1 Tính tốn máy kết hợp giấy: Bài 1: a) Nêu phương pháp (kết hợp máy giấy) tính xác kết phép tính sau: A = 12578963 x 14375 b) Tính xác A c) Tính xác số: B = 1234567892 d) Tính xác số: C = 10234563 Giải: a) Nếu tính máy tràn hình nên ta làm sau: A = 12578963.14375 = (12578.103 + 963).14375 = 12578.103.14375 + 963.14375 * Tính máy: 12578.14375 = 180808750 ⇒ 12578.103.14375 = 180808750000 * Tính máy: 963.14375 = 13843125 Từ ta có: A = 180808750000 + 13843125 = 180822593125 (Tính máy) Hoặc viết: 180808750000 = 180000000000 + 808750000 cộng máy: 808750000 + 13843125 = 822593125 ⇒ A = 180822593125 b) Giá trị xác A là: 180822593125 c) B =1234567892=(123450000 + 6789)2 = (1234.104)2 + 2.12345.104.6789 + 67892 Tính máy: 123452 = 152399025 2x12345x6789 = 167620410 67892 46090521 = Vậy: B = 152399025.108 + 167620410.104 + 46090521 = 15239902500000000 + 1676204100000 + 46090521= 15241578750190521 d) C = 10234563 = (1023000 + 456)3= (1023.103 + 456)3 = 10233.109 + 3.10232.106.456 + 3.1023.103.4562 + 4563 Tính máy: 10233 = 1070599167 3.10232.456 = 1431651672 3.1023.4562 = 638155584 4563 = 94818816 Vậy (tính giấy): C = 1070599167000000000 + 1431651672000000 + 638155584000 + 94818816 = 1072031456922402816 TÀI LIỆU ƠN TẬP CASIO CHUẨN GV: LÊ VĂN DŨNG + Bài (Thi giải Tốn MTBT khu vực - Năm học 2003-2004) Tính kết tích sau: a) M = 2222255555 x 2222266666 b) N = 20032003 x 20042004 Đáp số: a) M = 4938444443209829630 b) N = 401481484254012 Bài 3: (Thi giải Tốn MTBT lớp 12 tỉnh Thái Ngun - Năm học 2003-2004) Tính kết phép tính sau: a) A = 1,123456789 - 5,02122003 b) B = 4,546879231 + 107,3564177895 Đáp số: a) A = b) B = Bài 4: (Thi giải Tốn MTBT lớp 10 + 11 tỉnh Thái Ngun - Năm học 2003-2004) Tính kết phép tính sau: A = 52906279178,48 : 565,432 Đáp số: A= 1012 + Bài 5: Tính xác số A = Giải: - Dùng máy tính, tính số kết quả: 102 + = 34 103 + = 334 102 + = 1156 103 + = 111556 104 + 104 + = 3334 = 11115556 Nhận xét: 10k + số ngun có (k - 1) chữ số 3, tận số 10k + số ngun gồm k chữ số 1, (k - 1) chữ số 5, chữ số cuối * Ta dễ dàng chứng minh nhận xét đó: A = 111111111111555555555556 TÀI LIỆU ƠN TẬP CASIO CHUẨN GV: LÊ VĂN DŨNG Ví dụ 1: (Đề thi HSG giải tốn máy tính casio lớp - Năm 2004-2005- Hải Dương) Tìm giá trị xác 10384713 Giải: Bài 5(2, điểm) Đặt a = 1038 ; b = 471 Khi D = 10384713 = ( a.103 + b ) = ( a.103 ) + ( a.103 ) b + ( a.103 ) b + b3 3 = a 109 + 3.a 2b.106 + 3a.b 2103 + b3 Lập bảng giá trị ta có: ( a.10 ) ( a.10 ) b ( a.10 ) b 3 1 8 0 0 0 0 3 2 0 0 0 8 0 b3 4 1 D 1 9 9 9 1 1 Tính máy kết hợp với giấy ta có: D = 10384713 =1119909991289361111 Bài 1: Tính kết ( khơng sai số ) tích sau: a) P = 1234567892 ; Q = 20082008.20092009 b) Giải: a) Ta có: P = ( 12345.104 + 6789 ) P = ( 12345.104 ) + 2.12345.104.6789 + 67892 = … b) Q = ( 2008.104 + 2008 ) ( 2009.104 + 2009 ) = Bài 2: Tính kết ( khơng sai số ) tích sau a) P = 13032006 × 13032007 b) Q = 3333355555 × 3333377777 Giải: a) Đặt a = 1303 ; b = 2006 , c = 2007 4 Khi ta có: P = 13032006 × 13032007 = ( a ×10 + b ) ( a ×10 + c ) = = a ×108 + (b + c).a × 104 + b.c Lập bảng giá trị ta có: a ×108 (b + c).a × 104 b.c 9 P 3 TÀI LIỆU ƠN TẬP CASIO CHUẨN 3 0 6 0 0 0 4 0 2 GV: LÊ VĂN DŨNG Tính máy kết hợp với giấy ta có: P = 169833193416042 b) Đặt a = 33333 ; b = 55555 , c = 77777 Khi ta có: Q = 3333355555 × 3333377777 = ( a ×105 + b ) ( a ×105 + c ) = a × 1010 + (b + c).a × 105 + b.c Lập bảng giá trị ta có: 1 1 8 8 0 0 0 4 4 5 5 P 1 1 3 3 Tính máy kết hợp với giấy ta có: P = 169833193416042 a ×1010 (b + c).a × 105 b.c 0 1 0 2 0 3 0 5 Q = 11111333329876501235 Bài 3: 1 1 1 1 Tính S = 1 + ÷1 + + ÷1 + + + ÷ 1 + + + + + ÷ 2 3 4 10 xác đến chữ số thập phân Giải: Sử dụng máy tính Casio 570 MS, Gán số cho biến X, B, C Viết vào hình máy dãy lệnh: X=X+1: A = ÷ X : B = B + A : C = C B thực ấn phím = liên tiếp X = 10, lúc ta có kết gần xác đến chữ số thập phân S là: 1871,4353 Bài 4: Tính giá trị biểu thức sau: A = 200720082 B = 5555566666 × 7777788888 ⇒ ⇒ A = B = a- Tính kết tích sau: M = 3333355555 × 3333366666 N = 20052005 × 20062006 b) Tính C = × 1! + × 2! + × 3! + …… + 16 × 16! c) Tính kết tích A = 2222288888 × 2222299999 a) Tính kết tích A = 200820092 b) Tính B = 22 h 25′18′′ × 2,6 + 7h 47′53′′ h 28′16′′ Bài 5: So sánh cặp số sau: 222 333 a) A =5×555 B = × 444 2007 +1 +1 2006 B = 2007 A = b) 2008 2008 +1 2007 +1 + (1 + ) + (1 + + 3) + + (1 + + + + 2008) c) A = 1.2008 + 2.2007 + 3.2006 + + 2007.2 + 2008.1 Bài 6: Tính tổng phân số sau: 2008 2009 TÀI LIỆU ƠN TẬP CASIO CHUẨN B=1 GV: LÊ VĂN DŨNG 36 36 36 + + + 1.3.5 3.5.7 45.47.49 b) B = 1 − .1 − .1 − 1 − 16 10000 C = + 33 + 333 + 3333 + + 333 333 a) A = c) n Dạng 2: Tìm tích ab( tích số có chữ số với số nhiều chữ số) Ví dụ: Tìm tích a= 123456789123456789 với b= 56789 -Ghép a thành nhóm: + Từ phải qua trái, nhóm có chữ số + Nhóm cuối chữ số a = 123456789123456789 { 123 123 123 n.4 n.3 n.2 n.1 -Lấy nhóm nhân với b kết quả, lấy chữ số cuối ghi giấy a = 56789 × 56789 = 3224990521 123 lapbuoc2 ghiragiay Ghi giấy 90521 -Lấy số lại KQ bước cộng với nhóm nhân b: 32249 12 + 91234 × 56789 = 5181119875 123 { lapbuoc2 laybuoc3 ghiragiay n2 KQ bao nhiêu, lấy chữ số cuối ghi vào phía trước ghi bước -Tiếp tục đến hết Ghi giấy 19875 90521 Đáp số : 7010987597531987590521 Ví dụ 2: a=34 56789 ; b=56789 Buớc 1: 56789 × 56789=32249 90521 Bước 2: 32249+34 × 56789=1963075 KQ: 1963075 90521 Cơ sở lý luận: Khi tách chữ số cuối số a ta có a=(34 00000+56789) Lúc ab=(34 00000+56789)56789 p dụng tính chất PP ta cách làm Bài tập áp dụng: 1/ Tìm tích ab biết : a/ a= 112233445566778899987654321; b= 24068 b/ a= 147689245; b= 12567 2/ Tìm chữ số cuối tích a= 23455432 với b= 78998 3/ Tìm xem tích ab có chữ số biết a=5678998765; b= 55667 TÀI LIỆU ƠN TẬP CASIO CHUẨN GV: LÊ VĂN DŨNG .CÁC BÀI TỐN VỀ : “ PHÉP NHÂN TRÀN MÀN HÌNH ” Bài 1: Tính xác tổng S = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + + 16.16! Giải: Vì n n! = (n + – 1).n! = (n + 1)! – n! nên: S = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + + 16.16! = (2! – 1!) + (3! – 2!) + + (17! – 16!) S = 17! – 1! Khơng thể tính 17 máy tính 17! Là số có nhiều 10 chữ số (tràn hình) Nên ta tính theo cách sau: Ta biểu diễn S dạng : a.10n + b với a, b phù hợp để thực phép tính, máy khơng bị tràn, cho kết xác Ta có : 17! = 13! 