PHÒNG GD&ĐT CẨM GIÀNG TRƯỜNG THCS NGỌC LIÊN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2014-2015 MÔN:TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (Đề gồm có 01 trang) Câu 1:(3,0 điểm) 1) Tìm số nguyên x, y cho: (x - 1)(3 - y) = 2) Tìm tập hợp số nguyên x , biết : 5 ( − ) : (1 + + 20%) < x < 1 + 3 :2 11 21 3)Tìm số tự nhiên x biết 1 2013 + + + + = 10 x( x + 1) 2015 Câu II : (2,0điểm) 8a + 19 có giá trị số nguyên 4a + 2)Tìm cặp số (a,b) cho : 4a5b 45 1)Tìm số nguyên a để N = Câu III: (1,5 điểm) Ở lớp 6A, số học sinh giỏi học kỳ I loại giỏi nên số học sinh giỏi số lại Cuối năm có thêm học sinh đạt số lại Tính số học sinh lớp 6A Câu IV: (2,5 điểm) Trên đường thẳng xx’ lấy điểm O Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng xx’ vẽ tia Oy, Ot, Oz cho: Góc x’Oy = 400; góc xOt = 970; góc xOz = 540 a) Chứng tỏ tia Ot nằm hai tia Oy Oz b) Tia Ot có tia phân giác góc zOy không? Tại sao? Câu V( 1,0 điểm) Chứng minh với n ∈ N*, phân số 3n − phân số tối giản 4n − …………………….Hết……………… PHÒNG GD&ĐT CẨM GIÀNG TRƯỜNG THCS NGỌC LIÊN HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG NĂM HỌC 2014-2015 MÔN: TOÁN LỚP Hướng dẫn chấm gồm 03 trang Câu Phần Nội dung Điểm 1) Ta có: (x - 1)(3 - y) = Vì có ước - 2; -1; 1; x; y ∈ Z nên (x - 4), (3 - y) ∈ Z Do ta có: 0,5 0,25 x − = −1 x = −1 + x = ⇒ ⇒ 3 − y = −2 y = 3+ y = x − = −2 x = −2 + x = −1 ⇒ ⇒ + 3 − y = −1 y = +1 y = x −1 = x = +1 x = ⇒ ⇒ + 3 − y = y = −1 y = x −1 = x = 1+1 x = ⇒ ⇒ + 3 − y = y = 3− y =1 + 0,75 Vậy cặp số nguyên x; y thỏa mãn là: (x; y) = { (0;5);(−1; 4);(3; 2);(2;1)} 5 2) ( − ) : (1 + + 20%) < x < 1 + I 2,5đ 0,75 1,0 0,25 :2 11 21 12 32 245 ⇒ ( − ) : (1 + + ) < x < + : 4 5 11 121 35 121 ⇒ :3 < x < 3+ 11 245 32 ⇒ 4a+1∈ { ±1; ±17} + 4a + = -> a = + 4a +1 = -1 > a = − ( Loại) + 4a + = 17 ->a = +4a + = -17 ->4a = -18 Không tìm a ∈ Z Vậy a ∈ { 0; 4} b=0 => 9+a => a = b =5 => 14+a 9 => a = số học sinh lớp 10 - Số học sinh giỏi cuối số học sinh lớp - học sinh số học sinh lớp 10 1 - số học sinh lớp nên số học sinh lớp : = 40 10 10 - Số học sinh giỏi kỳ I III 1,5đ IV 1,5đ 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 t y z 0,25 970 x' 400 540 0,25 x O a 0,5 · · · · Theo đề ta có góc x’Ox = 1800 ; x’Oy yOx kề bù Mà x’Oy = 0 0 · · · < yOx 40 => yOx = 180 - 40 = 140 Nên xOt hay tia Ot nằm hai tia Ox Oy 0,25 · · Lại có: xOz < xOt hay tia Oz nằm hai tia Ot Ox Vậy tia Ot 0,25 nằm hai tia Oz Oy b 0,75 Theo câu a ta có tia Ot nằm hai tia Oz Oy · · · · nên zOt + tOy = zOy Vì tia Ot nằm hai tia Ox Oy nên xOt · = yOx · · · · = 970 yOx + tOy từ tính tOy = 430 ( xOt = 1400) 0,25 · Vì tia Oz nằm hai tia Ox Ot nên xOz + 0 · · · zOt = 43 ( xOt = 97 yOx = 54 ) · · = xOt zOt từ tính 0,25 · = zOt · Suy tOy ( = 430) 0,25 Vậy tia Ot tia phân giác góc zOy V 1,0đ Gọi d ƯCLN( 3n – 2; 4n – 3) Ta có: 3n – Md => 12n – Md 4n – Md => 12n – Md Nên Md => d = Vậy với n ∈ N*, phân số 3n − phân số tối giản 4n − Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác cho điểm tối đa ………………… Hết……………… 0,25 0,25 0,25 0,25