đạo hàm và vi phân

Trường Đại học Bách khoa Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng - Giải tích hàm nhiều biến Chương 2: Đạo hàm riêng vi phân (tt) • Giảng viên Ts Đặng Văn Vinh (2/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn Nội dung - 0.4 – Đạo hàm theo hướng 0.5 – Công thức Taylor, Maclaurint 0.6 – Cực trị hàm nhiều biến IV Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient có đạo hàm riêng đến cấp n + lân cận IV Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient = f(x,y) oy  u  (u1 , u2 )  M ( x0 , y0 )    Véctơ đơn vị phương u   u l0     l1 , l2  u  M ( x, y )  l0   cos  ,cos     ,  góc tạo u chiều dươn trục 0x 0y tương ứng ox  x  x0  t cos  t0 Phương trình tham số tia M M :   y  y0  t cos   ạo hàm hàm f theo hướng véctơ u điểm M giới hạn (nếu có) fu' ( M )  f ( M )  lim M M u f (M )  f (M ) MM IV Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient fu' ( M ) M M  ( x  x0 )  ( y  y0 )  t ' ( M ) u f ( x, y )  f ( x0 , y0 )  lim t t 0 f ( x0  t cos  , y0  t cos  )  f ( x0 , y0 )  lim t t 0 ây đạo hàm hàm f theo biến t fu' ( M ) fu' ( x0 , y0 )   ' ' ' ' ' '  f  x  f  y  f ( x , y )  cos   f  ft x t y t x 0 y ( x0 , y0 )  cos  '  f x' ( x0 , y0 ), f y' ( x0 , y0 ) ,  cos  ,cos    gradf ( x0 , y0 )  f x' ( x0 , y0 ), f y' ( x0 , y0 )  fu' ( M )    gradf ( x0 , y0 ), l0     véctơ gradient f M0 Tích vô hướng véctơ gradient M0 với véctơ đơn vị IV Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient  ương tự, ta có định nghĩa đạo hàm f=f(x,y,z) M0 theo hướng u fu' ( M )  f x' ( M )  cos   f y' ( M )  cos   f z' ( M )  cos  fu' ( M )    gradf ( x0 , y0 , z0 ), l0     rong đó: véctơ đơn vị phương với u là: l0   cos , cos , cos    ,  ,  góc tạo u chiều dương trục 0x, 0y 0z tương ứng  Véctơ Gradient f(x,y,z) M0 là: gradf ( M )  f x' ( M ), f y' ( M ), f z' ( M )  IV Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient í dụ Tìm đạo hàm f ( x, y )  xy  3x y điểm M0(1,1)  theo hướng véctơ u  (1, 2) Giải     Véctơ đơn vị phương với u là: l0   ,     cos , cos  5  f x'  y  12 x3 y f y' 4  xy  15 x y fu' (1,1)   f x' (1,1)  11  f y' (1,1)  13 f x' (1,1)  cos  f y' (1,1)  cos 11 26   3 5 IV Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient í dụ Tìm đạo hàm f ( x, y )  x3  3xy  y điểm M0(1,2) theo hướng véctơ tạo với chiều dương trục 0x góc 300  Giải Véctơ đơn vị là: l0   cos , cos      ,           1  l0   cos , cos    ,    2    3x  y  f x' (1, 2)  3 f y'  3 x  y  f y' (1, 2)  13 f x' fl' (1, 2)  f x' (1, 2)  cos  f y' (1, 2)  cos 3 13   2 IV Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient í dụ 1 3 y Tìm đạo hàm f ( x, y )  