Bài toán quan hệ biên phân và ứng dụng

Lời cảm ơn Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưói sự hướng dẫn của GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn. Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành và sâu sắc tới thầy giáo - GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn, người đã luôn quan tâm, động viên, tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình tôi làm luận văn. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau Đại học, các thầy cô giáo giảng dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã tạo điều kiện thuận lời cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu. Tôi bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè cùng học , đã động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành bản luận văn này. Hà Nội, thảng 5 năm 2013 Lê Danh Tuyên Lời cam đoan Tôi xin cam đoan bản luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn. số liệu và các kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác Hà Nội, thảng 5 năm 2013 Lê Danh Tuyên MỤC LỤC Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Các bài toán cở bản trong lý thuyết tối ưu là bài toán tối ưu, bài toán cân bằng, bài toán bao hàm thức biến phân, bài toán bất đắng thức biến phân, và các dạng bài toán này liên quan tới ánh xạ đa trị. Bài toán: Tìm X G D , = min jF(x) \XG D) trong đó D là tập con của không gian định chuẩn X (được gọi là miền chấp nhận được), F :D -^R là hàm mục tiêu. Đóng vai trò trung tâm của lý thuyết tối ưu và có nhiều ứng dụng trong các bài toán thực tế. Cụ thể, cho X, Y là hai không gian véctơ tôpô, Del là một tập con khác rỗng. Cho с là một nón trong Y, A Œ Y. Tập các điểm hữu hiệu của A đối với nón С, kí hiệu là aMinị^A ỉ c), với a = I , P, Pr, w tương ứng là các loại điểm hữu hiệu lý tưởng, điểm hữu hiệu Pareto, điểm hữu hiệu thực sự và điểm hữu hiệu yếu (các khái niệm này sẽ được trình bày trong Chương 1 của luận văn). Cho F : D -> Y Bài toán đặt ra: Tìm X e D sao cho e aMinỤ 7 (ơ) / c). Là mở rộng của bài toán trên cho hàm véctơ F được gọi là bài toán tối iru véctơ a tương ứng với Д F, с. Các bài toán tối ưu trên liên quan tới các bài toán điểm cân bằng, bài toán bao hàm thức biến phân và bài toán cân bằng đa trị. Và các bài toán này có thể đưa được về bài toán quan hệ biến phân mà ngày nay các nhà toán học trên thế giới đang quan tâm nghiên cứu và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực của toán học. Bài toán đó được phát biểu như sau: Cho A, B, Y là các tập khác rỗng. Xét S ] : A ^ A , S 2 : A ^ B , T: A x B ^ Y, là các ánh xạ 2 đa trị có giá trị khác rỗng. Giả sử R(a,b, y)cz A x B x Y là một quan hệ ba ngôi giữa a e A,b e B, V e F. Neu ba phần tử này có quan hệ R ta nói rằng R(a, b, xảy ra. Xét bài toán sau, được kí hiệu là (VR). Tìm a G A sao cho: 1) a là điểm bất động của 5,, tức là ã G 5, (a). 