14 15 16 17 = 6227020800 57120 Lại có: 13! = 6227020800 = 6227 106 + 208 102 nên S = (6227 106 + 208 102) 5712 10 – = 35568624 107 + 1188096 103 – = 355687428096000 – = 355687428095999 Bài 2: Tính kết tích sau: a) M = 2222255555 2222266666 b) N = 20032003 20042004 Giải: a) Đặt A = 22222, B = 55555, C = 666666 Ta có M = (A.105 + B)(A.105 + C) = A2.1010 + AB.105 + AC.105 + BC Tính máy: A2 = 493817284 ; AB = 1234543210 ; AC = 1481451852 ; BC = 3703629630 Tính giấy: A 1010 8 0 0 0 0 0 AB.105 0 0 0 AC.10 8 0 0 BC M 4 4 9 b) Đặt X = 2003, Y = 2004 Ta có: N = (X.104 + X) (Y.104 + Y) = XY.108 + 2XY.104 + XY Tính XY, 2XY máy, tính N giấy câu a) Kết quả: M = 4938444443209829630 N = 401481484254012 Bài tập tương tự: Tính xác phép tính sau: a) A = 20! b) B = 5555566666 6666677777 c) C = 20072007 20082008 d) 10384713 201220032 TÀI LIỆU ƠN TẬP CASIO CHUẨN GV: LÊ VĂN DŨNG Ví dụ 2: Tính A = 999 999 9993 Giải -3 Ta có: =729; 993= 970299; 9993=997002999; 99993= 99992.9999=99992(10001)= 999700029999 { 00 { 99 { = 99 Từ ta có quy luật: 99 n −1 chữsố n −1 chữ số n chữ số n chữ số Vậy 999 999 9993 = 999 999 997 000 000 002 999 999 999 TÍNH CHÍNH XÁC GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC SỐ • Ví dụ:Tính kết (khơng sai số) tích sau : P = 123456789 ;Q = 20052005.20062006 HD : ( P = 12345.10 + 6789 ( = 12345.10 = ) ) + 2.12345.10 6789 + 6789 ( )( Q = 2005.10 + 2005 2006.10 + 2006 ) = Kết hợp tính giấy ta kết Bài tập 1.Tìm ƯCLN BCNN hai số A = 1234566 B = 9876546 (ƯCLN = 18; BCNN = 677402660502) 2 Tính xác giá trị biểu thức A = 20072008 B = 5555566666 × 7777788888 Tính xác giá trị 1234567892(đáp số 15241578749590521) A = 20052005.20062006 (đáp số: A=4022834 Câu 7(5đ) Hãy tính xác số 22220083 Tìm số tự nhiên theo điều kiện cho trước: Bài 19: Tìm số lớn nhất, số nhỏ số tự nhiên dạng: 1x y 3z chia hết cho Giải: - Số lớn dạng 1x y 3z chia hết cho phải có dạng: 19293 z với z ∈{0, 1, 2, ,8, 9} thử với z = 9; 8; 7; 6; đến z = 5, ta có: 1929354 ÷ = (275622) Vậy số lớn dạng 1x y 3z chia hết cho 1929354, thương 275622 - Số nhỏ dạng 1x y 3z chia hết cho phải có dạng: TÀI LIỆU ƠN TẬP CASIO CHUẨN GV: LÊ VĂN DŨNG 10203 z với z ∈{0, 1, 2, ,8, 9} thử với z = 0; 1; 2; đến z = 3, ta có: 1020334 ÷ = (145762) Vậy số nhỏ dạng 1x y 3z chia hết cho 1020334, thương 145762 Bài 20: Tìm số lớn nhất, số nhỏ số tự nhiên dạng: 1x y 3z chia hết cho 13 Đáp số: - Số lớn dạng 1x y 3z chia hết cho 13 1929304 - Số nhỏ dạng 1x y 3z chia hết cho 13 1020344 Bài 21: (Đề thi chọn đội tuyển tỉnh Phú Thọ tham gia kì thi khu vực năm 2004) Tìm tất số n dạng: N = 1235679 x y chia hết cho 24 H.Dẫn: - Vì N M 24 ⇒ N M ; N M ⇒ (37 + x + y) M ; x y M ⇒ y ; ; ; ; Dùng máy tính, thử giá trị x thoả mãn: (x + y + 1) M x y M 8, ta có: N1 = 1235679048 ; N2 = 1235679840 Bài 22: Tìm số bình phương có tận ba chữ số Có hay khơng số bình phương có tận bốn chữ số ? H.Dẫn: - Chữ số cuối x chữ số cuối x Tính máy bình phương số: 2, 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92, 8, 18, 28, 38, 48, 58, 68, 78, 88, 98 ta có số: 12, 62, 38, 88 bình phương có tận hai chữ số - Tính máy bình phương số: 12, 112, 212, 312, 412, 512, 612, 712, 812, 912; 62, 162, 262, 362, 462, 562, 662, 762, 862, 962; 38, 138, 238, 338, 438, 538, 638, 738, 838, 938 88, 188, 288, 388, 488, 588, 688, 788, 888, 988 ta được: 462, 962, 38, 538 bình phương có tận 444 TÀI LIỆU ƠN TẬP CASIO CHUẨN GV: LÊ VĂN DŨNG * Tương tự cách làm trên, ta có kết luận: khơng có N để N2 kết thúc 4444 Bài 23: Tìm tất số có chữ số thỗ mãn: 1) Số tạo thành ba chữ số cuối lớn số tạo thành ba chữ số đầu đơn vị 2) Là số phương H Dẫn: - Gọi số cần tìm là: n = a1a2 a3 a4 a5 a6 - Đặt x = a1a2 a3 Khi a4 a5 a6 = x + n = 1000x + x + = 1001x + = y2 hay (y - 1)(y + 1) = 7.11.13x Vậy hai ba số ngun tố 7, 11, 13 phải ước hai thừa số vế trái số lại phải ước thừa số lại vế trái Dùng máy tính, xét khả đến đáp số: n = 183184 ; 328329 ; 528529 ; 715716 Bài 24: Tìm tất số tự nhiên x thoả mãn: 10000 < x < 15000 chia x cho 393 655 có số dư 210 H.Dẫn: - Từ giả thiết, ta có: x = 393.q1 + 210 ⇒ x -210 chia hết cho 393 x = 655.q2 + 210 ⇒ x -210 chia hết cho 655 ⇒ x -210 chia hết cho BCNN (393 ; 655) = 1965 ⇒ x -210 = 1965.k ; (k = 1, 2, ) hay x = 1965k + 210 - Từ giả thiết 10000 < x < 15000 ⇒ 10000 < 1965k + 210 < 15000 hay 9790 < 1965k < 14790 ⇒ ≤ k < Tính máy: Với k = 5, ta có: x = 1965.5 + 210 = 10035 Với k = 6, ta có: x = 1965.6 + 210 = 12000 Với k = 7, ta có: x = 1965.7 + 210 = 13965 Vậy số phải tìm là: 10035, 12000, 13965 Bài 25: Tìm chữ số x, y, z để 579xyz chia hết cho 5, Giải: - Vì số 5, 7, đơi ngun tố nên ta phải tìm chữ số x, y, z cho 579xyz chia hết cho 5.7.9 = 315 Ta có 579xyz = 579000 + xyz = 1838.315 + 30 + xyz TÀI LIỆU ƠN TẬP CASIO CHUẨN GV: LÊ VĂN DŨNG ⇒ 30 + xyz chia hết cho 315 Vì 30 ≤ 30 + xyz < 1029 nên (Dùng máy tính tìm bội 315 khoảng (30 ; 1029): - Nếu 30 + xyz = 315 xyz = 315 - 30 = 285 - Nếu 30 + xyz = 630 xyz = 630 - 30 = 600 - Nếu 30 + xyz = 945 xyz = 945 - 30 = 915 Vậy ta có đáp số sau: x Bài 26: (Thi Quốc tế IMO 1962): y z 5 Tìm số ngun dương nhỏ có tính chất sau: 1) Viết dạng thập phân a có tận số 2) Nếu bỏ chữ số cuối đặt chữ số lên trước chữ số lại số gấp lần chữ số ban đầu Giải: - Giả sử số cần tìm có n + chữ số - Từ điều kiện 1) số dạng: a1a2 an - Từ điều kiện 2), ta có: 6a1a2 an = a1a2 an (*) - Đặt a = a1a2 an , thì: a1a2 an = 10a + 6a1a2 an = 6.10n + a - Khi (*) trở thành: 6.10n + a = 4.