arctg điểm M   ,  x 2  theo hướng pháp véctơ đường tròn x2 + y2 = 2x M0 Giải  F ( x, y )  x  y  x   n  Fx' , Fy'   x  2, y   (1, 3)  Véctơ đơn vị là: l0  f x' y  x  y2 f y' x  x  y2 fl' ( M )   f x' ( M )  cos   1   ,   2    '  f y (M )  f x' ( M )  f y' ( M )  cos  IV Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient í dụ Tìm đạo hàm f ( x, y, z )  x3  xy  yz điểm M0(3,3,1) theo hướng véctơ l=(2,1,2)   2  Giải Véctơ đơn vị là: l0   , ,   (cos  , cos  ,cos  )  3 3 f x'  3x  y  f x' (3,3,1)  45 f y'  xy  z  f y' (3,3,1)  39 f z'  yz  f z' (3,3,1)  18 fl' ( M )  f x' ( M )  cos  f y' ( M )  cos  f z' ( M )  cos  55 VI Cực trị hàm nhiều biến: cực trị có điều kiện í dụ 2 x  y  25 Tìm cực trị hàm f ( x, y )  x  12 xy  y với điều kiện 2 2 2 1) Hàm Lagrange: L( x, y )  x  12 xy  y   ( x  y  25)  L'x  x  12 y  2 x   '  Ly  12 x  y  8 y   2  ( x, y )  x  y  25   1  : P1 (3, 2), P2 (3, 2), 17 1   : P3 , P4 2) Tìm đạo hàm riêng cấp L''xx   2 , L''xy  12, L''yy   8 3) Khảo sát điểm dừng P (3, 2), 1  : d L( P1 )  L''xx ( P1 )dx  L''xy ( P1 )dxdy  L''yy ( P1 )dy  8dx  24dxdy  18dy từ điều kiện: d ( P1 )   6dx  16dy   dx  dy d L( P1 )  P1 điểm cực tiểu chặt có điều kiện VI Cực trị hàm nhiều biến: giá trị lớn nhất, nhỏ ịnh nghĩa Số a gọi giá trị lớn hàm f tập đóng bị chặn D, M  D : f ( M )  a M  D : f ( M )  a Tương tự ta có định nghĩa giá trị nhỏ Nhắc lại: Để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ f = f(x) [a,b]: 1) Tìm điểm dừng thuộc (a,b): f ' ( x)   x1 , x2 , loại điểm không thuộc (a,b) Tính giá trị f điểm lại 2) Tính giá trị f(a), f(b) 3) So sánh giá trị f bước 1) bước 2) Kết luận VI Cực trị hàm nhiều biến: giá trị lớn nhất, nhỏ Định lý Weierstrass Hàm nhiều biến f liên tục tập đóng bị chặn D đạt giá trị lớn giá trị nhỏ D Để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm nhiều biến f D: 1) Tìm D (giữa điểm D) Tìm điểm dừng f : P1 , P2 , loại điểm không điểm D Tính giá trị f điểm lại 2) Tìm biên D 3) So sánh giá trị f bước 1) bước 2) Kết luận VI Cực trị hàm nhiều biến: giá trị lớn nhất, nhỏ Chú ý: 1) Tìm biên D: giả sử biên D cho phương trình  ( x, y )  Tìm biên D tức tìm cực trị f(x,y) với điều kiện  ( x, y )  Lập hàm Lagrange: L( x, y )  f ( x, y )    ( x, y ) Tìm điểm dừng L:  L'x ( x, y )   '  L y ( x, y )    ( x, y )  Tính giá trị f điểm Q1, Q2,  Q1 ( x1 , y1 )   Q2 ( x2 , y2 )    VI Cực trị hàm nhiều biến: giá trị lớn nhất, nhỏ Chú ý: 2) Trường hợp đặc biệt, biên D đoạn thẳng Tìm đoạn thẳng Giả sử tìm đoạn AB có phương trình a c ax  by  c (b  0)  y   x  b b Thay vào hàm f(x,y) ta có hàm biến x, tìm gtln, gtnn hàm VI Cực trị hàm nhiều biến: cực trị có điều