Bài tập phương pháp tính

Bài 4. Hãy xác định giá trị của hàm số với sai số tuyệt đối và sai số tương đối tương ứng với các giá trị của các đối số đã cho sao cho mọi chữ số có nghĩa đều đáng tin. Bài 4. Hãy xác định giá trị của hàm số với sai số tuyệt đối và sai số tương đối tương ứng với các giá trị của các đối số đã cho sao cho mọi chữ số có nghĩa đều đáng tin.

BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TÍNH

- -CHƯƠNG 1 Bài 1 Khi đo 1 số đo góc ta được các giá trị sau:

21 37 '3"; 1 10"

Hãy tính sai số tương đối của các số xấp xỉ đó biết rằng sai số trong phép đo là 1"

Bài 2 Hãy xác định sai số tuyệt đối của các số xấp xỉ sau đây và tìm sai số tuyệt đối của chúng

13267; 0,1%

2,32; 0,7%

a b

a b

δ δ

Bài 3 Hãy xác định giá trị của các hàm số sau đây cùng với sai số tuyệt đối và sai số tương đối

ứng với những giá trị của các đối số sao cho mọi chữ số có nghĩa đều đáng tin

2 2

Bài 4 Hãy xác định giá trị của hàm số với sai số tuyệt đối và sai số tương đối tương ứng với các

giá trị của các đối số đã cho sao cho mọi chữ số có nghĩa đều đáng tin

1/u x y= 3 2−2z y3 +3 ;x x=1, 02;y=1,025;z=0, 26

2/u=tan(xyz+1 ;) x=0,012;y=1,025;z=0, 27

3/u=sin(x yz+ 2);x=0, 25;y=1,041;z=0,063

4/ sin( )2

; 0,113; 0,04; 0,132

xy

5/u x= 2cos 2( yz x); =0,809;y=1,135;z=0,007

6/ u= y2ln(xz+1 ;) x=0,102;y=0,15;z=0,081

7/ u ze= ln( )xy ;x=0,19;y=1,031;z=1,03

8/ u=3x−3yz;x=0,11;y=1,015;z=3,001

9/ u= +(1 2xz)y;x=0,001;y=0,015;z=0,01

2 zy; 0,02; 0,15; 0,123

Bài 5 Tính thể tích V của hình cầu và chỉ ra sai số tuyệt đối, biết rằng đường kính đo được

1,035 m

d = và sai số của phép đo là 1mm

Bài 6 Hãy xác định sai số tương đối giới hạn và sai số tuyệt đối giới hạn và chữ số đáng tin của

cạnh hình vuông a Biết rằng diện tích hình vuông là S =16, 45 cm ,2 ∆ =s 0,01

CHƯƠNG 2.

Bài 1 Giải gần đúng phương trình: x−sinx=0, 25 bằng phương pháp lặp với kết quả hai chữ số

lẻ thập phân đáng tin

Bài 2 Dùng phương pháp Newton tính gần đúng nghiệm dương của phương trình với sai số

tuyệt đối không quá 10 :−5 1,8x2−sin10x=0

Bài 3 Dùng phương pháp lặp tính gần đúng nghiệm dương của phương trình với sai số tuyệt đối

không quá 10 :− 5 x3− −x 1000 0=

Bài 4 Cho đa thức p x( ) =2x6 +4x5−3x4+4x3+6x+7

Tìm 1 nghiệm gần đúng của phương trình sau 4 bước bằng phương pháp chia đôi

Bài 5 Giải các phương trình sau bằng phương pháp tiếp tuyến và dây cung để tìm miền nghiệm

tương ứng với sai số <10−3

[ ] [ ]

6 4

5

Bài 6 Giải các phương trình sau bằng phương pháp chia đôi và đánh giá sai số với độ chính xác

là ε =10− 3

1/ xsinx=1,125;x∈ −[ 1,5; 1− ]

2/ x−cos2x=0;x∈[ ]0,1

3/ x−tan(x−0, 25) =0;x∈[1,5; 2]

