Hình học giải tích không gian

Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Chuyên đề 13: A KIẾN THỨC CƠ BẢN PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ ĐIỂM - TỌA ĐỘ VÉC TƠ z I Hệ trục toạ độ ĐỀ-CÁC không gian x' x'Ox : trục hoành y'Oy : trục tung z'Oz : trục cao O   : gốc toạ độ i, j, k : véc tơ đơn vò   (hay i; j; k : véc tơ đơn vò )       k y' x  i O  j z' Quy ước : Không gian mà có chọn hệ trục toạ độ Đề-Các vuông góc Oxyz gọi không gian Oxyz ký hiệu : kg(Oxyz) II Toạ độ điểm véc tơ:  Đònh nghóa 1: Cho M  kg(Oxyz) Khi véc tơ OM biểu diển cách theo       z i, j, k hệ thức có dạng : OM  xi  y j + y k với x,y,z   Bộ số (x;y;z) hệ thức gọi toạ độ điểm M y Ký hiệu: M(x;y;z) ( x: hoành độ điểm M; y: tung độ điểm M, z: cao độ điểm M ) M O x đ/n     OM  xi  y j  zk M ( x; y; z)  x  OP ; y= OQ ; z = OR Ý nghóa hình học:  z M2 R z M3 O M y Q x x p y M1 107 y Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn   Đònh nghóa 2: Cho a  kg(Oxyz) Khi véc tơ a biểu diển cách theo       i, j, k hệ thức có dạng : a  a1 i  a2 j + a3 k với a1 ,a2 ,a3    Bộ số (a1;a2;a3) hệ thức gọi toạ độ véc tơ a  Ký hiệu: a  (a1; a2 ; a3 )  a=(a1;a2 ;a3 ) đ/n      a  a1 i  a2 j  a3 k II Các công thức đònh lý toạ độ điểm toạ độ véc tơ : Đònh lý 1: Nếu A( x A ; y A ; zA ) B(x B ; yB ; zB )  AB  ( xB  x A ; yB  y A ; zB  zA ) Đònh lý 2:   Nếu a  (a1; a2 ; a3 ) b  (b1; b2 ; b3 ) a1  b1    * a  b  a2  b2 a  b    * a  b  (a1  b1; a2  b2 ; a3  b3 )   * a  b  (a1  b1; a2  b2 ; a3  b3 )  (k  ) * k a  (ka1; ka2 ; ka3 ) 108 Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn III Sự phương hai véc tơ: Nhắc lại  Hai véc tơ phương hai véc tơ nằm đường thẳng nằm hai đường thẳng song song  Đònh lý phương hai véc tơ:     Đònh lý : Cho hai véc tơ a b với b    a phương b    !k   cho a  k b   Nếu a  số k trường hợp xác đònh sau:   k > a hướng b   k < a ngược hướng b  a k   b Đònh lý :   A, B, C thẳng hàng  AB phương AC   Đònh lý 5: Cho hai véc tơ a  (a1; a2 ; a3 ) b  (b1; b2 ; b3 ) ta có :   a phương b a1  kb1    a2  kb2  a : a2 : a3  b1 : b2 : b3 a  kb  IV Tích vô hướng hai véc tơ: Nhắc lại:      a.b  a b cos(a, b) 2  a  a    a  b  a.b    Đònh lý 6: Cho hai véc tơ a  (a1; a2 ; a2 ) b  (b1; b2 ; b3 ) ta có :  a.b  a1b1  a2 b2  a3 b3 109 Chun đề LTĐH  Đònh lý 7: Cho hai véc tơ a  (a1; a2 ; a3 ) ta có : Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn  a  a12  a2  a32 Đònh lý 8: Nếu A( x A ; y A ; zA ) B(x B ; yB ; zB ) AB  ( xB  x A )2  ( yB  y A )2  ( zB  zA )2   Đònh lý 9: Cho hai véc tơ a  (a1; a2 ; a3 ) b  (b1; b2 ; b3 ) ta có :   ab  a1b1  a2 b2  a3b3    Đònh lý 10: Cho hai véc tơ a  (a1; a2 ; a3 ) b  (b1; b2 ; b3 ) ta có :    a1b1  a2 b2  a3 b3 a.b cos(a, b)     a.b a12  a2  a32 b12  b2  b32 V Điểm chia đoạn thẳng theo tỷ số k: Đònh nghóa : Điểm M gọi chia đoạn AB theo tỷ số k ( k  ) :   MA  k.MB  A  M  B   Đònh lý 11 : Nếu A( x A ; y A ; zA ) , B(x B ; yB ; zB ) MA  k.MB ( k  ) x A  k xB   xM   k  y A  k yB   yM  1 k  zA  k zB   zM   k  Đặc biệt : x A  xB   xM   y  yB  M trung điểm AB   yM  A  zA  