Chuyên đề bất đẳng thức

Chương I ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG I Tính chất bản: ax > bx x > ax < bx x < a a > b ⇔  a > x ⇒ a + b > x + y Chú ý b > y b  a > x  b > y  a − b > x − y   ab > xy a x  >  b y ⇒ a > x ≥ ⇒ ab > xy b > y ≥ c  d a > b ≥ ⇒ a > b Hệ quả: a > b ⇔ a > b 1 < a b 1 a • x < A ⇔ −A < x < A e a > b > ⇒ x < − A x > A • x > A⇔  II Vài bất đẳng thức thông dụng: Với a, b, c,… tùy ý ( a, b, c ∈ R ) a a + b ≥ 2ab ( Dấu “ = ” xảy ⇔ a = b ) b a + b + c ≥ ab + bc + ca ( Dấu “ = ” xảy ⇔ a = b = c ) 1 1 1 c Với a, b > ta có: (a + b)  +  ≥ ⇔ + ≥ a b a+b a b III Các ví dụ:  π π   tan x − tan y 0, y > xy ≤ Chứng minh: ≥ 1 + (1) 1+ x 1+ y + xy b Cho < a ≤ b ≤ c ≤ d bd ≤ Chứng minh: 1 1 ≥ + + + + abcd + a + b + c + d Giải: a Vì x > 0, y > nên bất đẳng thức (1) tương đương với: 2(1 + x)(1 + y ) ≥ (1 + xy )(1 + y ) + (1 + xy )(1 + x) ⇔ + x + y + xy ≥ + xy + y + y xy + + xy + x + x xy ⇔ ( x + y ) + xy ≥ xy ( x + y ) + xy ⇔ ( x + y ) − xy ( x + y ) + 2( xy − xy ) ≥ ⇔ ( x + y )(1 − xy ) + xy ( xy −1) ≥ ⇔ (1 − xy )( x + y − xy ) ≥ ⇔ (1 − xy )( x − y )2 ≥ (2) ( x − y )2 ≥ nên (2) (đpcm) Vì:   xy ≤ ⇒ − xy ≥  a , b, c , d >  a , b, c , d > a ≤ b   ⇒ ac ≤ db ≤ b a ≤ b ≤ c ≤ d nên  ≤ c d bd ≤   bd ≤ Theo kết câu a, ta có:  1 + a + + c ≤ + ac (a, c > 0; ac ≤ 1)   + ≤ (b, d > 0; bd ≤ 1) 1 + c + d + bd ⇒ 1 1   + + + ≤  +  1+ a 1+ b 1+ c 1+ d  + ac + bd  ≤ + ac bd = (đpcm) + abcd Ví dụ 4: Cho a, b, c ∈ [ − 1; 2] thỏa mãn điều kiện a + b + c = Chứng minh: a + b2 + c ≤ Giải: • a ∈ [ − 1; 2] ⇔ −1 ≤ a ≤ ⇔ ( a + 1)(a − 2) ≤ ⇔ a − a − ≤ ⇔ a ≤ a + (1) • b ≤ b + c (2) Tương tự ta có  c ≤ c + (3) Cộng (1), (2), (3) ta có: a + b + c ≤ ( a + b + c) + = (đpcm) Ví dụ 5: Cho x, y, z ∈ [0;2] x + y + z = Chứng minh rằng: x2 + y + z ≤ Giải: Ta có: x, y, z ≤ ⇒ (x − 2)( y − 2)( z − 2) ≤ ⇔ xyz − 2( xy + yz + zx) + 4( x + y + z ) − ≤ ⇔ xyz − 2( xy + yz + zx) − 4.(3) − ≤ ⇔ xyz ≤ 2( xy + yz + zx) − ( x + y + z = ) ⇔ xyz ≤ ( x + y + z )2 − ( x + y + z ) − ⇔ xyz ≤ ( x + y + z )2 − ( x + y + z ) − = 32 − ( x + y + z ) − ⇔ x + y + z ≤ − xyz ( Vì x + y + z = ) ⇒ x + y + z ≤ ( Vì xyz ≥ ) (đpcm) Ví dụ 6: Cho x > 0, y > 0, z > xyz = Chứng minh bất đẳng thức sau: 1 + 3 + ≤ (1) x + y + y + z + z + x3 + 1 1 b + + ≤ (2) x + y +1 y + z +1 z + x +1 a Giải: a Đặt T = vế trái bất đẳng thức (1) ( ta cần chứng minh T ≤ ) Ta có: x3 + y = ( x + y )( x + y − xy )  x + y ≥ xy ⇔ x + y − xy > xy  x + y > ( Vì x > 0, y > 0) Mà  Nên ( x + y )( x + y − xy ) ≥ ( x + y ) xy hay x3 + y ≥ xy ( x + y ) ⇒ x3 + y +1 ≥ xy ( x + y ) + xyz ( Vì xyz = ) ⇔ x + y +1 ≥ xy ( x + y + z ) > 1 ⇔ ≤ (a) x + y + xy ( x + y + z ) Tương tự ta có: 1   y + z + ≤ xy ( x + y + z ) (b)  ⇔ 1  ≤ (c) 3  z + x + xy ( x + y + z ) Cộng vế theo vế (a), (b), (c), ta có:   x+ y+ z  1 1  + + =   = ( Vì xyz = ) (đpcm) ( x + y + z )  xy yz zx  x + y + z  xyz  b Đặt S vế trái bất đẳng thức (2) ( ta cần chứng minh S ≤ )  x = a3  x , y , z > ⇒ a , b, c >  Đặt  y = b3 mà  3  xyz = ⇒ a b c ⇔ abc =  z = c3  T≤ a, b, c > abc = nên theo kết câu a, ta có: 1 + 3 + ≤1 3 a + b + b + c + c + a3 + 1 1 ⇔ + + ≤ (đpcm) x + y +1 y + z +1 z + x +1 Ví dụ 7: Cho a, b > b, c > Chứng minh: (a − c)c + (b − c)c ≤ ab (1) Giải: Bất đẳng thức (1) tương đương với: c(a − c) + (b − c)c + c (a − c)(b − c) ≤ ab ⇔ c + c − ac + ab − bc − 2c (a − c)(b − c) ≥ ⇔ c + a(b − c) − c(b − c) − 2c (a − c)(b − c) ≥ ⇔ c + (a − c)(b − c) − 2c (a − c)(b − c) ≥ ⇔  c − (a − c)(b − c)  ≥ bất đẳng thức (đpcm) Ví dụ 8: Chứng minh a, b, c ∈ R , ta có: a2 + b + c ≥ ab − ac + 2bc (1) Giải: Bất đẳng thức (1) tương đương với: a + 4b + 4c − 4ac − 8bc + 4ac ≥ ⇔ ( a − 2b + 2c) ≥ bất phương trình (đpcm) Ví dụ 9: Cho a > 36 abc = Chứng minh: a2 + b + c > ab + bc + ca (1) Giải: Bất đẳng thức (1) tương đương với: a2 + (b + c)2 − 2bc > a (b + c) + bc a2 ⇔ (b + c) − a (b + c) + − 3bc >  a2  ⇔ (b + c) − a (b + c) +  −  > ( Vì bc = ) a  a x = b + c  ⇔ (a)  a2  f ( x ) = x − ax +  − >0   a  Xét tam thức bậc hai f ( x) = x − ax + ( a2 − ) có: a  a  36 − a ∆ = a2 −  −  = < ( Vì a > 36 ) a a   ⇒ f ( x) > 0, ∀x ∈ R ⇒ (a ) (đpcm) Ví dụ 10: Cho −1 < x < n ∈ N , n > Chứng minh: (1 − x)2 + (1 + n)n < 2n Giải: Vì −1 < x < nên x = cos α (0 < α < π) lúc đó: (1 + n) n + (1 − n) n = (1 + cos α )n + (1 − cos α ) n n n α  α  =  cos  +  2sin  2  2  n n  α  α  α α  = n  cos  +  sin   < 2n  cos + sin  = n (đpcm) 2    2   * Chú ý: Khi chứng minh bất đẳng thức phương pháp biến đổi tương đương cần: Chú ý xem kĩ giả thuyết đề cho, số trường hợp biến đổi giả thuyết đề cho thành bất đẳng thức cần chứng minh ( ví dụ 4, 5…) Trong số trường hợp biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh thành bất đẳng thức ( nêu ví dụ 1, 3, 7, 8…) Nên thuộc lòng bất đẳng thức thông dụng giới thiệu phần II IV Bài tập tương tự: Chứng minh rằng: < x ≤ y ≤ z thì: 1 1 1 1 y  +  + ( x + z) ≤  + ( x + z) x z y x z * Hướng dẫn: Tìm bất đẳng thức tương đương cách quy đông mẫu số, ước lược số hạng ( x + z ) , chuyển vế, biến đổi vế trái thành dạng tích số,… a, b, c, d năm số thức tùy ý, chứng minh bất đẳng thức: a + b + c + d + e ≥ ab + ac + ad + ac Khi đẳng thức xảy ra? * Hướng dẫn: Tìm bất đẳng thức tương đương cách biến đổi bất đẳng thức cho dạng: 2 2 a  a  a  a   − b +  − c +  − d  +  − e ≥ 2  2  2  2  … a, b, c, độ dài ba cạnh tam giác ABC, chứng minh: a + b + c < 2(ab + bc + ca ) * Hướng dẫn: a < b + c ⇒ a < ab + ac, b < a + c ⇒ Chứng minh: a + b ≥ 2ab, ∀a, b ∈ R Áp dụng a, b, c ba số thực tùy ý, chứng minh: a + b + c ≥ abc(a + b + c) * Hướng dẫn: Dùng công thức (a − b)2 ≥ ⇔ a + b ≥ Áp dụng kết Chứng minh ∀t ∈ [ − 1;1] ta có: 1+ t + 1− t ≥ 1+ 1+ t2 ≥ − t2 * Hướng dẫn • Với ∀t ∈ [ − 1;1] , ta có: (1 − t ) + (1 − t )(1 + t ) + (1 + t ) ≥ + − t + (1 − t ) Biến đổi tương đương suy + t + − t ≥ + + t • Từ: ≤ − t ≤ ⇒ 1+ 1+ t2 ≥ − t2 Chương II BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI (CAUCHY) I Phương pháp giải toán 1) Cho số a,b > 0, ta có: a+b ≥ ab Dấu “ = ” xảy a = b 2) Cho n số a1, a2 , a3, , an ≥ ta có: a1 + a2 + a3 + + an n ≥ a1a2 a3 