4/tan(x+ =1) x x2; ∈[ ]0,1

5/ x−3 x− =2 0;x∈[ ]3, 4

6/ x2−4sinx=0;x∈[ ]1,3

7/lnx−3 sinx x+ =2 0;x∈[0,1;0,3]

8/ x2−4sinx− =5 0;x∈[ ]2,3

9/ xln(x− −1) xsin 3x+ =1 0;x∈[1,1; 2]

10/ xln(x− −1) 3 cosx e x− =2 0;x∈[ ]1, 2

3

x

−

2

1 sin

2 0; 0,55;0,62

1 log

x

x

+

13/

( ln 2 1) 7 [ ]

2 3

4 0; 1;1,5 sin 1,1

x

x

+

+

5 2 2

3

x

− +

70 0; 1,5;1,75

2 cos 1

x

Bài 7 Giải các phương trình sau bằng phương pháp lặp đơn và đánh giá sai số với độ chính xác

là ε =10− 5

1/ x3− − =x 1 0;x∈[ ]1, 2

2/ x4−3x2 − =3 0;x∈[ ]1, 2

3/ x4−2x3− =4 0;x∈[ ]2,3

4/ x−tanx=0;x∈[0.2,1]

5/π+0.5sin 0.5( x)=x x; ∈[0, 2π]

6/3x2− =e x 0;x∈[ ]0,1

7/ x2+1.75 3 ;= −x x∈ − −[ 1, 0.5]

8/ x+ln 2( )x − =4 0;x∈[ ]2,3

9/ x x− + =3 1 0;x∈[ ]1, 2

10/ esinx− + =x4 3 0;x∈[ ]1, 2

11/ ( ) 2 [ ]

2 log 2x+ − + =1 x 10 0;x∈ 3, 4

2

x

x

13/ x3−3cosx− =4 0;x∈[ ]1, 2

14/ x−2cosx− =3 0;x∈[ ]2,3

Bài 8 Giải các phương trình sau bằng phương pháp Newton và đánh giá sai số với độ chính xác

là ε =10− 5

1/ x5−2x3− =5 0;x∈[ ]1, 2

2/ x3+3x2− =1 0;x∈ − −[ 3, 2]

2

∈  

4/ 0.8 0.2 cos 0; 0,

2

∈  

5/ e x+2−x+2cosx− =6 0;x∈[ ]1, 2

6/ ( ) ( )2 [ ]

2 cos 2x x − −x 2 =0;x∈ 3, 4

7/lnx x− −2 =0;x∈[ ]1, 2

9/2lnx−0.5x+ =1 0;x∈[0.2,1]

10/ xln 5x x− + =3 6 0;x∈[ ]2,3

Chương 3 Bài 1 Cho hàm số y= f x( ) đo được:

1 Tìm đa thức nội suy của y trên đoạn [-1,4] nhờ đó tínhy( )3 .

2 Tìm xấp xỉ bậc nhất tốt nhất của y theo phương pháp bình phương bé nhất

Bài 2 Cho hàm số 2x với bảng giá trị

x 3,50 3,55 3,60 3,65 3,70

y 33,115 34,813 36,598 38,475 40,477

Hãy lập đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ nút 3,5

Bài 3 Tích phân xác suất: ( ) 2

0

2 x t

φ

π

−

= ∫ không tính được bằng nguyên hàm Bảng giá trị của nó:

y 0,8427 0,8802 0,910

3

0,934 0

0,9523 0,996

1

0,976 3

0,983 8

0,989 1

0,9928 0,9953

Hãy tính φ(1, 43).

Bài 4 Biết rằng đại lượng y là một tam thức bậc hai của x và

x 0,78 1,56 2,34 3,12 3,81

2 2,25 4,28

Hãy lập công thức của y biểu diễn qua x.

