Phương trình Liénard suy rộng

Phương trình vi phân là một phương trình toán học nhằm biểu diễn mối quan hệ giữa một hàm chứa biến với các đạo hàm của nó (có bậc khác nhau), nó được coi như cầu nối giữa lí thuyết và ứng dụng. Vì vậy, nó là một chuyên ngành quan trọng của Toán học và là môn học được giảng dạy rộng rãi ở các trường đại học trong và ngoài nước. Vai trò quan trọng cũng như động lực phát triển của phương trình vi phân là chú trọng đến ứng dụng của nó trong thực tiễn. Vì thế, xuất phát từ các bài toán của vật lí, cơ học, kĩ thuật hoặc sinh thái học quần thể,... dẫn đến việc nghiên cứu các phương trình vi phân, đặc biệt là các phương trình ôtônôm phi tuyến. Trong số các phương trình này, Phương trình Liénard có một vị trí quan trọng, xuất phát từ bài toán thực tiễn trong mạch điện. Mục tiêu của khóa luận này là trình bày quá trình thiết lập phương trình và một số kết quả về sự tồn tại nghiệm, nghiệm tuần hoàn và tính ổn định của nghiệm dừng của phương trình đó.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN-TIN ———————o0o——————— KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐỀ TÀI: PHƯƠNG TRÌNH LIÉNARD SUY RỘNG Chuyên ngành: Giải tích Sinh viên thực hiện: TRẦN THỊ TUYẾT MAI HÀ NỘI - 2016 Mục lục LỜI MỞ ĐẦU KIẾN THỨC CẦN CHUẨN BỊ 1.1 Định lí tồn nghiệm phương trình vi phân 1.2 Tiêu chuẩn ổn định nghiệm phương trình vi phân 1.2.1 Khái niệm ổn định theo nghĩa Lyapunov 1.2.2 Tính ổn định hệ phi tuyến: Phương pháp hàm Lyapunov 1.2.3 Nguyên lí bất biến LaSalle 1.3 Định lí tồn không tồn nghiệm tuần hoàn 1.3.1 Tiêu chuẩn Bendixson 1.3.2 Tiêu chuẩn Poincaré-Bendixson PHƯƠNG TRÌNH LIÉNARD SUY RỘNG 2.1 Thiết lập phương trình Liénard 2.2 Sự tồn nghiệm địa phương 2.3 Tính ổn định nghiệm dừng 2.4 Sự tồn không tồn nghiệm tuần hoàn 4 5 9 10 11 11 13 14 16 KẾT LUẬN 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO 21 LỜI MỞ ĐẦU Phương trình vi phân phương trình toán học nhằm biểu diễn mối quan hệ hàm chứa biến với đạo hàm (có bậc khác nhau), coi cầu nối lí thuyết ứng dụng Vì vậy, chuyên ngành quan trọng Toán học môn học giảng dạy rộng rãi trường đại học nước Vai trò quan trọng động lực phát triển phương trình vi phân trọng đến ứng dụng thực tiễn Vì thế, xuất phát từ toán vật lí, học, kĩ thuật sinh thái học quần thể, dẫn đến việc nghiên cứu phương trình vi phân, đặc biệt phương trình ôtônôm phi tuyến Trong số phương trình này, Phương trình Liénard có vị trí quan trọng, xuất phát từ toán thực tiễn mạch điện Mục tiêu khóa luận trình bày trình thiết lập phương trình số kết tồn nghiệm, nghiệm tuần hoàn tính ổn định nghiệm dừng phương trình Nội dung khóa luận gồm hai chương: • Chương trình bày định lí tồn nghiệm, tính nghiệm; đưa lí thuyết định tính nghiệm phương trình vi phân bao gồm lí thuyết ổn định Lyapunov, lí thuyết tập giới hạn, tập bất biến miền hút Ngoài chương trình bày tiêu chuẩn ổn định nghiệm dừng bao gồm định lí ổn định không ổn định Lyapunov, nguyên lí bất