MÔ HÌNH TOÁN học CON lắc NGƯỢC

Cấu trúc động học chung của mô hình con lắc ngược được trình bày trên hình 1.1. Bộ phận cơ khí gồm một xe goòng nhỏ, trên đó có các bộ phận chính là tay đòn gắn con lắc có thể xoay tù do trên một trục ngang. Xe goòng đó được truyền động bởi một động cơ điện một chiều thông qua hệ thống Puly và dây đai có thể di chuyển trên đường ray phẳng trong phạm vi chuyển động giới hạn. Vị trí của xe goòng được điều khiển bởi hệ thống điều khiển số thông minh đảm bảo con lắc di chuyển và được giữ cân bằng

Chương I Mô hình toán học lắc ngược Chương I: MÔ HÌNH TOÁN HỌC CON LẮC NGƯỢC 1.1 Cấu tạo thông số lắc ngược Cấu trúc động học chung mô hình lắc ngược trình bày hình 1.1 Bộ phận khí gồm xe goòng nhỏ, có phận tay đòn gắn lắc xoay tù trục ngang Xe goòng truyền động động điện chiều thông qua hệ thống Puly dây đai di chuyển đường ray phẳng phạm vi chuyển động giới hạn Vị trí xe goòng điều khiển hệ thống điều khiển số thông minh đảm bảo lắc di chuyển giữ cân Đường ray có độ dài cố định điều kiện ràng buộc thuật toán điều khiển Encoder gắn trục puly cấu chuyển động sử dụng cho xác định vị trí tức thời xe goòng Góc quay lắc đo chiết áp xoay gắn trục quay lắc ngược § Hình 1.1 Cấu trúc động học mô hình lắc ngược Các thông số hệ thống lắc ngược: Chiều dài hành trình chuyển động (mm) 900 Chiều dài lắc quy đổi (mm) 162,5 Khối lượng xe (kg) 2,4 Khối lượng lắc quy đổi (Kg) 0,23 Bán kính puly (mm) 61,3 Tỉ sè truyền 15 Hiệu suất truyền 0,9 Động chiều 40VDC;0,7A;4000vg/ph Chương I Mô hình toán học lắc ngược 1.2 Xây dựng mô hình toán học lắc ngược Từ cấu tạo lắc ngược ta cần xây dựng mô hình toán học lắc ngược để phục vụ trình tổng hợp điều khiển mô máy tính cách xác Khi xây dựng mô hình toán học lắc ngược ta sử dụng nhiều phương pháp để tìm phương trình động lực học Ở ta sử dụng phương pháp thường sử dụng phương pháp Euler_Lagrange Để xác định phương trình động lực học lắc ngược trước hết ta cần tính quy đổi lắc y θ lt lp mc F x x mt mp ml Hình 1.2 Mô hình thông sè lắc ngược Tính quy đổi lắc khối tâm Theo hình 1.2 ta tính khối lượng khối tâm lắc vị trí khối tâm: mp = mt + ml lp = lt m t + 2m l 2( m t + m l ) (1.1) (1.2) Trong đó: mp: Khối lượng lắc quy đổi khối tâm lp: Khoảng cách từ tâm lắc đến điểm gốc Chương I Mô hình toán học lắc ngược ml: Khối lượng cần lắc ll: Chiều dài cần lắc mt: Khối lượng mt: Chiều dài Phương pháp Euler_Lagrange Phương pháp Euler_Lagrange phương pháp thường sử dụng để xác định phương trình động lực hệ theo công thức: d  ∂T  dt  ∂q i  ∂T  − = Q *i  ∂q i (1.3) Trong