Huong dan on luyen thi mon toan tap 5 luong giac (NXB dai hoc quoc gia 2003) vu viet yen, 321 trang

Trang 1

| GIẢNG VIÊN TOAN - DHSP HÀ | VŨ VIỆT YÊN - TRIỆU KH

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC

Trang 2

NHÓM GIẢNG VIÊN TOÁN - DHSP HÀ NỘI TRIEU KHUE HUONG DAN ON LUYEN THI MON TOAN TẬP V LƯỢNG GIÁC

* Ôn luyện thi đại học và cao đẳng

* Thi tốt nghiệp Trung học phổ thông

* Tuyển chọn học sinh khá - giỏi

Trang 3

Chịu trách nhiệm xuất bản:

Giám đốc - NGUYÊN VĂN THỎA

Trang 4

MUC LUC

SỐ TT

Chu dé | wv Chu dé Chu dé 3 | Chu dé 4 | Chủ đề 5 Chủ đẻ 6

| Chủ đề 7

NỘI DUNG Trang

Phương trình a oe không chứa tham số 4

Phương trình lượng giác có tham số 101

Hệ phương trình lượng giác 146

Trang 5

CHỦ ĐỀ I

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

KHƠNG CHỨA THAM SỐ

I MOT SO KIẾN THUC CAN LƯU Ý

A- Các dạng phương trình lượng giác (PTLG, ptLG) mẫu mực a Dạng phương trình cơ bản b Dạng phương trình bậc n đối với một hàm số lượng

c Dạng phương trình bậc nhất đối với sinu, cosu Chú ý các kết quả:

acosu + bsinu|< va” + b

acosu + bsinu = e có nghiệm khi và chỉ khi c?< ä? + bể

d Dạng phương trình đối xứng

Chú ý khi đặt ẩn phụ t = sinu + cosu = điều kiện của t là

|t|<⁄2

e Dạng phương trình đẳng cấp (thuần nhất)

Chú ý: trước khi chia 2 vế phương trình cho sinu hoặc cosu phải đặt điều kiện cho sinu hoặc cosu

B - Dạng phương trình lượng giác không mâu mực

€ - Một số phương pháp thường dùng để giải PTLG

1 Biến đổi tương đương phương trình đã cho để đưa về

một phương trình mẫu mực

2 Biến đổi tương đương để đưa phương trình đã cho vẻ

phương trình gồm tổng số học các số không âm đưa đến việc

Trang 6

[A=0 |B=0

ee AT + BHO eS

3 Biến đối tương đương để đưa phương trình da cho về phương trình dạng A = B thỏa mãn điều kiện:

|As<€ JA=€

(háng số) thì phương trình đã cho ©®

B>C |

4 Dat an phu:

+ Đặt một biểu thức trong phương trình đã cho làm ẩn

phụ để có một phương trình đại số dễ giải hơn Chú ý phải

đặt điều kiện cho ẩn phụ

+ Đặt một cung trong phương trình đã cho làm ẩn 2hụ để

dé thấy các hàm số lượng giác quen thuộc

Š, Giải tích hoặc đoán nhận nghiệm

+ Thường dùng bảng biến thiên, định lý về 'ính chất hàm

số liên tục để xét nghiệm phương trình

+ Đoán nhận nghiệm phương trình và chứng minh nghiệm đó duy nhất

II ĐỀ BÀI

§1 PHUONG TRINH LUONG GIAC CO BAN

A MOT SO BAI TOAN MINH HOA PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Giải các phương trình sau:

Bai 1 sin (x? + 1) = ee 0n

li mào n(n+1)

Trang 7

Bai 4 cos sin | = sin(zsin x)

via Bai 5 tp(tcosx) = tg(27cosx) TL Ì x+-—|

4)

Bài 6 cotgx = cotg

|

a mm XÌ- Bài 7 t2x 2 Tạ| \=1

m nghiệm âm lớn nhất của PT cos(TX?) = cos[7(x - l)°] Bài 9 Giải phương trình x? - 2xsiny - 2cosy + 2 =0 Bài 10 Giải phương trình tgŠx - tgx =0