biến LaSalle Ở cuối chương định lí Bendixson định lí Poincaré-Bendixson • Chương trình bày trình thiết lập phương trình Liénard gốc từ toán thực tiễn đưa phương trình Liénard mở rộng; xét tồn tạị nghiệm tính ổn định nghiệm dừng phương trình mở rộng Và cuối chương chứng minh tồn nghiệm tuần hoàn phương trình Liénard suy rộng với điều kiện phù hợp Trong trình làm khóa luận này, tham khảo giáo trình [1] báo [2] Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến trường Đại học Sư phạm Hà Nội, khoa Toán-Tin, quý thầy cô Bộ môn Giải tích tận tình giảng dạy, hướng dẫn, tạo điều kiện cho em suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành khóa luận Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS.TS Cung Thế Anh dành thời gian quý báu nhiệt tình hướng dẫn, giúp đỡ động viên em trình làm khóa luận Mặc dù thân có nhiều cố gắng lực kinh nghiệm nghiên cứu khoa học hạn chế nên tránh khỏi sai sót khóa luận Kính mong bảo thầy giáo, cô giáo bạn quan tâm Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 20 tháng 04 năm 2016 Trần Thị Tuyết Mai Chương KIẾN THỨC CẦN CHUẨN BỊ Trong chương này, xin trình bày số định lí tồn nghiệm, tiêu chuẩn ổn định nghiệm dừng điều kiện tồn nghiệm tuần hoàn [1] Các kiến thức chuẩn bị phục vụ cho việc nghiên cứu nghiệm phương trình Liénard mở rộng trình bày chương sau 1.1 Định lí tồn nghiệm phương trình vi phân Xét toán giá trị ban đầu x˙ = f (t, x) x(t0 ) = x0 , (1.1) f : D −→ Rn hàm liên tục tập D ⊂ R × Rn chứa (t0 , x0 ) Một hàm x : I −→ Rn xác định khoảng I chứa t0 gọi nghiệm toán giá trị ban đầu (1.1) x(t0 ) = x0 , (t, x(t)) ∈ D, x(t) hàm khả vi x(t) ˙ = f (t, x(t)), với t ∈ I Dễ thấy x(t) nghiệm toán (1.1) nghiệm liên tục phương trình tích phân t x(t) = x0 + f (s, x(s))ds (1.2) t0 Trong mục này, ta nhắc lại số kết tồn nghiệm toán (1.1) Định lí 1.1.1 (Định lí Picard-Lindelof) Giả sử f : [t0 − a, t0 + a] × B(x0 , b) −→ Rn hàm liên tục thỏa mãn điều kiện Lipschitz x theo t, tức f (t, x) − f (t, y) ≤ L x − y , ∀(t, x), (t, y) ∈ [t0 − a, t0 + a] × B(x0 , b), giả sử f (t, x) ≤ M, ∀(t, x) ∈ [t0 − a, t0 + a] × B(x0 , b) Trong B(x0 , b) hình cầu đóng tâm x0 bán kính b Rn Khi toán giá trị ban đầu (1.1) có nghiệm (x(t)) xác định đoạn b [t0 − α, t0 + α], với α = a, M Chú ý a) Nếu bỏ giả thiết f liên tục Lipschitz biến x, nghiệm toán (1.1) không Ví dụ :Xét toán x˙ = 3x , x(0) = Gần điểm t0 = toán có hai nghiệm x(t) = x(t) = t3 Nguyên nhân gần 0, vế phải không thỏa mãn điều kiện Lipschitz b) Giả thiết f liên tục Lipschitz đối vói biến x thỏa mãn ∂f f (t, ·) có đạo hàm riêng (t, ·), i = 1, , n, liên tục bị chặn ∂xi t Ta thường sử dụng hệ quan trọng sau ∂f ∂f ∂f , , , hàm liên tục ∂x1 ∂x2 ∂xn tập mở D ⊂ R × Rn (t0 , x0 ) ∈ D Khi đó, toán (1.1) có nghiệm xác định lân cận t0 Hệ 1.1.2 Giả sử f 1.2 1.2.1 Tiêu chuẩn ổn định nghiệm phương trình vi phân Khái niệm ổn định theo nghĩa Lyapunov Xét hệ phương trình vi phân x˙ = f (t, x), t ≥ 0, (2.1) x(t) ∈ Rn vectơ trạng thái hệ, f : R+ × Rn → Rn hàm vectơ cho trước Giả thiết f (t, x) hàm thỏa mãn điều kiện cho nghiệm hệ (2.1) với điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 , t0 ≥ 0, tồn Định nghĩa 1.2.1 Giả sử x(t) nghiệm hệ (2.1) xác định khoảng [t0 , +∞) a) Nghiệm x(t) gọi ổn định khoảng [t0 , +∞) với số ε > 0, tồn δ > cho nghiệm y(t) với y(t0 ) − x(t0 ) < δ tồn khoảng [t0 , +∞) thỏa mãn y(t) − x(t) < ε, ∀t ≥ t0 b) Nghiệm x(t) gọi ổn định tiệm cận khoảng [t0 , +∞) ổn định tồn β > cho nghiệm y(t) với y(t0 ) − x(t0 ) < β thỏa mãn lim t→+∞ 1.2.2 y(t) − x(t) = Tính ổn định hệ phi tuyến: Phương pháp hàm Lyapunov Trong mục ta trình bày phương pháp đề xuất Lyapunov, để xét tính ổn định điểm cân (không giảm tính tổng quát, ta coi điểm cân gốc tọa độ 0) Xét hệ vi phân ôtônôm x˙ = f (x), (2.2) f hàm liên tục tập mở D ⊂ Rn chứa f (0) = Nghiệm hệ (2.2) gọi trạng thái dừng trạng thái cân hệ Ta xét tính ổn định nghiệm Định nghĩa 1.2.2 Nghiệm hệ (2.2) gọi ổn định mũ tồn số dương γ, β, c cho với nghiệm x(t) (2.2): x(0) < β kéo theo x(t) < ce−γt với t > 0, nói riêng, yêu cầu nghiệm tồn khoảng [t0 , +∞) Cho hàm giá trị thực V ∈ C (D), ta định nghĩa V˙ := (gradV (x), f (x)) = f1 (x)Vx1 (x) + + fn Vxn (x) Dễ thấy V˙ đạo hàm V theo hướng (không chuẩn hóa) f : V˙ (x) = lim [V (x + tf (x)) − V (x)] t→0 t d Có thể kiểm tra x(t) nghiệm (2.2) V (x(t)) = dt V˙ (x(t)), V˙ thường gọi đạo hàm V dọc theo quỹ đạo Công thức dùng để nhận thông tin dáng điệu V dọc theo quỹ đạo mà không cần biết trước nghiệm Một hàm Lyapunov hệ (2.2) hàm V ∈ C (D) thỏa mãn V (0) = 0, V (x) > với x = 0, V˙ (x) ≤ D Định lí 1.2.3 (Định lí ổn định Lyapunov) Giả sử f ∈ C(D) với f (0) = tồn hàm Lyapunov V hệ (2.2) Khi a) Nếu V˙ ≤ D nghiệm hệ (2.2) ổn định; b) Nếu V˙ < D \ {0} nghiệm hệ (2.2) ổn định tiệm cận; β c) Nếu V˙ ≤ −αV V (x) ≥ b x hệ (2.2) ổn định mũ D với α, β, b > nghiệm Định lí 1.2.4 (Định lí tính không ổn định) Giả sử V ∈ C (D), V (0) = V (xk ) > với dãy {xk } D \ {0} mà xk −→ Nếu V˙ > với x = V˙ ≥ λV D với λ > 0, nghiệm (2.2) không ổn định Nói riêng, nghiệm khộng ổn định V (x) > V˙ (x) > với x = 1.2.3 Nguyên lí bất biến LaSalle Tập giới hạn tập bất biến Xét phương trình vi phân ôtônôm x˙ = f (x), (2.3) f hàm liên tục Lipschitz địa phương tập mở D ⊂ Rn Nghiệm x(t) với điều kiện ban đầu x(0) = x0 kí hiệu x(t, t0 ) Nghiệm tồn khoảng cực đại J = (t− , t+ ) với −∞ ≤ t− < < t+ ≤ +∞ sinh quỹ đạo γ = x(J) Các tập hợp γ + = x([0, t+ )) γ − = x((t− , 0]) gọi tương ứng nửa quỹ đạo dương nửa quỹ đạo âm Một điểm a ∈ Rn gọi điểm ω -giới hạn t+ = +∞ tồn dãy tk → +∞ cho lim x(tk ) = a Tập hợp L+ gồm tất điểm k→∞ ω -giới han gọi tập ω -giới han Tương tự, điểm a ∈ Rn gọi điểm α-giới hạn t− = −∞ tồn dãy tk → −∞ cho lim x(tk ) = a Tập hợp L− gồm tất k→∞ điểm α-giới han gọi tập α-giới han Ta thường dùng kí hiệu ω(A) α(A) để tập ω -giới hạn α-giới hạn A Một tập M ⊂ D gọi bất biến (tương ứng bất biến dương, bất biến âm) phương trình vi phân (2.3) γ(M ) ⊂ M (tương ứng γ + (M ) ⊂ M, γ − (M ) ⊂ M ) Miền hút Xét lại hệ (2.3) với f hàm liên tục Lipschitz địa phương tập mở D ⊂ Rn chứa Nếu f (0) = điểm cân x = ổn định tiệm cận tập hợp η ∈ D cho nghiệm tương ứng x(t, η) −→ t −→ +∞ lân cận gốc tọa độ Tập gọi miền hút Nguyên lí bất biến LaSalle Định lí 1.2.5 (Nguyên lí bất biến LaSalle ) Giả sử Ω ⊂ D tập compact, bất biến dương phương trình x˙ = f (x) Giả sử V : D −→ R hàm khả vi liên tục cho V˙ (x) ≤ Ω Giả sử E tập điểm Ω mà V˙ (x) = M tập bất biến lớn E Khi Ω chứa miền hút M , tức với x0 ∈ Ω, lim dist(x(t, x0 ), M ) = t→+∞ Khác với Định lí Lyapunov, Định lí 1.2.5 không yêu cầu tính xác định dương hàm V (x) Việc xây dựng tập Ω không thiết phải gắn liền với việc xây dựng hàm V (x) Nếu Ωc = {x ∈ Rn : V (x) ≤ c} bị chặn V˙ (x) ≤ Ωc , ta lấy Ω = Ωc Định lí 1.2.6 (Định lí ổn định LaSalle) Giả sử f hàm liên tục Lipschitz địa phương D với f (0) = V ∈ C (D) hàm Lyapunov f Nếu M = {0} tập bất biến lớn tập N = {x ∈ D : V˙ (x) = 0}, điểm cân ổn định tiệm cận Định lí 1.2.7 (Định lí không ổn định Cetaev-Krasovsky) Giả sử f thỏa mãn giả thiết định lí ổn định LaSalle giả sử G tập mở D với ∈ ∂G Giả sử hàm V ∈ C (G) ∩ C(G) thỏa mãn điều kiện sau : a) V > G , V = ∂G ∩ D; b) V˙ ≥ G Nếu tập rỗng tập bất biến tập hợp N = {x ∈ G : V˙ (x) = 0} điểm cân không ổn định 1.3 1.3.1 Định lí tồn không tồn nghiệm tuần hoàn Tiêu chuẩn Bendixson Xét hệ phương trình vi phân miền D ⊂ R2 : x˙ = f (x, y) y˙ = g(x, y) (2.4) Ta có dấu hiệu sau để nhận biết không tồn nghiệm tuần hoàn hệ Định lí 1.3.1 (Tiêu chuẩn Bendixson) Giả sử D ⊂ R2 miền đơn liên, f g hàm khả vi liên tục D Hệ (2.4) có nghiệm tuần hoàn ∇ · (f, g) đổi dấu D ∇ · (f, g) = D 1.3.2 Tiêu chuẩn Poincaré-Bendixson Xét phương trình x˙ = f (x), (2.5) với x ∈ R2 f : R2 −→ R2 có đạo hàm riêng cấp liên tục ta giả sử nghiệm xét tồn với −∞ < t < +∞ Định lí 1.3.2 (Poincaré-Bendixson) Xét phương trình x˙ = f (x) R2 giả sử γ + quỹ đạo dương bị chặn ω(γ + ) chứa điểm thường Khi ω(γ + ) quỹ đạo tuần hoàn Nếu ω(γ + ) = γ + quỹ đạo tuần hoàn gọi chu trình giới hạn Khẳng định tương tự quỹ đạo âm bị chặn Trong thực hành, để áp dụng Định lí Poincaré-Bendixson ta phải tìm miền D R2 chứa điểm thường phải tìm quỹ đạo với t ≥ vào miền D không rời khỏi Khi D phải chứa quỹ đạo tuần hoàn 10 Chương PHƯƠNG TRÌNH LIÉNARD SUY RỘNG Nhiều toán vật lí, học, kĩ thuật, sinh học dẫn đến việc nghiên cứu phương trình vi phân Trong chương này, trình bày mô hình toán học mạch điện dẫn đến phương trình Liénard mở rộng tính chất định tính nghiệm phương trình 2.1 Thiết lập phương trình Liénard Xét mạch điện gồm điện trở R, cuộn cảm L tụ điện C mắc nối tiếp sau : α R C γ β L Trong mạch ta cho dòng điện chạy qua nhánh Gọi iR , iL , iC dòng điện chạy qua R, L, C Định luật Krichhoff phát biểu : Tại nút(ngã rẽ) mạch điện tổng cường độ dòng điện chạy đến nút phải tổng cường độ dòng điện chạy khỏi nút Tức iR = iL = −iC 11 Trạng thái mạch điện đặc trưng