Cơ sở viễn thông - Chương 2

Cơ sở viễn thông - Chương 2 - Phân tích tín hiệu

Cơ sở viễn thông Phạm Văn Tấn Chương II PHÂN TÍCH TÍN HIỆU XEM LẠI CHUỖI FOURRIER PHỔ VẠCH BIẾN ĐỔI FOURRIER CÁC HÀM KỲ DỊ: ( SINGNLARITY FUNCTIONS ) PHÉP CHỒNG (CONVOLUTION) PHÉP CHỒNG ĐỒ HÌNH ( GRAPHICAL CONVOLUTION ) ĐỊNH LÝ PARSEVAL NHỮNG TÍNH CHẤT CỦA BIẾN ĐỔI FOURRIER ĐỊNH LÝ VỀ SỰ BIẾN ĐIỆU CÁC HÀM TUẦN HỒN Trang II.1 Cơ sở viễn thơng Phạm Văn Tấn XEM LẠI CHUỖI FOURRIER Một hàm S(t) viết: ( dạng lượng giác ) ∞ S(t) = a0cos(0) + ∑ [ an cos 2π nf0t + bn sin 2πf0t ] (2.1) n= 1 fo Với t0 < t < t0 + T ; T Số hạng thứ a0 cos (0) = Việc chọn an bn theo công thức sau: - Với n = ; a0 = T t o +T ∫ s(t)dt (2.2) to an = to +T s( t ) cos 2πnf o t.dt T to (2.3) bn = - Với n ≠ ; to +T s( t ) sin 2πnf ot.dt T to (2.4) ∫ ∫ Hệ thức (2.2) có cách lấy tích phân vế (2.1) Hệ thức (2.3) (2.4) có cách nhân vế (2.1) cho hàm sin lấy tích phân Dùng cơng thức EULER, đưa dạng s(t) dạng gọn ( dạng hàm mũ phức ) EULER → ej2πnfot = cos 2πnfot + j sin 2πnfot ∞ S(t) = ∑ Cn e j2πnfot n =−∞ (2.5) (2.6) Trịn n: Số nguyên; dương âm Và Cn định bởi: Cn = to +T s(t) e -j2πnfot dt T to ∫ (2.7) Điều dễ kiểm chứng, cách nhân hai vế (2.5) cho e -j2πnfot lấy tích phân hai vế Kết mà ta nhận = hàm theo thời gian diễn tả tổng hàm sin cos tổng hàm mũ phức khoảng Nếu s(t) hàm tuần hoàn, ta cần viết chuỗi Fourrier chu kỳ, chuỗi tương đương với s(t) thời điểm Ví dụ 1: Hãy xác định chuỗi Fourrier lượng giác s(t) hình vẽ Chuỗi cần áp dụng khoảng - π/2 < 1< π/2 Trang II.2 Cơ sở viễn thông Phạm Văn Tấn Ta dùng chuỗi Fourrier lượng giác, với T = π fo 1 = = chuỗi có dạng: T π s(t) ∞ -2 -π/2 π/2 Hình 2.1 Tín hiệu cos(t) s(t) = a0 + t [ an cos 2nt + bn sin 2nt ] n=1 a0 = π Trong đó: an = π ∑ π π − ∫ + cost cos 2nt dt = π π − ∫ + cos t dt = π ⎡ ( −1) n +1 ( −1) n ⎤ + ⎢ ⎥ π ⎣ 2n − 2n + 1⎦ ⎢ ⎥ Ta định giá bn sau: bn = T π π − ∫ + s( t ).sin 2nt dt Vì s(t) hàm chẵn theo thời gian, nên s(t) sin 2nt hàm lẻ tích phân từ - π/2 đến π/2 zero Vậy bn = với s(t) lẻ Chuỗi Fourrier viết : s(t) = + π ∞ n ⎡ ( −1) n +1 ( −1) ⎤ ⎢ ⎥ cos 2nt + π ⎢ 2n − 2n + 1⎥ ⎦ n =1 ⎣ ∑ (2.8) Lưu ý: Chuỗi Fourrier cho phương trình có khai triển hàm tuần hồn sp(t) hình đây: sp(t) 3π/2 -π/2 π/2 -3π/2 Hình 2.2 Anh s (t) biến đổi Fourier t PhỔ vẠch Trong lúc tìm biểu