Ordonnancement sous contraintes de consommation énergétique

Institut de la Francophonie pour l’Informatique de Hanoi Ordonnancement sous contraintes de consommation énergétique Mémoire de fin d’études MANGOUA SOFACK William (mswilliam@ifi.edu.vn) Encadrement : Christian ARTIGUES et Pierre LOPEZ Laboratoire d’Analyse et d’Architecture des Systèmes 19 octobre 2009 Dédicaces A Mon matelas, Ma couverture, Mon oreiller i Remerciements Mes premiers remerciements vont mes encadreurs Christian ARTIGUES et Pierre LOPEZ pour le temps qu’il m’ont consacré durant ce stage, leur soutien, leurs conseils scientifiques, leur disponibilité et leurs aides précieuses qui ont été nécessaires pour aller jusqu’au bout de ce travail de stage Je tiens remercier tous les membre de l’équipe MOGISA, particulièrement : Oumar (Le Mogor), Wafa, Touria et Christèle pour leur amitié, leur soutien et leur accueil dans le groupe Je remercie Monsieur Ngo Hong Son pour avoir accepté d’être le rapporteur de ce travail et pour son précieux temps qu’il y a accordé Je tiens remercier le directeur et les Professeurs de l’IFI, qui m’ont donné des connaissances et m’ont aidé, par leurs encouragements bien suivre la formation de master Je remercie aussi tout le staff administratif de l’IFI pour leurs encouragement Il s’agit de M Son, Mme Hien, Mme Loan et M Tuan Je remercie sincèrement mes camarades de classes qui m’ont accueilli et couvert de beaucoup de chaleur durant mon séjour au Vietnam Je fais un clin d’œil particulier Kim Dung, Giap, Hiep et Luyen Mes remerciements vont aussi aux membres de ma grande famille pour leur encouragement, leurs prières et leur présence malgré la distance Je ne saurais terminer sans remercier mes amis, les Bikunda ii Résumé Le raisonnement énergétique est une technique particulière de propagation de contraintes Celui-ci s’appuie sur les concepts d’intervalle tempsressource et d’énergie pour raisonner simultanément sur les contraintes de temps et de ressources Il est basé sur l’évaluation de l’énergie réellement disponible pour l’exécution d’une tâche sur un intervalle de temps, compte tenu de la consommation des autres tâches Grâce cette évaluation, des bilans énergétiques peuvent mettre en évidence un manque d’énergie sur cet intervalle, ce qui amène produire des conditions de séquencement entre tâches ou interdire la localisation d’une tâche sur certains intervalles de temps La littérature nous propose un ensemble d’intervalles utiliser pour détecter une infaisabilité d’un problème de type cumulatif (CuSP : Cumulative Scheduling Problem) Dans ce rapport, nous proposons un ensemble d’intervalles semblables, approprié un contexte plus général de problème énergétique (EnSP : Energetic Scheduling Problem) Mots-clés : recherche opérationnelle, programmation par contraintes, propagation de contraintes, raisonnement énergétique, analyse énergétique, intervalle temps-ressource, consommation obligatoire, problème EnSP, problème CuSP iii Abstract The energetic reasoning is a special technique of constraint propagation It builds on the concepts of time-resource interval and energy simultaneously to reason about the time constraints and resources constraints It is based on the evaluation of the energy actually available for the execution of a task on a time interval, given the consumption of other tasks Through this quantification, energy audits can highlight a lack of energy on this interval, which leads to produce