2) £>, y) xảy ra với mọi b G S 2 (ứ), y G T ^ a , b). Bài toán (VR) được gọi là bài toán quan hệ biến phân, trong đó các ánh xạ đa trị S r S 2 ,T là các ràng buộc và R là một quan hệ biến phân. Quan hệ R thường được xác định bởi các đẳng thức và bất đắng thức của các hàm thực, hoặc bởi những bao hàm thức và giao của các ánh xạ đa trị. Với mong muốn tìm hiếu sâu hơn về bài toán quan hệ biến phân và ứng dụng của nó nên tôi chọn đề tài “Bài toán quan hệ biến phân và úng dụng” để làm luận văn cao học. 2. Mục đích nghiên cún Mục đích của luận văn này là trình bày chi tiết các kết quả về bài toán quan hệ biến phân trong bài báo “An abstract problem in variational analysis” của tác giả D. T. Luc [7]. Đó là định lý tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân và các kết quả mới cho các bài toán liên quan. 3. Nhiệm vụ nghiên cún Nghiên cứu bài toán quan hệ biến phân, phát biểu bài toán quan hệ biến phân, chứng minh một cách chi tiết các định lý về sự tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân, đồng thời đưa ra một số ứng dụng và ví dụ về các bài toán liên quan. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cún Bài toán quan hệ biến phân, định lý về sự tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân, mối liên hệ giữa bài toán quan hệ biến phân và các bài toán tựa tối ưu, bài toán bao hàm thức tựa biến phân và bài toán cân bằng tống quát. 3 5. Phương pháp nghiên cứu - Tìm hiểu tài liệu qua các bài báo đã được đăng và sách đã in. - Sử dụng các phương pháp trong giải tích như phương pháp điếm bất động, nguyên lý KKM - Tìm những ví dụ minh họa và một số ứng dụng trong các bài toán thực tế. 6. Dự kiến đóng góp mới Luận văn trình bày một cách tổng quan về bài toán quan hệ biến phân, các định lý vê sự tồn tạỉ nghỉậm của bài toán quan hệ biên phân. Sử dụng các định lý này cho việc chứng minh các định lý về sự tồn tại nghiệm của các bài toán khác trong lý thuyết tối un. Chương 1 Môt số kiến thức chuẩn bi • • Trong chương này ta nêu lại một số khái niệm và tính chất cơ bản của nón và ánh xạ đa trị để giúp cho việc trình bày các vấn đề của các chương tiếp theo được hệ thống. 1.1 Nón - các khái niệm và tính chất liên quan Ta đã biết trong trường số thực M., hai số bất kì đều có thể so sánh được với nhau thông qua một quan hệ thứ tự toàn phần. Trong không gian tuyến tính, ta không có tính chất như vậy. Tuy nhiên bằng cách sử dụng khái niệm nón trong không gian tuyến tính, người ta vẫn có thế đưa ra một thứ tự từng phần để so sánh hai phần tử với nhau. Ta có định nghĩa sau: Định nghĩa 1.1.1 Cho Y là không gian tuyến tính, c là một tập con của Y. Ta nói c là nón có đỉnh tại điểm gốc của Y nếu Í C G C với mọi c G c, t > 0. 4 Trong luận văn này, chúng ta chỉ quan tâm đến nón có đỉnh tại điểm gốc và khi nói đến nón ta hiểu là nón có đỉnh tại điểm gốc. Nón c được gọi là nón lồi (đóng) nếu c là tập lồi (đóng). Kí hiệu c ỉ c , int c, conv(c) tương ứng là bao đóng, phần trong và bao lồi của c. Kí hiệu /(C) = Cn(-C) là phần trong tuyến tính của c. Khi đó, nếu c là nón lồi thì /(c) là không gian con tuyển tính nhỏ nhất nằm trong c. Ta định nghĩa quan hệ thứ tự từng phần với nón c trong không gian tôpô tuyến tính Y như sau: Với X, ỵ e y, X > y nếu - ỵ e c . Đe đơn giản ta c viết x > ỵ nếu không có sự nhầm lẫn. Với x , ỵ & Y, x > ỵ nếu X - y e C \ l ( C ) và X» y nếu X - i n t c . Ví dụ 1.1.1 i) Xét 7 = K" =!* = (.*,, )|x eM,/ = Với C = M" =!* = (*,, )|x >0,1 = l, ,w| thì c là nón lồi, đóng trong Y và được gọi là nón Orthant dương trong M". Với C = ịx = (x r x 23 ,x n )\x i > oj thì c là nón lồi nhưng không đóng trong Y. Tập c = {x, >0}u{x, =0,x2 >0}u u{x, =Xj = =0,X;I >0} cũng là một nón trong Y và được gọi là nón từ điển. ii) Xét Y = !