zB   zM   110 Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Định lý 12: Cho tam giác ABC biết A( x A ; y A ; zA ) , B(x B ; yB ; zB ), C(x C ; yC ; zC ) x A  x B  xC   xG   y  yB  yC  G trọng tâm tam giác ABC   yG  A  zA  zB  zC   zG   Ví dụ 1: Trong Kg(Oxyz) cho ba điểm A(3;1;0), B(-1;2;-1), C(2;-1;3) Tìm điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành Ví dụ 2: Trong Kg(Oxyz) cho ba điểm A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0) a Chứng minh tam giác ABC vuông b Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC c Tính độ dài đường trung tuyến kẻ từ A VI Tích có hướng hai véc tơ:   Đònh nghóa: Tích có hướng hai véc tơ a  (a1; a2 ; a3 ) b  (b1; b2 ; b3 ) véc tơ   ký hiệu :  a; b  có tọa độ :   a  a; b       b2 a3 a3 ; b3 b3 a1 a1 ; b1 b1  a  (a1; a2 ; a3 ) Cách nhớ:  b  (b1; b2 ; b3 ) a2   b2  Tính chất:                a; b   a  a; b   b       SABC   AB; AC    S ABCD   AB; AD  A B C D B    VABCD A' B'C' D'   AB; AD  AA' VABCD   a phương b      a; b   C' A' A      AB; AC  AD D' C B' D C A D B C A B       a, b, c đồng phẳng   a, b  c        A, B, C, D đồng phẳng  AB, AC, AD đồng phẳng   AB, AC  AD  111 Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn BÀI TẬP ỨNG DỤNG: Bài 1: Cho bốn điểm A(-1;-2;4), B(-4;-2;0), C(3;-2;1), D(1;1;1) a Chứng minh bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng b Tính diện tích tam giác ABC c Tính thể tích tứ diện ABCD Bài 2: Tính thể tích tứ diện ABCD biết A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1), D(-1;-5;3) Bài 3: Bài 4: Bài 5: Bài 6: Bài 7: Cho tứ diện ABCD với A(2; 1;6), B(3; 1; 4), C(5; 1; 0), D(1; 2;1) Chứng minh tam giác ABC vng Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thể tích tứ diện ABCD 112 Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN I Các đònh nghóa: Véc tơ phương (VTCP) đường thẳng:   đn  a    a VTCP đường thẳng (  )    a có giá song song trùng với ()  a  a () Chú ý:  Một đường thẳng có vô số VTCP, véc tơ phương với  Một đường thẳng (  ) hoàn toàn xác đònh biết điểm thuộc VTCP Cặp VTCP mặt phẳng:  a  b a  b  Cho mặt phẳng  xác đònh hai đường thẳng cắt a b Gọi a VTCP đường  thẳng a b VTVP đường thẳng b Khi :  Cặp (a,b) gọi cặp VTCP mặt phẳng  Chú ý :  Một mặt phẳng  hoàn toàn xác đònh biết điểm thuộc cặp VTCP  Véc tơ pháp tuyến ( VTPT) mặt phẳng : n    đn  n    n VTPT mặt phẳng     n có giá vuông góc với mp Chú y ù:  Một mặt phẳng có vô số VTPT, véc tơ phương với  Một mặt phẳng hoàn toàn xác đònh biết điểm thuộc cặp VTPT 113 Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Cách tìm tọa độ VTPT mặt phẳng biết cặp VTCP nó:  a  (a1; a2 ; a3 ) Đònh lý: Giả sử mặt phẳng  có cặp VTCP :   mp  có VTPT : b  (b1; b2 ; b3 )     a2 n   a; b     b2 a3 a3 ; b3 b3 a1 a1 ; b1 b1 a2   b2     n  [a , b ]  a  b  Ví dụ: Tìm VTPT mặt phẳng  biết  qua ba điểm A(-2;0;1), B(0;10;3), C(2;0;-1) II Phương trình mặt phẳng : Đònh lý 1: Trong Kg(Oxyz) Phương trình mặt phẳng  qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) có  VTPT n  ( A; B; C ) là:  n  ( A; B ; C ) M  x; y;z   