Bài 11 Giải phương trình

1 - 32sinÌKcoSÌX - sinˆx - cosˆx = sin6x,

Trang 8

Bai 15 Giai phuong trình (coy 2x + cols cos 2x

Bai 16, Giai phuong trinh i

Asinax ~ V3 cos9x = 14+4sin‘ 3x

Bai 17 Giai phuong trinh

2cos*x + cos2x + sinx = 0

Bài 18 Giải phương trình a A cd sin’x + cos’| x += =— ( 4 4 Bài 19 Giải phương trình

x x Š sổ

] + sin—sinx — cos—sin” x =2c( ý 2 Bài 20 Giải phương trình sin COSX

n2x +sin3x B cos 2x + cos 3x i Bai 21 Giai phuong trinh (Cau Il, - Dé 45) (Cán HH, - Dé 49) (Cau Il, - Dé 68) (Cau ll, - Dé 77)

(Cau 1, - Dé 81) (1)

(Cau Il, - Dé 90)

(2sinx - 1) (2sin2x + 1) = 3 - 4cos?x (1)

Bai 22 Giai phuong trinh

lcosx| + sin3x = 0

(Cau H,- Dé 102)

Trang 9

Bài 23 Giải phương trình SỈ1 ` X+COS X

2c0S X ~ Sỉn X

(Cau 1,~- Dé 121) Bai 24 Giai phuong trinh 3sin 2x —2sinx l0g„, ;| —————————— |=l0g„ ; 2 “hệ sin 2x cos X em

(Câu II, - Đề 125) Bài 25 Tìm các nghiệm x € (0, 2m) của phương trình

—Sinx

sin: = sin2x + cos : x 4h- cos (Cau Il, - Dé 4) Bai 26 Giải phương trình = vn 2 + I0) sin’2x - c (Cám HH, - Đẻ 43) Bài 27 Tính tổng các nghiệm của phương trình 2 € cos2x - tg°x = voi x € [1, 70]

(Cau Il, - Dé 56) Bai 28 Giai phuong trinh ial ® af X sin“] — |+ cos"| — 2 2 ~tg°x.sinx = — i 1+sinx +tgˆx 2 I=sinx 2

(Cau HI, - Dé 62)

Bai 29 Giai phuong trinh

4cosx - 2cos2x - cos4x = |

Trang 10

Bài 30 Giải phương trình

ÿ

3Lg3X + cof02X = 2lgXx + ——— xn4x

(Cán TH, - Đề 71) Bài 3L: Giải phương trình

Trang 11

Bài 38 Tìm các nghiệm nguyên của phương trình 1

2 fix 9x” + 60x + ww) ¬

cos

(Cau 111,-DHSPHN ,-A-2000)

Bài 39 Giải phương trình

2cos’x + 2coS 2x + 2cos”3x - 3 = cos4x(2sin2x + 1)

(Cau I, - DHSP TPHCM-D-2000)

Bài 40 Giải phương trình

tgx +2cotg2x = sin2x

(Cau H1,-DHSPHN-B-2001)

Bai 41 Giai phuong trinh

sin’y + sin?2x + sin?3x =2

(Cau IL,-DHSP ky thiat TPHCM-A-2001)

Bai 42 Giai phuong trinh

sin’x + cos*x = 2(sin!"x + cos!"x) + : cos2x

(Cầu THỊ, -ÐH Ngoại thương HN-D-2000))

Bài 43 Giải phương trình

1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x

(Câu HH, -ĐH Ngoại thương-CS,-A-2000)

Bài 44 Giải phương trình

2sin| 3x4 ae vi + 8sin 2x cos’

(Câu /II-ĐH Kinh tế Quốc dán HN-A-2000)

Trang 12

Bài 46 Giải phương bình KũN X 1 = (tex +cotgx) sin 2x 2 sin

(Cán HH,- ĐIIBK HIN-A+ D-2000)