kiện Ví dụ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ f ( x, y )  ( x  6)  ( y  8)2 miền D: x  y  25  f x'  2( x  6)  1) Tìm D:  ' f  y  2( y  8)   P1 (6, 8)  D 2  ( x , y )  x  y  25  2) Tìm biên D: Lập hàm Lagrange: L( x, y )  ( x  6)  ( y  8)   ( x  y  25) VI Cực trị hàm nhiều biến: cực trị có điều kiện  L'x  2( x  6)  2 x   ' Tìm điểm dừng L:  Ly  2( y  8)  2 y   Q1 (3, 4); Q2 (3, 4)  2  x  y  25 f (Q1 )  f (3, 4)  25 f (Q2 )  f (3, 4)  225 3) So sánh giá trị f bước 1) bước 2) Kết luận Giá trị lớn 225 đạt (-3,4) Giá trị nhỏ 25 đạt (3,-4) VI Cực trị hàm nhiều biến: cực trị có điều kiện Ví dụ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ f ( x, y )  x  xy  y miền D: | x |  | y |  A(0,1) D(1,0)   B(1, 0) C (0, 1)  f x'  x  y   P1 (0, 0)  D  f ( P1 )  ) Tìm D:  '  f y   x  y  VI Cực trị hàm nhiều biến: cực trị có điều kiện 2) Tìm biên D Có cạnh Tìm cạnh Trên AB: phương trình AB y   x, x  [0,1] f  x  x(1  x)  (1  x)2  x  x  Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm biến [0,1] f  x    x   [0,1] ' 1 2 Trên AB có điểm nghi ngờ: A(0,-1), B(1,0) Q1  ,  3 3 Tính giá trị f điểm này: f ( A)  1; f ( B )  1; f (Q1 )  Tương tự tìm cạnh lại 3) so sánh, kết luận: GTLN: 1; GTNN: VI Cực trị hàm nhiều biến: cực trị có điều kiện Ví dụ 2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ f ( x, y )  x  y miền D: x  y  x 1) Tìm D:  f x'  x   P1 (0,0) loại không điểm  '  f y  2 y  VI Cực trị hàm nhiều biến: cực trị có điều kiện 2 2) Tìm biên D:  ( x, y )  x  y  x   y2  x  x2 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm biến f  x  (2 x  x )  x  x f  4x    x  ' [0,2]   1 f    ; f (0)  0; f (2)  2 1 3) So sánh, kết luận: Giá trị lớn 4; giá trị nhỏ Chú ý: lập hàm Lagrange Bài tập Bài tập Bài tập Bài tập [...]... mặt tiếp diện và phương trình của pháp tuyến với mặt 2 x2 z  y2   3 4 9 tại điểm P( -2, 1, -3) 2 x2 z F ( x, y , z )   y 2   3  0 4 9 Fx' x ' 2z '  ; Fy  2 y; Fz  2 9 Phương trình mặt tiếp diện 2 1( x  2)  2( y  1)  ( z  3)  0 3 3 x  6 y  2 z  18  0 ương trình pháp tuyến qua P và có VTCP (-1, 2, -2/ 3): x  2 y 1 z  3   1 2 2 / 3 V Công thức Taylor, Maclaurint ...  y  2  x  X  1; y  Y  2 1 1 1 1    f  2( X  1)  3(Y  2) 2 X  3Y  8 8 1  2 X / 8  3Y / 8 1 2 X 3Y 2 2  1  t  t  o(t ), t   ử dụng khai triển hàm một biến g (t )  1 t 8 8 2 1   2 X 3Y   2 X 3Y   f  1         o(  2 ) 8  8 8   8 8   Khai triển, bỏ bậc cao hơn 2, đổi biến lại, sắp xếp theo thứ tự 1 2 3 4 f   2 ( x  1)  2 ( y  2)  3 ( x  1) 2  8...  