diễn chuỗi Fourrier phức hàm theo thời gian, ta dùng thừa số trọng lượng phức Cn cho trị n Thừa số Cn vẽ hàm n Vậy cần đến đường biểu diễn Một để biểu diễn cho suất n để biểu diễn pha Đường biểu diễn rời rạc Nó khác zero trị gián đoạn trục hịanh ( Ví dụ: C1/2 khơng có ý nghĩa ) Đường biểu diễn Cn nf0 gọi phổ Fourrier phức Trong nf0 lượng tương ứng với tần số hàm mũ phức mà Cn hệ số trọng lượng Ví dụ 2: Tìm phổ Fourrier phức sóng cosin chỉnh lưu tồn sóng, s(t) = ⏐cos t⏐, hình vẽ Trang II.3 Cơ sở viễn thông Phạm Văn Tấn |cost| π/2 -π/2 -3π/2 3π/2 t Hình 2.3 Tín hiệu |cos(t)| Trước hết ta phải tìm khai triển chuỗi Fourrier theo dạng hàm mũ phức Với F0 = , ta tính trị giá Cn từ (2.6) tìm chuỗi Fourrier trực tiếp π Tuy nhiên ví dụ 1, ta khai triển chuỗi Fourrier dạng lượng giác rồi, nên khai triển hàm cos để đưa dạng hàm mũ phức cách dùng công thức Euler: s(t) = + π Với cos 2nt = [ j 2nt e + e− j 2nt ∞ n ⎡ ( −1) n +1 ( −1) ⎤ ⎢ ⎥ cos 2nt + π ⎢ 2n − 2n + 1⎥ ⎦ n =1 ⎣ ∑ ] Vậy chuỗi Fourrier dạng hàm mũ: s(t) = + π = + π ∞ ∑ n =1 ∞ ∑ n =1 an j 2nt + e an j 2nt + e −1 ∑ an − j 2nt e n = −∞ ∞ ∑ n =1 a− n j 2nt e Ta đổi biến số số hạng sau Vậy Cn liên hệ với an: Cn = an Với n > Cn = a− n Với n < Cn = π Trong trường hợp này, Cn số thực Nên cần vẽ đồ hình Trang II.4 (2.9) Cơ sở viễn thơng Phạm Văn Tấn 2/π 2/3π -2 -3 -1 2/35π nf0 -2/15π Hình 2.4: Phổ vạch ví dụ BiẾn đỔi Fourrier: Một tín hiệu khơng tuần hồn xem trường hợp giới hạn tín hiệu tuần hồn, chu kỳ T tín hiệu tiến đến ∞ Nếu chu kỳ tiến đến ∞, tần số F0 tiến đến Các họa tần khép lại với và, giới hạn, tổng chuỗi Fourrier biểu diễn cho s(t) trở thành tích phân ∞ F [s(t)] = S(f) ∫ s(t)e − j 2πft dt (2.10) −∞ F [.] kí hiệu cho biến đổi Fourrier [.] Nó cịn gọi phổ - hai - phía ( Two - Side - Spectrum ) s(t), hai thành phần tần số dương âm thu từ (2.10) Giả sử s(t) hàm thực (vật lý) Một cách tổng quát, S(f) hàm phức theo tần số S(f) phân làm hai hàm thực X(f) Y(f) : S(f) = X(f) + jY(f) (2.11) Dạng gọi dạng Cartesian, S(f) biểu diễn hệ trục tọa độ Descartes Cũng biểu diễn S(f) hệ trục cực Khi đó, cặp hàm thực trình bày suất pha S(f) = ⏐S(f) ⏐ ejθ(f) (2.12) Với : ⏐S(f)⏐ = X (f ) + Y (f ) (2.13) và: ⎛ Y (f ) ⎞ θ(f) = tan-1 ⎜ ⎟ ⎝ X (f ) ⎠ Dạng gọi dạng cực ( Polar form ) Trang II.5 (2.14) Cơ sở viễn thông Phạm Văn Tấn