khác rỗng ii) S1 đóng iii) S nửa liên tục dưới, có giá trị lồi S2  a   S1  a  với a  A iv) Ánh xạ Q mở, có giá trị lồi khơng có điểm bất động 32 sở lân cận lồi điểm gốc khơng Chứng minh Giả sử gian X Với U  , xét tốn quan hệ biến phân (VR) với ánh xạ cl  S1  U   A thay cho S1 S S  U   A thay cho S Khi  U   A tập mở A Và EU  a  A : a  cl  S1  a   U  A tập tất điểm bất động cl  S1  U   A tập đóng A (vì ánh xạ cl  S1  U  đóng A tập đóng) Dễ dàng kiểm tra điều kiện định lý 2.4.1 thỏa mãn nên tốn (VR) có lời giải Do tốn (VR) có lời giải nên tồn xU  EU cho  S2  xU   U   Q  xU    Đặt AU  x  EU : S2  x  Q  x    , AU   Hơn ta có S nửa liên tục dưới, Q mở nên S2  Q nửa liên tục Ta có EU đóng AU đóng AU giảm U giảm Nếu họ tập compắc  AU : U    có điểm chung kí hiệu   a a  S1 a (do S1  đóng) S2 a  Q a   Do A \ P 1 a   Vậy tốn (VR) ban đầu có lời giải Xét trường hợp X khơng gian Banach khả li Ta có hệ sau: Hệ 2.4.2 Giả sử X khơng gian Banach khả li Khi tốn (VR) có lời giải điều kiện sau thỏa mãn: i) A tập lồi, compắc, khác rỗng ii) Tập tất điểm bất động S1 tập đóng iii) Ánh xạ S nửa liên tục với tập giá trị lồi, S2  a   S1  a  với a  A 33 iv) Ánh xạ Q mở, với giá trị lồi khơng có điểm bất động Chứng minh Xét ánh xạ đa trị A \ P 1 A Nếu tồn a  A cho A \ P 1  a    a lời giải tốn (VR) Nếu A \ P1  a    với a  A theo (ii), (iii), (iv) ánh xạ nửa liên tục có giá trị lồi Áp dụng định lý Michael tồn lát cắt liên tục f : A  A cho f  a   A \ P 1  a  , a  A Mặt khác ta lại có A tập lồi compact nên áp dụng định lý điểm bất động Tikhonov ánh xạ f có điểm bất động a     hay f a  a Theo ta có a  A \ P 1 a suy a  Q a trái với iv) tồn a  A cho A \ P 1  a    a lời giải tốn (VR) 34 Chương Một số tốn liên quan Mục đích chương trình bày mối liên hệ tốn quan hệ biến phân tốn khác tốn tựa tối ưu loại hai, tốn bao hàm thức tựa biến phân tốn cân tổng qt Từ thấy thống việc nghiên cứu vấn đề khác tối ưu véctơ, lý thuyết cân bao hàm thức biến phân thơng qua việc nghiên cứu tốn (VR) 3.1 Bài tốn tựa tối ưu loại hai 3.1.1 Phát biểu tốn Giả sử X , Y , Z khơng gian véctơ tơpơ, A  X , B  Y , C nón Z Xét S1 , S2 : A A, T : A  A B ánh xạ đa trị Cho ánh xạ đơn trị F : B  A A  Z      Bài tốn đặt là: Tìm a  S1 a cho F y, b, a  F y, a, a  C với        b  S2 a , y T b, a Tức F y, b, a C F y, a, a   với b  S2 a ,   y  T b, a Ví dụ 3.1.1 Một cơng ty cổ phần xuất nhập X chịu điều hành Ban giám đốc hội đồng quản trị Cơng ty X có tập kế hoạch sản xuất A Gọi B tập kế hoạch xuất nhập sản phẩm cơng ty Ứng với kế hoạch sản xuất cơng ty tổng giám đốc đưa tập kế hoạch 35 sản xuất tương ứng (được xác định ánh xạ đa trị S1 : A A ), Hội đồng quản trị đưa tập kế hoạch sản xuất (được xác định ánh xạ đa trị S2 : A A ) Dựa kế hoạch sản xuất mình, cơng ty X có kế hoạch xuất nhập cho ánh xạ T : A  A B Vấn đề đặt là: Tìm kế hoạch sản xuất số kế hoạch  tổng giám đốc a  S1 a để tổn thất cơng ty X nhỏ nhất, với kế hoạch sản xuất hội đồng quản trị kế hoạch xuất nhập cơng ty Tức tổn thất cơng ty hàm      F : B  A A    F y, b, a  F y, a, a , với b  S2 a y  T b, a Dựa định lý tồn nghiệm tốn quan hệ biến phân (VR), ta suy định lý tồn nghiệm tốn tựa tối ưu loại hai Ở đây, ta xét trường hợp A  B 3.1.2 Định lý tồn nghiệm tốn tựa tối ưu loại hai Định lý 3.1.2 Xét tốn tối ưu loại hai Bài tốn có lời giải điều kiện sau thỏa mãn: i) A tập lồi, compắc, khác