1 X Y   X Y    ln 2  1   f  ln (2  X  Y )    ln 2  ln 1      2 2  2 2    t2 t3 X Y 3 ử dụng khai triển hàm một biến g (t )  ln(1  t )  t    o(t ), t  2 3 2 2 3 X Y 1  X Y  1  X Y  3 f  ln 2       o (  )    2 2  2  3  2  Khai triển, bỏ bậc cao hơn 3, đổi biến lại, sắp xếp theo thứ tự x 1 y 1 f  ln 2    2 2 V Công thức Taylor, Maclaurint... 2) f ( x, y )  f (1, 2)    o(  2 ) 1! 2! f ( x, y )  f (1, 2)   f x' (1, 2) ( x  1)  f y' (1, 2) ( y  2) 1!  f xx'' (1, 2) ( x  1 )2  2 f xy'' (1, 2) ( x  1)( y  2)  f yy'' (1, 2) ( y  2) 2 2!   ( x  1) 2  ( y  2) 2 tính tất cả các đạo hàm riêng trong công thức, thay vào!!  o(  2 ) V Công thức Taylor, Maclaurint ú ý m... nếu hàm 2 biến) 4) Tính gần đúng với sai số cho trước (vi phân cấp một không làm được điề này) V Công thức Taylor, Maclaurint í dụ Cho hàm f ( x, y )  x 2  2 xy và một điểm M 0  1, 2  Tìm công thức Taylor của f tại M0 đến cấp hai df (1, 2) d 2 f (1, 2) f ( x, y )  f (1, 2)    o(  2 ) 1! 2! f ( x, y )  f (1, 2)   f x' (1, 2) ( x...  (2a  2, 2b  4)   Theo đề: gradf(M) cùng hướng với véctơ i + j = (1,0) + (0,1) = (1,1) a 1 t / 2 a 1 s  , s0 (2a  2, 2b  4)  t (1,1), t  0   b  2  t / 2 b  2  s Tập hợp các điểm là nửa đường thẳng IV Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient í dụ Nhiệt độ T tại một điểm (x,y,z) được cho bởi công thức T ( x, y, z )  20 0... í dụ Tìm đạo hàm của f ( x, y, z )  x 2  3 yz  4 tại điểm M0(1 ,2, -1) theo hướng của véctơ tạo với các trục tọa độ những góc nhọn bằng nhau  Giải Véctơ đơn vị là: l0  (cos  ,cos  ,cos  ) cos 2   cos 2   cos 2   1  3cos 2   1  cos   f x'  2 x  f x' (1, 2, 1)  2  3z  f y' (1, 2, 1)  3 f z'  3 y  f z' (1, 2, 1)  6 f y' 1 3 fl' ( M 0 )  f x' ( M 0 )  cos... = x2 + y2 đạt cực tiểu tại (0,0) 2 2 Xét f ( x, y )  f (0, 0)  x  y  0 f ( x, y )  x 2  y 2  0  ( x, y )  (0,0) Vậy điểm (0,0) là điểm cực tiểu chặt VI Cực trị hàm nhiều biến: cực trị tự do Khảo sát cực trị của f ( x, y )  1  ( x  1 )2  ( y  1) 2 tại (1,1) ( x, y )  f (1,1)  1  ( x  1 )2  ( y  1) 2  1   ( x  1 )2 ... tại một điểm (x,y,z) được cho bởi công thức T ( x, y, z )  20 0  e  x 2 3 y 2 9 z 2 T tính bằng 0C; x, y, z tính bằng mét 1) Tìm tốc độ thay đổi của nhiệt độ tại điểm P (2, -1 ,2) theo hướng đến điểm (3,-3,3) 2) Tìm hướng mà nhiệt độ thay đổi nhanh nhất tại điểm P (2, -1 ,2) 3) Tìm giá trị lớn nhất của tốc độ thay đổi tại điểm P (2, -1 ,2) IV Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient ... hàm một biến 2 3 x x x e x  1     o( x 3 ) 1! 2! 3! y3 sin y  y   o( y 4 ) 3! 2 3 3    x x x y x 3 4  f ( x, y )  e sin y  1     o( x )    y   o( y )  3!  1! 2! 3!    y3 xy 3 x 2 y x 2 y 3 x3 y x3 y 3 f ( x, y )  y   xy       o(  3 ) 6 6 2 36 6 36 Khai triển, bỏ bậc cao hơn 3, đổi biến lại, sắp xếp theo thứ tự x2 y y3 f ( x, y )  y  xy    o(  3 ) 2 6 VI Cực