(10a + 6) ⇔ 2.(10n - 4) = 13a (**) Đẳng thức (**) chứng tỏ vế trái chia hết cho 13 Vì (2 ; 13) = nên: 10n - chia hết cho 13 Bài tốn quy về: Tìm số tự nhiên n nhỏ để (10 n - 4) chia hết cho 13, tìm số a số cần tìm có dạng: 10a + Thử máy giá trị n = 1; 2; (10n - 4) là: 6, 96, 996, 9996, 99996, số chia hết cho 13 là: 99996 Khi a = 15384 ⇒ Số cần tìm là: 153846 Bài 27: Tìm số tự nhiên n cho: a) 2n + chia hết cho n + b) n + chia hết cho - n H.Dẫn: TÀI LIỆU ƠN TẬP CASIO CHUẨN 10 GV: LÊ VĂN DŨNG H.Dẫn: - Giải tương tự 4, ta có: P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) + A= x( x + 1) Từ tính được: P (5) − P(6) = P (7) Ví dụ 8.4 Cho đa thức f(x) bậc 4, hệ số bậc cao thoả mãn: f(1) = 3; P(3) = 11; f(5) = 27 Tính giá trị A = f(-2) + 7f(6) = ? H.Dẫn: - Đặt g(x) = f(x) + ax2 + bx + c Tìm a, b, c cho g(1) = g(3) = g(5) = ⇒ a, b, c nghiệm hệ phương trình: a + b + c + = ⇒ MTBT ta giải được: 9a + 3b + c + 11 = 25a + 5b + c + 27 = a = −1 b = c = −2 ⇒ g(x) = f(x) - x2 - Vì f(x) bậc nên g(x) có bậc g(x) chia hết cho (x - 1), (x - 3), (x - 5), vậy: g(x) = (x - 1)(x 3)(x - 5)⇒ f(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)+ x2 + Ta tính được: A = f(-2) + 7f(6) = Ví dụ 8.4 Cho đa thức f(x) bậc Biết f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = Tìm f(10) = ? (Đề thi HSG CHDC Đức) H.Dẫn: - Giả sử f(x) có dạng: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d Vì f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = nên: d =10 a + b + c + d =12 8a + 4b + 2c + d = 27 a + 9b + 3c + d =1 lấy phương trình cuối trừ cho phương trình đầu giải hệ gồm phương trình ẩn a, b, c MTBT cho ta kết quả: 25 a = ; b = − ; c = 12; d = 10 2 ⇒ f ( x) = 25 x − x + 12 x + 10 ⇒ f (10) = 2 Ví dụ8.5: Chođa thức f(x) bậc biết chia f(x) cho (x - 1), (x - 2),(x - 3) dư f(-1) =-18 Tính f(2005) = ? H.Dẫn: - Từ giả thiết, ta có: f(1) = f(2) = f(3) = có f(-1) = -18 - Giải tương tự 8, ta có f(x) = x3 - 6x2 + 11x Từ tính f(2005) = Ví dụ 8.6 Xác định hệ số a, b, c, d tính giá trị đa thức Q(x) = x5 + ax4 – bx3 + cx2 + dx – 2007 Tại giá trị x = 1,15 ; 1,25 ; 1,35 ; 1,45 TÀI LIỆU ƠN TẬP CASIO CHUẨN 189 GV: LÊ VĂN DŨNG Biết x nhận giá trị 1, 2, 3, Q(x) có giá trị tương ứng 9, 21, 33, 45 Giải: Tính giá trị P(x) x = 1, 2, 3, ta kết : 1+a-b+c+d-2007=9 a-b+c+d=2015 32+16a-8b+4c+2d-2007=21 16a-8b+4c+2d=1996 ⇔ 243+81a-27b+9c+3d-2007=33 81a-27b+9c+3d=1797 1024+256a-64b+16c+4d-2007=45 256a-64b+16c+4d=1028 (1) (2) (3) (4) Lấy hai vế phương trình (1) nhân với 2, 3, trừ vế đối vế với phương trình (2), phương trình (3), phương trình (4), ta hệ phương trình bậc ẩn : -14a+6b-2c=2034 -78a+24b+6c=4248 -252a+60b-12c=7032 Tính máy a = -93,5 ; b = -870 ; c = -2972,5 d = 4211 Ta có P(x)=x5 – 93,5x4 + 870x3 -2972,5x2+ 4211x – 2007 Q(1,15) = 66,15927281 ≈ 66,16 Q(1,25) = 86,21777344 ≈ 86,22 Q(1,35) = 94,91819906 ≈ 94,92 Q(1,45) = 94,66489969 ≈ 94,66 Ví dụ 8.7: Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + f Biết P(1) = , P(2) = , P(3) = , P(4) = 16 , P(5) = 25 Tính P(6) , P(7) , P(8) , P(9) Giải: Ta có P(1) = = 12; P(2) = = 22 ; P(3) = = 32 ; P(4) = 16 = 42 ; P(5) = 25 = 52 Xét đa thức Q(x) = P(x) – x2 Dễ thấy Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Q(5) = Suy 1; 2; 3; 4; nghiệm đa thức Q(x) Vì hệ số x5 nên Q(x) có dạng: Q(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) Vậy ta có Q(6) = (6 – 1)(6 – 2)(6 – 3)(6 – 4)(6 – 5) = P(6) - 62 Hay P(6) = 5! + 62 = 156 Q(7) = (7 – 1)(7 – 2)(7 – 3)(7 – 4)(7 – 5) = P(7) – 72 Hay P(7) = 6! + 72 = 769 BÀI TẬP Dạng Tính giá trị đa Bài tập 1.1Cho P(x) = x5-14x4+85x3-224x2+274x-110 c) Lập quy trình bấm phím tính giá trị biểu thức x=a d) Tính P x=5,9; 20,11; 22,12; 14,2; 27,2; 26,3; 30,4 Bài tập1.2(Sở GD Hà Nội, 1996) Tính giá trị biểu thức: a Tính x + 5x3 − 3x + x − x = 1,35627 b Tính P(x) = 17x − 5x + 8x + 13x − 11x − 357 x = 2,18567 Bài tập1.3 Cho đa thức P(x) = x15 -2x12 + 4x7 - 7x4 + 2x3 - 5x2 + x - Tính P(1,25); P(4,327); P(-5,1289); P( ) H.Dẫn: TÀI LIỆU ƠN TẬP CASIO CHUẨN 190 GV: LÊ VĂN DŨNG - Lập cơng thức P(x) CALC - Tính giá trị đa thức điểm: dùng chức - Kết quả: P(1,25) = ; P(4,327) = ; P( ) P(-5,1289) = = Bài tập:1.4Tính giá trị biểu thức sau: P(x) = + x + x2 + x3 + + x8 + x9 x = 0,53241 Q(x) = x + x3 + + x8 + x9 + x10 x = -2,1345 H.Dẫn: - Áp dụng đẳng thức: an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b + + abn-2 + bn-1) Ta có: P(x) = + x + x2 + x3 + + x8 + x9 = ( x − 1)(1 + x + x + + x ) x10 − = x −1 x −1 Từ tính P(0,53241) = Tương tự: Q(x) = x2 + x3 + + x8 + x9 + x10 = x2(1 + x + x2 + x3 + + x8) = x9 − x x −1 Từ tính Q(-2,1345) = Bài tập1.5:Cho đa thức P( x) = 13 82 32 x − x + x − x + x 630 21 30 63 35 a) Tính giá trị đa thức x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; b) Chứng minh P(x) nhận giá trị ngun với x ngun Giải: a) Khi x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; (tính máy) P(x) = b) Do 630 = 2.5.7.9 x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; nghiệm đa thức P(x) nên P( x) = ( x − 4)( x − 3)( x − 2)( x −1) x( x + 1)( x + 2)( x + 3( x + 4) 2.5.7.9 Vì só ngun liên tiếp ln tìm số chia hết cho 2, 5, 7, nên với x ngun tích: ( x − 4)( x − 3)( x − 2)( x − 1) x( x + 1)( x + 2)( x + 3( x + 4) chia hết cho 2.5.7.9 (tích số ngun tố nhau) Chứng tỏ P(x) số ngun với x ngun Bài tập1.6:Cho c) P ( x) = a bx + c 35 x − 37 x + 60080 + Q ( x ) = x − 10 x + 2007 x − 10 x + 2007 x − 20070 Với giá trị a, b, c P(x) = Q(x) với x thuộc tập xác định d) Tính giá trị P(x) x = Tính n để T ( x) = P ( x) ( x − 10 ) ( x −13 + 2007 ) − n2 chia hết cho x + Bài tập1.7:Cho đa thức P(x) = x4 +5x3 - 3x2 + x - Tính giá trị P(1,35627) Giải: P(1,35627) = 10,69558718 Bài tập1.8:Cho đa thức P(x) = x8 + 4x7 + 6x6 + 4x5 + x4 T ính giá trị P(x) (làm tròn đến 0,0001) cho x nhận giá trị : - 2, π , 1, - Bài tập1.9:Cho đa thức f(x) = x + x + x + 2008 15 Tính giá trị f(x) cho x nhận giá trị: ; -1 ; 3; - ; 2 Chứng minh rằng: f(x) ln nhận giá trị ngun với x ngun TÀI LIỆU ƠN TẬP CASIO CHUẨN 191 GV: LÊ VĂN DŨNG Giải: f(x) = x + x + x + 2008 15 Đặt A = x + x + x 15 Ta CM: A số ngun với x ngun dương từ f(x) số ngun 1 8x x + x + = x5 + x3 + x 15 15 1 = x + x +x- x- x 5 x −x x −x +x Thật vậy: A = Ta CM x5 - x Chia hết cho 5; x3 - x chia hết cho thật vậy: x5 - x = x(x4 - 1)= x(x2 - 1)(x2 + 1) =x(x2 - 1)(x2 - + 5) = x(x2 - 1)(x2 - 4) + 5x(x2 - 1) =(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2) + 5(x-1)x(x+1) (x-2)(x-1)x(x+1)(x+2) tích số ngun liên tiếp nên chia hết x5 − x ngun5(x-1)x(x+1) chi hết cho 5 x3 - x = x(x2-1) = (x-1)x(x+1) chia hết x3 − x ngun Vậy tốn CM xong Dạng Tìm dư phép chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b Bài tập: 2.1(Sở GD Đồng Nai, 1998) Tìm số dư phép chia x − 6, 723x + 1,857x − 6,458x + 4,319 x + 2,318 Bài tập2.2: (Sở GD Cần Thơ, 2003) Cho P( x ) = x + 5x − 4x + 3x − 50 Tìm phần dư r1, r2 chia P(x) cho x – x-3 Tìm BCNN(r1,r2)? Bài tập2.3:Tìm dư phép chia P(x) = 3x3 - 5x2 + 4x - cho (2x - 5) 4 Giải: - Ta có: P(x) = (2x - 5).Q(x) + r ⇒ Tính máy ta được: r = 5 5 5 P = 0.Q + r ⇒ r = P 2 2 2 5 P = 2 x − 6,723 x + 1,857 x − 6,458 x + 4,319 Bài tập2.4:Tính số dư r phép chia x + 2,318 Bài tập2.5:: Tìm số dư phép chia sau: c) x3 – 9x2 – 35x + cho x – 12 d) x3 – 3,256 x + 7,321 cho x – 1,1617 Bài tập2.6:Cho f(x) = 2x6-4x5+7x4-11x3-8x2+5x-2007 Gọi r1 r2 số dư phép chia f(x) cho x1,12357 x+0,94578 Tính B=0,(2006)r1-3,(2007)r2 Dạng Xác định tham số m để đa thức P(x) + m chia hết cho nhị thức ax + b Bài tập3.1: a)Viết phương trình ấn phím để: TÀI LIỆU ƠN TẬP CASIO CHUẨN 192 GV: LÊ VĂN DŨNG Tìm m để đa thức x + x + x − x + 17 x + m − 1395 chiahết cho ( x + 3) b) Với giá trị m đa thức Bài tập3.2:Tìm m để đa thức chia hết cho x + x − 11x + 29 x − + 3m chia hết cho 6x + x + x + x − x + 17 x + m − 1395 ( x − 3) Bài tập3.3:Cho đa thức P ( x ) = x − 3x + x − 5x + x + m d) Tìm số dư r phép chia P(x) cho ( x – 3,5 ) m = 2005 e) Tìm giá trị m1 để đa thức P(x) chia hết cho x – 3,5 f) Tìm giá trị m2 để đa thức P(x) có nghiệm x = Bài tập3.4:Cho đa thức P(x) = x4 + x3 + x2 + x + m a) Tìm m để P(x) chia hết cho Q(x) = x + 10 Kết m = -9090 b) Tìm nghiệm đa thức P(x) với giá trị vừa tìm m (2,5đ) Kết x1 = -10, x2 ≈ 9,49672 Bài tập3.5:Cho ®a thøc P(x) = x4 - 4x3 - 19x2 + 106x + m a)T×m m ®Ĩ ®a thøc P(x) chia hÕt cho x + b) Víi m t×m ®ỵc ë c©u a), h·y t×m sè d r chia ®a thøc P(x) cho x – (2,5đ) Dạng 4: Tìm điều kiện tham số P ( x ) thỏa mãn điều kiện đó: Bài tập4.1: Cho biết đa thức P(x) = x4 + mx3 – 55x2 + nx – 156 chia hết cho x – chia hết cho x – Hãy tìm giá trị m, n tính tất nghiệm đa thức Bài tập4.2:Đa thức P(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e có giá trị 5, 4, 3, 1, -2 x = 1, 2, 3, 4, Tính giá trị a, b, c, d, e tính gần nghiệm đa thức Bài tập4.3:Xác định hệ số a , b ,c đa thức P ( x) = ax + bx + cx − 2007 để cho P(x) chia cho (x – 13) có số dư , chia cho (x – 3) có số dư chia cho (x - 14) có số dư ( Kết lấy với chữ số phần thập phân ) Giải: Lập luận đưa đến hệ điểm; tìm a,b,c ý cho điểm Đáp số: : a = 3,69 ; b = -110,62 ; c = 968,28 Bài tập4.4Cho hai đa thức sau: f(x) = x4 + 5x3 - 4x2 + 3x + a g(x) = -3x4 + 4x3 - 3x2 + 2x + b a)Tìm điều kiện a b để hai đa thức f(x) g(x) có nghiệm chung x = 0,25 ? b) Cho đa thức:Q(x) =5x5 - x4 - 6x3 + 27x2 - 54x + 32 Sử dụng phím nhớ Lập quy trình tìm số dư phép chia đa thức Q(x) cho 2x + 3? c)Tính a để x4 + 7x3 + 2x2 + 13x + a chia hết cho x + d)Cho P(x) = 3x3 + 17x – 625 + Tính P(2 ) + Tính a để P(x) + a2 chia hết cho x + Bài tập4.5:Xác định hệ số a, b, c, d tính giá trị đa thức Q(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx – 2007 giá trị x = 1,15; 1,25; 1,35; 1,45 Bài tập4.6:Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c Biết P(1) = -15; P(2) = -15; P(3) = -9 a) Tìm số dư chia P(x) cho x – ? b) Tìm số dư chia P(x) cho 2x + ?’ Bài tập4.7:Biết đa thức Q(x) = x4 + mx3 - 44x2 + nx - 186 chia hết cho x + nhận x = nghiệm Hãy tính giá trị m n tìm tất nghiệm lại Q(x) Giải Tõ gi¶ thiÕt => Q(-2) = Q(3) = => t×m m, n m = 6; n = -11 TÀI LIỆU ƠN TẬP CASIO CHUẨN 193 GV: LÊ VĂN DŨNG Tõ gi¶ thiÕt => Q(x) cã nghiƯm nguyªn => Q(x) = (x+2)(x-3)(x2+7x-31) Dïng m¸y gi¶i ph/tr bËc => nghiƯm cßn l¹i x2 = -2 x3 ≈ 3,076473219 x4 ≈ -10,076473219 Bài tập4.8:Xác định hệ số a, b, c, d tính giá trị đa thức Q(x) = x5 + ax4 – bx3 + cx2 + dx – 2007 Tại giá trị x = 1,15 ; 1,25 ; 1,35 ; 1,45 Biết x nhận giá trị 1, 2, 3, Q(x) có giá trị tương ứng 9, 21, 33, 45(Kết lấy với chữ số phần thập phân) Bài tập4.8:Biết số dư phép chia đa thức x5 + 4x4 + 3x3 + 2x2 – ax + cho (x + 5) 2007 Tìm a Dạng 5: Tìm đa thức thương chia đa thức cho đơn thức Bài tập5.1: Khi chia đa thức 2x4 +8x3 -7x2 +8x -12 cho đa thức x – ta thương đa thức Q(x) có bậc Hãy tìm hệ số x2 Q(x) ? Bài tập5.2:Cho P(x) = x − x3 + x + a)Tìm biểu thức thương Q(x) chia P(x) cho x – b)Tìm số dư phép chia P(x) cho x – xác đến chữ số thập phân Bài tập5.3:Tìm số dư phép chia đa thức x5 – 7,834x3 + 7,581x2 – 4,568x + 3,194 cho x – 2,652 Tìm hệ số x2 đ thức thương phép chia Dạng Phân tích đa thức theo bậc đơn thức Dạng Tìm cận khoảng chứa nghiệm dương đa thức Dạng8 tính giá trị đa thức biết số giá trị khác đa thức Bài tập8.1: Cho đa thức P ( x ) = x + ax + bx + cx + dx + e cho biết P(1) = , P(2) = , P(3) = 17 , P(4) = 31 , P(5) = 49 Tính P(6) , P(7) , P(8) , P(9) , P(10) P(11) ? Bài