công thức (1.3): T: Tổng động hệ qi: Toạ độ suy rộng thứ i Q *i : Lực suy rộng tương ứng với tọa độ thứ i Lực suy rộng xác định theo công thức: Q *i = ∑ δA δq i (1.4) Trong đó: ∑ δA : Tổng công hệ Phương trình động lực học lắc ngược Phương trình động lực học lắc ngược xác định phương pháp Euler_Lagrange tọa độ suy rộng vị trí xe goòng( x) góc lệch lắc so với phương thẳng đứng(θ) a Tính động hệ T = T1 + T2 (1.5) Trong đó: T1: Động xe goòng T2: Động lắc Chương I Mô hình toán học lắc ngược Mx 2 1 T2 = m p v 2p + J pθ 2 T1 = (1.6) (1.7) Trong đó: vp: Vận tốc khối tâm lắc Jp: Momen quán tính lắc trục quay qua khối tâm v 2p = x 2p + y 2p (1.8) Trong công thức (1.8) xp, yp toạ độ khối tâm lắc xác định:  x p = x + l p sin θ    y p = l p cosθ (1.9) Từ (1.9) suy x p = x + l pθ cos θ   y p = −l pθ sin θ (1.10) Thay (1.10) vào (1.8) ta được: v 2p = ( x + l pθ cos θ ) + (−l pθ sin θ ) = x + 2l p x θ cos θ + l 2pθ (1.11) Từ ta có: 1 Mx + m( x + 2l p x θ cos θ + l 2pθ ) + J pθ 2 2 1 = (M + m) x + (J p + m p l 2p )θ + m p l p x θ cos θ 2 T= (1.12) b Tính lực suy rộng ∑ δA = Fδx − Ppδy (1.13) Với: y = l p cos θ hay δy = −l pδθ sin θ Suy ra: ∑ δA = Fδx + m p gl pδθ sin θ (1.14) Từ ta tính lực suy rộng: Chương I Mô hình toán học lắc ngược ∑ δA =F δx ∑ δA Q θ* = = m p l p g sin θ δθ Q *x = (1.15) (1.16) c Xác định phương trình động lực học hệ + Tính toạ độ suy rộng x: ∂T = (M + m) x + m p l pθ cos θ ∂x d  ∂T    = (M + m)x + m p l pθ cos θ − m p l pθ sin θ dt  ∂x  ∂T =0 ∂x Thay vào phương trình (1.3) ta được: (M + m)x + m l θ cos θ − m l θ sin θ = F p p p p (1.17) (1.18) (1.19) (1.20) + Tính tọa độ suy rộng θ: ∂T = (J p + m p l 2p )θ + m p l p x cosθ  ∂θ d  ∂T     = (J p + m p l p )θ + m p l p x cosθ − m p l p x θ sin θ dt  ∂θ  ∂T = −m p l p x θ sin θ ∂θ Thay vào phương trình (1.3) ta được: (J + m l )θ + m l x cos θ = m l g sin θ p p p p p p p (1.21) (1.22) (1.23) (1.24) Phương trình (1.20) (1.24) phương trình động lực học mô tả chuyển động lắc ngược tác động lực F Trong thực tế lắc ngược truyền động động chiều cần tính tới phần truyền động để có phương trình mô tả xác hệ thống phục vụ cho việc tổng hợp điều khiển mô hệ thống 1.3 Mô hình lắc ngược có xét đến phần truyền động 1.3.1 Mô hình đầy đủ Chương I Mô hình toán học lắc ngược Động chiều truyền động cho lắc ngược cấp nguồn từ băm xung áp, có hai mạch vòng dòng điện tốc độ Sơ đồ khối hệ thống trình bày hình 1.3 I* Gs(s) Gc(s) Gr(s) W§C Ia CLN w* KI  x Gw(s) Hình 1.2: Sơ đồ cấu trúc hệ thống lắc ngược xét đến phần truyền động Trong đó: Hàm truyền động