dòng điện i điện áp qua nhánh Kí hiệu điện áp là: VR , VL , VC Ta có VR = V β − Vα , VL = Vα − Vγ , VC = Vβ − Vγ ⇒ VR + VL − VC = Vβ − Vα + Vα − Vγ − Vβ + Vγ = Điện trở nhánh R áp đặt "quan hệ hàm" iR VR sau VR = G(iR ), F ∈ C (R) Tiếp theo ta xét chuyển thời gian trạng thái vật lí (i(t), V (t)) = (iR (t), iL (t), iC (t), VR (t), VL (t), VC (t)) • Cuộn cảm Theo định luật Faraday, từ trường biến thiên theo thời gian tạo điện cuộn dây VL Với từ dung ( độ tự cảm )L không đổi theo thời gian VL (t) = L diL (t) dt • Tụ điện Đặt vào hai cực dẫn điện tụ điện điện áp cực tích điện tích trái dấu Khoảng không gian tích lũy điện trường phụ thuộc vào hệ số C (điện dung) dương, không đổi theo thời gian dVC (t) C = iC (t) dt Ta có L diL (t) = VL = VC − VR = VC − G(iR ) = VC − G(iL ) dt iR = iL Và C dVC (t) = iC = −iL dt 12 Coi L = C = Ta kí hiệu x = iL y = VC Ta có hệ sau  dx   = y − G(x) dt   dy = −x dt hay dạng tương đương x¨ + g(x)x˙ + x = 0, g(x) = G (x) Đây dạng phương trình Liénard, trường hợp riêng phương trình Liénard suy rộng sau : x¨ + g(x)x˙ + h(x) = *Chú ý Đặc biệt, g(x) = x3 − x, h(x) = x ta có phương trình Van der Pol, coi ví dụ phương trình vi phân phi tuyến không tầm thường 2.2 Sự tồn nghiệm địa phương Xét phương trình Liénard suy rộng x¨ + g(x)x˙ + h(x) = 0, g, h hàm Lipschitz địa phương Ta chứng minh phương trình có nghiệm với điều kiện ban đầu cho trước Thật vậy, ta viết lại phương trình dạng hệ cấp x˙ = y = f1 (x, y) y˙ = −g(x).y − h(x) = f2 (x, y) Đặt X˙ = F (X), X = x y , F (X) = hàm liên tục 13 f1 (x, y) f2 (x, y) Khi F (X) • Với (x1 , x2 ), (y1 , y2 ) ∈ tập bị chặn B ⊂ R2 , ta có |f1 (x1 , y1 ) − f1 (x2 , y2 )| = |y1 − y2 | Chọn L(B) = suy |f1 (x1 , y1 ) − f1 (x2 , y2 )| ≤ L(B)(|x1 − x2 | + |y1 − y2 |) ∀(x1 , x2 ), (y1 , y2 ) ∈ B • Do g, h Lipschitz địa phương, ta có |g(x1 ) − g(x2 )| ≤ c1 |x1 − x2 | |h(x1 ) − h(x2 )| ≤ c2 |x1 − x2 |, ∀(x1 , x2 ), (y1 , y2 ) ∈ B Và : |f2 (x1 , y1 ) − f2 (x2 , y2 )| = | − g(x1 ).y1 − h(x1 ) + g(x2 ).y2 + h(x2 )| = |(−g(x1 )y1 + y1 g(x2 )) + (g(x2 ).y2 − g(x2 ).y1 ) + (h(x2 ) − h(x1 ))| ≤ |c1 y1 |x1 − x2 | + g(x2 )(y2 − y1 ) + c2 |x1 − x2 || ≤ |c1 y1 + c2 ||x1 − x2 | + |g(x2 )||y2 − y1 | Do (y1 , y2 ) ∈ B bị chặn nên |c1 y1 + c2 | ≤ δ1 Lại có g Lipschitz địa phương suy g bị chặn Khi |g(x2 )| ≤ δ2 Đặt L(B) = max(δ1 , δ2 ), ta có |f2 (x1 , y1 ) − f2 (x2 , y2 )| ≤ δ1 |x1 − x2 | + δ2 |y2 − y1 | ≤ L(B)(|x1 − x2 | + |y1 − y2 |)∀(x1 , x2 ), (y1 , y2 ) ∈ B Do F Lipschitz địa phương Suy phương trình Liénard suy rộng có nghiệm 2.3 Tính ổn định nghiệm dừng Xét phương trình Liénard suy rộng x¨ + g(x)x˙ + h(x) = 0, mô tả dao động, g(x)x˙ biểu diễn số hạng ma sát tuyến tính vận tốc h(x) mô tả lực đàn hồi, h(x) = −k.x với k hệ số đàn hồi (độ cứng vật) Giả sử g h hàm Lipschitz địa phương, g(x) > lực ma sát ngược hướng vectơ vận tốc 14 Ta viết lại phương trình dạng x˙ = y = f1 (x, y) y˙ = −g(x)y − h(x) = f2 (x, y) Rõ ràng hệ có điểm cân (0, 0) Đặt V (x, y) = y + R(x), x R(x) = h(s)ds Ta có : V (0, 0) = R(x) = xh(x), giả sử xh(x) > với x = Suy V (x, y) > 0, ∀(x, y) = (0, 0) Đạo hàm dọc theo quỹ đạo V V˙ (x, y) = h(x)y + y[−g(x)y − h(x)] = −y g(x) Suy V hàm Lyapunov • Nếu g(x) ≥ suy V˙ ≤ Khi đó, theo định lí ổn định Lyapunov, điểm cân (0, 0) ổn định • Nếu g(x) > với x = Xét tập N = {(x, y) ∈ D : V˙ (x, y) = 0} ⇒ N = {(0, y), (x, 0)}∀(x, y) Hiển nhiên {(0, 0)} tập bất biến tập N f1 (0, 0) = f2 (0, 0) = Hơn nữa, ta thấy (x, 0) (0, y) không bất biến với x, y = nên {(0, 0)} tập bất biến lớn tập N Theo định lí ổn định LaSalle, điểm cân (0, 0) ổn định tiệm cận • Nếu g(x) < với x = Giả sử G = D \ {(0, 0)} , ∈ ∂G Rõ ràng V (x, y) > G; V = ∂G ∩ D V˙ ≥ D Xét tập M = {(x, y) ∈ G : V˙ (x, y) = 0} Suy M = {(x, 0), (0, y)}∀x, y = Mà (x, 0) (0, y) không bất biến với x, y = ⇒ M = ∅ 15 Theo Định lí không ổn định Cetaev-Krasovsky, điểm cân (0, 0) không ổn định 2.4 Sự tồn không tồn nghiệm tuần hoàn Trong phần này, trình bày số kết tồn không tồn nghiệm tuần hoàn phương trình Liénard mở rộng với số điều kiện cho trước Nội dung mục viết dựa tài liệu [1], [2] phần tài liệu tham khảo a) Sự không tồn nghiệm tuần hoàn Xét phương trình Liénard suy rộng x¨ + g(x)x˙ + h(x) = Ta giả sử g, h hàm trơn g(x) > 0∀x ∈ R Đặt x = x, x˙ = y , ta có hệ sau x˙ = y = f (x, y) y˙ = −h(x) − g(x)y = g(x, y) Ta có ∇ · (f, g) = −g(x) < Theo tiêu chuẩn Bendixson, phương trình nghiệm tuần hoàn b) Sự tồn nghiệm tuần hoàn Xét phương trình Liénard suy rộng x¨ + g(x)x˙ + h(x) = 0, (4.1) g(x) h(x) hàm liên tục R thỏa mãn tính chất sau đây: a) g(x) h(x) hàm giá trị thực h(x) hàm Lipschitz địa phương; 16 b) g(0) < tồn δ > cho g(x) > |x| > δ; c) xh(x) > x = 0; d) min{limx→+∞ sup(h(x)/g(x)), limx→−∞ sup(|h(x)|/g(x))} < +∞, e) tồn tạị h ≥ δ b ≥ cho g(x) + |h(x)| > b > |x| > h Khi phương trình Liénard suy rộng có nghiệm tuần hoàn Chứng minh: Tính chất (a) đảm bảo tồn nghiệm phương trình (4.1) Bây ta đưa phương trình dạng x˙ = y y˙ = −g(x)y − h(x) Từ g(0) < 0, lân cận điểm gốc ta có g(x) < Sau đó, ta so sánh với phương trình x¨ + h(x) = Từ suy gốc tọa độ điểm đẩy địa phương từ tính chất (c) suy điểm tới hạn khác Bây xem xét điểm phẳng pha y˙ = x˙ = 0, điểm mà đường tiếp tuyến tới quỹ đạo hệ thống pha x˙ = y y˙ = −g(x)y − h(x), −h(x) g(x) Do tính chất (b), có điểm mà g(x) triệt tiêu hết Giả sử δ1 < bé δ2 < lớn tiến dần (khi δ ≥ max{|δ1 |, δ2 }) −h(x) −h(x) Ta có limx→δ1− = +∞ limx→δ2+ = −∞ g(x) g(x) −h(x) Giả sử ∆1 đồ thị hàm u1 (x) = với x ∈ (−∞, δ1 ).Và g(x) nằm ngang Đó điểm cho y = 17 −h(x) với x ∈ (δ2 , +∞) Đường cong g(x) ∆1 , ∆2 chia mặt phẳng pha thành miền Tính chất (d) đảm bảo (i)u1 (x) bị chặn x −→ −∞ (ii)u2 (x) bị chặn x −→ +∞ Chúng ta giả sử (i) (với trường hợp (ii) tương tự) Từ u1 (x) > tính chất, chọn điểm α ∆1 cho hoành độ xα nằm phía bên trái δ1 tung độ lớn giá trị u1 (x) x < xα ∆2 đồ thị hàm u2 (x) = G(x, y) = −g(x)y − h(x) ∂G(x, y) = −g(x), chứng minh với giá ∂y trị cố