an n Dấu “ = ” xảy a1 = a2 = a3 = = an 3) Bất đẳng thức côsi suy rộng Phát biểu: Với số thực dương a1 , a2 , a3 , , an x1 , x2 , x3 , , xn số thực không âm có tổng 1, ta có: a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + + an xn ≥ a1x1 a2 x2 a3 x3 an xn Tổng quát: Cho n số dương tùy ý ai, i = 1, n n số hữu tỉ dương qi, n thỏa ∑q i i =1 = ta có: n ∏a qi i i =1 i = 1, n n ≤ ∑ qi i =1 Dấu “=” xảy II Các ví dụ Ví dụ 1: Cho n số dương ai, i = 1, n Chứng minh rằng: 1 1 1 (a1 + a2 + a3 + + an )  + + + +  ≥ n an   a1 a2 a3 Giải: Áp dụng bất đẳng thức côsi cho số a1 , a2 , a3 , , an , 1 1 , , , , a1 a2 a3 an Ta có: a1 + a2 + a3 + + an ≥ n n a1a2 a3 an 1 1 n + + + + ≥ a1 a2 a3 an n a1a2 a3 an Nhân vế tương ứng ta bất đẳng thức cần chứng minh dấu “=” xảy a1 = a2 = a3 = = an Ví dụ 2:Chứng minh với a,b,c dương ta có: 1 27 + + ≥ a (a + b) b(b + c) c(c + a) 2(a + b + c) Giải: Áp dụng bất đẳng thức côsi cho vế trái: 1 + + ≥ a (a + b) b(b + c) c(c + a ) abc(a + b)(a + c)(b + c) Mà 33 abc ≤ (a + b + c)3 33 (a + b)(b + c)(c + a ) ≤ 8( a + b + c)3 ( a + b + c)6 ⇔ abc(a + b)(b + c)(c + a ) ≤ ( a + b + c) ⇒ abc (a + b)(b + c)(c + a) ≤ (1) ⇔ 27 ≥ abc(a + b)(b + c)(c + a ) 2( a + b + c) (2) Từ (1)(2) đpcm Dấu “=” xảy a = b = c Ví dụ 3: Chứng minh với số dương a, b, c ta có 1 1 + + ≤ a + b + abc b3 + c + abc c + a + abc abc Giải Ta có: a3 + b3 ≥ ab(a + b) Nên abc abc c ≤ = a + b + abc ab( a + b) + abc a + b + c Tương tự ta có abc abc a ≤ = b3 + c3 + abc bc(b + c) + abc a + b + c abc abc b ≤ = a + c + abc ac(a + c) + abc a + b + c Cộng vế theo vế ta 1   abc  3 + 3 + 3  ≤1 a + b + abc b + c + abc c + a + abc   Hay 1 1 + 3 + ≤ (đpcm) 3 a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc III Bài tập tương tự Các số dương x, y, z có tích Chứng minh bất đẳng thức : xy yz xz + ≤1 5 x + xy + y y + yz + z x + xz + z 5 *Hướng dẫn: Ta có: x + y ≥ xy ⇒ x5 + y ≥ x5 y = 2x y xy ≥ (x+y)x y Do : xy xy z ≤ = = 2 x + xy + y xy + (x+y)x y + xy ( x + y ) x + y + z Tương tự: yz x ≤ y + yz + z x+ y+z xz y ≤ 5 x + xz + z x+ y+z Cộng vế theo vế ta có đpcm Dấu “=” xảy x = y = z Với x, y, z dương Chứng minh : x3 y z + + ≥ x+ y+z yz xz xy *Hướng dẫn: Áp dụng bất dẳng thức côsi, ta có: x3 + y + z ≥ 3x yz y3 + x + z ≥ 3y xz z3 + x + y ≥ 3z xy Cộng vế theo vế ta được: x3 y z + + + 2( x + y + z ) ≥ 3( x + y + z ) yz xz xy ⇒ đpcm Dấu “=” xảy x = y = z Cho a, b, c số nguyên dương Chứng minh: 2  (b + c) + (a + c) + (a + b) ≤  (a + b + c)  3  a b a +b + c c *Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức côsi, ta có: (b + c) + + (b + c) + (a + c) + + (a + c) + (a + b) + + (a + b) n lần n lần n lần ≥ (a + b + c).a +b + c (b + c) a (a + c)b (a + b)c Hay :  2(a + b + c)   a + b + c  a +b + c ≥ (b + c) a (a + c)b (a + b)c (1) 10 1 1 + + + ak  a1 a2 ( a1 + a2 + + ak )   ≥k  * n = k + : Ta xét: 1 1  + + +  ak +1   a1 a2 ( a1 + a2 + + ak +1 )  1 1 1  1  = ( a1 + a2 + + ak )  + + +  + ( a1 + a2 + + ak ) + ak +1  + + +  +1 ak  ak +1 ak   a1 a2  a1 a2  a  a a   a a  a  ≥ k +  + k +1  +  + k +1  + +  k + k +1   ak +1 a1   ak +1 a2   ak +1 ak  ≥ k + 2k + = ( k + 1) ⇒ Bất đẳng thức với n = k + ⇒ đpcm Ví dụ 3: Chứng minh rằng: n n > ( n + 1) n −1 , ∀n ∈ Z , n ≥ Giải: n n = n −1 * n =2⇒ ⇒ n n > ( n + 1) n −1 ( n + 1) = * n = k ≥ : Giả sử bất đẳng thức là: k k ≥ ( k + 1) * n = k + : Ta xét: k k ( k + 1) k +1 ≥ ( k + 1) k −1 ( k + 1) 2k −2 = ( k + 1) ( k + 1) k −1 k +1 = ( k + 1)    > ( k + 2k ) k −1 k −1 ( k + 1) (k 2 + 2k ) vì: ( k + 1) = k + 2k + > k + 2k ≥ k k ( k + ) ⇒ ( k + 1) k k +1 > ( k + ) ⇒ Bất đẳng thức với n = k + k ⇒ đpcm Ví dụ 4: Cho n ∈ Z , n ≥ 1, a, b ≥ Hãy chứng minh: an + bn  a + b  ≥    n Giải: * n = 1: Bất đẳng thức ak + bk  a + b  * n = k ∈ N : Giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: ≥    a k +1 + b k +1  a + b  * n = k + : Ta cần chứng minh ≥    35 k +1 k  a+b k +1 Thật vậy: Ta có:     Ta cần chứng minh: k = a+b  a+b a + b a k + bk  ≤    2 a k + b k a k +1 + b k +1 ≤ 2 k k ⇔ ( a + b ) ( a + b ) ≤ ( a k +1 + b k +1 ) ⇔ ab k + a k b ≤ a k +1 + b k +1 ⇔ a ( a k − bk ) − b ( ak − bk ) ≥ ⇔ ( a − b ) ( a k − b k ) ≥ ( đúng) * Phản chứng: Ví dụ 1: Cho số a, b, c, d thỏa điều kiện: ac ≥ ( b + d ) (1) Chứng minh có hai bất đẳng thức sau sai: a < 4b; c < 4d Giải: Giả sử hai bất đẳng thức a < 4b c < 4d đúng, cộng vế với vế hai bất đẳng thức ta được: a + c < 2ac ⇔ ( a − c ) < vô lý Vậy có hai bất đẳng thức a < 4b c < 4d sai Ví dụ 2: Cho số a, b, c thỏa điều kiện: (1) a + b + c >  ab + bc + ca > (2) abc > (3)  Chứng minh a > 0, b > 0, c > Giải: Giả sử a ≤ , từ (3) ta phải có a ≠ a < , từ (3) a < suy bc < Từ (2) suy a ( b + c ) = −bc > ⇒ b + c < ( a < ) Suy a + b + c < vô lý với (1) Vậy a < , tương tự ta có b > 0, c > Ví dụ 3: Cho < a, b, c < Chứng minh có bất đẳng thức sau sai: a ( − b ) > 1; b ( − c ) > 1; c ( − a ) > Giải: Giả sử bất đẳng thức đúng, nhân vế với vế bất đẳng thức lại với ta được: a ( − b ) b ( − c ) c ( − a ) > Ta lại có: a ( − b ) = 2a − a = − ( a − 2a + 1) = − ( a − 1) ≤ 36 Tương tự: b ( − c ) ≤ c ( − a ) ≤ Do < a, b, c < nên: a ( − b ) > 0; b ( − c ) > 0; c ( − a ) > Và lúc ta có: a ( − b ) b ( − c ) c ( − a ) ≤ , mâu thuẫn với (1) Vậy có bất đẳng thức cho sai a + b + c >  Ví dụ 4: Cho ab + bc + ca > Hãy chứng minh: a, b, c > abc >  Giải: Giả sử ngược lại, số a, b, c có ( nhất) số ≤ Vì b, c vài trò nhau, ta xem a ≤ * abc > ⇒ a < 0, bc < * a ( b + c ) = ab + ca > −bc > ⇒ b + c < Vậy: a + b + c < ⇒ vô lý Vậy: a, b, c > III Bài tập tương tự: * Quy nạp: Cho x1 = 2, x2 = + , , xn = + + + ( gồm n căn) Chứng minh rằng: ≤ xn < * Hướng dẫn: Áp dụng phương pháp quy nạp để chứng minh ≤ xk +1 < từ suy đpcm Chứng minh rằng: sin nx ≤ n sin x , ∀n ∈ N * , ∀x ∈ R * Hướng dẫn: Áp dụng phương pháp quy nạp tính chất:  a + b ≤ a + b , ∀a, b ∈ R   sin x , cos x ≤ 1, ∀α ∈ R Để chứng minh sin(k + 1) x ≤ ( k + 1) sin x từ suy đpcm Cho n ∈ N , Chứng minh rằng: e x ≥ + x x2 xn + + + , ∀x ≥ 1! 2! n! * Hướng dẫn: Để chứng minh e x ≥ + x x2 x k +1 + + + ta xét hàm số: 1! 2! ( k + 1)!  