Bai 47 Giải phương trình

SỈN N + COS X + SỈ 'X.COLBX + COS)X,l8X = ^/2sin2x

(Cám TH,-ĐIE Kiến Trúc HN-2000)

Bài 48 Giải phương trình

Qsinx + 1) (3cos4x + 2sinx - 4) + 4cos”x = 3

(Cau I1,-DH Hang Hai - 2000)

Bài 49 Giải phương trình

sin2X(COL#X + tg2X) = 4coS”x

(Câu HI-ĐH Mỏ Địa chất HN-2000)

Bài 50 Giải phương trình

(Cau H1,-DH GTVT-CS)-2000)

Bai 51 Giai phuong trinh

tgx - 3cotgx = 4(sinx + V3 cosx)

(Câu IV,-ÐH Thủy lợi-CS,-2000)

Trang 13

Bai 54 Giai phuong trinh

3sinx + 2cosx = 2 + 3tgx

(Cau H1,- HV Quan Y-2001)

Bai 55 Giai phuong trinh

cos2x + cos4x + cos6x = cosx cos2x cos3x + 2

(Câu 11-DH Dugce HN-2000)

Bai 56 Giai phuong trinh

tg’x cotg? 2x cotg3x = tg”x - cotg’2x + cotg3x

(Cau H,-ÐH Dược và ĐH Luật HN-2001) Bài 57 Giải phương trình

sin3x = cosx cos2x(tg?x + tg2x)

(Cau H,-DH QGHN + HV Negdn hang HN-D-2001)

Bài 58 Giải phương trình

sin3x + cos2x = | + 2sinx cos2x

(Câu H,-ÐH Thái Nguyên-A+B-2000)

Bài 59 Giải phương trình 443 SiNX.COSX.cOS2X = sin8x (Câu TH,-ÐH Cần Thơ-D-2000) Bài 60 Giải phương trình š 1+ cos

(Cau H.-PH Da Nang-A-2001) Bài 61 Giải phương trình

2cos?2x + cos2x = 4 sin’2x cos”x

(Câu H,-ÐH Cơng Đồn-2000)

Bài 62 Giải phương trình

sin’, l]'l] =]~2sinx

5 J

\

Trang 14

Bai 63 Giai phuong trình

1

COS3x COS)X - SinÄ3X.sin`x = €OS 4X + —

CCản HH,-ĐH Ngoại nạữ-2001)

Bai 64 Cho f(x) = cos’x, sin'x + cos2x

1 Giải phương trình: f(x) = 2cox(sinx + cosx) - |

2 Chứng minh rằng: Íf(x)| < 1 với VX

(Cầu IH-DH Đà Lạt-D-2000)

§2 PHƯƠNG TRÌNH BẬC T ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ

LUONG GIAC CUA MOT CUNG

A MOT SO BAL TOAN MINH HỌA PHƯƠNG PHÁP

Bài 65 Giải phương trình

3 sin’x - 2sinx + cos`x = 0

>

Bài 66 Giải phương trình sin” x †cos2x}` = cos2x 2sin2x

Bài 67 Chứng minh rang phương trình:

sin3x + cos2x = | + 2sinx cos2x (1)

và - sin3x-3sinx + 2sinx =0 (2)

tương đương nhau

Bài 68 Giải phương trình

Vi=cosx — Vii

COSX

Bai 69 Giai phuong trinh

cos’x - 2cosx = 4sinx - sin2x Bai 70 Giai phuong trinh

Trang 15

B CAC BAL TOAN CHON LOC TRONG BO DE VA DE THE TUYEN SINH VÀO TRƯỜNG CĐ-ĐH CÁC NAM 2000, 3001

Bài 71 Giải phương trình I 4 1 = 2 ms €OSX SI12X sin4x (Cau H,-Deé 30) Bai 72 Giai phuong trinh - I7 „ sin’x + cos*x = —cos°2x 16 (Cau H,-Dé 63) Bai 73 Giai phuong trinh

sin X + €OSX

vcos2x + V1 +sin2 (Câu HH-Đẻ 63) Bài 74 Tìm tổng các nghiệm x của phương trình

) 2 sin’ x +1 2cos* x + cot g’x = ————— trên đoạn [2; 40] sin x (Cau HI-ĐÐe 140) Bai 75 Giai phuong trinh