Để xác định tần số hữu, ta khảo sát phổ xuất ⏐S(f)⏐ ( Đôi gọi tắt ” Phổ “ ) Phổ dạng sóng ( dịng hay ) thu từ phép tính tốn học Nó khơng xuất cách vật lý mạch điện thực tế Tuy nhiên dùng Spectrum Analyser để quan sát cách gần * Để phục hồi lại s(t) từ biến đổi Fourrier nó, ta tính tích phân sau: ∞ s(t) = ∫ S( f ) ej 2πft dt = F -1 (2.15) [S(f)] −∞ Phương trình thường gọi biến đổi ngược S(f) Hai hàm s(t) S(f) tạo thành cặp biến đổi Fourrier Trong đó, s(t) diễn tả phạm vi thời gian, S(f) diễn tả phạm vi tần số Ký hiệu cho cặp biến đổi Fourrier : S(f) ↔ s(t) s(t) ↔ S(f) Hoặc (2.16) Nếu tín hiệu nhiễu mô tả phạm vi này, mơ tả tương ứng phạm vi biết nhờ cách dùng (2.10) (2.15) Dạng sóng s(t) biến đổi Fourrier thỏa điều kiện Dirichelet Tuy nhiên, tất dạng sóng vật lý kỷ thuật thỏa điều kiện Ví dụ 3: Phổ xung expo Đặt s(t) xung expo tắt ( Decaying Exponential Pulse ) bị ngắt ( Switched ) t = ⎧e− t ⎪ s(t) = ⎨ ⎪0 ⎩ , t>0 (2.16) , t 0⎫ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ ⎪0 , t < 0⎪ ⎩ ⎭ Các hàm kỲ dỊ: ( Singnlarity Functions ) ↔ 1 + j 2πf (2.18) Ta phải đưa vào loại hàm trước nói đến ứng dụng lý thuyết Fourrier Loại hàm lên lúc ta phân giải loại hàm tuần hồn Đó phần nhóm hàm kỳ dị Chúng chuyển hóa hàm nấc đơn vị Ví dụ Biến đổi Fourrier hàm cổng ( Gating Function ): Tìm biến đổi s(t), đó: ⎧A ⎪ s(t) = ⎨ ⎪0 ⎩ , t >α (2.19) , Phá khạ n c s(t) A -α t α Hình 2.5 Tín hiệu s(t) * Từ định nghĩa biến đổi Fourrier ∞ S(f) = ∫ s(t)e − j 2πft dt −∞ α = ∫ A e − j 2πft dt ej 2πft = −A j 2πf α −α −α = A =A ej 2πf α − e− j 2πf α j 2πf (2.20) sin 2πf α πf Trang II.7 Cơ sở viễn thông Phạm Văn Tấn s(f) 2α 1/2α 1/α f Hình 2.6 Anh s(t) biến đổi Fourier Những hàm thuộc loại phổ biến kỷ thuật thông tin Để tránh lập lại hàm ta định nghĩa hàm Sa(x) sau: sin x x Sa(x) (2.21) Khi (2.20) viết lại: S(f) = 2Aα Sa( 2πfα ) (2.22) Hàm xung lực ( Impulse ) Bây ta muốn tìm biến đổi Fourrier hằng, s(t) = A, với t Ta xem giới hạn xung g(t) α → ∞ Ta cố gắng theo cách quanh co này, kỷ thuật trực tiếp thất bại trường hợp Khi áp s(t) = A vào tích phân định nghĩa, ta có: ∞ S(f) = ∫ Ae− j 2πft dt (2.23) −∞ Tích phân không hội tụ Từ (2.6), ta thấy α → ∞ , biến đổi Fourrier tiến đến vô cực gốc điểm cắt trục zero trở nên cách vô lớn Như vậy, giới hạn, chiều cao biến đổi Fourrier tiến đến vô