x x2 x k +1  f ( x) = e x −  + + + +  xét f '( x) từ suy f ( x) ≥ f (0) hay ( k + 1)!   1! 2! x x2 x k +1 x e ≥ + + + + 1! 2! ( k + 1)! 37 a, b, c số đo ba cạnh tam giác vuông với c cạnh huyền Chứng minh rằng: a 2n + b2n ≤ c2n , n ∈ Ζ+ * Hướng dẫn: Áp dụng quy nạp: với n = k+1: a 2( k +1) + b 2( k +1) = ( a k + b k )( a + b ) − a 2b k − b a k ≤ c k c = c 2( k +1) Chứng minh rằng: 1 13 + + + > (n > 1) (1) n +1 n + 2n 24 2n − 1 ≤ (n ≥ 1) (2) b 2n 3n + a * Hướng dẫn: a Sử dụng quy nạp để chứng minh: Với n = (1) đúng, giả sử (1) với n = k, chứng minh (1) với n = k + Với n = k + , biến đổi vế trái ta được: 1  1  + + +  + + −  2k  k + 2k + k −  k +1 k + 13 13 > + > ⇒ đpcm 24 ( 2k + 1)( 2k + ) 24 b Sử dụng quy nạp: với n = (2) đúng, giả sử (2) với n = k, chứng minh (2) với n = k + Với n = k + , biến đổi vế trái ta được: 2n + 1 2n + ≤ 2n + 3n + 2n + 2n + 1 Ta cần chứng minh < 3n + 2n + 3n + 3n +  2n +  ⇔  <  2n +  3n + ⇔ ( 2n + 1) ( 3n + ) < ( 2n + ) ( 3n + 1) 2 ⇔ < n ( đúng) Từ suy đpcm * Phản chứng: Cho ba số dương x, y, z thỏa điều kiện xyz = 1 x y Chứng minh nếu: x + y + z > + + có ba số lớn z * Hướng dẫn: Xét tích ( x − 1)( y − 1)( z − 1) từ suy có ba số x − ; y − ; z − dương Nếu ba số dương x, y, z > , xyz > Trái giả thiết Còn hai ba số dương tích: ( x − 1)( y − 1)( z − 1) < ; vô lý Vậy có ba số x, y, z lớn Chứng minh không tồn số a, b, c đồng thời thỏa mãn (1), (2), (3): 38 a < b−c (1) b < c−a (2) c < a −b (3) * Hướng dẫn: Bình phương hai vế (1), (2), (3) sau chuyển vế áp dụng đẳng thức 2 A − B = ( A − B )( A + B ) cuối nhân chúng lại với ta được: − ( − a + b + c )( a − b + c )( a + b − c )  > ⇒ vô lý, toán đuọc chứng minh Cho a, b, c > abc = Hãy chứng minh: a + b + c ≥ * Hướng dẫn: Giả sử ngược lại: a + b + c < (1), nhân thêm ab vào hai vế (1) biến đổi tương đương ta được: ab + ( a − 3a ) b + < Đặt f ( x) = ab + ( a − 3a ) b + xét ∆ f ( x) ta có ∆ ≤ abc > ⇒ < a < ⇒ f (b) ≥ ⇒ vô lý ⇒ đpcm a + b + c < tan x Có tồn x ∈ R cho: ≤ ≤ 3? tan x Vì  * Hướng dẫn: tan x ≤ ≤ Lúc đó: tan x π π kπ  x k k , (k ∈ Z ) ≠ π + π +    ≤ tan x ≤  tan x  1 − tan x ≥ 1 − tan x > ⇔ ⇒ ⇒ vô lý 2  tan x ≤ 1 − tan x < 1 − tan x Vậy không tồn x ∈ R thỏa mãn điều kiện đề cho Giả sử tồn x ∈ R để: 39 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỔNG HỢP Cho ∆ABC , tìm GTlN f = −2 cos C cos( A − B) − cos 2C (A, B, C góc tam giác) A B C D 8 Tìm GTNN A = sin x + cos x A B 16 C Tìm GTLN & GTNN ; A y = sin x(1 − 2cos x) là: B 1; 2 ∀∆ABC , GTLN f = sin A 27 B 12 GTNN C = C x + với 1− x x A D đáp án khác C ; -3 D đáp án khác A 2B C sin sin 2 2 12 D đáp án khác < x 2( ab + bc + ca ) 2 B a + b + c < 2( ab + bc + ca ) 2 C a + b + c ≤ 2( ab + bc + ca ) 2 D a + b + c ≥ 2( ab + bc + ca ) 2 , hb đường cao ∆ABC , phát biểu đúng: hb B S ABC ≤ hb C S ABC < hb D S ABC > hb A S ABC ≥ 10 , hb , hc đường cao ∆ABC , phát biểu đúng: A S ABC > ( hb hc ) 2 B S ABC < ( hb hc ) 2 ≥ C S ABC ≤ ( hb hc ) D S ABC ( hb hc ) 11 Bất đẳng thức sau sai? A a + b2 + ≥ ab + a + b C B a + b + ≥ ab + 2a + 2b a2 ab ac + b2 + c2 ≥ + + bc 2 D a + b ≥ a2 b2 + b a 12: Cho a, b ∈ R , bất đẳng thức sai: 2  a+b a +b ≤    B a + b2 ≥ 2ab A  41 C a + b ≥ ab + a 2b D a + b2 + < ab + a + b 13: Giá trị lớn A = x ( x − ) biết ≤ x ≤ : A C B D 14: Giá trị nhỏ y = x + 3x − 14 là: 289 20 15 C − 17 13 D − A − B − 15: Giá trị max y = là: 4x + 4x + 3 C D B A 16: Giá trị nhỏ y = x2 − x + là: x − x + 12 2 C − 3 D − A − B − 17: Với x > y > 0, xy = Giá trị nhỏ A = x2 + y2 là: x− y B −2 A 2 C 2 D − 2 18: Nếu có a > b > c > Xét bất đẳng thức sau: a a−c b−c > b−a b−a Phát biểu đúng: A Chỉ a b ab > ac B Chỉ b c C a & b b b > a c D b & c 19: Cho a < b , a, b ≠ , xét bất đẳng thức sau: a a2 b2 > b a Phát biểu đúng: A Chỉ b b 1 > 2 a b B Chỉ a & b c ( a + b )( a − b ) < C Chỉ b & c 42 D Chỉ a & b 20: Giá trị nhỏ A = x − xy + y − x − y + là: A -3 B -2 C -1 21: Giá trị lớn của: A = D x − x2 ( < x < ) là: − x2 A Một số nguyên dương C Một số hữu tỉ B Một số nguyên âm D Một số vô tỉ 22: Tìm mệnh đề đúng: 1 > a b A a < b ⇒ ac < bc B a < b ⇒ C a < b vaøc < d ⇒ ac < bd D Cả A, B, C sai 23: Tìm mệnh đề sai: A a + b ≤ a + b , ∀a, b B a − b ≥ a − b , ∀a, b C a > 0, ∀a D − a ≤ a ≤ a , ∀a 24: Cho a, b, c > Xét bất đẳng thức: a a b + ≥2 b a b Bất đẳng thức đúng: A a B b a b c + + ≥3 b c a c C c a b c + + ≥ b c a a+b+c D Cả a, b, c 1+ a 1+ b , y= Mệnh đề đúng: 1+ a + a + b + b2 B x > y C x = y D Không xác định 25: Cho a > b > x = A x < y 26: Cho x, y > Tìm bất đẳng thức đúng: A ( x + y ) ≥ xy C ≥ xy ( x + y )2 B 1 + ≥ x y x+ y D Cả 43 Hướng dẫn đáp số: Chọn D f = − cos C cos( A − B ) − cos C + 1   = −  cos c + cos C cos( A − B ) + cos ( A − B )  − 1 − cos ( A − B )  +   2 1   = −  cos C + cos ( A − B )  − sin ( A − B ) 2   ≤ 2 Chọn A A = ( cos x + sin x ) − cos x sin x 2 1   =  − sin 2 x  − sin x   = − sin 2 x + sin x = cos 2 x + (1 − cos 2 x ) 1 = cos 2 x + cos x + 8 ≥ ∀x 3.Chọn C Do sin x &(1 − 2cos2x) không đổi dấu nên y = sin x − cos x sin x = 2sin x − s in3x ⇒ y ≤ sin x + s in3x a + b ≤ a + b ⇒ y ≤ (do sin x ≤ 1) ⇒ −3 ≤ y ≤ 44 Chọn D A− B C  C 1  f =   cos − sin   sin 2  2  C  1 > sin >  cos A − B ≤  1 C  C  C ⇒ f ≤ 1 − sin  − sin   − sin  8   2 1 2 ≤   = (bất đẳng thức côsi cho số dương)   27 Chọn B C= x 5(1 − x) + +5≥ +5 1− x x Chọn C Ta có: a+b a + b − c ≤ m < c  2  c+b b + c − a ≤ ma <   a+c a + c − b ≤ mb <  2  a+b+c ⇒ ≤ ma + mb + mc < a + b + c Chọn A  AC < AB + BC   AC < CD + DA AB + BC + CD + DA ⇒ AC < Chọn B a < b + c ⇒ a < a (b + c ) = ab + ac b < a + c ⇒ b < b(a + c ) = ab + bc c < a + a ⇒ c < c (a + b) = bc + ac 45 Chọn A   S ABC =   a ≥ h b ⇒ S ABC ≥ hb 10 Chọn D 1  a ≥ h ⇒ S = a h ≥ hb h a b A B C a  2  1   b ≥ h c ⇒ S A B C = b hb ≥ h b h c 2  1   c ≥ h a ⇒ S A B C = ch c ≥ h c h a  ⇒ S A3 B C ≥ ( h a hb h c ) ⇒ S A B C ≥ ( h a hb h c ) 2 11 Chọn D Sử dụng bất đẳng thức x + y + z ≥ xy + yz + zx ⇒ A, B, C 12 Chọn D Áp dụng bất đẳng thức x + y + z ≥ xy + yz + zx ta được: a + b2 + ≥ ab + a + b 13 Chọn C: A = x ( x − ) = x ( x − ) + x lại có: ≤ x ≤ ⇒ x ( x − ) < 0, x ≤ nên A ≤ 14 