2: cos*x.cos3x + sin'x.sin3x = ¬

(Cau 111-Dé 135) Bài 76 Giải phương trình 1

|cotgx = tgx + -

sinx (Cau l,-Dé 46)

Bài 77 Giải phương trình

3cosx + 2|sinx| =k trong trudng hop k = 2 và k= 3

(Cán HH,-Để 57)

Bai 78 Giải phương trình

6tgx + acoty3x = 1g2x:trong trường hợp a = 0 và

(Cán HH,-Đẻ 97)

Trang 16

Bài 79 Giải phường trình

Osinx - 2eas'x = Ssin2x.cosx (Cáu HHI-Đề 112) Bài 80 Giải phương trình 4 3

3cos — = 2cos‘| — |+ 1

5 3 (Cau 112-Dé 5) Bài 81 Giải phương trình ) TL i TL V2 (Qsinx - 1) = 4(sinx - 1) - cos| 2x+— |- sin | 2x+— \ 4 4 (Cau II,-Dé 17) Bài 82 Giải phương trình Š š Ssin4x.cosx 6sinx - 2cos*x = ——— 2cos2x

(Câu H,-Đề 93)

Bài 83 Giải phương trình vsin Bài 84 Giải phương trình

(Cau I1,-Đề 107) (Cán II,-Đề 47)

Bai 85 Giai phương trình

doos'x + 3 ¥2 sin2x = 8cosx

(Cau H1,-DUSPHN-B+D-2000 va HVCTQG-A-2000)

Trang 17

Bai 87 Giai phuong trinh

(Cau Hf,-CDSPHN va DH Thitong mai HN-2001)

Bai 88 Giai phuong trinh 13 cos"x - sin’x = cos” 2x 8 (Cau Il, -DHQGHN-B-2000) Bai 89 Cho ham so : : I f(x) = sinx + —sin3x + —sin5x

3

Tinh dao ham f(x) va giai phuong trinh f(x) = 0

(Cdu HH ,-HVQHOT Ha Noi-D-2000) Bai 90 Giải phương trình

vi=sin2x - + V1 4sin2x ————— =4cosx

sinx

(Cán H;-ÐH Luật Hà Nội và ĐH Xây dựng Hà Nói-2000)

Bài 91 Giải phương trình

COSÌX- SỈNÌX = sinx + cosx

(Cáu HI,-ÐH An ninh - D-2000)

Bài 92 Giải phương trình

HA ets = (v3 1}eos” xT

(Cân IH,-ÐH Cảnh sát nhân dân - A, B-2000)

Bài 93 Giải phương trình

3 cotg?x + 2V2 sin’x = (2 + 3-V2) cosx

(Cán HH,-IVKTOSHN-2001)

Trang 18

Bai 94 Giải phương trình

2A2 (sinx + cosx)cosx = 3 + cos2x (Căn HH,-DH GTVT Hà Nội - 2000) Bài 95 Giải phương trình sa si n| if TL 9 sin*x + sin? | x4 +sin? | x-—] = — (oat { 4) 8

(Cân IH,-ÐĐH GTVT Hà Nội - 2001)

Bài 96 Giải phương trình

sin2x + 2tgx = 3

(Câu HI,-ÐH Bách khoa Hà Nội - 2001) Bài 97 Giải phương trình 1 3

48- ———(1+ cot gx.cot g2x)=0 cos*x sin”)

(Cán HH,-ÐH Mo Dia chat Ha Noi - 2001)

Bai 98 Giai phuong trinh 1 cos(28+ 5] +cos| 2x—— | + 4sinx =2 + 2A2 (1 - sinx)

(Cân IH,-DH Hàng hải -A- 2001) Bài 99

Tìm các nghiệm của phương trình: 2cos2x - 4cosx = 1

thoã mãn điều kiện sinx > 0

(Câu 1H-CÐ Công nghiệp Hà Nội - 2000)