cực, cịn bề rộng đến zero Điều nghe buồn cười ! Nhưng khơng phải hàm thực với lúc khơng xác định f = Nếu ta có nói điều biến đổi Fourrier hằng, ta phải thay đổi cách nghĩ Sự thay đổi bắt đầu cách định nghĩa “ hàm “ đặt tên xung lực ( mà khơng phải hàm thực lúc ) Ký hiệu δ(t) Định nghĩa xung lực tạo quan sát đơn giản Hai số nói đến rồi, là: δ ( t) = δ ( t) → ∞ , t≠ , t=0 Tính chất thứ diện tích tổng dạng xung lực đơn vị: Trang II.8 (2.24) Cơ sở viễn thông Phạm Văn Tấn ∞ ∫ δ(t) dt = (2.25) −∞ Vì tất diện tích δ(t) tập trung điểm, giới hạn tích phân chuyển gốc mà khơng làm thay đổi giá trị tích phân Vậy: b ∫ δ(t) dt = a < ; b> (2.26) a Ta thấy tích phân δ(t) u(t), hàm nấc đơn vị: t ∫ , t >0 ⎧1 δ( τ) dτ = ⎨ ⎩0 , t 0 ⎧ +1 Sgn (t) ⎨ , t0 , tt+2 u(t - τ - 2) = ,τ>t-2 Ta có: ∞ t+2 ∫ u(t − τ + 2) dτ = ∫ dτ = −1 t+3 −1 ( Vì t + > -1 t > -3 Ở khoảng khác, tích phân zero) - Nếu t - > -1 t > 1, Trang II.14 Cơ sở viễn thông Phạm Văn Tấn ∞ t−2 ∫ u(t − τ − 2) dτ = ∫ dτ = −1 t −1 −1 - Nếu t + > +1 t > -1, ∞ t+2 ∫ u(t − τ + 2) dτ = ∫ dτ = t +1 - Nếu t - > t > 3, ∞ t−2 ∫ u(t − τ − 2) dτ = ∫ dτ = t−3 Dùng kết ta có: r(t) * s(t) = ( t + 3)u(t + 3) - (t - 1)u(t - 1) - (t + 1)u(t + 1) + (t - 3)u(t - 3) Bốn số hạng tổng chúng vẽ hình Từ ví dụ khiêm tốn này, ta thấy r(t) s(t) chứa hàm nấc, cách tính phép chồng trở nên lúng túng Hình 2.12 Phép chồng tín hiệu r(t) tín hiệu s(t) (t+3)U(t+3) (t-3)U(t-3) t -3 -1 t -(t-1)U(t-1) -(t+1)U(t+1) t t -1 r(t)*s(t) -4 -3 -2 -1 t Phép chỒng đỒ hình ( Graphical convolution ) Nếu r(t) s(t) phức tạp, dạng sóng khơng biết xác, ta dùng phép chồng đồ hình Phương pháp dùng quan sát kiểm tra tổng quát mà khơng phải tính chi tiết tích phân Trong nhiều áp dụng thơng tin, phương pháp đủ mà khơng cần thiết phải tính phép chồng xác Ví dụ 8: Dùng phép chồng đồ hình cho hàm ví dụ Trang II.15 Cơ sở viễn thơng Phạm Văn Tấn Hình 2.13 Phép chồng đồ hình cho hai hàm ví dụ r(t) t -1 -4 1 s(t-τ) -6 -1 -5 -1 1 -4.5 -1 −1 -1 − -3.5 -1 -1 -1 -1.5 -1 2.5 -1 -1 1 -.5 -.5 3.5 1 1 1 1 -1 -1 1 -2 -1 -1 1.5 1 -2.5 1 -1 1 1 -1 -1 -3 1 1 -1 1 -1 -4 -1 -1 -.5 1 -.5 -1 1 −2 1 Diện tích -2 -3 r(τ)s(t-τ) Ảnh qua gương s(τ) s( - τ) Đó s(τ) phản xạ qua trục đứng Với t cho sẵn, ta lập s(t - τ), biểu diễn cho hàm s( - τ) bị dời phía phải t Sau đó, ta lấy tích số: r(t) s(t)( t - τ ) Và