conditions of sequencing between tasks or prohibit the location of a certain task on time intervals The literature offers a set of intervals to be used to detect infeasibility of a cumulative problem (CuSP : Cumulative Scheduling Problem) In this report we propose a set of similar intervals, suitable for a more general problem of energy (EnSP : Energetic Scheduling Problem) Keywords : operational research, constraint programming, constraint propagation, energetic reasoning, energetic analysis, time-ressource interval, required consumption, EnSP problem, CuSP problem iv Table des matières Dédicaces i Remerciements ii Résumé iii Abstract iv Table des matières vi Introduction générale 1.1 Introduction 1.2 Problématique, contexte et 1.3 Contribution 1.4 Plan du mémoire positionnement Etat de l’art 2.1 Problème d’ordonnancement sous contraintes énergétiques 2.1.1 Introduction 2.1.2 Définition 2.1.3 Classification 2.1.4 Le problème EnSP 2.2 Propagation de contraintes 2.2.1 Introduction 2.2.2 Techniques de propagation de contraintes pour les ressources cumulatives v 1 3 4 11 11 12 vi TABLE DES MATIÈRES 2.3 2.4 2.5 2.6 Le raisonnement énergétique 2.3.1 L’intervalle temps-ressource 2.3.2 Consommation obligatoire d’une tâche sur un intervalle fournisseur Principe de l’approche énergétique 2.4.1 Propriétés du raisonnement énergétique 2.4.2 Problème du raisonnement énergétique Autres approches du raisonnement énergétique 2.5.1 Raisonnement énergétique amélioré 2.5.2 Raisonnement énergétique / enveloppe énergétique 2.5.3 Raisonnement énergétique pour des activités trapézoïdales Résumé et analyse de l’existant Le raisonnement énergétique pour le problème EnSP 3.1 Introduction 3.2 Les instants remarquables 3.2.1 Analyse énergétique au plus tôt 3.2.2 Analyse énergétique au plus tard 3.2.3 Les combinaisons possibles des instants remarquables 3.2.4 Cas particulier du problème CuSP 3.3 Propriétés des instants remarquables 3.4 Les intervalles remarquables 3.4.1 Les bornes des intervalles remarquables 3.4.2 Réduction de l’ensemble d’intervalles 12 13 14 16 16 17 19 19 19 19 20 23 23 25 25 34 35 40 42 45 45 46 Conclusion générale 47 4.1 Conclusion 47 4.2 Perspectives 48 Ordonnancement sous contraintes de consommation énergétique Table des figures 2.1 2.2 2.3 Situation de notre travail Source : [Lop91] Solution d’un problème EnSP Source : [ALH09] 11 Cas possibles pour 𝑤𝐿 (𝑖, 𝑡1 , 𝑡2 ) Source : [ALH09] 15 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 3.13 3.14 3.15 3.16 3.17 3.18 3.19 Analogie EnSP/Principe des vases communicants Instant remarquable 𝑥1 Progression de 𝑓 (𝑥) en grande pente Instant remarquable 𝑥2 Progression de 𝑓 (𝑥) en petite pente Instant remarquable 𝑥3 Progression de 𝑓 (𝑥) en grande pente Tâche calée gauche l’instant remarquable 𝑥4 Tâche calée droite l’instant remarquable 𝑥4 Tâche calée gauche l’instant remarquable 𝑥5 Tâche calée droite l’instant remarquable 𝑥5 Configuration Allure de 𝑓 (𝑥) avec la configuration Configuration Allure de 𝑓 (𝑥) avec la configuration Configuration Allure de 𝑓 (𝑥) avec la configuration Configuration Allure de 𝑓 (𝑥) avec la configuration vii 24 25 26 27 28 29 29 30 32 32 33 36 37 38 38 39 39 40 41 Liste des tableaux 2.1 2.2 2.3 2.4 Les contraintes de l’exemple Les résultats des calculs de l’exemple Mise en évidence de l’infaisabilité de l’exemple Contraintes de l’exemple 3.1 3.2 Instants remarquables issus de l’analyse énergétique au plus tôt Instants remarquables