Bài 100 Giải phương trình in3X sin 5X

(Cau IV ,-DH Thúy lợi Hà Nội - 2000)

Bài 101 Giải phương trình

3sinx + 2\cosx| - 2

| (Cau H1,-PH Thuy san - 2000)

2HOLT LG : 17

Trang 19

Bai 102 Giai phuong trinh sindx = 1gx

(Cau 1,-DH Y Hà Nội - 2000)

Bài 103 Giải phương trình

(Cau H,-DH KTOD Hà Nội - 2001)

Bài 104 Giải phương trình

sin’x + sin?3x - 3cos’2x = 0

(Cau H1,-DH TCKT-HN- 2001)

§3 PHUONG TRINH ACOSU + BSINU = C A MOT SO BAI TOAN MINH HOA PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Bài 105 Giải phương trình

cos7x - sin5x = A3 (cos5x - sin7x)

Bài 106 Giải phương trình

cos?x + 2-V3 sinxcosx + 3sin’x =

Bài 107 Giải phương trình ( 5 3sin x-= +4sin ony 3 6 ~Ssinf 2x + Elo 3 )

Bài 108 Biết f(x) = acosx + bsinx = 0 Có 2 nghiệm x, x; thỏa mãn x; - x; # km, K€ Zz Chứng mình rằng f(x) =0 với V x Bài 109 Giải phương trình

sin’x - sin2x - 3sinx - 2cosx - 4 = 0

B CÁC BÀI TOÁN CHỌN LỌC TRONG BỘ ĐỀ VÀ ĐỀ THỊ VÀO TRƯỜNG CĐ-ĐH CÁC NAM 2000, 2001

Bài 110 Giải phương trình

2sin2x - cos2x = 7sinx + 2cosx - 4

(Cán IH,-DH QGHN va HV Negdn hàng-A-2001)

Trang 20

Bai 11 Giai phuong trinh

4sin'x, Cos3x + 4cos’x sin3x + 33 cos4x =3

(Cau I-HV Cong nghé Buu chinh - Vien thong Ha Néi - 2001)

Bai 112 Giai phuong trinh

sin2x + 2cos2x = 1 + sinx - 4cosx

(Cau H1,-DH An ninh - D - 2001)

§4 PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VỚI SINU VÀ COSU:

a(cosu + sinu) + b.sinu cosu +ec= 0

hoặc phản xứng: a(cosu - sinu) + b.sinucosu +

A MOT SO BAI TOAN MINH HOA PHƯƠNG PHÁP GIẢI Bai 113 Giai phuong trinh

Bi

= sin2x 5

1 + sin’x + cos'x

Bai 114 Giai phuong trinh

Scos'x + 3cos*x.sinx + 6cos’ x sin’x - cosx, sin'x + sin'x =

15 Giai phuong trinh

sinx + sin’x + cos*x =0

Bai 116 Giai phuong trinh

& l+C0S X

Ti in ng lt+sn x

B CAC BAL TOAN CHON LOC TRONG BỘ ĐỀ VÀ ĐỀ THỊ TUYỂN SINH

Trang 21

Bài 118 Giải phương trình

COLBX - lỹX = SỈNX + €OSX

(Cau H-Dé 92)

Bai 119 Giai phuong trinh

2(tgx - sinx) + 3(cotgx - cosx) + 5 = 0

(Cau 1,-Dé 100) Bai 120 Giai phương trình

tex + tg’x + tg*x + cotgx + cotg’x + cotg'x = 6

(Câu H1,-Dé 141) Bai 121 Giai phuong trinh

2sinx + cotgx = 2sin2x + 1

(Cáu 1H,-DHOGHN và HV Ngán hàng -A-2000)

Bài 122 Giải phương trình

sin2x + V2 sin [*-š}: 1

}

(Câu IH,-ÐĐH Ngoại ngữ Hà Nội - 2000)

