de gioi thieu HSG huyen CG 013 014

HUYỆN CẨM GIÀNG TRƯỜNG THCS NGỌC LIÊN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP NĂM HỌC 2013-2014 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề (Đề gồm 05câu ; 01 trang) C©u 1( 1,5®iÓm) Rút gọn biểu thức: a) b) + 3+ 2 3+ 2 − 3+2 3+ − 3− − Câu : (2 điểm) a) Cho a + b + c = , tính giá trị của biểu thức: 1 + 2 + 2 2 b +c −a a + c − b a + b2 − c2 b) Tìm số tự nhiên n cho A = n + n + là số chính phương P= C©u (2,5®iÓm) 1.Gi¶i ph¬ng tr×nh 4x 3x + − x −1 = 7x + a) Cho hai số a, b không âm Chứng minh rằng: a+b ≥ ab ab b) Cho a ≥ ; b ≥ Chứng minh: a b − + b a − ≤ C©u (3,0®iÓm) Cho hình vuông ABCD có cạnh a Điểm M nằm hình vuông ABCD cho AM = AB Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với AM, đường thẳng cắt DC P cắt BC Q a) Chứng minh BQ = QM chu vi tam giác CQP nửa chu vi hình vuông ABCD 1 = + b) AQ kéo dài cắt DC E Chứng minh 2 AM AQ AE c) Xác định vị trí M để độ dài đoạn thẳng PQ nhỏ nhất, chứng minh tam giác CPQ có diện tích lớn C©u (1,0®iÓm) Tìm ba số nguyên tố mà tích chúng năm lần tổng chúng ………………………….HÕt……………………… PHÒNG GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO HUYỆN CẨM GIÀNG Câu 1,5điểm HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP MÔN:.TOÁN (hướng dẫn chấm gồm 03 trang) Nội dung Điểm a) 0,75 điểm A = + 2 ( 6) − ( + 2) = + 2 − (3 + 2) A = (3 + 2)(3 − 2) = − (2 2) = 0,5 0,25 b) 0,75 điểm 3+ − 3− − 2 T = + − −  T =2 T= 3+ − 3− − = 2,0điểm Vậy a) 0,75 điểm 1 + 2 + 2 2 b +c −a a + c − b a + b2 − c2 1 = 2 + + 2 2 b + c − (b + c) a + c − (a + c) a + b − (a + b) 1 a+b+c = + + = = 0(abc ≠ 0) −2bc −2ac −2ab −2abc P= 0, 0,25 (dk : abc ≠ 0) 0,5 0,25 b) 1,25 điểm A = n + n + là số chính phương nên A có dạng A = n + n + = k (k ∈ N * ) ⇔ 4n + 4n + 24 = 4k ⇔ (2k ) − (2n + 1) = 23 2k + 2n + = 23 ⇔ (2k + 2n + 1)(2k − 2n − 1) = 23 ⇔   2k − 2n − = (Vì 23 là số nguyên tố và 2k + 2n + 1> 2k – 2n -1) 2k + 2n + = 23 k = ⇔ ⇔  k − 2n − = n = 2,5điểm Vậy với n = thì A là số chính phương 1) 3,0 điểm Gi¶i ph¬ng tr×nh 4x 3x + − x − = 7x + (1) §K: x ≥ (1) (1) ⇔ 7x + − 4x 3x + + x − = ⇔ 3x + − 4x 3x + + 4x + x − = 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0.25 0,25 025 ⇔ Ta có ⇒ ( ( ( 3x + − 2x 3x + − 2x 3x + − 2x ) ) ) + x −1 = ≥ với x x − ≥ với x 0,25 + x −1 ≥ Dấu xảy  3x + − 2x = 3x + = 4x x = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x =1 x = x = x − =    x = thỏa mãn điều kiện Vậy phương trình có nghiệm x = 0,25 0,25 2.a) 0,25 điểm a+b ≥ ab a+b-2 ab ≥ ( a − b )2 ≥ ( với a,b không âm) ≥ 0,25 2.b) 0,75 điểm với a ≥ ; b ≥ , Áp dụng a+b ≥ ab cho hai số a,b không âm , a a + b - ab = ; 2 b b + a − ab b a − = × ( a − ) ≤ × = 2 ab ab ab Suy : a b − + b a − ≤ + = 4 ta có a b - 4= × ( b - ) ≤ × 3,0điểm 0,25 0,25 0,25 Vẽ hình: 0,25 điểm a b q m k d p c e Δ ABQ = Δ AMQ theo trường hợp cạnh huyền- cạnh góc vuông suy BQ = QM 0,25 Chứng minh tương tự ta có PM = DP Nên chu vi Δ CPQ PCPQ= CQ+QM+MP+CP =CP +PD +CQ+QB =DC + CB= O,75 PABCD 1 = + 2 AM AQ AE Kẻ AK vuông góc với AE ( K ∈ DC) · · Δ ADK = Δ ABQ có AB = AD; KAD=BAQ ( phụ với · DAQ ) nên AK = AQ Xét Δ vuông KAE có AD đường cao Vận dụng hệ thức lượng tam giác vuông ta có Chứng minh 0,5 1 = + Mà AK = AQ; AM=AD 2 AD AK AE Nên 1 = + 2 AM AQ AE 0,5 Đặt CQ =m; CP = n; PQ = x Theo câu a) có m+n+x = a => m + n = 2a –x Ta cần tìm GTNN x Chứng minh bất đẳng thức 2(m2+ n2) ≥ (m + n)2 Ta có 2x2 ≥ (2a - x)2 => x ≥ 2a-x => x( + 1) ≥ 2a  x≥ 2a 1+ Dấu xảy m = n = CQ = CP Ta có Δ CPQ vuông cân C Vận dụng định lý Pitago ta có: CP2+CQ2 = PQ2 Hay m2 + n2 = x2  2m2 = x2  m2 = 0.5 x x m = 2 Khi điểm A; M; C thẳng hàng Vậy M thuộc đường chéo AC SPAQ = SDABQP;; SCPQ + SDABQP = SABCD = a2 Tam giác PAQ có chiều cao AM = a (không đổi) PQ nhỏ SPAQ nhỏ suy SDABQP nhỏ Suy diện tích tam giác CPQ lớn 2a  2a  1 Và SPAQ = m2 = ( )=  2 1+  1+ ÷  1,0 điểm Tìm ba số nguyên tố mà tích chúng năm lần tổng chúng 0,5 Gọi a,b,c ba số nguyên tố cần tìm ta có: abc = 5(a+b+c) Tích ba số nguyên tố abc chia hết có số Giả sử a = 5bc = 5(5+b+c) ⇔ bc = 5+b+c ⇔ bc -b - c + = ⇔ (b-1)(c-1) = b,c số nguyên dương có vai trò nên ta có: b − = b = ⇔  c − = c = b − = b = ⇔ c − = c =  Kết luận: Ba số nguyên tố cần tìm 2, 5, Hết 0,25 0,25 0,25 0,25