định x không thuộc đoạn [δ1 , δ2 ], y˙ = G(x, y) hàm giảm y Quỹ đạo qua điểm α đến từ vô cùng, không cắt trục hoành trước gặp điểm α = (xα , u1 (xα )) ∈ ∆1 Từ dy y˙ h(x) = = −g(x) − (4.2) dx x˙ y Từ kéo theo quỹ đạo đường tiệm cận thẳng đứng, bị chặn cách xa trục Ox cắt trục Oy Bằng lập luận tương tự, ta chứng minh quỹ đạo sau vào nửa mặt phẳng x > 0, cắt Ox nửa khoảng < x ≤ δ2 , cắt đường thẳng x = δ2 Ở trường hợp sau, y(x) giảm sau x = δ2 ; tính chất (e) không cho phép tồn tiệm cận ngang nên quỹ đạo cuối phải qua Ox x > δ2 Quỹ đạo nằm nửa mặt phẳng y < Do (4.2), quỹ đạo phải qua Oy số điểm y < Sau này, từ tính chất (e), quỹ đạo cắt Ox khoảng (δ1 , 0) số giá trị x ≤ δ1 Ở trường hợp sau, quỹ đạo cắt đường cong ∆1 tung độ điểm cắt phải nhỏ supu1 (x) với −∞ < x < xα Cuối cùng, quỹ đạo phải giữ nguyên phần phía đồ thị ∆1 y(x) hàm giảm ∆1 Trong trường hợp đó, kết luận quỹ đạo bị chặn 18 Trong trường hợp u2 (x) bị chặn, cách giải tương tự xuất phát từ điểm β ∈ ∆2 , với hoành độ xβ > δ2 Chúng ta xuất phát t = từ điểm α (hoặc β ), (x(t), y(t)) quỹ đạo bị chặn t > Tập giới hạn compact khác rỗng Từ điểm tới hạn nhất, kết luận tập giới hạn quỹ đạo đóng Do đó, (4.1) có nghiệm tuần hoàn 19 KẾT LUẬN Trong khóa luận này, nghiên cứu tồn số tính chất định tính nghiệm phương trình Liénard suy rộng Các kết trình bày khóa luận bao gồm • Thiết lập phương trình Liénard; • Sự tồn nghiệm địa phương; • Tính ổn định nghiệm dừng 0; • Một số điều kiện đủ cho tồn không tồn nghiệm tuần hoàn 20 Tài liệu tham khảo [1] Cung Thế Anh, Cơ sở lí thuyết phương trình vi phân, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội, 2015 [2] G.C Rota, Periodic solutions of Liénard’s equation, Journal of Mathemtical Analysis and Applications 86(1982), 379-382 21 [...]... G (x) Đây là một dạng của phương trình Liénard, là trường hợp riêng của phương trình Liénard suy rộng sau : x¨ + g(x)x˙ + h(x) = 0 *Chú ý Đặc biệt, nếu g(x) = x3 − x, h(x) = x ta có phương trình Van der Pol, có thể được coi là một trong những ví dụ cơ bản nhất của phương trình vi phân phi tuyến không tầm thường 2.2 Sự tồn tại nghiệm địa phương Xét phương trình Liénard suy rộng x¨ + g(x)x˙ + h(x) =... Lại có g là Lipschitz địa phương suy ra g bị chặn Khi đó |g(x2 )| ≤ δ2 Đặt L(B) = max(δ1 , δ2 ), ta có |f2 (x1 , y1 ) − f2 (x2 , y2 )| ≤ δ1 |x1 − x2 | + δ2 |y2 − y1 | ≤ L(B)(|x1 − x2 | + |y1 − y2 |)∀(x1 , x2 ), (y1 , y2 ) ∈ B Do đó F là Lipschitz địa phương Suy ra phương trình Liénard suy rộng có duy nhất nghiệm 2.3 Tính ổn định của nghiệm dừng Xét phương trình Liénard suy rộng x¨ + g(x)x˙ + h(x) =... LIÉNARD SUY RỘNG Nhiều bài toán của vật lí, cơ học, kĩ thuật, sinh học dẫn đến việc nghiên cứu các phương trình vi phân Trong chương này, chúng tôi trình bày một mô hình toán học trong mạch điện dẫn đến phương trình Liénard mở rộng và các tính chất định tính nghiệm của phương trình này 2.1 Thiết lập phương trình Liénard Xét mạch điện gồm một điện trở R, một cuộn