tập8.2:Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + 132005 Biết x nhận giá trị 1, 2, 3, giá trị tương ứng đa thức P(x) 8, 11, 14, 17 Tính giá trị đa thức P(x) với x = 11, 12, 13, 14, 15 Bài tập8.3:Cho P(x) = x3 + ax2 + bx + c; P(1)=1; P(2)=4; P(3)=9 viết quy trình để tính P(9) P(10) ? Bài tập8.4:Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c Biết P(1) = -15; P(2) = -15; P(3) = -9 a) Tìm số dư chia P(x) cho x - ? b) Tìm số dư chia P(x) cho 2x + ? Bài tập8.5:Q(x) = x5 + ax4 – bx3 + cx2 + dx – 2007 Tại giá trị x = 1,15 ; 1,25 ; 1,35 ; 1,45 Biết x nhận giá trị 1, 2, 3, Q(x) có giá trị tương ứng 9, 21, 33, 45 (Kết lấy với chữ số phần thập phân) Bài tập8.6:Cho P(x) =ax17 + bx16 + cx15 + + m P(1) = 1; P(2) = 2; ; P(17) = 17 Tính P(18) Bài tập8.7: Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d Biết P(1) = 5, P(2) = 7, P(3) = 9, P(4) = 11 d Tìm a, b, c, d e Tính A= (H(x) = x ) (H(x) = 2x +3) P ( 15 ) + P ( −12 ) + 15 20 Giải: a, C1: P(x) = (x – 1)(x – 2)(x - 3)(x – 4) + 2x + Suy a, b, c, d C2: Giải hệ phương trình , suy a, b, c, d b, Nhập P(x) = x4 - 10x3 + 35x2 - 48x + 27 vào máy Dùng lệnh Calc nhập 15 Shift Sto A ; Calc nhập (-)12 shift Sto B; Nhập ( Alpha A + Alpha B ) : 20 + 15 = Bài tập8.8: Cho đa thức a a = - 10, b = 35 c = - 48, d = 27 b 3400.8000 P ( x ) = x + ax + bx + cx + d TÀI LIỆU ƠN TẬP CASIO CHUẨN 194 GV: LÊ VĂN DŨNG biết P(1) = , P(-2) = , P(3) = 24 , P(-4) = 29 Tính giá trị a , b , c , d P(40) , P(2008) ? Bài tập8.9: Cho P ( x ) = x + ax + bx + cx + d biết P(1) = 0,5 , P(2) = , P(3) = 4,5 , P(4) = (H(x) =1/2 x2) Tính giá trị a , b , c , d P(8) , P(2007) ? Bài tập7.10: Cho Q(x) = x4 + mx3 + nx2 + px + q Biết Q(1) = , Q(2) = , Q(3) = , Q(4) = 11 (H(x) = 2x +3) Tính giá trị Q(10) , Q(11) , Q(12) , Q(13) Hướng dẫn Q(1) = = 2.1 + 3; Q(2) = = 2.2 + 3; Q(3) = = 2.3 + ; Q(4) = 11 = 2.4 + Xét đa thức Q1(x) = Q(x) – (2x + 3) (H(x) = 2x +3) Bài tập8.12: Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e Biết P(1) = , P(2) = , P(3) = 19 , P(4) = 33 , P(5) = 51 (H(x) = 2x2 +1) Tính P(6) , P(7) , P(8) , P(9) , P(10) , P(11) Bài tập8.13: Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c Biết P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = Hãy viết quy trình để tính P(9) P(10) ? (H(x) = x2) Bài tập8.14: Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d Có P(1) = 0,5 ; P(2) = ; P(3) = 4,5 ; P(4) = Tính P(2002), P(2003) (H(x) =1/2 x2) Bài tập8.15: Cho P(x) = x + ax + bx + cx + d Biết P(1) = 5; P(2) = 14; P(3) = 29; P(4) = 50 Hãy tính P(5) , P(6) , P(7) , P(8) Bài tập8.16: Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d Biết P(1) = 0; P(2) = ; P(3) = 18 ; P(4) = 48 Tính P(2007) (H(x) =x3-x2) Bài tập8.17: Cho f(x) = x + ax + bx + c 89 1 1 ; f− = − ; f = = 500 108 2 Tính giá trị gần f 3 Biết : f (giải hệ phương trinh MTBT để tìm a,b,c) Bài tập8.18:- Bài tập8.16: Cho đa thức P ( x ) = x + ax + bx + cx + d biết P(1) = , P(2) = , P(3) = 18 , P(4) = 48 Tính P(2007) ? (H(x) =x3-x2) Bài tập8.19: Cho đa thức f ( x ) = x + ax + bx + cx + d f (1) = 6; f ( 2) = 11; f ( 3) = 16; f ( 4) = 21 (H(x) = 5x +1) c) Hãy tính giá trị f ( 5) ; f ( ) ; f ( ) ; f ( 8) ; f ( ) ( trình bày vắn tắt lời giải) d) Tìm số tự nhiên n nhỏ cho f ( n ) chia hết cho 24 ( trình bày vắn tắt lời giải) Biết Giải f ( x ) = x + x = 1;2;3;4;5 ⇒ g ( x ) = f ( x ) − ( x + 1) có nghiệm 1; 2; 3; 4; ⇒ g ( x ) = ( x − 1)( x − 2)( x − 3)( x − ) hay f ( x ) = ( x − 1)( x − )( x − 3)( x − ) + ( x + 1) Thay x = 5; 6; 7; 8; ta f ( 5) = 50; f ( 6) = 151; f ( ) = 396; f ( 8) = 881; f ( ) = 1726 Bài tập8.20: Cho đa thức P(x) có bậc thoả mãn: P(1) = -1, P(2) = 2, P(3) = 7, P(4) = 14, P(5) = 24 Tính P(26), P(27), P(28), P(29), P(30) (giải hệ phương trinh MTBT để tìm a=1/24;,b = -5/12;c =59/24; d= -25/12; e=-1) Kết P(26) = 13.324, P(27) = 15.677, P(28) = 18.332, P(29) = 21.314, P(30) = 24.649 (5đ) Bài tập8.21: Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c Biết rằng: P(1945) = 1945 ; P(1954) = 1954 ; P(1975) = 1975 (H(x) = x ) (giải hệ phương trinh MTBT để tìm a=-5874;,b = 11501055,19;c =-7506045115) a) Tính P(2005) b) Đặt Q(x) = P(x) + m Tìm giá trị m để đa thức Q(x) chia hết cho (x - 2005,05) (chính xác đến chữ số thập phân) TÀI LIỆU ƠN TẬP CASIO CHUẨN 195 GV: LÊ VĂN DŨNG Bài tập8.22: Biết Cho P ( x ) = x + ax3 + bx + cx + d P (1) = 5; P (2) = 7; P(3) = 9; P(4) = 11 Tính P (20) − P (10) (H(x) = 2x +3) Bài tập8.23: Đa thức P( x ) = x + ax + bx + cx + dx + ex + f có giá trị 3; 0; 3; 12; 27; 48 x nhận giác trị 1; 2; 3; 4; 5; (giải hệ phương trinh MTBT để tìm a=;,b = ;c =; d= ; e=;f=) c) d) Xác định hệ số a, b, c, d, e, f P(x) Tính giá trị P(x) với x = 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20 Bài tập8.24: Cho đa thức P ( x ) = x + ax + bx + cx + dx + e biết P(1) = , P(2) = , P(3) = 17 , P(4) = 31 , P(5) = 49 Tính P(6) , P(7) , P(8) , P(9) , P(10) P(11) ? Bài tập8.25: Cho đa thức (H(x) = 2x2 -1) P ( x ) = x + ax + bx + cx + dx + e cho biết P(-1) = -2 , P(2) = , P(3) = 10 , P(-4) = 10 , P(5) = 28 (giải hệ phương trinh MTBT để tìm a=;,b = ;c =; d= ; e=;) Tính P(38) P(40) ? Bài tập8.26: Cho đa thức P ( x ) = x + ax + bx + cx + d biết P(1) = 0,5 , P(2) = , P(3) = 4,5 , P(4) = Tính giá trò a , b , c , d P(8) , P(2007) ? Bài tập8.27: Cho đa thức (H(x) =1/2 x2) P ( x ) = x + ax + bx + cx + d biết P(1) = , P(-2) = , P(3) = 24 , P(-4) = 29 Tính giá trò a , b , c , d P(40) , P(2008) ? (giải hệ phương trinh MTBT để tìm a=;,b = ;c =; d= ;) Bài tập8.28: Cho P ( x ) = x + ax + bx + cx + d có P(0) = 12,P(1) = 12, P(2) = 0, P(4) = 60 a)Xác đònh hệ số a, b, c, d P( x ) b)Tính P(66) (giải hệ phương trinh MTBT để tìm a=;,b = ;c =; d= ;) Bài tập tổng hợp Bài tập1: : (Thi khu vực 2001, lớp 8) Cho đa thức P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + m