Tóm tắt khử phân kỳ bằng phương pháp cắt xung lượng lớn trong lý thuyết trường lượng tử

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN …………………… ………………… Nguyễn Thị Thu KHỬ PHÂN KỲ BẰNG PHƯƠNG PHÁP CẮT XUNG LƯỢNG LỚN TRONG LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết Vật lý toán Mã số: 60.44.01 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: GS.TSKH.TOÁN LÝ NGUYỄN XUÂN HÃN Hà Nội MỞ ĐẦU Việc tính trình vật lý theo lý thuyết nhiễu loạn bậc thấp lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến (các giản đồ Feynman, không chứa vòng kín) ta không gặp tích phân phân kỳ, tính bổ lượng tử bậc cao cho kết thu được, ta gặp phải tích phân kỳ vùng xung lượng lớn hạt ảo, tương ứng với giản đồ Feynman có vòng kín hạt ảo Việc tách phần hữu hạn phần phân kỳ tích phân phân kỳ phải tiến hành theo cách tính toán nào? Phần phân kỳ phần hữu hạn giải thích vật lý sao? Bỏ phần phân kỳ vào đâu để có kết thu cho trình vật lý hữu hạn Lưu ý: việc loại bỏ phân kỳ lý thuyết trường nhiệm vụ trọng yếu vật lý lý thuyết kể từ đời đến nay, ta cần phải nghiên cứu, tìm hiểu giải Mục đích luận văn Thạc sĩ vận dụng cách khử phân kỳ tử ngoại phương pháp cắt xung lượng lớn hạt ảo gần vòng kín minh họa trình tái chuẩn hóa khối lượng điện tích electron QED bậc thấp lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến cho trình vật lý Bản luận văn Thạc sĩ gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận, tài liệu tham khảo số phụ lục Chương 1: Các giản đồ phân kỳ vòng Chương 2: Tách phân kỳ giản đồ vòng phương pháp cắt xung lượng lớn Chương 3: Tái chuẩn hóa điện tích khối lượng QED Phần kết luận: Tóm tắt lại kết thu luận văn thảo luận khả vận dụng hình thức luận tính toán cho lý thuyết trường tương tự CHƯƠNG S = =< f | S ( 0) ( 1) |i > + < f |S |i > + < f |S ( 2) | i > + =< fi |1| > +iT < f | ò L int(x)d4x | i > + (i) + 2! T < f | ò L int(x)L int(y)d4xd4y | i > + (1.4) 1.2 Hàm Green hàm đỉnh Hàm Green hai điểm tổng giản đồ liên kết yếu mà thành phần giản đồ liên kết mạnh1 hạt Hàm Green photon, xác định công thức: Gmn( (1.5) |A0> ( y x n m Trong véctơ trạng thái chân không trường tương tác, toán tử trường điện từ biểu diễn Heisenberg Hàm Green photon (1.5) biểu diễn tổng giản đồ sau: i Π γµ i Π γµ Hình 1.1 Hàm truyền đầy đủ photon ten xơ phân cực chân không Hàm Green electron, xác định tương tự công thức sau: G ( yabab(y (x (1.6) iΣ Trong , toán tử trường electron – positron biểu diễn Heisenberg