rỗng; ii) S21  a  tập mở A S2  a    với a  A ; iii) Tập a  A : a  S1  a  điểm bất động S1 tập đóng co  S2  a    S1  a  ; iv) T  , b  nửa liên tục với biến thứ F  C  - liên tục theo biến thứ thứ ba; v) T F - tựa đơn điệu A nón C 36 Chứng minh Ta định nghĩa quan hệ R sau: R  a, b, y  xảy F  y, b, a   F  y, a, a   C Nhận xét thấy tốn tựa tối ưu loại hai trương hợp riêng tốn  (VR) ta viết lại tốn (VR) là: Tìm a  A cho a  S1 a        F y, b, a  F y, a, a với b  S2 a y  T b, a Theo giả thiết, F  C  - liên tục theo biến thứ thứ ba nên với dãy  a , y    a, y  F  y , b, a   F  y , a , a   C ta có F  y, b, a   F  y, a, a   C Điều chứng tỏ R  , b,  đóng biến thứ thứ ba Ta có T F - tựa đơn điệu A nón C , tức với tập hữu hạn a1 , số i 1, , ak   A tổ hợp lồi a a1 , , ak  ta tìm , k cho F  y, , a   F  y, a, a   C Vậy R KKM Áp dụng định lý 2.3.2 bổ đề 2.3.1 ta suy tốn tựa tối ưu loại hai có lời giải Chú ý: Định lý 3.1.2 kết báo [8] Chứng minh trình bày luận văn đơn giản hóa so với chứng minh ban đầu Xét trường hợp S1  S2  S , định lý 3.1.2 viết lại là: Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: i) A tập lồi, compắc, khác rỗng; ii) S 1  a  tập mở A S  a    với a  A ; iii) Tập a  A : a  S  a  tất điểm bất động S tập đóng; 37 iv) T  , b  nửa liên tục biến thứ F  C  - liên tục theo biến thứ thứ ba; v) T F - tựa đơn điệu A nón C      Khi tồn a  S a cho F y, b, a C F y, a, a 3.2 Bài tốn bao hàm thức tựa biến phân 3.2.1 Phát biểu tốn Giả sử X , Y , Z W khơng gian véctơ tơpơ, A  X , B  X E  W tập khác rỗng Cho S1 : A G, H : B  A  E A, S2 : A E, T : B  A Y ánh xạ đa trị Giả sử C : B  A Z Y ánh xạ nón (tức với  y, x   B  A, C  y, x  nón Y )  Bài tốn đặt tìm a  A cho a  S1 a        G y, a, b    H y, a, a  C y, a với b  S2 a y  T a, b 3.2.2 Định lý tồn nghiệm tốn bao hàm thức tựa biến phân Trước hết ta xét định nghĩa sau: Định nghĩa 3.2.2 Cho F : B  A  A Giả sử C : B  A Y, T : A A B ánh xạ đa trị Y ánh xạ nón Ta nói rằng: i) F gọi T , C  - tựa lồi với biến thứ ba với tập hữu hạn a1 , , ak   D, a  coa1 , , ak  tồn số i 1, cho F  y, a,   F  y, a, a   C  y, a  với y  T  a,  , k 38 ii) F gọi T , C  - tựa lồi với biến thứ ba với tập hữu hạn i 1, a , , ak   D, a  coa1 , , ak  , tồn số , k cho F  y, a, a   F  y, a,   C  y, a  với y  T  a,  Xét trường hợp A  B  E , định lý sau cho ta điều kiện để tốn bao hàm thức tựa biến phân có lời giải: Định lý 3.2.2 Giả sử G  y, a, a   H  y, a, a   C  y, a  với  y, a   B  A Khi tốn bao hàm thức tựa biến phân có lời giải điều kiện sau thỏa mãn: i) A tập lồi, compắc, khác rỗng ii) S1 . đóng, co  S2  a    S1  a  S21  b  mở A với a, b  A iii) Với b  S2  a  , tập a  A : G  y, a, b   H  y, a, a   C  y, a với y  T  b, a  tập đóng iv) G T , C  - tựa lồi với biến thứ ba Chứng minh Xét quan hệ R định nghĩa sau: R  a, b, y  xảy G  y, a, b   H  y, a, a   C  y, a  Khi tốn bao hàm thức biến phân trường hợp riêng tốn (VR) tốn (VR) viết dạng: Tìm a  A cho      G y , a, b  H y , a , a  C y , a     với b  S2 a y  T b, a Theo 39 cách chứng minh bổ đề 2.3.1 điều kiện (i), (ii), (iii) định lý chứng tỏ P  b  tập đóng (ánh xạ P xét Chương 2) Theo định nghĩa G T , C  - tựa lồi với biến thứ ba tương đương với (R) KKM Vậy điều kiện định lý 2.3.2 thỏa mãn, tốn bao hàm thức tựa biến phân có lời giải Chú ý: Định lý trình bày tài liệu [5] Chứng minh trình bày luận văn cách chứng minh