Bài 123 Giải phương trình

2sin2x - 2(sinx + cosx) + 1 =0

(Cáu TH,- Phân viện Báo chí và Tuyên truyền

HV CTQG HCM - 2000)

Bài 124 Giải phương trình

sin’x + €os”x + cosx = 0

(Cân HHI,- HV Quản Y - 2000)

Bài 125 Giải phương trình:

2cos2x + sin’xcosx + cos*xsinx = 2(sinx + cosx)

Trang 22

§5 PHUONG TRINH LUONG GIAC KHONG MAU MỰC \ MOT SO BAL TOAN MINI HOA PHUONG PHAP GIAI

ds Bài 126 Giải phương trình xử dụng phương pháp tông các số không âm " 1 A 5

sin’x + 7a 3x = sinx sin’3x

Bài 127 Giải phương trình

sin5x + sin6x + sin7x = 3 2 Sử dụng phương pháp đối lập Bài 128 Giải phương trình cosx + XỈ =0 Bài 129 Giải phương trình cosx + V3 sinX -

3 Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ

Bài 130 Giải phương trình KỆ

1 = sin’x sin3x + 5 sin’2x + cos2x

Bai 131 Giai phuong trinh

Trang 23

B

AC BAI TOAN CHON LỌC TRONG BỘ ĐỀ VÀ ĐỀ THỊ TUYẾN SINH VÀO TRƯỜNG CĐ-ĐH CAC NAM 2000, 2001 1 Phương pháp tổng các số không ám Bài 134 Bài 135 Bài 136 Bài 137 Bài 138 Bài 139 Bài 140 Bài 141 Giải phương trình x? - 2xsin(xy) + 1 =0 (Cau I11,-Dé 60)

Giai phuong trinh

cos*x - sin'x = |cosx| + |sinx|

(Câu 1H,-Đẻ 80)

Giải phương trình

cos2x - cos6x + 4(3sinx - 4sin`x + 1) =0

(Cau I11,-pé 83)

Giai phuong trinh

sin’x + sin’y + sin?(x + y) = :

(Cau H,-Dé 105)

Giai phuong trinh

t8?x + tg?y + cotg”(x + y) = l

(Câu V,- Đề 90) Giải phương trình

4cos?x + 3\g”x - 4A/3cosx + 2A/3tgx + 4= 0

(Cau I11,-Dé 32) Giai phuong trinh 1 + 3tgx = 2sin2x (Cau H1,-DHQGHN-D-2000)

Giai phuong trinh

§cos4x cos” (2x) + vI—cos3x +] =0

Trang 24

Bài 142 Giải phương trình

cos’x + sin’X + cos2x + sin2x = 1 + V2

(Cau l-DH Nong nghiép 1-B-2000)

Bài 143 Giai phuong trinh

2cosx + V2 sinI0x = 322 + 2cos28xsinx

(Cán TH,-ĐÐH An Ninh-A-2001)

2 Phuong phap doi lap Bài 144: Giải phương trình

cos3x + V2 —cos? 3x = 2Í +sin” 2x)

(Cân IH,-Đề 24)

Bài 145 Giải phương trình

sinx + cosx = AÝ2 (2-sin3x)

(Cau I1,-Dé 35)

Bai 146 Giai phuong trinh

(cos4x - cos2x)? = 5 + sin3x

(Cau I,-Dé 74)

Bài 147 Giải phương trình

Trang 25

Bai 150 Giai phuong trinh

cos3x + v2-cos? 3x =2(1I+sin` 2x)

(Cám HH,-HV Ngắn hàng - Phân viện

TP.HCM-A-2001) 3 Phương pháp đặt ẩn phụ Bài 151 Giải phương trình tg(120" + 3x) - tg(140" - x) = 2sin (80" + 2x)

(Câu HI;-Đề 123)

Bài 152 Giải phương trình cos|x|

sin|x| (Cau H,-Dé 133)

Bai 153 Giai phuong trinh

sinx + ¥2—sin? x + sinx¥2-sin?x =3 (1)