issus de l’analyse énergétique au plus tard Ensembles d’instants remarquables issus de l’analyse énergétique au plus tôt Ensembles d’instants remarquables issus de l’analyse énergétique au plus tard Similitudes entre les résultats des problèmes CusP et EnSP Intersection des plans 3.3 3.4 3.5 3.6 viii 21 21 21 22 34 35 41 41 42 43 Chapitre Introduction générale 1.1 Introduction L’objectif général du stage concerne l’organisation de l’exécution d’activités (ordonnancement) et la maîtrise des consommations d’énergie électrique dans les ateliers de production La méthodologie proposée est l’application de techniques de propagation de contraintes particulières (faisant référence au «raisonnement énergétique») pour limiter les décisions en termes d’allocation de machines aux activités et de positionnement temporel de ces activités Si le raisonnement énergétique existe et a été exploité pour la résolution de problèmes d’ordonnancement depuis une quinzaine d’années, il n’a jamais été étendu pour la prise en compte de contraintes particulières issues des consommations électriques dans la fabrication de biens (on a notamment un intervalle de puissances respecter sur des fours qui constituent nos machines ainsi qu’un lien entre la puissance utilisée par les machines et les durées des activités) Des premiers résultats ont été obtenus et montrent le bien-fondé de l’emploi d’un tel raisonnement dans ce contexte Il reste toutefois valider les formules analytiques proposées, identifier les intervalles temporels pertinents pour l’application du raisonnement énergétique, intégrer l’approche dans une méthode de résolution générale («Branch-and-Bound»), enfin valider expérimentalement la démarche par une série de tests réalistes 3.2 Les instants remarquables 38 Figure 3.14 – Configuration Figure 3.15 – Allure de 𝑓 (𝑥) avec la configuration La figure 3.16 nous donne une représentation graphique de cette configuration La valeur de 𝑓 (𝑥) est nulle avant 𝑥1 Elle croit linéairement ensuite selon une pente 𝑏𝑚𝑎𝑥 jusqu’à l’instant 𝑥2 Puis, elle continue d’être linéairement 𝑖 croissante, mais cette fois-ci selon une pente plus petite qui est 𝑏𝑚𝑖𝑛 La 𝑖 situation continue ainsi jusqu’à l’instant 𝑥5 où elle devient constante et le demeure La figure 3.17, qui présente une allure de la courbe de la fonction Ordonnancement sous contraintes de consommation énergétique 3.2 Les instants remarquables 39 Figure 3.16 – Configuration 𝑓 , illustre bien ces propos Figure 3.17 – Allure de 𝑓 (𝑥) avec la configuration configuration : 𝑡 > 𝑟𝑖 et 𝑊𝑖 > 𝑏𝑚𝑎𝑥 ⋅ (𝑡 − 𝑟𝑖 ) + 𝑏𝑚𝑖𝑛 ⋅ (𝑑𝑖 − 𝑡) 𝑖 𝑖 On est en présence de cette configuration lorsque l’énergie 𝑊𝑖 est plus grande que celle qu’on pourrait mettre après 𝑟𝑖 + 𝑑𝑖 − 𝑡 et dans le petit canal Ordonnancement sous contraintes de consommation énergétique 3.2 Les instants remarquables 40 de 𝑏𝑚𝑖𝑛 En d’autres termes, on doit avoir 𝑖 ⋅ (𝑑𝑖 − 𝑡) ⋅ (𝑡 − 𝑟𝑖 ) + 𝑏𝑚𝑖𝑛 𝑊𝑖 > 𝑏𝑚𝑎𝑥 𝑖 𝑖 La figure 3.18 nous donne un exemple d’une telle configuration Figure 3.18 – Configuration La figure 3.19 nous donne une allure de la courbe de la fonction 𝑓 La valeur de 𝑓 est nulle avant 𝑥1 Elle croit linéairement suivant la droite de pente 𝑏𝑚𝑎𝑥 ensuite, jusqu’à l’instant 𝑥2 où cette croissance continue linéairement 𝑖 mais suivant la pente 𝑏𝑚𝑖𝑛 Cette situation continue ainsi jusqu’à l’instant 𝑖 𝑥3 A partir de cet instant, 𝑓 se met de nouveau croître linéairement selon la pente 𝑏𝑚𝑎𝑥 jusqu’à l’instant 𝑥6 𝑖 Les tableaux 3.3 et 3.4 nous