M ( x0 ; y ; z ) A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z0 )   z  n  ( A; B ; C )  Đònh lý 2: Trong Kg(Oxyz) Phương trình dạng : M0 2 y Ax  By  Cz  D  với A  B  C  phương trình tổng quát mặt phẳng x Chú ý :   Nếu ( ) : Ax  By  Cz  D  ( ) có VTPT n  ( A; B; C )  M ( x0 ; y0 ; z0 )  ( ) : Ax  By  Cz  D   Ax  By0  Cz0  D  Các trường hợp đặc biệt: Phương trình mặt phẳng tọa độ:  (Oxy):z =  (Oyz):x =  (Oxz):y = Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:  (Oyz ) z y O (Oxz ) x  A(a; 0; 0)  Phương trình mặt phẳng cắt trục Ox, Oy, Oz  B(0; b; 0) C (0; 0; c)  114 (Oxy ) (a,b,c  0) Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn C là: x y z   1 a b c c O a b B A Ví dụ 1: Trong Kg(Oxyz) cho ba điểm A(3;1;0), B(-1;2;-1), C(2;-1;3) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) Ví dụ 2: Trong Kg(Oxyz) cho A 1;2;3  , B  2; 3;1 Viết phương trình mặt phẳng  P  qua A vng góc với đường thẳng AB Ví dụ 3: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng  P  : x  y  3z    R  : x  y  z   Viết phương trình mặt phẳng  R  qua A 1;1;1 đồng thời vng góc với  P   Q  Ví dụ 4: Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M(9;1;1) , cắt tia Ox, Oy, Oz A, B, C cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ III Vò trí tương đối hai mặt phẳng : Một số quy ước ký hiệu: a1  tb1 a  tb  (a1 , a2 , , an ) Hai n số :  gọi tỷ lệ với có số t  cho  (b1 , b2 , , bn )   an  tbn a a1 a2    n Ký hiệu: a1 : a2 : : an  b1 : b2 : : bn b1 b2 bn Vò trí tương đối hai mặt phẳng: Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng  ,  xác đònh phương trình :  ( ) : A1 x  B1 y  C1z  D1  có VTPT n1  ( A1; B1; C1 )  (  ) : A2 x  B2 y  C2 z  D2  có VTPT n2  ( A2 ; B2 ; C2 )  n  n2   n1  n1  n2     115  n2  Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn A B B C C A ( ) cắt ( )  A1 : B1 : C1  A2 : B2 : C2 (hay:    ) A B2 B2 C2 C2 A2  A1 B1 C1 D1    A B2 C2 D2 ( )  ( )  A1 B1 C1 D1    A B2 C2 D2 ( ) // ( ) Đặc biệt:     A1 A2  B1B2  C1C2  ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN I Phương trình đường thẳng: 1.Phương trình tham số đường thẳng: Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) Phương trình tham số đường thẳng () qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 )  nhận a  (a1; a2 ; a3 ) làm VTCP : z  a  x  x0  ta1  () :  y  y0  ta2  z  z  ta  () M0 M ( x, y , z ) y (t  ) O x Phương trình tắc đường thẳng: Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) Phương trình tắc đường thẳng () qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 )  nhận a  (a1; a2 ; a3 ) làm VTCP : () : x  x0 y  y0 z  z0   a1 a2 a3 Ví du 1ï: Ví du 2ï: Ví du 3: 116 Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn x   2t  Cho điểm M(-2;1;1) đường thẳng (d) : y  1  t Lập phương trình mặt phẳng (P) qua điểm z   t  M vuông góc với đường thẳng (d) Ví dụ 4: Cho điểm M(1;2;3) đường thẳng (d) : x z z   Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm 1 M đường thẳng (d) II Vò trí tương đối đường thẳng mặt phẳng : 1.Vò trí tương đối đường thẳng mặt phẳng : ( )  a   a M  n ( )  n  n M M    a ( ) Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) cho :  x  x0 y  y0 z  z0   đường thẳng () : có VTCP a  (a1; a2 ; a3 ) qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) a1 a2 a3  mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  có VTPT n  ( A; B; C ) Khi : () cắt ( )  Aa1  Ba2  Ca3  () // ( ) (  )  ( ) Aa1  Ba2  Ca3     Ax0  By0  Cz0  D  Aa1  Ba2  Ca3     Ax0  By0  Cz0  D   a Đặc biệt: ( )  ( )  a1 : a2 : a3  A : B : C  n   pt () Chú ý: Muốn tìm giao điểm M (  ) (  ) ta giải hệ phương trình :  tìm x,y,z  pt ( ) Suy ra: M(x,y,z) Ví dụ 1: Cho hai điểm A(0;0;-3) , B(2;0;-1) mặt phẳng (P): 3x - 8y + 7z -1 = Tìm toạ độ giao điểm I đường thẳng AB mặt phẳng (P) Ví dụ 2: Cho điểm M(1;1;1) mặt phẳng (P) có phương trình: x  2y  3z  14  Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc M mặt phẳng (P) 117 Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn x 1 y  z    mặt phẳng (P) : x  3y  4m z  m  Tìm m 1 4 để đường thẳng (d) nằm mặt phẳng (P) Ví dụ 3: Cho đường thhẳng (d) : Vò trí tương đối hai đường thẳng : M '  u 1  a  b  u M0  u' 2 1 2 ' 1 M M  u M0  u' 2 M M 0' M0 ' 1  u' 2 Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng :  x  x0 y  y0 z  z0 (1 ) :   có VTCP u  (a; b; c) qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) a b c  x  x0 y  y0 z  z0 ( ) :   có VTCP u'  (a' ; b' ; c' ) qua M '0 ( x0' ; y0' ; z0' ) ' ' ' a b c     (1 ) ( ) đồng phẳng  u, u'  M0 M0'        u , u'  M M '    0  (1 ) cắt ( )    a : b : c  a' : b' : c'  (1 ) // ( )  a : b : c  a' : b' : c'  ( x0'  x0 ) : ( y0'  y0 ) : ( z0'  z0 )  (1 )  ( )  a : b : c  a' : b' : c'  ( x0'  x0 ) : ( y0'  y0 ) : ( z0'  z0 )     u, u'  M M 0'     (1 ) ( ) chéo  pt (1 ) Chú ý: Muốn tìm giao điểm M (1 ) ( ) ta giải hệ phương trình :  tìm x,y,z  pt ( ) Suy ra: M(x,y,z) III Góc không gian: Góc hai mặt phẳng: Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng  ,  xác đònh phương trình :  n1  ( A1 ; B1 ; C1 ) ( ) : A1 x  B1 y  C1z  D1   (  ) : A2 x  B2 y  C2 z  D2  n  ( A2 ; B ; C ) Gọi  góc hai mặt phẳng ( ) & (  ) ta có công thức: cos   A1 A2  B1 B2  C1C2  0    90 A12  B12  C12 A22  B22  C22  Ví dụ: Cho hai mặt phẳng (P) : x  y   & (Q) :  x  z   Xác đònh góc hai mặt phẳng (P) (Q) 118 Chun đề LTĐH Góc đường thẳng mặt phẳng: Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng () : x  x0 y  y0 z  z0   a b c mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  Gọi  góc hai mặt phẳng () & ( ) ta có công thức: ( )  a  ( a ; b; c )  n  ( A; B ; C ) sin   Aa  Bb  Cc A2  B  C a  b  c  0    90 3.Góc hai đường thẳng : Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng : x  x0 y  y0 z  z0 (1 ) :   a b c x  x0 y  y0 z  z0 ( ) :   a' b' c'  a1  ( a; b; c ) Gọi  góc hai mặt phẳng (1 ) & ( ) ta có công thức: cos   1 aa '  bb '  cc ' a  b  c a '2  b '2  c '2 2  a  ( a ' ; b' ; c ' ) 0    90 IV Khoảng cách: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) cho mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) Khoảng cách từ điểm M0 đến mặt phẳng ( ) tính