(Cau H1,-Dé 146)

* Bạn đọc có thể tham khao bai IIT,- Dé thi vào Phân viện

Bao chi - HVCTQGHCM-1998; III, - Dé thi vao Học viện

Cong nghé BCVT-1999

4 Phương pháp giải tích và đoán nhận nghiệm

Trang 26

HỊ- HƯỚNG ĐẦN GIẢI, ĐÁP SỐ - CHU DE I

Bai 1

et Te

Vš phật l Dài” a+ +Í a gs

[22 oa] mo del

1

đạc ns

Bl eel › n

Vậy phương trình «3 sin(x + l)= ——<l= n+l

= nghiệm của phương trình được xác định: ke z, sing = ` n+l

oNéux?+lsa+k2n «@ x=+ vơ-l+k2n

1— œ-I+k2r>0 eke os 2m

[xi +] =ữ+k2m [x?+1=n-a+k2n

với

eN€ux°+l=m-œ+k2n @©x=+xV#=œ—l+k2m, với To

m-a-1+k2n20 ks ! 2n ĐS: Phương trình có 4 họ nghiệm

X,.=+ VaQ—-1+k2nm với ke Z thỏa mãn điều kiện

Trang 27

xe _ TL Bai 2 Phuong trinh © cos(x? + 4x - 2) = cos 3

ex +4x-2e4 7 +k ke Z

+ Nếu XÌ+4x ©2= 2 +kÕm exe 2% ton=o

Trang 29

Bai I—4k sin xX = ——— “= 3 keZ sinx = 1+4k 1-4k I1=4k ® Với sinx = TH” phải có -l < <1 1 ©@ &ksl 2 Vike Z>k=0, 1 Vay c6 sinx = 0; sinx = 1 ex =knhayx= + k2n (a)

¢ V6i sinx = I + 4k, phải có -I S1 + 4k< l và ke Z

= k=O vay có sinx =1 csx= 2 + kan (b) @ (a) va (b) = DS: x = la koni, keZ

5 Phuong trinh <> mcosx = 2mcosx + km © cosx = -k

Trang 30

Nếu các dau cung nghiệm +

của các phương trình được biều

điển tại các định của một đa giác đều n cạnh trên đường tròn lượng giác, thì c

c nghiệm đó được gộp lại thành một họ

nghiệm có công thức:

ơ là cung không âm nhỏ nhất

Bài 6 Đáp số: Vô nghiệm

Bài 7 Điều kiện phương trình:

x 1

cos—.cos 2x— 2 4 +0 (1)

2

Khi đó dễ thấy x= C+k in Œ) ke€Z

Các đầu họ cung (*) được biểu diễn tại các điểm A B, C

Trang 31

Bài 8 Phương trình © mx? =+ a(x - 1) + k2m,k€ Z

e Với x`=(x- 1) +2k œ 2x=l+2k @ x=-+K

¬ Ta có nghiệm âm lớn nhất là x = ~z ứng với k=-l (a) © Véi x? = -(x- 1)? +2K © 2x?-2x+1-2k=0

„ly = xe -* TT” vớiK> 2

= với K € Z„ nghiệm âm lớn nhất ứng với K = 1 Khi đó

1-3

2 x= (b)

1-3

(a) va (b) = ÐS: Nghiệm âm lớn nhất là x = Bài 9 Phương trình

© x? - 2xsiny + sin’y + cos’y - 2cosy + 1 = 0

© (x - siny)’ + (cosy - 1)? =0 cosy = y=k2n Se siny x=0 DS: (x = 0; y =k2n), ke Z Bài 10 Phương trình tgŠx - tgx - tgx = 0 (1) có điều kiệt là cos5x.cox #0 (2) khi đó

(1) © sin4x=0 e@x=k= Kết hợp (2) có k= 4

4 tcZ SDS: xan, LEZ

Bai 11 Phuong trinh

Trang 32

€? | - 32sin xcos’x - (sin'x + cos*x © sin’xcos’x) = sin6X

3

1 - 4sin'2x - | 1 1 sin =3sin2x =4sin` 2x 3 fi sin2x =0 <= =sin 110122 h2 DIE : 4 sin2x = 4 (loại) = Đỹ: x = kế, keZ Bài 12 1 sinx