a Tìm m để P(x) chia hết cho 2x + b Với m vừa tìm câu a tìm số dư r chia P(x) cho 3x-2 phân tích P(x) tích thừa số bậc c Tìm m n để Q(x) = 2x3 – 5x2 – 13x + n P(x) chia hết cho x-2 d Với n vừa tìm phân tích Q(x) tích thừa số bậc Bài tập2: : (Thi khu vực 2002, lớp 9) a Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + f Biết P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4) = 16; P(5) = 15 Tính P(6), P(7), P(8), P(9) (giải hệ phương trinh MTBT để tìm a=;,b = ;c =; d= ;e=) Bài tập3: Cho P(x) = x4 + mx3 + nx2 + px + q Biết Q(1) = 5; Q(2) = 7; Q(3) = 9; Q(4) = 11 (H(x) = 2x +3) Tính Q(10), Q(11), Q(12), Q(13) Bài tập4: (Thi khu vực 2002, lớp 9) Cho P(x) = x4 + 5x3 – 4x2 + 3x + m Q(x) = x4 + 4x3 – 3x2 + 2x + n TÀI LIỆU ƠN TẬP CASIO CHUẨN 196 GV: LÊ VĂN DŨNG a Tìm giá trị m, n để đa thức P(x) Q(x) chia hết cho x – b Với giá trị m, n vừa tìm chứng tỏ đa thức R(x) = P(x) – Q(x) có nghiệm Bài tập5: : (Thi khu vực, 2003, lớp 9) a Cho P(x) = x5 + 2x4 – 3x3 + 4x2 – 5x + m Tìm số dư phép chia P(x) cho x – 2,5 m = 2003 Tìm giá trị m để P(x) chia hết cho x – 2,5 P(x) có nghiệm x = Tìm m? b Cho P(x) = x5 + ax4 +bx3 + cx2 + dx + e Biết P(1) = 3, P(2) = 9, P(3) = 19, P(4) = 33, P(5) = 51 Tính P(6), P(7), P(8), P(9), P(10), P(11) (H(x) = 2x2 +1) Bài tập6: (Sở SG Cần Thơ 2002) Cho f(x)= x3 + ax2 + bx + c 89 f( ) = ; f(− ) = − ; f( ) = 108 500 Tính giá trị gần f( ) ? Biết Bài tập7: (Thi vào lớp 10 chun tốn cấp III Bộ GD, 1975) Phân tích biểu thức sau ba thừa số: a4 – 6a3 + 27a2 – 54a + 32 Từ kết câu suy biểu thức n4 – 6n3 + 272 – 54n + 32 ln số chẵn với số ngun n Bài tập11: (Thi học sinh giỏi tốn bang New York, Mỹ, 1984) Có xác số ngun dương n để (n + 1)2 số ngun n + 23 Hãy tính số lớn Bài tập12: (Thi học sinh giỏi tốn bang New York, Mỹ, 1988) Chia P(x) = x81 + ax57 + bx41 + cx19 + 2x + cho x – số dư Chia P(x) cho x – số dư -4 Hãy tìm cặp (M,N) biết Q(x) = x81 + ax57 + bx41 + cx19 + Mx + N chia hết cho (x-1)(x-2) Bài tập13: (Thi khảo sát vòng tỉnh trường THCS Đồng Nai –Cát Tiên, 2004) Cho đa thức P(x) = x10 + x8 – 7,589x4 + 3,58x3 + 65x + m a Tìm điều kiện m để P(x) có nghiệm 0,3648 b Với m vừa tìm được, tìm số dư chia P(x) cho nhị thức (x -23,55) c Với m vừa tìm điền vào bảng sau (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị) x -2,53 4,72149 34 6,15 6+ 7 P(x) Bài tập14: (Phòng GD huyện Bảo Lâm - Lâm Đồng, 2004) 1.Tính E=7x -12x +3x -5x-7,17 với x= -7,1254 7x y-x y3 +3x y+10xy4 -9 2.Cho x=2,1835 y= -7,0216 Tính F= 5x -8x y +y3 x -6,723x +1,658x -9,134 3.Tìm số dư r phép chia : x-3,281 4.Cho P(x)=5x +2x -4x +9x -2x +x +10x-m Tìm m để P(x) chia hết cho đa thức x+2 Bài tập15: : (Sở GD Lâm Đồng, 2005) a Tìm m để P(x) chia hết cho (x -13) biết P(x) = 4x5 + 12x4 + 3x3 + 2x2 – 5x – m + f Cho P(x) = ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f biết P(1) = P(-1) = 11; P(2) = P(-2) = 47; P(3) = 107 Tính P(12)? (giải hệ phương trinh MTBT để tìm a=;,b = ;c =; d= ; e=;f=) Bài tập16: (Sở GD Phú Thọ, 2004) Cho P(x) đa thức với hệ số ngun có giá trị P(21) = 17; P(37) = 33 Biết P(N) = N + 51 Tính N? Bài tập17: : (Thi khu vực 2004) Cho đa thức P(x) = x3 + bx2 + cx + d Biết P(1) = -15; P(2) = -15; P(3) = -9 Tính: a Các hệ số b, c, d đa thức P(x) b Tìm số dư r1 chia P(x) cho x – c Tìm số dư r2 chia P(x) cho 2x +3 TÀI LIỆU ƠN TẬP CASIO CHUẨN 197 GV: LÊ VĂN DŨNG Bài tập18: : (Sở GD Hải Phòng, 2004) Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c Biết P(1) = -25; P(2) = -21; P(3) = -41 Tính: a Các hệ số a, b, c đa thức P(x) b Tìm số dư r1 chia P(x) cho x + c Tìm số dư r2 chia P(x) cho 5x +7 d Tìm số dư r3 chia P(x) cho (x+4)(5x +7) Bài tập19: Cho đa thức: P( x) = x + a x + b x + c.x + d a) Tính giá trị đa thức P(x) x = -2 với a = c = -2007 b = d = 2008 b) Với giá trị d đa thức P(x) M ( x -2 ) với a = 2; b = -3; c = c) Tìm số dư hệ số x2 phép chia đa thức P(x) cho x - với a = d = -2; b = c= d) Cho biết: { P (1) = P (2) = P (3) = 11 P(4) = 14 (H(x) = 3x +2) 1) Tính P(5) đến P(10) 2) Tính: A= ( P(8) − P(6) ) − 2007 2008 3) Tìm hệ số a, b, c, d, đa thức P(x) (giải hệ phương trinh MTBT để tìm a=;,b = ;c =; d= ;) Bài tập20: (Sở GD Thái Ngun, 2003) a Cho đa thức P(x) = x4+ax3 + bx2 + cx + d Biết P(1) = 0; P(2) = 4; P(3) = 18; P(4) = 48 Tính P(2002)? (HDgiải hệ phương trinh MTBT để tìm a=;,b = ;c =; d= ;) b Khi chia đa thức 2x4 + 8x3 – 7x2 + 8x – 12 cho đa thức x – ta thương đa thức Q(x) có bậc Hãy tìm hệ số x2 Q(x)? Bài tập21: Cho đa thức f(x) bậc với hệ số x3 k, k ∈ Z thoả mãn: f(1999) = 2000; f(2000) = 2001.Chứng minh rằng: f(2001) - f(1998) hợp số H.Dẫn: * Tìm đa thức phụ: đặt g(x) = f(x) + (ax + b) Tìm a, b để g(1999) = g(2000) = 1999a + b + 2000 = a = −1 ⇔ ⇔ ⇒ g(x) = f(x) - x - 2000a + b + 2001 = b = −1 * Tính giá trị f(x): - Do bậc f(x) nên bậc g(x) g(x) chia hết cho: (x - 1999), (x - 2000) nên: g(x) = k(x - 1999)(x - 2000)(x - x0) ⇒ f(x) = k(x - 1999)(x - 2000)(x - x0) + x + Từ tính được: f(2001) - f(1998) = 3(2k + 1) hợp số Bài tập22: Cho đa thức Q(x) = ( 3x2 + 2x – )64 Tính tổng hệ số đa thức xác đến đơn vị Giải: Tổng hệ số đa thức Q(x) giá trị đa thức x = Gọi tổng hệ số đa thức A ta có : A = Q(1) = ( 3+2-7)64 = 264 Để ý : 264 = (2 ) 32 = 42949672962 Đặt 42949 = X ; 67296 = Y Ta có : A = Tính máy kết hợp với giấy ta có: X2.1010 = 2XY.105 = Y2 = 4 6 0 ( X.105 +Y) = X 1010 + 2XY.105 + Y TÀI LIỆU ƠN TẬP CASIO CHUẨN 198 0 8 0 0 0 0 0 GV: LÊ VĂN DŨNG A = 4 4 7 5 6 Vậy A = 18446744073709551616 Cho x1000 + y1000 = 6,912; x2000 + y2000 = 33,76244 Tính A = x3000 + y3000 Bài tập23: Giải: Đặt a = x1000, b = y1000 Ta có: a + b = 6,912; a2 + b2 = 33,76244 3 + b = (a + b) - 3ab(a + b) = (a + b) - ( a + b) − ( a + b2 ) Đáp số : A = 184,9360067 Bài tập24: Cho: P(x) =ax17 + bx16 + cx15 + + biết: P(1) = 1; P(2) = 2; ; P(17) = 17 