cơ: WDC (s) = I a (s) + sTm = K1 U (s) (1 + sT1 )(1 + sT2 ) Bộ biến đổi: G r (s) = Kr + sTr Bộ điều chỉnh dòng điện: G c (s) = K c (1 + sTc ) sTc Bộ điều chỉnh tốc độ: G s (s) = K s (1 + sTs ) sTs Hàm truyền khâu phản hồi tốc độ: Chương I Mô hình toán học lắc ngược G ω (s ) = Kω + sTω Hệ số phản hồi dòng điện KI Mạch vòng dòng điện tổng hợp theo chuẩn tối ưu modul có coi gần khâu quán tính bậc nhất: I a (s) Ki = I * (s) + sTi Từ ta có sơ thu gọn: w* K s (1 + sTs ) sTs I* Ki + sTi Ia CLN Wi(s) Gc(s)  x Hω + sTω Gw(s) Hình 1.3: Sơ đồ cấu trúc gần hệ thống lắc ngược Ta cần xác định phương trình mô tả lắc ngược coi tín hiệu đầu vào tác động dòng điện Ia Momen sinh trục động cơ: M = KΦI a (1.25) M Hép truyÒn U Fk Hình 1.4: Mô hình động cơ- Puly Momen động quy đổi Puly làm việc: M ' = Miη (1.26) Với i tỉ số truyền η hiệu suất cấu Chương I Mô hình toán học lắc ngược Gọi Fk lực kéo xe goòng, momen lực Fk sinh ra: M k = Fk r (1.27) Với r bán kính Puly Phương trình II Newton động cơ: M − M c = J dc dω dt (1.28) Với Jdc Momen quán tính động Quy đổi phương trình (1.28) Puly: M '−M k = J qd dω ' dt (1.29) Trong đó: J qd = J dc i 2η (1.30) dω ' x = dt r (1.31) Từ ta tính được: Fk = i 2ηJ iη KΦI a − dc x r r (1.32) Thay vào phương trình (1.20) (1.24) ta có hệ phương trình mô tả chuyển động lắc ngược: i 2ηJ dc iη (M + m + )x + m p l pθ cos θ − m p l pθ sin θ = KΦI a r r (1.33) (J p + m p l 2p )θ + m p l p x cos θ = m p l p g sin θ (1.34) Đặt : x1 = x x = x x3 =θ x = θ (1.35) Chương I Mô hình toán học lắc ngược Thay vào (1.33) (1.34) ta có hệ phương trình: x = x  iη  − m p l p x cos x + m p l p x 24 sin x + KΦI a r x =  i η J dc  M+m+  r  x = x  − m p l p x cos x + m p l p g sin x x = J p + m p l 2p  (1.36) 1.3.2 Mô hình đơn giản hoá Khi điều chỉnh tốc độ dòng điện tổng hợp theo tiêu chuẩn tối ưu modul, hàm truyền kín hệ thống truyền động điện mô hình lắc: W ( p) = 1/ K d ω ( p) = U dω (p) + 2Tσ s + 2Tσ2 s (1.37) Trong đó: Kd: Hệ số phản hồi tốc độ Tσ: Hằng số thời gian hệ thống Có thể coi gần khâu quán tính bậc nhất: W ( p) = 1/ K d 1/ K d ω ( p) = = U dω (p) + 2Tσ s + Td s (1.38) Từ suy ra: ω (p)(1 + Td s) = U dω (p) / K d hay Td dω / dt + ω = U dω / K d (1.39) Ta có: dω M = dt J dc (1.40) Từ (1.39) (1.40) có được: Chương I Mô hình toán học lắc ngược Td M + ω = U dω / K d J dc ⇒ M= (1.41) J dc J U dω − dc ω K d Td Td (1.42) Kết hợp công thức (1.26), (1.27), (1.29), (1.30), (1.31), (1.42) ta có: J dc J dc i 2η i 2η  x iηU dω − x − Fk r = J dc K d Td Td r r (1.43) J dc iη J dc i 2η J dc i 2η x x − ⇒ Fk = K