cảm L và một tụ điện C mắc nối tiếp như sau... tồn tại nghiệm tuần hoàn Xét phương trình Liénard suy rộng x¨ + g(x)x˙ + h(x) = 0 Ta giả sử g, h là các hàm trơn và g(x) > 0∀x ∈ R Đặt x = x, x˙ = y , ta có hệ sau x˙ = y = f (x, y) y˙ = −h(x) − g(x)y = g(x, y) Ta có ∇ · (f, g) = −g(x) < 0 Theo tiêu chuẩn Bendixson, phương trình trên không có nghiệm tuần hoàn b) Sự tồn tại nghiệm tuần hoàn Xét phương trình Liénard suy rộng x¨ + g(x)x˙ + h(x) = 0, (4.1)... một số tính chất định tính nghiệm của phương trình Liénard suy rộng Các kết quả được trình bày trong khóa luận bao gồm • Thiết lập phương trình Liénard; • Sự tồn tại duy nhất nghiệm địa phương; • Tính ổn định của nghiệm dừng 0; • Một số điều kiện đủ cho sự tồn tại và không tồn tại nghiệm tuần hoàn 20 Tài liệu tham khảo [1] Cung Thế Anh, Cơ sở lí thuyết phương trình vi phân, NXB Đại học Sư phạm, Hà... Lipschitz địa phương; 16 b) g(0) < 0 và ở đó tồn tại δ > 0 sao cho g(x) > 0 khi |x| > δ; c) xh(x) > 0 khi x = 0; d) min{limx→+∞ sup(h(x)/g(x)), limx→−∞ sup(|h(x)|/g(x))} < +∞, e) tồn tạị h ≥ δ và b ≥ 0 sao cho g(x) + |h(x)| > b > 0 khi |x| > h Khi đó phương trình Liénard suy rộng có ít nhất một nghiệm tuần hoàn Chứng minh: Tính chất (a) đảm bảo sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình (4.1) Bây... chất (a) đảm bảo sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình (4.1) Bây giờ ta đưa phương trình trên về dạng x˙ = y y˙ = −g(x)y − h(x) Từ g(0) < 0, trên một lân cận của điểm gốc ta có g(x) < 0 Sau đó, ta có thể so sánh với phương trình x¨ + h(x) = 0 Từ đây suy ra gốc tọa độ là điểm đẩy địa phương và từ tính chất (c) suy ra không có điểm tới hạn nào khác Bây giờ chúng ta xem xét những điểm trên phẳng... tuần hoàn này gọi là một chu trình giới hạn Khẳng định tương tự cũng đúng đối với quỹ đạo âm bị chặn Trong thực hành, để áp dụng Định lí Poincaré-Bendixson ta phải tìm một miền D trong R2 chỉ chứa các điểm thường và phải tìm ít nhất một quỹ đạo với t ≥ 0 đi vào miền D và không rời khỏi nó Khi đó D sẽ phải chứa ít nhất một quỹ đạo tuần hoàn 10 Chương 2 PHƯƠNG TRÌNH LIÉNARD SUY RỘNG Nhiều bài toán của vật... ∈ G : V˙ (x, y) = 0} Suy ra M = {(x, 0), (0, y)}∀x, y = 0 Mà (x, 0) và (0, y) không bất biến với x, y = 0 ⇒ M = ∅ 15 Theo Định lí không ổn định Cetaev-Krasovsky, điểm cân bằng (0, 0) là không ổn định 2.4 Sự tồn tại và không tồn tại của nghiệm tuần hoàn Trong phần này, chúng tôi trình bày một số kết quả về sự tồn tại và không tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình Liénard mở rộng với một số điều... không tầm thường 2.2 Sự tồn tại nghiệm địa phương Xét phương trình Liénard suy rộng x¨ + g(x)x˙ + h(x) = 0, trong đó g, h là hàm Lipschitz địa phương Ta chứng minh phương trình trên có duy nhất nghiệm với điều kiện ban đầu cho trước Thật vậy, ta viết lại phương trình dưới dạng hệ cấp 1 x˙ = y = f1 (x, y) y˙ = −g(x).y − h(x) = f2 (x, y) Đặt X˙ = F (X), ở đó X = x y , F (X) = là hàm liên tục 13 f1 (x,