(*,,. ••,*,,•••) có hữu hạn các phần tử X khác oỊ. Tập c = xn, ) có phần tử khác 0 cuối cùng ĩakhông âmỊ là nón trong Y và được gọi là nón trải khắp. Tiếp theo ta xét một số khái niệm về các loại điểm hữu hiệu. Đây là các khái niệm nền tảng của tối ưu véctơ. Định nghĩa 1.1.2 Cho Y là không gian tôpô tuyến tính với thứ tự sinh bởi nón c. Xét A là một tập con của Y, A ^ 0, Y. Cho ã € A. 5 i) Điểm a được gọi là điểm hữu hiệu lý tưởng của A đối với nón c nếu a < a với mọi a e A. Kí hiệu tập tât cả các điêm hữu hiệu lý tưởng của A đôi với nón c là IMinị^A, c). Ta có ũ, G. ĨMin(A, c) khi và chỉ khi A^a + C. ii) Điểm a được gọi là điểm hữu hiệu Pareto của A đối với nón c nếu a > b, với b nào đó, thì b > a. Kí hiệu tập tất cả các điểm hữu hiệu Pareto của A đối với nón c là Min^A, c). Ta có fleMw(/4,C) khi và chỉ khi A n ị ã - C ^ = ị a } . iii) Điểm a được gọi là điểm hữu hiệu yếu của A đối với nón с ( int С ф 0 và С ^ Y ) neu a là điểm hữu hiệu đối với nón C0 = Л \ Ịo}. Kí hiệu tập tất cả các điểm hữu hiệu yếu là WMin(A, c). Ta có a GWMÌTÌ(A, c) khi và chỉ khi A n ịã - int с) = 0. iv) Điểm a được gọi là điểm hữu hiệu thực sự của A đối với nón с nếu tồn tại hình nón lồi к khác Y sao cho c\/(c)czint^ và a eMin(A, к). Kí hiệu tập tất cả các điểm hữu hiệu thực sự của A đối với nón с là PrMỉn(A, c). Ta có ciGPrMin(A,C) khi và chỉ khi = jãỊ. Ta có liên hệ sau giữa các loại điểm hữu hiệu: IMỈn(A, c) Ç PrMin(A, c) Ç Мш(л, с) ç WMin(A, с). 1.2 Ánh xạ đa trị Định nghĩa 1.2.1 Cho X, F là hai tập bất kì. Cho F :X y là ánh xạ đa trị từ X vào Y, tức là một ánh xạ đơn trị từ tập X vào một tập 2 Y gồm toàn bộ các tập con của Y. Như vậy, với mỗi xe X, F ( x ) là một tập con của Y và F(x) được gọi là ảnh của X qua F . Ta nói F có giá trị khác rỗng nếu F (л;) ф 0 với mọi X G X . 6 Miền hữu hiệu (miền định nghĩa) dom F và đồ thị Graph F của ánh xạ đa trị F \ X ^ Y được định nghĩa như sau: dom F = jx G X : F (x) Ф 0j ; Graph F = Ị(jc, y) G X X Y : X G dom F, y eF (x)|. Giả sử X,Y là các không gian véctơ tôpô. Bao lồi, bao đóng của ánh xạ F lần lượt được kí hiệu là Conv F, Cl F và được định nghĩa bởi: Corn F = j_y G Y : (x, y) E coịGraph F), Vx G XI, Cl F = jy e Y : (x, )’) e Graph F, \/x e X j, trong đó co{Graph F), Graph F lần lượt là tập lồi nhỏ nhất chứa Graph F và bao đóng của tập Graph F. Ánh xạ ngược của F là ánh xạ đa trị Г':У=|Х được xác định bởi: F w = {xe X : y e vó’i y ^ Y . Giả sử X,Y là các không gian véctơ tôpô và F :X là một ánh xạ đa trị. Ta nhắc lại một số định nghĩa sau: i) F được gọi là ánh xạ đóng (mở) nếu Graph F là tập đóng (mở) trong không gian tôpô tích X X Y. ii) F được gọi là ánh xạ có giá trị đóng nếu /7(^) là tập đóng với mọi XGX . iii) Neu Y là một không gian véctơ tôpô thì F được gọilà ánh xạ có giá trị lồi nếu là tập lồi, với mọi X e X . 7 iv) F được gọi là ánh xạ compắc nếu F(*) là tập compắc trong Y với mọi X&x . Cho X, Y là các không gian véctơ tôpô, F : X =ị Y là ánh xạ đa trị. Ta có các tính chất sau: i) Neu F là ánh xạ đóng thì F có giá trị đóng. ii) F là ánh xạ đóng khi và chỉ khi với mọi dãy x p —>x, yß và y ß ỵ thì ta có ỵeF (x). 