lấy tích phân tích số ( tìm diện tích ) để có trị giá phép chồng ứng với trị giá t Trang II.16 Cơ sở viễn thông Phạm Văn Tấn Hình trình bày 12 khung dời hình Với ví dụ đặc biệt này, khơng bắt buộc s(t) phải phản xạ để có ảnh qua gương, s(t) hàm chẳn Nhớ diện tích tích số biểu diễn cho trị giá phép chồng Diện tích vẽ thành chuỗi điểm Có thể thấy kết giống ví dụ Đường nối điểm đường thẳng Điều hiển nhiên, phép chồng trở thành tích phân Kết cho hàm dốc ( Ramp Function ) r(t)*s(t) -3 -2 -1 t Hình 2.14 Kết phép chồng đồ hình s(t) r(t) Ví dụ 9: Tính phép chồng ( đồ hình ) hàm sau đây: (Sinh viên tự giải) s(t) r(t) 1 -1 t t Hình 2.15 Tín hiệu s(t) r(t) Bây ta xem phép chồng hàm với xung lực δ(t) ∞ δ(T) * s(t) = ∫ δ(t)s(t − τ) dτ = s(t − 0) = s(t) (2.42) −∞ Như hàm chồng với xung lực giữ nguyên không thay đổi Trang II.17 Cơ sở viễn thơng Phạm Văn Tấn Hình 2.16 Kết phép chồng đồ hình s(t) r(t) Nếu ta chồng s(t) với xung lực bị dời ( Shifted ) δ(t - t0), ta thấy: ∞ δ(t - t0) * s(t) = ∫ δ(t − t )s(t − τ) dτ = s(t − 0) = s(t − t ) 0 (2.43) −∞ Tóm lại, phép chồng s(t) với xung lực khơng làm thay đổi dạng hàm s(t) Có thể gây nên dời thời gian s(t) xung lực không xảy t = Giờ ta có khái niệm thuật tốn gọi “ phép chồng “ Ta trở lại phép biến đổi Fourrier Định lý phép chồng: Nếu r(t) ↔ R(f) Và s(t) ↔ S(f) Thì: r(t) * s(t) ↔ R(f) S(f) (2.44) Có thể chứng minh trực tiếp định lý cách tính biến đổi Fourrier phép chồng Ta chứng minh: Trang II.18 Cơ sở viễn thông Phạm Văn Tấn R(f) * S(f) ↔ r(t) s(t) (2.45) Bằng cách tính biến đổi Fourrier ngược Ví dụ 9: Dùng định lý phép chồng để tính tích phân sau: ∞ ∫ −∞ sin 3τ sin( t − τ) dτ τ t−τ Giải: Tích phân biểu diễn phép chồng hàm theo thời gian: sin 3t sin t * t ⎡ sin 3t ⎤ F ⎢ ⎣ t ⎥ ⎦ ⎡ sin t ⎤ F ⎢ ⎣ t ⎥ ⎦ π -3/2π π 3/2π t x 1/2π -1/2π t π2 = 1/2π -1/2π t Biến đổi Fourrier tích phân tích biến đổi Fourrier hàm Hai biến đổi xem bảng phụ lục Hình 2.17 Tích hai biến đổi Fourier từ s(t) r(t) Lấy biến đổi Fourrier ngược tích này, ta có kết phép chồng Đó là: π sin t t ĐỊnh lý PaRseval Dạng sóng hàm biến đổi Fourrier giống Tuy nhiên, vài hệ thức hữu lượng hàm thời gian lượng biến đổi Fourrier Trang II.19 Cơ sở viễn thông Phạm Văn Tấn Dùng “ lượng “ để tích phân bình phương hàm Từ dùng biểu diễn trị giá lượng ( watt - sec ) tiêu tán điện