Bài 5 Cho các mốc nội suy sau:

y 3.872 3.924 3.952 4.012 4.103

a/ Viết đa thức Lagrange qua các mốc nội suy trên

b/ Tính giá trị của đa thức tại: x=1.52;x=1.58;x=1.625.

Bài 6 Xây dựng đa thức nội suy Lagrange, tính gần đúng giá trị và tính sai số trong các trường

hợp sau:

1/

6

9.7329 10.5511

Tính f (2.05 )

2/

Tính f (8.63 )

3/

Tính 1

3

f − 

Bài 7 Xây dựng đa thức nội suy Lagrange cho các hàm số sau và tính sai số tuyệt đối trong

[x x 0, n]

1/ ( ) 3

x

2/ f x( ) =cos ln( )x x, 0 =2;x1=2.4;x2 =2.6;n=2

3/ f x( ) =ln ,x x0 =0;x1=1.1;x2 =1.3;x3 =1.4;x4 =1.5;n=4

Bài 8 Cho các mốc nội suy:

1/ Viết đa thức nội suy Newton tiến và tính các giá trị x=1;x=3.55

2/Viết đa thức nội suy Newton lùi và tính các giá trị x=4.5;x=6.35

Bài 9 Cho các mốc nội suy:

1/ Viết đa thức nội suy Newton tiến và tính giá trị tại x=0.5

2/Viết đa thức nội suy Newton lùi và tính x=3.75

Bài 10 Cho các mốc nội suy:

f(x) 1.07 1.72 2.38 3.12 4.05

Viết đa thức nội suy Newton bằng phương pháp nội suy cách đều

1/ Dạng tiến và tính các giá trị tại x=0.25;x=0.47

2/ Dạng lùi và tính các giá trị tại x=0.65;x=0.82

Bài 11 Cho các mốc nội suy:

f(x

)

3.228 4.559 5.605 4.867 -0.239

Viết đa thức nội suy Newton bằng phương pháp nội suy cách đều

1/ Dạng tiến và tính các giá trị tại x=0.45;x=0.72

2/ Dạng lùi và tính các giá trị tại x=2.15;x=2.49

Bài 12.Cho bảng nội suy

f(x

)

Xấp xỉ đa thức dạng y= f x( ) = +a bx và tính y( )15 .

Bài 12 Cho bảng nội suy

f(x

)

Xấp xỉ đa thức dạng y= f x( ) = + +a bx cx2 và tính y( )1.5 .

Bài 13 Cho bảng nội suy

f(x

)

0.18 0.17 0.14 0.13 0.08 0.076 0.057 0.039 0.024

Xấp xỉ đa thức dạng y f x( ) 1

a bx

+ và tính y(8.25) .

Bài 14 Cho bảng nội suy

f(x

)

Xấp xỉ đa thức dạng y= f x( ) = +a bcosx c+ sinx và tính y( )5.5 .

Bài 15 Cho bảng nội suy

f(x) 0.05 0.23 0.62 4.62 12.53 34.07 92.61 250 684

Xấp xỉ đa thức dạng y= f x( ) =ae bx(a>0) và tính y(8.25) .

Bài 16 Cho bảng nội suy

f(x

)

0.02 0.09 0.21 0.64 1.79 3.46 7.47 250 684

Xấp xỉ đa thức dạng y= f x( ) =ax a b( >0) và tính y( )12 .

Chương 4 Bài 1 Gi ải các hệ phương trình sau bằng phương pháp lặp 3 bước và đánh giá sai số khi nhận