donnent un récapitulatif des combinaisons possibles des instants remarquables, dans le cas de l’analyse énergétique au plus tôt et de l’analyse énergétique au plus tard respectivement 3.2.4 Cas particulier du problème CuSP Ce paragraphe vise ressortir les similitudes entre nos résultats et ceux existant concernant les instants remarquables du problème CuSP Pour ramener un problème EnSP dans un contexte CuSP, il suffit de poser 𝑏𝑚𝑎𝑥 = 𝑏𝑚𝑖𝑛 𝑖 𝑖 Ordonnancement sous contraintes de consommation énergétique 41 3.2 Les instants remarquables Figure 3.19 – Allure de 𝑓 (𝑥) avec la configuration Ensemble d’instants {𝑥1 , 𝑥6 } conditions 𝑡 < 𝑟𝑖 𝑊𝑖 𝑟𝑖 𝑚𝑖𝑛 ⋅(𝑟 +𝑑 −2⋅𝑡)𝑏𝑖 ⋅(𝑡−𝑟𝑖 )+𝑏𝑖 ⋅(𝑑𝑖 −𝑡) > 𝑟𝑖 & 𝑡 > 𝑟𝑖 Table 3.3 – Ensembles d’instants remarquables issus de l’analyse énergétique au plus tôt Ensemble d’instants {𝑥′1 , 𝑥′6 } conditions 𝑡 > 𝑑𝑖 𝑊𝑖 𝑟𝑖 )  𝑖 𝑖  ) (  ⎨ 𝑏𝑚𝑎𝑥 ⋅(𝑡−𝑟𝑖 )+𝑏𝑚𝑖𝑛 ⋅(𝑟𝑖 +𝑑𝑖 −2⋅𝑡) 𝑟𝑖 ⋅ (𝑡 − 𝑟𝑖 ) + 𝑏𝑚𝑖𝑛 {𝑥2 , 𝑥5 } 𝑠𝑖 𝑊𝑖 < 𝑏𝑚𝑎𝑥 𝑖 𝑖     ⎩ {𝑥 , 𝑥 } 𝑠𝑖 (𝑊 > 𝑏𝑚𝑎𝑥 ⋅ (𝑡 − 𝑟 ) + 𝑏𝑚𝑖𝑛 ⋅ (𝑑 − 𝑡) ∧ 𝑡 > 𝑟 ) 𝑖 𝑖 𝑖 𝑖 𝑖 𝑖 et ⎧ { ′}  𝑥4 𝑠𝑖 (𝑊𝑖 < 𝑏𝑚𝑎𝑥 ⋅ (𝑑𝑖 − 𝑡) + 𝑏𝑚𝑖𝑛 ⋅ (2 ⋅ 𝑡 − 𝑟𝑖 − 𝑑𝑖 ) ∧ 𝑡 < 𝑑𝑖 )  𝑖  ( 𝑖 )  𝑚𝑎𝑥 ⋅(𝑑 −𝑡)+𝑏𝑚𝑖𝑛 ⋅(2⋅𝑡−𝑟 −𝑑 ) 𝑏𝑚𝑎𝑥 ⋅ (𝑑 − 𝑡) + 𝑏𝑚𝑖𝑛 ⋅ (𝑡 − 𝑟 ) ∧ 𝑡 < 𝑑 ) 𝑖 𝑖 𝑖 𝑖 𝑖 𝑖 Ordonnancement sous contraintes de consommation énergétique 3.4 Les intervalles remarquables 46 Finalement, en tenant compte des contraintes comme 𝑡1 < 𝑡2 , nous définissons les intervalles [𝑡1 , 𝑡2 ] avec 𝑡1 ∈ 𝑂1 et 𝑡2 ∈ 𝑂2 ou bien 𝑡1 ∈ 𝑂1 et 𝑡2 ∈ 𝑂𝑅 ou enfin 𝑡1 ∈ 𝑂𝐿 et 𝑡2 ∈ 𝑂2 , avec ⎧ { } { } 𝑊𝑖 𝑊𝑖  𝑂 = {𝑟 , 𝑖 ∈ 𝐴} ∪ 𝑟 + , 𝑖 ∈ 𝐴 ∪ 𝑑 − , 𝑖 ∈ 𝐴  𝑖 𝑖 𝑖 𝑏𝑚𝑎𝑥 𝑏𝑚𝑎𝑥  𝑖 𝑖  { } { }  ⎨ 𝑊𝑖 𝑊𝑖 𝑂2 = {𝑑𝑖 , 𝑖 ∈ 𝐴} ∪ 𝑟𝑖 + 𝑏𝑚𝑎𝑥 , 𝑖 ∈ 𝐴 ∪ 𝑑𝑖 − 𝑏𝑚𝑎𝑥 , 𝑖 ∈ 𝐴 𝑖 𝑖   𝑂𝑅 = {𝑅𝑖 (𝑡), 𝑡 ∈ 𝑂1 𝑒𝑡 𝑖 ∈ 𝐴}    ⎩ 𝑂 = {𝐿 (𝑡), 𝑡 ∈ 𝑂 𝑒𝑡 𝑖 ∈ 𝐴} 𝐿 𝑖 Il est aisé de remarquer que si l’on se ramène au cas CuSP, 𝑂𝑅 = 𝑂𝐿 = {𝑟𝑖 + 𝑑𝑖 − 𝑡 𝑖 ∈ 𝐴} On obtient bien alors le même ensemble d’intervalles que celui qui existe déjà pour le problème CuSP 3.4.2 Réduction de l’ensemble d’intervalles Les intervalles obtenus représentent les extrema de la fonction 𝑆𝐿 Ce qui signifie qu’on aura les maxima et les minima On gagnerait énormément pourvoir caractériser ces intervalles de façon se concentrer uniquement sur les minima qui nous intéressent davantage pour le moment Ceci pourrait alors réduire considérablement la complexité d’un éventuel algorithme de détection d’infaisabilité d’un problème EnSP Ordonnancement sous contraintes de consommation énergétique Chapitre Conclusion générale 4.1 Conclusion Le but principal de ce travail était de trouver un ensemble d’intervalles sur lesquels il est suffisant de mener l’analyse énergétique pour conclure de l’infaisabilité d’un problème EnSP au sens du raisonnement énergétique Ces intervalles devant être tels que s’il ne peuvent prouver l’infaisabilité d’un problème EnSP, alors aucun autre intervalle ne le peut Pour mener bien ce travail, nous avons étudié le raisonnement énergétique en détail, précisément son application au problème CuSP Les résultats existants proposent en effet un ensemble clairement identifié de tels intervalles pour le problème CuSP, qu’on peut voir comme étant un cas particulier du problème EnSP, pour lequel très peu de littérature existe Nous avons appliqué le raisonnement énergétique au problème EnSP et avons dans un premier temps proposé un état de l’art sur le sujet Ensuite, nous avons repris le concept d’instant remarquable et avons proposé ceux du problème EnSP, en précisant aussi les propriétés qui les