Hàm Green electron biểu diễn tổng giản đồ sau: G J m*= m m ab LG Hình 1.2 Các đồ thị hàm truyền đầy đủ electron phần lượng riêng Hàm đỉnh được xác định bằng: (1.7) Giản đồ Feynman (1.7) tương ứng : 1.3 Bậc hội tụ giản đồ Feynman Tất tích phân có dạng: (1.8) v = F = 2v = e p + Mỗi đỉnh tương ứng với đường photon, số đỉnh tổng số đường photon, phải ý số đường phải tính đến hai lần nối với hai đỉnh: (1.9) + Mỗi đỉnh tương ứng với hai đường xung lượng electron, tổng số đỉnh nửa số đường xung lượng electron: (1.10) Từ (1.9) (1.10) ta thu được: (1.11) (1.12) (Fe + K1 = Nếu có n đường số hàm delta chứa biến đường (n-1), số biến tiếp tục giảm Tổng số đường Vậy số biến độc lập là: (1.13) 10 D S K 22 = p Do ~ ~, bậc luỹ thừa mẫu là: (1.14) Thay (1.11) (1.12) vào (1.13) 11 (1.14) ta thu được: (1.15) (1.16) K 12 = 12 K 21 JK = = Với số biến độc lập, bậc mẫu, ta viết định tính: (1.17) Đưa vào tham số mới: (1.18) Thay (1.15) (1.16) K = Ne + N p - vào biểu thức (1.18) ta 13 thu được: ﾧ (1.19) Từ tham số ta đưa bậc hội tụ hay phân kỳ biểu thức (1.17): Khi phân tích giản đồ Feynman QED, giản đồ Feynman tiêu biểu chứa phân kỳ có dạng cho đây: Hình 1.4 Giản đồ lượng Hình 1.5 Giản đồ lượng riêng electron riêng photon : Hình 1.7 Quá trình tán xạ Hình 1.6 Giản đồ đỉnh bậc ánh sáng – ánh sáng 14 (2) mn P ( CHƯƠNG TÁCH PHÂN KỲ TRONG GIẢN ĐỒ MỘT VÒNG 2.1 Giản đồ phân cực photon Hình 2.1 Giản đồ phân cực photon Giản đồ phân cực photon bậc thấp Hình 2.1 tương ứng với biểu thức: (2.1) 15 Π Π P (2) (2) µν (2) Bây ta biểu diễn tenxo qua hàm vô hướng : (2.2) Trong đó: (2.3) (2.4) k k  1 Π (2) (k ) =  g µν − µ 2ν ÷Π (2) µν ( k ) 3 k  Từ suy ra: Nhân hai vế (2.2) với ta nhận công thức (2.4) k µ kν k2 Π µν (( ( /mn k µ kν  k µ kν  ( 2) k ( )  k k k  ( 2) ( k ) =  g µν − ÷Π k + Π / k =  − ÷Π k + Π (/ 2) k k  k  k k  k Từ suy ra: k µ kν = ( ) ( ) g g µν = g µν k ⇒ µν g µν kµ kν = g µν g µν k = k 4 ( ) Để chứng minh mối liên hệ ta cần thay (2.3) (2.4) vào (2.2), với ý hệ thức liên hệ : ; 16 ( ) k µ kν k2 22)) Π ((µν (( k )) ( ) pˆ − kˆ − m ( pˆ − m ) e2 Π µν ( k ) = Sp γ µ γν d4p (2π ) ∫ p + m ( p − k ) + m ( 2) Để tính trước hết ta tính Từ (2.1), suy ra: ( ) − pk + p  = { ( p  ) ( ﾧ Sp γ µ ( pˆ − m ) γ ν  pˆ − kˆ − m  = 16m + p ( p − k )   ( ) Π µν ( ( ) =  2m 2 } ) − pk + k + m + m − k + pk   (2.5) Lấy vết tử thức (2.5): ( 2) Π µν = ﾧ 8e ( 2π )  I1 + kσ I + (m − k ) I  (2.6) Thay (2.6) vào (2.5): ﾧ   Λ2 I1 = −iπ  m ln − Λ ÷ (2.7) m   Tính tích    Λ2  k2 I = −iπ ∫ dx  − ln + ÷+ ln 1 + x(1 − x) ÷ phân I1, I2, I3 m 2  m   theo xung lượng    Λ  k I = −iπ ∫ dx 1 − ln ÷+ ln 1 + x (1 − x) ÷ chiều: m   m   (2.8) ﾧ (2.9) ﾧ (2.10) Thay I1, I2, I3 vào (2.7) ta thu được: (2.11) Tiếp theo, tính: : k µ kν k Π (µν2 ) ( k ) 17 k µ kν k Π µν ( k ) = ( 2) kµ kν e2 ( 2π ) k Sp ∫ γ µ ( pˆ − m ) γ p +m 2 ν ( pˆ − kˆ ) − m ( p−k) +m d4p kµ kν iπΠ = −2 k ( ) kˆ ( pˆ − m ) kˆ  pˆ − kˆ − m  e2   d4p = Sp ∫ 2 2 (2π ) k p + m ( p − k ) + m    ﾧ ( ) ﾧ (2.12) { ( } { ) Sp kˆ ( pˆ − m ) kˆ i pˆ − kˆ − m  = ( p − k ) + m − k + pk  k − ( pk ) µ ( pk ) ν     } Vết tử thức (2.12): (2.13) k µ kν k2 Π (µν2) ( k ) = 4e ( 2π ) Thay  d4 p  d4p ∫  −k ∫  p + m2 ( p + m ) ( p − k ) + m   (2.13) vào   pσ d p   (2.12) thu +3kσ ∫  2 ( p + m ) ( p − k ) + m    được:   pµ pν d p −2 k µ kν  ∫ 2 2   k ( p + m )  ( p − k ) + m    (2.14) Ba tích phân đầu I1, I2, I3 tính theo biểu thức (2.8 – 2.10), ta phải tính tích phân thứ tư: I4 = ∫ ﾧ ( pµ pν d p ) ﾧ p + m ( p − k ) + m     Λ2   11  k2 2 +iπ k µ kν ∫ x dx  ln − ln  + x ( − x ) ÷−   m  6  m 2 (2.15) Thay I1, I2, I3 vào (2.14) rút gọn ta thu biểu thức (2.16) sau: (2.16) Thay (2.11) (2.16) vào (2.3): 18 Π ( k) ﾧ   8iπ e  k2 k  Λ2  = k x ( − x ) ln 1 + x ( − x ) ÷dx −  ln − ÷   m  ( 2π )  ∫0  m  (2.17) Khai triển Taylor theo ta thu Π ( 2k) 2( k ) được: Π ( 2) ( k) = Π ( 2)  ∂Π ( ) ( k ) ( ) +   ∂ k ( )  ÷ k + Π (R2) k ÷2  k =0 ﾧ ( ) (2.18) Hơn nữa, từ công thức (2.18) ta rút ra: Π ( 2) ( ) =   8iπ e  Λ2 Λ2 2  Λ − m ln − m − ln + + ln1÷dx  =   2 ∫ m m ( 2π )    ﾧ 0 = 8iπ e ( 2π ) (Λ − m2 ﾧ ) (2.19)  ∂Π ( ) ( k )    k2  ÷ = ∫ x ( − x ) ln 1 + x ( − x ) ÷dx +  ∂1k ÷  m        k2  Λ2  ∂ +k x − x ln + x − x dx − )  ( ) ÷   ln − ÷  ( ∂k  ∫0  m   6 m 6ﾧ ﾧ ( )  ∂Π ( ) ( k )   ∂ k2  ( ) ( 2) ( ) = Π ( k) −Π ΠR k ﾧ   Λ2  ÷ = −  ln − ÷ ÷2 6 m 6  k =0 (2.21) ( 2) ( 2) Vậy : ﾧ (2.20) Suy ra: ﾧ  ∂Π ( 2) ( k )  k ÷ ( ) −  ÷2  ∂k     8iπ 2ek 2=0 k2 = k x − x ln + x ( − x ) ÷dx  ( )   ∫ ( 2π )   m   1 0 V0 ( a ) = ∫ ln 1 + ax ( − x )  dx = ∫ x ln 1 + ax ( − x ) dx 19 Chú ý: (2.22)   − + 1   2 a  V1 ( a ) = ∫ x ( − x ) ln 1 + ax ( − x ) dx =  − − 1 − ÷ − ln a a a     − + 1  a   ( i (( γ2)) Π = − GRR ( k 1 z− 1 4 V0 ( a ) = ∫ ln 1 + ax ( − ax ) dx = −2 + + ln , z± = 1 ± + ÷ a 1+ 2 a÷  z+ 1− ﾧ (2.23)  k2 ln + ∫0  4m2 −η ( )  k2 + − η dη = −4 ( − θ cot gθ )   4m ( ) ﾧ (2.24) Ta thu (2.25)  k2  4 2 η ln ∫−1 1 + m2 −η dη  = − + ( − θ cot gθ ) cot g θ 2.2 Giản đồ ( ) (2.26) Tính giá trị tích phân (2.21) theo x, ta có kết cuối cùng: ( ) Π (R2 ) k = iα  4m − 2k  k  + ( − θ cot gθ ) ÷ π 3k 9  (2.28) 20 (2.27) [...]