được giá trị ẩn ở bước lặp thứ 3 là nghiệm gần đúng của hệ

1/







2/

1,05 0,05 0,01 0,185 0,01 2,05 0,05 0,549 0,11 0,12 3,05 2,308







3/

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

50 0,1723

+ − + =









4/

0,02 5, 01 0,11 0,03 25, 05 0,12 0,01 8,13 0,07 20,325









Bài 2 Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Seidel qua 3 bước và đánh giá sai số khi

nhận được giá trị ẩn ở bước lặp thứ 3 là nghiệm gần đúng của hệ

1/

x y z







2/

5,05 0, 05 0,01 10,1 0,01 0, 05 8, 02 24,06 0,11 9,12 0,04 45,6







1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

50 0,1723

+ − + =









4/

0,02 5, 04 0,11 0, 03 75,6









5/

0, 02 31,5 0,11 0,03 53,55

0,12 0,01 10,6 0,04 16, 43

0, 01 0,02 0,18 16, 2 413,1









Chương 5 Bài 1 Cho hàm số y=logx với các giá trị

Hãy tính đạo hàm của hàm số y tại x=50 và so sánh kết quả với tính trực tiếp

Bài 2 Cho tích phân

1

01

dx I

x

= +

∫

Hãy chia đoạn [ ]0,1 thành n=10 đoạn con bằng nhau rồi tính gần đúng I và đánh giá sai số

bằng

a) Công thức Simpson

b) Công thức hình thang

Bài 3 Cho tích phân

1 0

sin x

x

=∫

a) Hỏi phải chia đoạn [0,1] thành mấy đoạn con bằng nhau để khi tính I bằng công thức hình thang bảo đảm được sai số <3.10−4

b) Với n đó khi tính theo công thức simpson thì sai số là bao nhiêu?

c)Hãy tính I với n đã chọn ở bảng trên bằng công thức hình thang và công thức simpson đến 6

chữ số lẻ thập phân

Bài 4 Tính các tích phân sau bằng công thức hình thang với n=10

1

0

x

0,5 3 2

0 2 1

x

x

+

=

+

∫

3/ 1,1 3 ( )

0,1

ln sin

1,5

2 2 1 0,5

x

−

= ∫

0,22

sin 2

x

0,75 2 0,15

x

− +

=

+

∫

Bài 5 Giải lại bài 1 bằng cách sử dụng công thức Simpson 1/3 với n=10

Bài 6 Cho tích phân 0 ( 2 )

1

−

a/ Hỏi phải chia đoạn [-1,0] thành bao nhiêu đoạn bằng nhau để khi tính I bằng công thức hình thang đảm bảo được sai số tuyệt đối nhỏ hơn 10−5

b/ Với n đó khi tính theo công thức Simpson 1/3 thì sai số là bao nhiêu?

c/ Hãy tính I với n=10 bằng công thức hình thang và bằng công thức Simpson 1/3 và đánh giá sai số

Bài 7 Để tính gần đúng tích phân

2,3 3 1,3 1

x

x

=

−

∫ bằng công thức Simpson 1/3 thì cần phải chia đoạn [1,3; 2,3 thành bao nhiêu đoạn bằng nhau để đạt sai số nhỏ hơn ] 10−4

Chương 6 Bài 1 Giải các phương trình vi phân sau bằng phương pháp Euler

1/ y' =x2+5xy+1,y( )0 =0,x∈[ ]0,1 ,n=4, tính giá trị y( )1 ?

2/ y' =x2tany e y+ x, 1( ) =2,x∈[ ]1, 2 ,n=8, tính giá trị y( )2 ?

2

1 2

, 0 0, 2; 0, 4 , 10

1

y

x

−

Bài 2 Giải các phương trình vi phân sau bằng phương pháp Euler cải tiến với độ chính xác

4

10

ε = −

1/y' =e2x+2 ,xy y( )0 =1,x∈[ ]0,1 ,n=2

2

1

, 0 1,5; 0;0, 6 , 3

1

y

x

+

+

3/y' = +2 3xy y2, ( )0 =1;x∈[ ]0,1 ,n=4

Bài 3 Giải các phương trình vi phân sau bằng phương pháp Runge – Kutta

1/y' =x2−2 ,xy y( )0 = −2;x∈[0;0,5 ;] h=0, 25 2/y' =x2cosy−2 , 1xy y( ) =1,5;x∈[ ]1, 2 ;h=0,5 3/y' = y2ln(x+4 ,) ( )y 0 =3;x∈[0;0,5 ;] h=0, 25