Chọn A: y = x + x − 14 = x + x + 289 − 20 20  289 289  =  5x +  − 20 ≥ − 20 5  15: Chọn B: y= 3 = ≤ x − x + ( x − 1) + 4 16: Chọn D: y= x2 − 6x + −5 −5 = +1 = +1 ≥ − +1 = − 2 x − x + 12 x − x + + 3 ( x − 3) + 46 17: Chọn A: x + y ( x − y ) + xy xy = = x− y+ ≥ 2 xy ≥ 2 x− y x− y x− y 18: Chọn B: a−c b−c > ⇔ a − c < b − c ⇔ a < b ( ta có gt) b−a b−a b Do a < nên ab > ac ⇔ b > c ( gt) b b c Do b < nên > ⇔ a < c ( trái gt) a c a Do a > b > ⇒ b − a < ⇒ 19: Chọn C: a2 b2 > với a > a a 1 b a > b2 ⇔ < ( đúng) a b c ( a + b )( a − b ) = a − b < ⇔ a < b ( đúng) a 20: Chọn A: A = x − xy + y − x − y + = ( x − y ) + ( x − ) + ( y − 1) − ≥ −3 ⇒ giá trị nhỏ -3 2 21: Chọn C: A= x − 2x2 − x2 x ( − 2x = 2− x (0 < x < 1) ) x2 + − 2x2 ≤ = 2− x 22: Chọn D: A Đúng với c > B Đúng với a, b > C Đúng với a, b, c, d > 23: Chọn C: a ≥ 0, ∀a 24: Chọn D: Sử dụng bất đẳng thức côsi: a a b a b + ≥ = b a b a b 47 a b c a b c + + ≥ 33 = b c a b c a 1 1 1 c Dùng bất đẳng thức B.C.S:  + +  ( a + b + c ) ≥ (1 + + 1) ⇔ + + ≥ a b c a+b+c a b c 25: Chọn A x − y > 26: Chọn D: 2 A ( x + y ) ≥ xy ⇔ ( x − y ) ≥ ( đúng) 1 1 1 B Áp dụng bất đẳng thức B.C.S:  +  ( x + y ) ≥ (1 + 1) ⇔ + ≥ x y x+ y x y C ≥ ⇔ ( x + y ) ≥ xy ( giống câu A) xy ( x + y ) 48 Mục lục Trang Chương I: ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Chương II: BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI (CAUCHY) Chương III: BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI ( B.C.S) Chương IV: BẤT ĐẲNG THỨC TRÊ – BƯ – SEP (TCHEBYCHEV) Chương V: BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI Chương VI: ÁP DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Chương VII: ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ Chương VIII: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG QUY NẠP HOẶC PHẢN CHỨNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỔNG HỢP HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ 49 01 07 12 19 23 25 31 33 40 43 [...]... b, c, d thỏa điều kiện: ac ≥ 2 ( b + d ) (1) Chứng minh rằng có ít nhất một trong hai bất đẳng thức sau là sai: a 2 < 4b; c 2 < 4d Giải: Giả sử hai bất đẳng thức a 2 < 4b và c 2 < 4d đều đúng, cộng vế với vế hai bất đẳng thức 2 trên ta được: a 2 + c 2 < 2ac ⇔ ( a − c ) < 0 vô lý Vậy có ít nhất một trong hai bất đẳng thức a 2 < 4b và c 2 < 4d là sai Ví dụ 2: Cho các số a, b, c thỏa điều kiện: (1) a... (b + c − a )(c + a − b)(a + b − c) ≤ abc abc ⇒ ≥ 1 (1) (b + c − a )(c + a − b)(a + b − c) Ta lại dử dụng bất đẳng thức côsi: a b c abc + + ≥ 33 ≥ 3 do(1) (đpcm) b+c−a c+a −b a +b−c (b + c − a )(c + a − b)(a + b − c) 11 Chương III BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI ( B.C.S) I Bất đẳng thức bunhiacopxki: Cho 2 n số thực ( n ≥ 2 ) a1, a2, …, an và b1, b2, …, bn Ta có: (a1b1 + a2b2 + + anbn... với (1) Vậy a < 0 , tương tự ta cũng có b > 0, c > 0 Ví dụ 3: Cho 0 < a, b, c < 2 Chứng minh có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau đây là sai: a ( 2 − b ) > 1; b ( 2 − c ) > 1; c ( 2 − a ) > 1 