Tính P(18) Bài tập25: Tìm nghiệm gần phương trình: Khi : a3 ⋅ ( a + b) m a) 3x3 + 2,435x2 + 4,29x + 0,58 = b) 3x3+2,735x2+4,49x+0,98 = x = 0,145 Bài tập26: x = 0,245 Tìm nghiệm phương trình: a) x − x + − x + x + 10 = 29 b) x − x + − x − 10 x + 50 = x = 0,20 x = 0,25 Bài tập27: Cho P ( x ) = x − 15 x + 16 x + m Q ( x ) = x − 81x + 182 x + n a)Tìm m để P(x) chia hết cho 2x + ? b)Với m vừa tìm , Tính số dư r chia P(x) cho x – phân tích đa thức P(x) thành tích thừa số bậc ? c) Tìm n để nghiệm P(x) nghiệm Q(x) , biết nghiệm phải khác – 0,5 ? Phân tích đa thức Q(x) thành tích thừa số bậc ? Bài tập28: Cho đa thức P ( x ) = x + ax + bx + cx + d biết P(1) = 5, P(2) = 7, P(3) = 9,P(4) = 11 (H(x) = 2x +3) e) Tìm hệ số a , b, c , d đa thức P(x) f) Tính giá trị P(10) , P(11) , P(12) , P(13) g) Viết lại P(x) với hệ số số ngun h) Tìm số dư r1 phép chia P(x) cho (2x + 5) ( xác đến chữ số phần thập phân ) Bài tập29: Cho đa thức P ( x ) = x + ax + bx + cx + d biết P(1) = - , P(2) = -3 , P(3) = -1 , P(4) = (H(x) = 2x -7) a)Tìm hệ số a , b, c , d đa thức P(x) b)Tính giá trị P(22) , P(23) , P(24) , P(25) c)Viết lại P(x) với hệ số số ngun d)Tìm số dư r1 phép chia P(x) cho (7x -5) ( xác đến chữ số phần thập phân ) Hãy điền kết tính vào vng Bài tập30: Cho P ( x ) = x + ax + bx + cx + dx + e biết P(1)=1, P(-2) = 4, P(3) =9, P(-4) =16, P(5)=25 a)Tìm hệ số a , b, c , d f đa thức P(x) b)Tính giá trị P(20) , P(21) , P(22) , c)Viết lại P(x) với hệ số số ngun d)Tìm số dư r1 phép chia P(x) cho (x + 3) Bài tập31: Cho đa thức (H(x) = x2 ) P ( x ) = x + ax + bx + cx + d biết P(1) = , P(2) = 13 , P(3) = 33 , P(4) = 61 a)Tìm hệ số a , b, c , d đa thức P(x) b)Tính giá trị P(5) , P(6) , P(7) , P ( 8) c)Viết lại P(x) với hệ số số ngun d)Tìm số dư r1 phép chia P(x) cho (2x - 5) TÀI LIỆU ƠN TẬP CASIO CHUẨN 199 GV: LÊ VĂN DŨNG Bài tập32: a Cho P ( x ) = x + ax + bx + cx + d biết P(1)= 0, P(2)=4, P(3)=18, P(4)=48 Tính P(2007) ? b) Cho đa thức P ( x ) = x + x − x + x − 50 Gọi r1 phần dư phép chia P(x) cho x - r2 phần dư phép chia P(x) cho x - Tìm BCNN ( r1 , r2 ) ? Bài tập33: Cho hai đa thức d) Tính a, b , c e) f) P ( x ) = x + ax + bx + c ; Q ( x ) = x − 10 x + 40 x − 125 x − P ( −9 ) 2 39 407 561 P ÷, biết P ÷ = ; P ÷= ; P ÷= 3 2 64 125 Với a, b, c tìm trên, Tìm thương T(x) số dư G(x) phép chia đa thức Q(x) cho x – 11 Chứng tỏ đa thức R(x) = P(x) + Q(x) ln số chẵn với số ngun x Bài tập34: a) Cho đa thức P ( x ) = x + ax + bx + cx + dx + e biết P(-1) = -2 , P(2) = ,P(3) = 10 , P(-4) = 10 , P(5) = 28 Tính P(38) P(40) ? xn3 + b) Cho dãy số xác định cơng thức xn +1 = ( n ∈ N , n ≥ 1) xn + biết x1 = Tính x5 ? c) Phân tích đa thức thành nhân tử : Bài tập35: Cho đa thức P ( A = x − x − 11x + x + x ) = x + x − 12 x + x − + 3m d) Tính số dư r phép chia P(x) cho x – 4,138 m = 2007 ? e) Tính giá trị m1 để đa thức P(x) chia hết cho x + ? f) Muốn đa thức P(x) có nghiệm x = m2 có giá trị ? Bài tập36: a) Tìm nghiệm gần phương trình : x9 + x – = b) Cho A = 532588 B = 110708836 Tìm ƯCLN (A ,B ) BCNN(A,B ) ? c) Tìm số tự nhiên thoả mãn phương trình x2 + 2y2 = 2377 Bài tập37: Cho đa thức f(x) = 2x5 + x3 + bx2 + cx + d Biết f(1) = -18 ; f(2) = 49; f(3) = 480 Tìm hệ số b , c, d , f(x) Tìm hệ số x2 phép chia f(x) cho x + Giải Theo ta có: f(1) = + + b + c + d = - 18 f(2) = 64 + + 4b + 2c + d f(3) = 486 + 27 + 9b + 3c + d Tức ta có hệ: b + c + d = −16 4b + 2c + d = −23 9b + 3c + d + −36 Gi ải hệ pt ta được: b= -2; c=2; d=- 15 Vậy f(x) = 2x5 + x3 - 3x2 - 2x - 15 Dùng lược đồ hoocne chia f(x) cho x+3 ta đ ược: F(x) = (x+3)(2x4 - x3 + x2 - 60x + 182) - 561 Vậy hệ số x2 phép chia Bài tập38: Cho P(x) = x5 + 2x4 – 3x3 + 4x2 – 5x + m d) Tìm số dư phép chia P(x) cho x – 2,5 m = 2003 e) Tìm giá trị m để P(x) chia hết cho x – 2,5 f) P(x) có nghiệm x = Tìm m Bài tập39: Cho đa thức P ( x ) = x − 3x + x − 5x + x + m a)Tìm số dư r phép chia P(x) cho ( x – 3,5 ) m = 2005 b)Tìm giá trị m1 để đa thức P(x) chia hết cho x – 3,5 c) Tìm giá trị m2 để đa thức P(x) có nghiệm x = Bài tập40: Cho đa thức P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + m a)Tìm m để P(x) chia hết cho 2x + TÀI LIỆU ƠN TẬP CASIO CHUẨN 200 GV: LÊ VĂN DŨNG b)Với m tìm câu a ) , tìm số dư r chia P(x) cho 3x – phân tích P(x) thành tích thừa số bậc Tìm m n để Q(x) = 2x3 – 5x2 – 13x + n P(x) chia hết cho x – c)Với n tìm , phân tích Q(x) tích thừa số bậc Bài tập41: Cho P(x) = x4 + 5x3 – 4x2 + 3x + m Q(x) = x4 + 4x3 - 3x2 + 2x + n c) Tìm giá trị m n để P(x) Q(x) chia hết cho x – d) Với giá trị m n tìm , chứng tỏ R(x) = P(x) – Q(x) có nghiệm Bài tập42: Cho đa thức F(x)= x4+5x3-4x2+3x+a G(x)=-3x4+4x3-3x2+2x+b; H(x)=5x5-x4-6x3+27x2-54x+32 a)Tìm a, b để F(x) G(x) có nghiệm chung x=0,25 b)Sử dụng phím nhớ, lập quy trình bấm phím tìm số dư phép chia Q(x) cho 2x+3 Bài tập43: Cho đa thức P ( x ) = x + bx + cx + d biết P(1) = - 15 , P(2) = - 15 , P(3) = - a)Tìm hệ số b, c , d đa thức P(x) b)Tìm số dư r1 phép chia P(x) cho (x – 4) c)Tìm số dư r2 phép chia P(x) cho (2x + 3) ( xác đến chữ số phần thập phân ) Bài tập44: Cho đa thức P ( x ) = x + ax + bx + cx + d biết P(1) = - , P(2) = -3 , P(3) = -1 , P(4) = d) Tìm hệ số a , b, c , d đa thức P(x) e) Tính giá trị P(22) , P(23) , P(24) , P(25) f) Viết lại P(x) với hệ số số ngun Tìm số dư r1 phép chia P(x) cho (7x -5) ( xác đến chữ số phần thập phân ) Bài tập45: Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c a)Tìm a , b , c biết x nhận giá trị 1,2 ; 2,5 ; 3,7 P(x) có giá trị tương ứng 1994,728 ; 2060,625 ; 2173,653 b)Tìm số dư r phép chia đa thức P(x) cho 12x – c)Tìm giá trị x P(x) có giá trị 1989 Bài tập46: Cho Q(x)=22x3+ 2x-2008 a) Tính ( Q 14 ) b) Tìm m để Q(x) + m3 chia hết cho x-5 Bài tập47: Cho đa thức f(x) Biết f(x) chia x-3 dư 7, chia x-2 dư 5, chia (x-2)(x-3) thương 3x