1.3 Tính liên tục theo nón của ánh xạ đa trị Cho X, Y là hai không gian véctơ tôpô lồi địa phương. F : X =ị Y là một ánh xạ đa trị. Trước hết, ta nhắc lại các định nghĩa sau được đưa ra bởi Berge: 1) Ánh xạ F được gọi là nửa liên tục trên tại x ữ G X nếu với mọi tập mở V CI Y thỏa mãn F(x0)czV thì tồn tại một lân cận mở ư ŒX của x0 sao cho F ( ư ) ci V . F được gọi là nửa liên tục trên (viết tắt là u.s.c) trên X nếu nó là nửa liên tục trên tại mọi leX. 2) Ánh xạ F được gọi là nửa liên tục dưới tại JC() ( = . X nếu với mọi tập mở УсУ thỏa mãn F(i0)ny ^0 thì tồn tại một lân cận mở ư cz X của Jt0 sao cho F(w)nV 7^0, với mọi U G Ư . F được gọi là nửa liên tục dưới (viết tắt là l.s.c) trên X nếu nó là nửa liên tục dưới tại mọi x e X . 3) Ánh xạ F được gọi là liên tục tại lel nếu F vừa là nửa liên tục trên vừa là nửa liên tục dưới tại X. Neu F liên tục tại mọi điểm X G X thì ta nói F liên tục trên X . Khi xét ánh xạ đơn trị thì các khái niệm nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới là trùng nhau và trùng với khái niệm liên tục đã biết. Vĩ dụ sau chỉ ra sự khác nhau giữa các khái niệm nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới của ánh xạ đa trị. 8 Ví dụ 1.3.1 Xét F, G : к =4 ж là hai ánh xạ đa trị được xác định như sau: nếu = 0? nếu X Ф 0. nếu X = 0, nếu X Ф 0. Dễ thấy ánh xạ F là nửa liên tục trên tại X = 0 nhưng không là nửa liên tục dưới tại x = 0. Ánh xạ G là nửa liên tục dưới tại x = 0 nhưng không là nửa liên tục trên tại X = 0. Ta có các tĩnh chất sau: i) Cho F : X = X Y là nửa liên tục trên với ảnh đóng, nếu dãy Xp — > X , y ß gF|xJ, Ур — > у thì у е F ( x ) . Ngược lại, nếu F(*) là tập đóng và mọi dãy X ß —» X, y ß e F ^ x ß ^ j kéo theo y ß — > y ef(jc) thì F là nửa liên tục trên tại X. ii) Cho F : X F, F ( x ) là compắc và ^ 0. Khi đó F là nửa liên tục dưới tại X khi và chỉ khi với mọi dãy đều tồn tại y » e F { x f ) để y ß ^ > y - Định nghĩa 1.3.1 Cho X , Y là hai không gian véctơ tôpô lồi địa phương, D là tập con của X , D ^ 0 . Giả sử с là một nón trong Y và F : X F là một ánh xạ đa trị. Ta có các định nghĩa sau: i) F là С - liên tục trên (tương ứng, с - liên tục dưới) tại x 0 G X nếu với mọi lân cận V của 0 trong Y, tồn tại lân cận и của x0 trong X sao cho: 9 F(x)c=/7’(x0) + V'+ c (tươngứng, F(x0)czF(*) + V-C) với mọi IEƠ ndom F . ii) F là С - liên tục tại x ữ nếu F đồng thời là с - liên tục trên và là с - liên tục dưới tại JC () . iii) F là С - liên tục trên, с - liên tục dưới hoặc с - liên tục trên D Œ X nếu F là С - liên tục trên, с - liên tục dưới hoặc с - liên tục tại mọi XGD . Chú ý: i) Nếu ánh xạ F là đơn trị khi hạn chế trên D ç ^ x thì tính с - liên tục trên và с - liên tục dưới của F là trùng nhau, và ta nói F là с - liên tục, tức là: F là С - liên tục tại x 0 g D nếu với mọi lân cận V của 0 trong Y, tồn tại lân cận u của x 0 trong X sao cho: F(x)eF(x0) + y + c (hoặc, F(^c0)eF(x) +V-C), VXGƯ r\domF. ii) Nếu Y = M, С = = {x e к. : X > 0j thì một ánh xạ đa trị F là с - liên tục tại x0 G D khi và chỉ khi F là ánh xạ nửa liên tục dưới tại Jt0, một ánh xạ đơn trị F là (-C) - liên tục tại x 0 e D khi và chỉ khi F là nửa liên tục trên tại JC0 (ở đây -С = М_=|л;еМ: x<0}). Cho F : D^Y là một ánh xạ đa trị và с a Y là một nón lồi, đóng. Khi đó: 1) Neu F là С - liên tục trên tại JC0 Gcỉom F và F ( x 0 ) + C là tập đóng, thì với mọi dãy x ß — > x 0 , y ß e F ^ x ß ^ + C , y ß — > y 0 ta có J0ef(j0) + C. Ngược lại, nếu F là compắc và với mọi dãy Xß —>x0, y ß e ^(*0) + c, y ß —» % ta có ỵ ữ G F(x0) + с thì F là с - /ỉềw Шс trên tại JC 0 . 