trở 1Ω tín hiệu điện dịng điện ngang qua điện trở Ta có: r(t) s(t) ↔ R(f) * S(f) ∞ F [ r(t) s(t) ] = ∫ r(t)s(t)e − j 2πft (2.46) dt −∞ ∞ = ∫ R(k)S(f − k) dk −∞ Vì đẳng thức với f, ta đặt f = Khi đó: ∞ ∞ ∫ r(t)s(t) dt = ∫ R(k)S(− k) dk −∞ (2.47) −∞ Biểu thức (2.47) dạng cơng thức Paseval Nó liên quan đến lượng nên ta xét trường hợp đặc biệt: s(t) = r * (t) r*(t) liên hợp r(t) F [ r*(t)] cho liên hợp biến đổi Fourrier, bị phản xạ qua trục dọc Đó R*(-f) Dùng kết (2.47), ta được: ∞ ∞ ∫ r (t) dt = ∫ R (f ) df 2 −∞ (2.48) −∞ Phương trình (2.48) chứng tỏ lượng hàm theo t với lượng biến đổi Fourrier NHỮNG tính chẤt cỦa biẾn đỔi Fourrier Thực / ảo - Chẳn / lẻ Bảng sau tóm tắt tính chất biến đổi Fourrier dựa quan sát quan sát hàm theo t Hàm thời gian Biến đổi Fourrier A Thực Phần thực chẳn - Phần ảo lẻ B Thực chẳn Thực chẳn C Thực lẻ Ảo lẻ D Ảo Phần thực lẻ - Phần ảo chẳn E Ảo chẳn Ảo chẳn Trang II.20 Cơ sở viễn thông Phạm Văn Tấn F Ảo lẻ Thực lẻ Có thể dùng cơng thức Euler để chứng minh: ∞ S(f ) = ∫ s( t )e− j 2πft dt −∞ ∞ −∞ = ∞ −∞ ∫ s(t) cos2πft dt − j ∫ s(t) sin 2πft dt =R+jX R hàm chẳn f f thay -f hàm khơng đổi Tương tự, X hàm lẻ f Nếu s(t) giả sử thực, R trở thành phần thực biến đổi X phần ảo Vậy tính chất A chứng minh Nếu s(t) thực chẳn, X = Điều X lẻ ( tích hàm chẳn lẻ ) tích phân Vậy tính chất B chứng minh Nếu s(t) thực lẻ, R = ( Tính chất C ) Nếu s(t) ảo, X trở thành phần ảo biến đổi R phần thực Từ quan sát đơn giản đó, tích chất D, E, F dễ dàng chứng thật Dời thời gian ( Time Shift ) Biến đổi Fourrier hàm thời gian bị dời với biến đổi hàm thời gian gốc nhân hàm expo phức -j2πfot e S(f) ↔ s(t - t0 ) (2.49) Ví dụ 10: Tìm biến đổi Fourrier của: ⎧1 s(t) = ⎨ ⎩0 s(t) , 0< t < , phá khạ n c Hình 2.18 Dạng tín hiệu s(t) Giải: Từ định nghĩa ta có: Trang II.21 t Cơ sở viễn thông Phạm Văn Tấn S(f ) = ∫e − j 2πft e− j 2πft j 2πf dt = e − e− j 2πf j 2πf [ ] = e-j2πf sin 2πf πf Kết thu từ việc dùng hàm nấc ví dụ tính chất dời thời gian s(t) ví dụ 10 giống ví dụ ( Với A = α = 1), ngoại trừ việc dịch thời gian sec Dời tần số ( Frequency shift ) Hàm theo thời gian tương ứng với biến đổi Fourrier dời tần với hàm theo thời gian biến đổi không dời tần nhân với hàm expo phức j2πfo S(f - f0 ) ↔ e s(t) (2.50) Ví dụ 11: Tìm biến đổi Fourrier s(t) ⎧ej 2πt ⎪ s(t) = ⎨ ⎪0 ⎩ , t