BỘ ĐỀ LUYỆN THI VÀO THPT DÀNH CHO HỌC SINH KHÔNG CHUYÊN NĂM 2015 MÔN TOÁN - ĐỀ SỐ - ĐÁP ÁN Thời gian làm bài: 120 phút Câu I (3,0 điểm) x x x x x a) N có nghĩa b) Với x x ta có: N x 1 : x x x xx x x 1 x 1 x 1 x x x x x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 c) Với x x ta có N x 1 1 1 2x 2x 2 2 0 0 0 x 1 x 1 x 1 x 1 x 3 x x x 1 1 x 3 x x x x d) Với x x ta có N x 1 x ;N x 1 x 1 U 1 1;1 x 1 N 2 Với x 1 1 x 1 (loại, không thỏa mãn ĐKXĐ) Với x 1 x (nhận, thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy x N nhận giá trị nguyên Câu II (2,0 điểm) Cho phương trình x2 2mx m2 a) Ta có ' m2 m2 2 m2 2m2 m2 Phương trình cho có hai nghiệm phân biệt khi: ' m2 m m m m 2 m Vậy 2 m phương trình cho có hai nghiệm phân biệt Trung tâm luyện thi EDUFLY – Hotline: 0987708400 x 1 x x BỘ ĐỀ LUYỆN THI VÀO THPT DÀNH CHO HỌC SINH KHÔNG CHUYÊN NĂM 2015 b) Với 2 m phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 Theo định lý Viét ta có x1 x2 2m m2 m x1 x2 2 5 Ta có x13 x23 x1 x2 3x1 x2 x1 x2 m 3 m2 m 2 2m3 3m m2 2m3 3m3 6m m3 6m m 1 m 1 m 1 m 1 m m 21 21 (vì 2 m ) m m m m 2 Vậy m 1 m 21 phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x13 x23 c) Phương trình cho có hai nghiệm x1 , x2 không âm khi: ' ' m2 2 m x1 x2 x x m Hai nghiệm x1 , x2 đồng thời 0, nên nghiệm dương phương trình là: 2 m 2m m m m m m m2 x1 từ ta có x1 4 Theo Bất đẳng thức Cô-si ta có: m2 m2 m2 m2 m2 m2 m2 m2 hay x12 x1 Đẳng thức xảy m2 m2 2m2 m2 m m (vì 2 m ) Vậy m nghiệm dương phương trình đạt giá trị lớn Câu III (2,5 điểm) a) Đặt AM x x c Ta có A c x MN AM xa MN ; MQ BM sin 60o BC AB c Suy diện tích MNPQ S xa c x a x c x 2c 2c N M B Q Trung tâm luyện thi EDUFLY – Hotline: 0987708400 P C BỘ ĐỀ LUYỆN THI VÀO THPT DÀNH CHO HỌC SINH KHÔNG CHUYÊN NĂM 2015 ab ab Ta có bất đẳng thức ab ab a 0; b c c2 xcx Áp dụng, ta có x c x Dấu đẳng thức xảy x c x x 2 Suy S a c ac 2c Vậy Smax ac c x hay M trung điểm cạnh AC b) Giả sử dựng hình vuông EFGH nội tiếp tam giác ABC A Nối BF , đoạn BF lấy điểm F ' khác B F Dựng hình chữ nhật F ' F ' G ' H ' E ' AB; H ' BC E F E ' F ' BE ' BF ' F ' G ' E' Ta có E ' F '/ / EF F ' G '/ / FG nên F' EF BE BF FG E ' F ' F ' G ' Do E ' F ' G ' H ' hình vuông C H' H G' G Cách dựng chứng minh: cạnh AB lấy diểm E ' tùy ý, B dựng hình vuông E ' F ' G ' H ' G '; H ' BC Dựng ta BF ' cắt AC F , dựng hình chữ nhật EFGH nội tiếp tam giác ABC Chứng minh tương tự ta có FE FG , suy EFGH hình vuông BH ' BG ' BH ' H ' G ' BH ' Ta có ; cot G ' BC cot 60o 1 E'H ' F 'G ' F 'G ' E'H ' 3 Suy tia B ' F cố định E ' di động AB , cắt AC điểm cạnh BC Lý luận tương tự ta có tia CF ' cố định cắt AB E Vậy toán có nghiệm hình Đặt AE y Ta có c x ; FE AE ay FE ; HE c y sin B BC AB c EFGH hình vuông, nên FE EH ay c y c3 y c 2a c Suy diện tích hình vuông EFGH Sv FE 3a c a c 3 Câu IV (2,0 điểm) Gọi vận tốc riêng ca nô v km / h v Vận tốc xuôi dòng ca nô v km / h Thời gian ca nô xuôi dòng Trung tâm luyện thi EDUFLY – Hotline: 0987708400 80 h v4 BỘ ĐỀ LUYỆN THI VÀO THPT DÀNH CHO HỌC SINH KHÔNG CHUYÊN NĂM 2015 Vận tốc ngược dòng ca nô v km / h Thời gian ca nô ngược dòng 80 h v4 25 Đổi 8h20 ' h h 3 80 80 25 Ta có phương trình 48 v 48 v v v v4 v4 v 20 96v 5v 80 5v 96v 80 v 20 (vì v ) v 0,8 Vậy vận tốc riêng ca nô 20 km / h Câu V (0,5 điểm) 1 Ta có: n n 1 n n 1 n 1 n 2 n n 1 n n n n 2n n n n 1 n n 2n 1 n 2n 1 n 2 n n 1 n n 2n 2n 2n n n 1 n 2 n 1 n n 1 2 n2 n n n 1 n2 n n n 1 1 1 1 1 n n 1 n n 1 n n 1 n n 1 Áp dụng kết vừa tìm cho biểu thức T ta có : T 1 1 1 1 2 3 1.2015 1 1 1 1 1 1 2 2014 2015 3 1 1 2013 2013 2015 2015 2015 2015 2015 4030 4030 - HẾT - Trung tâm luyện thi EDUFLY – Hotline: 0987708400 1 1 2014 2015