Giải: Giả sử các bất đẳng thức trên đều đúng, khi đó nhân vế với vế các bất đẳng thức lại với nhau ta được: a ( 2 − b ) b ( 2 − c ) c ( 2 − a ) > 1 Ta lại có: a ( 2 − b ) = 2a − a 2 = 1 − ( a 2 − 2a +... n  n +1 n + 2  n 2 + 2n  thành   n + 1  n 2 + 2n + 1  n b) Dùng qui nạp, sau đó áp dụng bất đẳng thức bernoulli : k 1 k+3   1 + 2  ≥ k + 2k  k+2  2 Cho 2 số tự nhiên a < b < c chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n>a, ta có bất đẳng thức : a + b < c (*) n n n *Hướng dẫn: n c a Viết bất đẳng thức (*) dưới dạng tương đương   > 1 +   b b n +1 n n+2 1 1    3 Chứng minh rằng ... chứng: Ta gọi một mệnh đề cần chứng minh là luận đề: “ G ⇒ K ” Phép toán mệnh đề cho ta: G ⇒ K = G ∨ K = G ∧ K = GK Như vậy, muốn phủ định luận đề ta ghép tất cả giả thiết của luận đề với phủ định kết luận của nó Ta thường dùng 5 hình thức chứng minh phản chứng như sau: 1 Dùng mệnh đề phản đảo: K ⇒ V 2 Phủ định luận đề rồi suy ra điều trái giả thiết: GK ⇒ G 3 Phủ định luận đề rồi suy ra điều trái... − ak +1 )  ≥ 1 2 1 2 Suy ra: Bất đẳng thức đúng với n = k + 1 ( Vì: a1 + a2 + + ak −1 + ( ak + ak +1 ) ≤ ) Vậy theo nguyên lý quy nạp, ta có điều phải chứng minh Ví dụ 2: Cho n ∈ N , n ≥ 1 , ai > 0, i = 1, 2, , n Hãy chứng minh: 1 1 1 + + + an  a1 a2 ( a1 + a2 + + an )   2 ≥n  Giải: * n = 1: a1 1 = 12 : Bất đẳng thức luôn đúng a1 * n = k : Giả sử bất đẳng thức đúng là: 34 1 1 1 + + +... 2k ) vì: ( k + 1) = k 2 + 2k + 1 > k 2 + 2k ≥ k k ( k + 2 ) ⇒ ( k + 1) k 2 k +1 > ( k + 2 ) ⇒ Bất đẳng thức đúng với n = k + 1 k ⇒ đpcm Ví dụ 4: Cho n ∈ Z , n ≥ 1, a, b ≥ 0 Hãy chứng minh: an + bn  a + b  ≥  2  2  n Giải: * n = 1: Bất đẳng thức luôn đúng ak + bk  a + b  * n = k ∈ N : Giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: ≥  2  2  a k +1 + b k +1  a + b  * n = k + 1 : Ta cần chứng minh ≥... dụng bất đẳng thức trê – bư – sep cho 2 dãy: b + c, a + c, a + b và a b c , , b+c a+c a+b 2 Cho a, b, c thỏa a 2 + b 2 + c 2 ≥ 1 chứng minh : a3 b3 c3 1 , , ≥ b+c a+c a+b 2 *Hướng dẫn Không mất tính tổng quát, ta giả sử: a ≥ b ≥ c a 2 ≥ b 2 ≥ c 2  Suy ra  a b c ≥ ≥  b + c a + c a + b 22 Áp dụng bất đẳng thức trê – bư – sep cho 2 dãy: a 2 ≥ b 2 ≥ c 2 và a b c ≥ ≥ b+c a+c a+b Chương V BẤT ĐẲNG THỨC... n > n −1 n > n n +1 > (n + 1)n +1 1 n +1 Áp dụng bất đẳng thức Bernoulli: n n 1  n 1  n   =   = 1 −  > 1− n +1 n +1  n +1  n +1 ⇒ đpcm Ví dụ 2: Cho a,b,c >0 chứng minh : (b + c ) + (c + a ) + ( a + b ) > 2 (*) Giải: • Nếu trong 3 số a,b,c có một số lớn hơn hoặc bằng 1 thì bất đẳng thức (*) luôn đúng • Nếu 0 < a, b, c < 1 Áp dụng bất đẳng thức Bernoulli: a b c a [1 − (b + c) ] a + b + c...  Theo bất đẳng thức B.C.S, suy ra:  x y z  ha + hb + hc ≥  ha + hb + hc  ha hb hc   ⇒ ha + hb + hc ≥ x + y + z (1) Do trong mọi tam giác nên ta có: ha = b sin C ; hb = c sin A; hc = a sin B nên: ha + hb + hc = ha = b sin C + hb = c sin A + hc = a sin B = Theo bất đẳng thức Causi: ha + hb + hc = a2 + b2 + c2 (2) 2R 18 bc + ac + ab 2R Từ (1), (2) suy ra đpcm Dấu “ = ” xảy ra khi ∆ABC đều, M