... hội tụ hay phân kỳ của biểu thức (1.17): Khi phân tích các giản đồ Feynman trong QED, các giản đồ Feynman tiêu biểu chứa phân kỳ có dạng cho dưới đây: Hình 1.4 Giản đồ năng lượng Hình 1.5 Giản đồ năng lượng riêng của electron riêng của photon : Hình 1.7 Quá trình tán xạ Hình 1.6 Giản đồ đỉnh bậc 3 ánh sáng – ánh sáng 14 (2) mn P ( CHƯƠNG 2 TÁCH PHÂN KỲ TRONG GIẢN ĐỒ MỘT VÒNG 2.1 Giản đồ phân cực photon... 2 pk + k 2 + m 2 + m 2 − k 2 + pk   (2.5) Lấy vết của tử thức (2.5): ( 2) Π µν = ﾧ 8e 2 ( 2π )  I1 + kσ I 2 + (m − k ) I 3  (2.6) 2 4 2 Thay (2.6) vào (2.5): ﾧ   Λ2 I1 = −iπ 2  m 2 ln 2 − Λ 2 ÷ (2.7) m   Tính các tích    Λ2 3  k2 I 2 = −iπ 2 ∫ dx  − ln 2 + ÷+ ln 1 + 2 x(1 − x) ÷ phân I1, I2, I3 m 2  m  0  1 theo xung lượng    Λ  k I 3 = −iπ 2 ∫ dx 1 − ln 2 ÷+ ln 1... ánh sáng 14 (2) mn P ( CHƯƠNG 2 TÁCH PHÂN KỲ TRONG GIẢN ĐỒ MỘT VÒNG 2.1 Giản đồ phân cực photon Hình 2.1 Giản đồ phân cực photon Giản đồ phân cực của photon ở bậc thấp nhất trên Hình 2.1 tương ứng với biểu thức: (2.1) 15 Π Π P (2) (2) µν (2) Bây giờ ta biểu diễn tenxo qua hàm vô hướng : (2.2) Trong đó: (2.3) (2.4) k k  1 Π (2) (k 2 ) =  g µν − µ 2ν ÷Π (2) µν ( k ) 3 k  Từ đây suy ra: Nhân hai vế... pk ) µ ( pk ) ν     } Vết của tử thức (2.12): (2.13) k µ kν k2 Π (µν2) ( k ) = 4e 2 ( 2π ) 4 Thay  d4 p  d4p 2 ∫ 2  −k ∫ 2  p + m2 ( p + m 2 ) ( p − k ) 2 + m 2   (2.13) vào   pσ d 4 p   (2.12) thu +3kσ ∫ 2  2 2 2 ( p + m ) ( p − k ) + m    được:   pµ pν d 4 p −2 k µ kν  2 ∫ 2 2 2 2   k ( p + m )  ( p − k ) + m    (2.14) Ba tích phân đầu chính là I1, I2, I3 chúng... pµ pν d 4 p −2 k µ kν  2 ∫ 2 2 2 2   k ( p + m )  ( p − k ) + m    (2.14) Ba tích phân đầu chính là I1, I2, I3 chúng ta đã tính ở trên theo biểu thức (2.8 – 2.10), ta chỉ còn phải tính tích phân thứ tư: I4 = ∫ ﾧ ( pµ pν d 4 p ) ﾧ 2 p + m ( p − k ) + m 2  1    Λ2   11  k2 2 2 +iπ k µ kν ∫ x dx  ln 2 − ln  1 + 2 x ( 1 − x ) ÷−   m  6 0  m 2 2 (2.15) Thay I1, I2, I3 vào (2.14)... 1 − η 2 dη = −4 ( 1 − θ cot gθ )  2  4m ( ) ﾧ (2.24) Ta thu (2.25)  1 k2  4 4 2 2 η ln ∫−1 1 + 4 m2 1 −η dη  = − 9 + 3 ( 1 − θ cot gθ ) cot g θ 2.2 Giản đồ 1 ( 2 ) (2.26) Tính giá trị của tích phân (2.21) theo x, ta có kết quả cuối cùng: ( ) Π (R2 ) k 2 = iα 2  1 4m 2 − 2k 2  k  + ( 1 − θ cot gθ ) ÷ π 3k 2 9  (2.28) 20 (2.27)