T r U dω − Td r r2 d d (1.44) Thay Fk từ (1.44) vào (1.20) ta được: (M + m)x + m p l pθ cos θ − m p l pθ sin θ = J dc iη J i 2η J i 2η U dϖ − dc x − dc x K d Td r Td r r Suy ra: i 2ηJ dc  cos θ − m l θ sin θ + J dc i η x = J dc iη U   ) x + m l θ (1.45) p p p p dω K d Td r r2 Td r (J p + m p l 2p )θ + m p l p x cos θ = m p l p g sin θ (1.46) (M + m + Đặt : x1 = x x = x x3 =θ x = θ (1.47) Thay vào (1.45) (1.46) ta có hệ phương trình: x = x  J dc i 2η J iη  − m p l p x cos x + m p l p x sin x − x + dc U dω  K d Td r Td r x = i 2ηJ dc  M+m+  r2  x = x  x = − m p l p x cos x + m p l p g sin x  J p + m p l 2p  (1.48) 10 Chương I Mô hình toán học lắc ngược Đặt: C1 = M + m + J dc i 2η r2 J dc i 2η C2 = Td r C3 = J dc iη K d Td r C = J p + m p l 2p Biến đổi (1.48) ta được: x = x  2 x = − C C x + C m p l p x sin x − gm p l p cos x sin x + C C U dω  C C − m 2p l 2p cos x  (1.49)   x = x   C m p l p x cos x − m 2p l 2p x 24 cos x sin x + C1 gm p l p sin x − C m p l p cos x U dω x =  C C − m 2p l 2p cos x Hệ phương trình tuyến tính hóa với góc lắc θ bé thì: cos x = cos θ ≈  sin x = sin θ ≈ θ = x  2 x = θ ≈ 2 Đặt C = C C − m p l p Thay vào (1.49) ta có hệ phương trình tuyến tính hóa: x = x  2 x = − C C x − gm p l p x + C C U dω  C5  x = x  C m l x + C1 gm p l p x − C m p l p U dω x = p p  C5 (1.50) Đặt ma trận: 11 Chương I Mô hình toán học lắc ngược 0  0   2 0 − C C − gm p l p    C5 C5 A=  0  0  C m l  C1gm p l p p p 0 0   C5 C5 C = [1 0    C C     C5  B=     C3m plp  −  C   x  x  X =  2 x    x  0] Y = x1 Mô hình toán học lắc ngược biểu diễn dạng hệ phương trình trạng thái tuyến tính hoá:  = AX + BU X dω  Y = CX (1.51) 12 [...]... góc lắc θ bé thì: cos x 3 = cos θ ≈ 1  sin x 3 = sin θ ≈ θ = x 3  2 2 x 4 = θ ≈ 0 2 2 Đặt C 5 = C 2 C 4 − m p l p Thay vào (1.49) ta có được hệ phương trình tuyến tính hóa: x 1 = x 2  2 2 x = − C 2 C 4 x 2 − gm p l p x 3 + C 3 C 4 U dω  2 C5  x 3 = x 4  C m l x + C1 gm p l p x 3 − C 3 m p l p U dω x 4 = 2 p p 2  C5 (1.50) Đặt các ma trận: 11 Chương I Mô hình toán học con lắc ngược. ..Chương I Mô hình toán học con lắc ngược Đặt: C1 = M + m + J dc i 2η r2 J dc i 2η C2 = Td r 2 C3 = J dc iη K d Td r C 4 = J p + m p l 2p Biến đổi (1.48) ta được: x 1 = x 2  2 2 2 x = − C 2 C 4 x 2 + C 4 m p l p x 4 sin...  0 0 1  0  C m l  C1gm p l p 2 p p 0 0   C5 C5 C = [1 0 0 0    C C  3 4    C5  B=  0    C3m plp  −  C 5   x 1  x  X =  2 x 3    x 4  0] Y = x1 Mô hình toán học của con lắc ngược được biểu diễn dưới dạng hệ phương trình trạng thái tuyến tính hoá:  = AX + BU X dω  Y = CX (1.51) 12