caractérisent dans ce cas précis Nous nous sommes servi de ces instants remarquables en tenant compte de leurs propriétés pour proposer l’ensemble d’intervalles cherché pour le problème EnSP Nous avons enfin vérifié que nos résultats coïncident avec ceux existants pour le problème CuSP Nous avons aussi écrit un simulateur dans l’environnement NetLogo, per- 47 4.2 Perspectives 48 mettant de simuler une analyse énergétique au plus tôt Ce qui a été déterminant pour la détection de tous les instants remarquables 4.2 Perspectives Les bornes de l’ensemble d’intervalles proposé pour le problème EnSP représentent en fait les extrema de la fonction de consommation énergétique 𝑆𝐿 Ce qui signifie que cet ensemble contient les minima et les maxima Une possibilité de suite pour ces travaux serait d’essayer de caractériser d’avantage les instants remarquables de façon ne retenir que les paires qui correspondent uniquement des minima, ce qui passe notre avis par une bonne maîtrise des fonctions deux variables, linéaires par morceaux Dans un problème EnSP, le but est de trouver la solution Or, nos travaux ne touchent que l’aspect faisabilité du problème Il serait donc intéressant de l’intégrer dans un schéma général de résolution de type Branch-and-Bound Dans ce cas, il faudrait au préalable mener une expérimentation dans le but d’évaluer les performances et valider ces résultats Dans cette phase d’expérimentation, nous proposons aussi, compte tenu de la justification apportée au fait que 𝑡 ne doit pas être un instant remarquable qui dépend de 𝑡, que les cas 𝑂𝑅 = {𝑅𝑖 (𝑟𝑗 ) 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐴} et 𝑂𝐿 = {𝐿𝑖 (𝑑𝑗 ) 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐴} soient étudié avec attention Ordonnancement sous contraintes de consommation énergétique Bibliographie [ALH09] C Artigues, P Lopez, and A Hait Scheduling under energy constraints In International Conference on Industrial Engineering and Systems Management (IESM’2009), Montréal, Canada, 3-15 Mai 2009 [Bak74] K.R Baker Introduction to sequencing and scheduling John Wiley & Sons, New-York, 1974 [Bap98] P Baptiste Une étude théorique et expérimentale de la propagation des contraintes de ressources PhD thesis, Université de Technologie de 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P Lopez Energie et ordonnancement page du groupe Modélisation, Optimisation et Gestion Intégrée de Systèmes d’Activités (MOGISA), 2004 [MT63] J F Muth and G L Thompson Industrial scheduling PrenticeHall international series in management, New-Jersey, 1963 [NBG01] E Néron, P Baptiste, and J.N.D Gupta Solving hybrid flow shop problem using energetic reasoning and global operations Omega, 29 :501–511, 2001 [NG06] N Navet and B Gaujal Ordonnancement temps réel et minimisation de la consommation d’énergie In In Systèmes temps réel - Ordonnancement, réseaux et qualité de service, number 10 : 2746213044 / 13 : 978-2746213043 in Traité IC2, Information Commande - Communication Hermès - Lavoisier, 2006 [Roy70] B Roy Algèbre moderne et théorie des graphes, volume II Dunod, Paris, 1970 [Slo81] R Slowinski Multiobjective network scheduling with efficient use of renewable and nonrenewable resources European Journal of Operational Research, :265–273, 1981 [TLN04] F Tercinet, C Lenté, and E Néron 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ộvidence dune contrainte redondante relativement la contrainte Ordonnancement sous contraintes de