khác đơn giản so với chứng minh tài liệu Điều kiện (iii) định lý thỏa mãn nếu: Cố định y  A , ánh xạ G  , , y  : B  A  E Y  C  - liên tục dưới, ánh xạ F  y, a, a  C - liên tục có giá trị compắc Khi ta rút hệ sau: Hệ 3.2.2 Giả sử ta có G  y, a, a   H  y, a, a   C  y, a  với  y, a   B  A Khi tốn bao hàm thức tựa biến phân có lời giải điều kiện sau thỏa mãn: i) A tập lồi, compắc, khác rỗng; ii) S1 . đóng, co  S2  a    S1  a  S21  b  mở A với a, b  A ; iii) Với y  A ánh xạ G  , , y  : B  A  E Y  C  - liên tục dưới, ánh xạ F  y, a, a  C - liên tục có giá trị compắc iv) G T , C  tựa lồi với biến thứ ba 40 3.3 Bài tốn tựa cân tổng qt 3.3.1 Phát biểu tốn Giả sử X , Y , Z W khơng gian véctơ tơpơ, A  X , B  Z E  W tập khác rỗng Cho ánh xạ đa trị S1 : A Z , F : B  A  E T : B A E, A, S2 : A Y    Bài tốn đặt là: Tìm a  A cho a  S1 a  F y, a, b với    b  S2 a y  T a, b 3.3.2 Định lý tồn nghiệm tốn tựa cân tổng qt Trước hết, ta có định nghĩa sau: Định nghĩa 3.3.2 Cho F : B  A  A Y, T : A A B ánh xạ đa trị Ta nói F T - KKM với tập hữu hạn a1 , a  coa1 , , ak  , tồn  coa1 , , ak   A , ak  cho  F  y, a,  với y  T  a,  Xét trường hợp A  E , định lý sau cho ta điều kiện để tốn cân có lời giải: Định lý 3.3.2 Bài tốn tựa cân tổng qt có lời giải điều kiện sau thỏa mãn: i) A tập lồi, compắc, khác rỗng; ii) S1 . đóng, co  S2  a    S1  a  S21  b  mở A với a, b  A ; 41 iii) Với b  S2  a  , tập a  A :  F  y, a, b  với y  T  a, b  tập đóng; iv) F : B  A  A Y T - KKM Chứng minh Xét quan hệ R định nghĩa sau: R  a, b, y  xảy  F  y, a, b   Ta có tốn (VR) viết lại sau: Tìm a  A cho a  S1 a       F y, a, b với b  S2 a y  T a, b Điều chứng tỏ tốn tựa cân tổng qt trường hợp riêng tốn quan hệ biến phân (VR) Theo cách chứng minh bổ đề 2.3.1 điều kiện (i), (ii), (iii) định lý chứng tỏ P  b  tập đóng (ánh xạ P xét Chương 2) Điều kiện (iv) chứng tỏ R KKM Vậy điều kiện định lý 2.3.2 thỏa mãn, tốn tựa cân tổng qt có lời giải Chú ý: Điều kiện (iii) định lý viết lại sau: Với điểm cố định b  A , tập a  A  F  y, a, b  với y  T  a, b  đó} tập mở A 42 Kết luận Luận văn trình bày chi tiết kết báo “An abstract problem in variational analysis” tác giả D T Luc [7]: - Trình bày tổng quan tốn quan hệ biến phân liên hệ với tốn khác Lý Thuyết Tối Ưu - Phát biểu chứng minh định lý tồn nghiệm tốn quan hệ biến phân - Áp dụng định lý tồn nghiệm tốn quan hệ biến phân vào tốn Lý Thuyết Tối Ưu 43 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Bá Minh, Nguyễn Xn Tấn, Một số vấn đề lý thuyết tối ưu véctơ đa trị, Nhà xuất Giáo dục (2006) [2] F E Browder, The fixed point theory of multivalued mappings in topological vector space, Math Ann 177 (1968) 238 – 301 [3] K Fan, A generalization of Tychonoffs fixed point theorem, Math Ann 142 (1961) 305 – 310 [4] A Gueraggio and N X Tan, On general vector quasi-optimization problems, Mathematical Methods of Operator Research 35 (2002) 347 – 358 [5] N X Hai, P Q Khanh, The solution existence of general variational inclusion problem, J Math Anal Appl 328 (2007) 1268 – 1277 [6] S Kakutani, A generalization of Brouwers fixed point theorem, Duke Math J (1944) 457 – 459 [7] D T Luc, An abstract problem in variational analysis, J Optimization Theory Appl 138 (2008) 65 – 76 [8] D T Luc, N X Tan, Existence conditions in variational inclusions with constraints, Optimization 53 (2004) no – 6, 505 – 515