dư c) Tìm f(x) d) Tính xác tổng f(2007)+f(2008)+f(2009) Bài tập48: Cho đa thức P ( x ) = x + ax + bx + cx + d biết P(1) = , P(2) = , P(3) = , P(4) = 11 a)Tìm hệ số a , b, c , d đa thức P(x) b)Tính giá trò P(10) , P(11) , P(12) , P(13) c)Viết lại P(x) với hệ số số nguyên d)Tìm số dư r1 phép chia P(x) cho (2x + 5) ( xác đến chữ số phần thập phân ) Bài tập49: Cho đa thức P ( x ) = x + ax + bx + cx + d biết P(1) = - , P(2) = -3 , P(3) = -1 , P(4) = a)Tìm hệ số a , b, c , d đa thức P(x) b)Tính giá trò P(22) , P(23) , P(24) , P(25) c)Viết lại P(x) với hệ số số nguyên d)Tìm số dư r1 phép chia P(x) cho (7x -5) ( xác đến chữ số phần thập phân ) Bài tập50: Cho đa thức P ( x ) = x + ax + bx + cx + dx + e biết P(1) = , P(-2) = , P(3) = , P(-4) = 16 , P(5) = 25 a)Tìm hệ số a , b, c , d f đa thức P(x) b)Tính giá trò P(20) , P(21) , P(22) , P(π ) c)Viết lại P(x) với hệ số số nguyên Tìm số dư r1 phép chia P(x) cho (x + 3) TÀI LIỆU ƠN TẬP CASIO CHUẨN 201 GV: LÊ VĂN DŨNG Bài tập51: Cho đa thức P ( x ) = x + ax + bx + cx + d biết P(1) = , P(2) = 13 , P(3) = 33 , P(4) = 61 a)Tìm hệ số a , b, c , d đa thức P(x) b)Tính giá trò P(5) , P(6) , P(7) , P ( 8) c)Viết lại P(x) với hệ số số nguyên Tìm số dư r1 phép chia P(x) cho (2x - 5) Bài tập52: Cho P ( x ) = x − 15 x + 16 x + m Q ( x ) = x − 81x + 182 x + n a)Tìm m để P(x) chia hết cho 2x + ? b)Với m vừa tìm , Tính số dư r chia P(x) cho x – phân tích đa thức P(x) thành tích thừa số bậc ? c) Tìm n để nghiệm P(x) nghiệm Q(x) , biết nghiệm phải khác – 0,5 ? Phân tích đa thức Q(x) thành tích thừa số bậc ? TÀI LIỆU ƠN TẬP CASIO CHUẨN 202 GV: LÊ VĂN DŨNG TÀI LIỆU ƠN TẬP CASIO CHUẨN 203 GV: LÊ VĂN DŨNG [...]... đó là: n = 1038471 + Nếu m = 3k + 1 và m = 3k + 2, ta được các số này đều vượt quá số 1038471 TÀI LIỆU ÔN TẬP CASIO CHUẨN 11 GV: LÊ VĂN DŨNG Kết luận: Số nhỏ nhất thoã mãn yêu cầu bài toán là: n = 1038471 khi đó: (tính kết hợp trên máy và trên giấy): n3 = 1119909991289361111 TÀI LIỆU ÔN TẬP CASIO CHUẨN 12 GV: LÊ VĂN DŨNG Bài 29: a) Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất mà n2 bắt đầu bởi số 19 và kết thúc bằng... cho là: TÀI LIỆU ÔN TẬP CASIO CHUẨN 17 GV: LÊ VĂN DŨNG Ví dụ 2: Tìm số dư của phép chia cho Lời giải: Ta tìm số dư của phép chia Kết quả là cho Tiếp tục tìm số dư của phép chia Kết quả là cho cho là Vậy số dư của phép chia Ví dụ 3: Tìm số dư của phép chia cho Lời giải: Vì là số nguyên tố và Nên ta có: Suy ra: Suy ra: Vậy số dư của phép chia cho là TÀI LIỆU ÔN TẬP CASIO CHUẨN 18 GV: LÊ VĂN... giải: Cách 1: Ta có: Suy ra: Suy ra: Suy ra: Suy ra: Suy ra: Suy ra: Vậy số dư của phép chia cho là Cách 2: Ta có: TÀI LIỆU ÔN TẬP CASIO CHUẨN 19 GV: LÊ VĂN DŨNG Suy ra: Suy ra: Suy ra: Suy ra: Suy ra: Vậy số dư của phép chia cho là TÀI LIỆU ÔN TẬP CASIO CHUẨN 20 GV: LÊ VĂN DŨNG Bài 13: Chứng minh rằng ( 148 ) 2004 +10 chia hết cho 11 Giải: 8 - Ta có: 14 ≡ 3 (mod 11) ⇒ ( 14 ) 2004 8 Do... a và m tuỳ ý, các số dư của phép chia a, a 2, a3, a4 cho m lặp lại một cách tuần hoàn (có thể không bắt đầu từ đầu) Chứng minh Ta lấy m + 1 luỹ thừa đầu tiên: a, a2, a3, a4 , am, am+1 TÀI LIỆU ÔN TẬP CASIO CHUẨN 15 GV: LÊ VĂN DŨNG và xét các số dư của chúng khi chia cho m Vì khi chia cho m chỉ có thể có các số dư {0, 1, 2, , m - 2, m - 1}, mà lại có m + 1 số, nên trong các số trên phải có hai số có... 11: Tìm chữ số cuối cùng của số: 23 Giải: - Xét các luỹ thừa của 2 khi chia cho 10 (sử dụng MTBT để tính các luỹ thừa của 2, ta thực hiện theo quy trình sau: 1 SHIFT STO A 2 ∧ ANPHA A TÀI LIỆU ÔN TẬP CASIO CHUẨN 16 GV: LÊ VĂN DŨNG : ANPHA ANPHA A ANPHA = ANPHA A + 1 = = ) ta được kết quả sau: 21 22 23 24 25 26 27 28 29 210 211 (2 4 8 6) (2 4 8 6) (2 4 8 ⇒ hàng thứ hai cho ta thấy rằng các số dư lặp... x 108 ⇔ 50,24937811 x 104 ≤ x < 50,25932749 x 104 Vậy : 502493 < x < 502593 Số x tận cùng phải là: 17, 33, 67, 83 (theo câu a), do đó các số thoả mãn là: 502517, 502533, 502567, 502583 TÀI LIỆU ÔN TẬP CASIO CHUẨN 13 GV: LÊ VĂN DŨNG Bài 30: Với giá trị tự nhiên nào của n thì: 1,01n - 1 < (n - 1) và 1,01n > n Giải: - Ta có: 1,01512 ≈ 163,133 < 512 1,011024 ≈ 26612,56 > 1024 Vậy: 512 < n < 1024 Thu hẹp... thúc khi chuyển từ n = 651 sang n = 652 2 Tìm số dư trong phép chia số a cho số b: Định lí: Với hai số nguyên bất kỳ a và b, b ≠ 0, luôn tồn tại duy nhất một cặp số nguyên q và r sao cho: TÀI LIỆU ÔN TẬP CASIO CHUẨN 14 GV: LÊ VĂN DŨNG a = bq + r và 0 ≤ r < |b| * Từ định lí trên cho ta thuật toán lập quy trình ấn phím tìm dư trong phép chia a cho b: + Bước 1: Đưa số a vào ô nhớ A , số b vào ô nhớ B + Bước... Số có đuôi bất biến với mọi luỹ thừa: 1) Luỹ thừa bậc bất kì của các số có chữ số tận cùng bằng 1 ; 5 ; 6 (và chỉ những số ấy) đều có chữ số tận cùng bằng 1 ; 5 ; 6 (có đuôi bất biến) TÀI LIỆU ÔN TẬP CASIO CHUẨN 21 GV: LÊ VĂN DŨNG 2) Luỹ thừa bậc bất kì của các số có chữ số tận cùng bằng 25 hoặc 76 (và chỉ những số ấy) đều có chữ số tận cùng bằng 25 hoặc 76 (có đuôi bất biến) 3) Luỹ thừa bậc bất kì... 2 chữ số tận cùng là 76 Vậy (220)99 cũng có 2 số tận cùng là 76 ⇒ 21999 + 22000 + 22001 = 7 x 512 x 1024 x ( 76) = .16 Vậy 2 chữ số cuối cùng của A là 16 (Xem cách giải khác ở bài 12) TÀI LIỆU ÔN TẬP CASIO CHUẨN 22 GV: LÊ VĂN DŨNG Bài 33: Tìm bốn chữ số tận cùng của 51994 Giải: - Ta có: 54 = 625 - Nhận thấy số có tận cùng là 625 luỹ thừa bậc bất kỳ vẫn có tận cùng là 625 - Do đó: 51994 = 54k + 2 =... hết cho125, số hạng cuối là 1 Vậy 2100 = BS 125 + 1 ⇒ Số dư của 2100 khi chia cho 125 là 1 Tổng quát: Nếu một số tự nhiên n không chia hết cho 5 thì chia n100 cho 125 ta được số dư là 1 TÀI LIỆU ÔN TẬP CASIO CHUẨN 23 GV: LÊ VĂN DŨNG Bài 35: Tìm ba chữ số tận cùng của 2100 H.Dẫn: - Ta tìm dư trong phép chia 2100 cho 1000 - Trước hết tìm số dư của phép chia 2 100 cho 125 Theo bài 34: 2100 = BS 125 + 1,