consommation ộnergộtique 2.3 Le raisonnement ộnergộtique 12 induite ; modification de lensemble des contraintes : ajout de la contrainte induite et retrait de la contrainte redondante Pratiquement,... des variables de dộcision, les valeurs qui nappartiennent aucune solution : ce filtrage des domaines ộvite de nombreuses tentatives de rộsolution vouộes lộchec Ces techniques permettent aussi de simplifier lexpression des contraintes, par exemple en ộliminant des contraintes redondantes Dans un contexte daide la dộcision, cela permet la caractộrisation de solutions admissibles en dộgageant des degrộs... dutilisation des ressources sur certains intervalles temporels, ce qui entraợne lidentification et le calcul de diffộrentes ộnergies Sur un intervalle de temps, lộnergie peut en effet ờtre fournie par une ressource ou consommộe par une tõche Dans ce dernier cas, on distingue sa consommation minimale (ou consommation obligatoire) de sa consommation maximale sur lintervalle Ordonnancement sous contraintes de consommation. .. positionnement Lordonnancement sous contraintes peut ờtre dộfini comme un thốme qui ộtudie la maniốre de rộsoudre les problốmes dordonnancement en utilisant la programmation par contraintes [Bap98] Une des idộes-clộ de la programmation par contraintes (CP : Constraint Programming) est que les contraintes peuvent ờtre utilisộes ôactivementằ pour rộduire le domaine de solutions, dộduire de nouvelles contraintes. .. remarquables Le premier paragraphe donne le dộtail de lobtention des instants remarquables Le second prộsente les propriộtộs de ces instants remarquables Le dernier paragraphe nous dộvoile les intervalles cherchộs Ordonnancement sous contraintes de consommation ộnergộtique Chapitre 2 Etat de lart Rộsumộ Lobjectif de cette partie est de dresser un ộtat de lart sur le raisonnement ộnergộtique Ceci nest... daffectations possibles Ordonnancement sous contraintes de consommation ộnergộtique 20 2.6 Rộsumộ et analyse de lexistant 2.6 Rộsumộ et analyse de lexistant Nous avons prộsentộ dans ce chapitre, une ộtude bibliographique permettant de mieux cerner le travail faire tout en tenant compte de ce qui a dộj ộtộ fait De plus, cette ộtude nous permet aussi davoir un il critique sur lexistant dans le but de proposer,... pour obtenir la consommation minimale obligatoire de la tõche sur [, ] Ordonnancement sous contraintes de consommation ộnergộtique 3.2 Les instants remarquables 3.2 25 Les instants remarquables Nous nous intộressons ici (, , ), la consommation obligatoire de sur lintervalle fournisseur [, ] prộcộdent Pour ộtudier le comportement de cette consommation obligatoire, nous allons observer de plus prốs... EnSP rộsoudre consiste dộterminer pour chaque activitộ la date de dộbut , la date de fin et la quantitộ de ressource Ordonnancement sous contraintes de consommation ộnergộtique 2.1 Problốme dordonnancement sous contraintes ộnergộtiques 10 allouộe telle que : { si [ , 1] = 0 sinon La contrainte sur la limitation de la puissance totale disponible sộcrit , pour chaque instant... formelle de la propagation de contraintes pour un problốme dordonnancement dit ôộnergộtiqueằ (prộsence de contraintes de consommation ộnergộtique) Le schộma gộnộral de rộsolution est de type Branch-and-Bound auquel le raisonnement ộnergộtique ộtộ intộgrộ Plusieurs questions non rộsolues restent posộes dans ces travaux Lanalyse faite dans le raisonnement ộnergộtique sappuie sur des intervalles de temps