công thức: M ( x0 ; y ; z ) d ( M0 ; )   H Ax0  By0  Cz0  D A2  B  C Ví dụ: Cho hình tứ diện ABCD biết tọa độ đỉnh A(2,3,1) ; B(4,1,-2) ; C(6,3,7) ; D(-5,-4,8) Tính độ dài đường cao hình tứ diện xuất phát từ D 119 Chun đề LTĐH Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng (  ) qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) có VTCP  u  (a; b; c) Khi khoảng cách từ điểm M1 đến () tính công thức: M1  u    M0 M1; u    d ( M1 , )   u ( ) M ( x0 ; y0 ; z ) H x y 1 z    điểm A(1;2;1) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (d) Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: Ví dụ: Cho đường thẳng : (d ) : Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng chéo :  (1 ) có VTCP u  (a; b; c) qua M ( x0 ; y0 ; z0 )  ( ) có VTCP u'  (a' ; b' ; c' ) qua M '0 ( x0' ; y0' ; z0' ) Khi khoảng cách (1 ) ( ) tính công thức  1 u M0 M '  u'    u, u ' M M 0'   d (1 ,  )    u; u '    2 Ví dụ: Cho hai đường thẳng :  x   6t x  y  z 1  (d1 ) :   (d ) :  y  2t 2 z   t  Tính khoảng cách hai đường thẳng (d1) (d2) 120 Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: (A-2012) Bài 2: (B-2012) Bài 3: (D-2012) Bài 4: Bài 5: Bài 6: Bài 7: Bài 8: Bài 9: Bài 10: 121 Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Bài 11: Bài 12: Bài 13: Bài 14: Bài 15: Bài 16: Bài 17: 122 Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn MẶT CẦU TRONG KHÔNG GIAN I Phương trình mặt cầu: Phương trình tắc: Đònh lý : Trong Kg(Oxyz) Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a;b;c), bán kính R : z (S) : ( x  a)2  ( y  b)2  ( z  c)2  R2 (S ) I R Phương trình (1) gọi phương trình tắc mặt cầu M ( x; y; z ) y O (1) Khi I  O (C ) : x  y  z2  R2 Đặc biệt: x Phương trình tổng quát: Đònh lý : Trong Kg(Oxyz) Phương trình : x  y2  z2  ax  by  2cz  d  với a2  b2  c2  d  phương trình mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c), bán kính R  a2  b2  c2  d Ví dụ: Cho điểm A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1), D(-1;-5;3) Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D Xác đònh tâm bán kính mặt cầu II Giao mặt cầu mặt phẳng: Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) cho mặt phẳng ( ) mặt cầu (S) có phương trình : ( ) : Ax  By  Cz  D  (S ) : ( x  a)2  ( y  b)2  ( z  c)2  R2 Gọi d(I;  ) khoảng cách từ tâm mặt cầu (S) đến mặt phẳng  Ta có : ( ) cắt mặt cầu (S)  d(I; ) < R ( ) tiếp xúc mặt cầu (S)  d(I; ) =R ( ) không cắt mặt cầu (S)  d(I; ) > R (S ) (S ) I (S ) I R R R  H  (C ) I M M H M  123 r H Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Chú ý: Khi  cắt mặt cầu (S) cắt theo đường tròn (C) Đường tròn (C) có:     Ax  By  Cz  D   2 2  x  a    y  b    z  c   R Tâm hình chiếu vng góc tâm mặt cầu mặt phẳng  Bán kính r  R2  d ( I , ) Phương trình là: Ví dụ: Cho mặt cầu (S) : x  y  z  4x  2y  2z   Viết phương trình tiếp diện mặt cầu điểm M(0;1;-2) BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: (A-2012) Bài 2: (B-2012) Bài 3: (D-2012) Bài 4: Bài 5: Bài 6: Bài 7: Bài 8: 124 Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Bài 9: 125