1 [...]... xy ra vi mi b G y GT^a,b^j Bi toỏn (VR) c gi l bi toỏn quan h bin phõn, trong ú cỏc ỏnh x a tr 5,, S2, T l cỏc rng buc v R l mt quan h bin phõn Quan h R thng c xỏc nh bi cỏc ng thc v bõt ng thc ca cỏc hm thc, hoc bi nhng bao hm thc v giao ca cỏc ỏnh x a tr Tip theo ta xột mt s vớ d v nhng bi toỏn c bn ca bi toỏn quan h bin phõn: 2.2 Vớ d v bi toỏn quan h bin phõn Vớ d 2.2.1 (Bi toỏn ti u) Gi s Z,Q, ... a e coG Chng 2 Bi toỏn quan h bin phõn Trong chng ny trỡnh by v bi toỏn quan h bin phõn, kớ hiu l (VR) (Variational relation) c GS inh Th Lc nghiờn cu trong ti liu [7] Bi toỏn ny cho ta mt cỏch tip cn thng nht nghiờn cu cỏc mụ hỡnh khỏc nhau ca lý thuyt ti u a tr, lý thuyt cõn bng v bao hm thc bin phõn Mt trong cỏc kt qu quan trng ca chng 2 l nh lý v s tn ti nghim ca bi toỏn quan h bin phõn (nh lý... l trng hp riờng ca bi toỏn (VR) khi ta nh ngha quan h R nh trờn 2.3 Cỏc iu kin tn ti nghm ca bi toỏn quan h bin phõn e nghiờn cu s tn ti nghim ca bi toỏn quan h bin phõn (VR), ta nh ngha ỏnh x a tr P : B ^ A nh sau: p ( b ) = [ A \ s ; ' ( b ) ] u a G A : a e Sj (), /?(a, b , xy ra V e T (, Z?) Trc ht ta chng minh mt s nh lý v s tn ti nghim ca bi toỏn quan h bin phõn (VR) da trờn s tng giao khỏc rng... y e X Ta nh ngha mt quan h R nh sau: R ( a , b , ) xy ra nu v ch nu f ( ) - f ( a ) > 0 Khi ú bi toỏn ti u l trng hp riờng ca bi toỏn (VR) vi quan h R c nh ngha nh trờn Vớ d 2.2.2 (Bi toỏn cõn bng) Gi s X l mt tp khỏc rng, : X x X ^ R Gi s A = B = Y = X , S ỡ ( a ) = X , S 2 ( a ) = X v T ( a , b ) = { b } vi mi a , b e X Bi toỏn t ra l tỡm Xe X sao cho {, > 0, vi mi e X Quan h bin phõn R c... chng minh mt s iu kin cho s tn ti nghim ca cỏc bi toỏn trong lý thuyt ti u 2.1 Bi toỏn quan h bin phõn Trong sut mc ny, ta luụn xột A, B, Y l cỏc tp khỏc rng Xột 5,: A A, S 2 \ A = B , T : A X B ^ Y l cỏc ỏnh x a tr cú giỏ tr khỏc rng Gi s b, j) cz A x B x Y l mt quan h ba ngụi gia a e A,b e B, y Nu ba phn t ny cú quan h R ta núi rng R(a,b, xy ra Xột bi toỏn sau, c kớ hiu l (VR) Tỡm a e A sao cho:... toỏn cõn bng l trng hp riờng ca bi toỏn (VR) vi quan h R c nh ngha nh trờn Vớ d 2.2.3 (Bi toỏn bao hm thc bin phõn) Cho , B, Y 0, S : A =4 , S2 :A^ , T : A x B ^ l cỏc ỏnh x a tr cú tp giỏ tr khỏc rng Xột F, G l cỏc ỏnh x a tr trờn A x B x Y ly giỏ tr trong khụng gian z Bi toỏn bao hm thc bin phõn l: Tỡm X G X sao cho X e5j(x) v vi _yex,ố ta cú F|,bjcG,j Quan h R c nh ngha l: b , y) xy ra nu v ch nu... khỏc rng ca X nh ngha 2.3.2 Quan h R c gi l KKM nu vi mi tp con hu hn a,, ,a k} ca A v vi mi t hp loi a ca a 9 9 a k , ta tỡm c ch s } sao cho /?( . nghiệm của bài toán quan hệ biến phân và các kết quả mới cho các bài toán liên quan. 3. Nhiệm vụ nghiên cún Nghiên cứu bài toán quan hệ biến phân, phát biểu bài toán quan hệ biến phân, chứng minh. về sự tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân, mối liên hệ giữa bài toán quan hệ biến phân và các bài toán tựa tối ưu, bài toán bao hàm thức tựa biến phân và bài toán cân bằng tống quát. 3 5 tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân, đồng thời đưa ra một số ứng dụng và ví dụ về các bài toán liên quan. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cún Bài toán quan hệ biến phân, định lý về sự