Phương trình 2sin3x -

2cos3x +

cele wei [UX 0 1 i

điều kiện là | ng x#k>, kez 0) cosx #0 2 1 | Khi do (1) < 2(sin3x - cos3x) - Ce E9 SiNX c€0SX sin X + COSX _ 0

2 in x +.cosx)—4(sin’ x + cos* Je - sin x cos x

Trang 33

cof Fox] =0 cos Lm =0 = 4 © |sin2x =l

2sin? 2x —sin2x =0 sin2x =— x

le

DS: x= [rã tim c tắm 7 +k} 4 12 120° |

Bai 13 Phuong trinh: so 20+ | seos{ xT] = 1+ 2sin (1) : 1

© cos2x + 3sinx = 1+ 2sinx <= 2sinx [sin c= 5] =0

Trang 34

Với 1

x= tks (L)chosin| + k3n+7 12 L4 4)

với k= 2£,£eZ

5 3

x= tb kn ()ehosin{ + k3n+ " =

với K=2£+I, te Z

5

Vay DS: n={ T+ fan, 4 Qe} eZ

Bai 15 Diéu kién phuong trinh:

{sin ox 40 sin 2x.cos2x #0 1L

cx# Kẻ |eot 82x # cos2x sin2x # l

Trang 35

DS: xa {Rone Bon, keZ

Bài 17 Phương trình

= cos x 6 cos’ x)+ cos 2x +sinx = 0

<> COS X + COS X.cos 2X + Cos 2x + sinx = 0

© (cos x + sin x)+ cos x(cos? x ~sin? x)+ cos? x — sin? x = 0

© (cos x + sin x)(I + cos’ x — cos x sin x + cos x — sin x)= 0

& (cos x + sin xt = sin’ x)+ cos x(I — sin x) + (1 = sin x= 0

Trang 36

> Asin 2x + cos 2x) = 2

#9 Veo 2x a => DS: x= [kn + Km, ke |

Bài 19 Phương trình aN a Ray = 1+sin 25m X ~ cos — sin x= 1+ cof vila -x]= 14 sinx

: Ae Ki

© sin x! sin——cos—sinx -1|=0

‘ ae

ng

Ki

sin =1]=0

: Su Su) NGON

© sinx| sin— - 2| I— sinˆ — |sin— — 1 |= 0

2 2 2 ak x

© sinxl

n (2

2sin ——sin——

2 3

] |=0

E AI 2.10 Pe

e> sina sin 1) 2sin? = +2sin—+1]=0

2 2 2 \ x x : OE DS: x = {Kn, (4K + Im} Ke Z

sin =

Bài 20 Điều kiện phương trình:

Trang 37

© sin go + sin| = + sin| == =0 3 3 \ 3 : TL => 232% -5 [ss+;}=9 3 2 =Ч:x=“+kế

,keZ Bai 21

(1) © (2sinx - 1) (2sin2x + 1) = 4sin’x - 1

Trang 38

Bicu điền các đâu cung moi họ nghiệm trên đường tròn lượng, giác và đối chiếu với điều kiện cosx >0, cosx <0, ta có:

3

on + 02n,- Tom SF pom TT an

ĐSx=| 4 , ` ; | oF tiện; t€ Z 4

Bài 23 Điều kiện 2cosx - sinx #0 „4 3 ay i sin’ X + cos’ x Khi đó phương trình —————————— = cos2x 2 cosx — sinx

= sin’x + cos‘x = (cos’x - sin’x) (2cosx - sinx)

sinx + cosx =0 Hea Ole ete

Trang 39

Bài 25 Điều kiện phương trình: Vx€ (0, 2m) Khi đó phương trình đã cho: sin 3x = sinx ——————- =5in2x +c0s2x © v1—cosx œ 2(052x.sin x = x gọi 2x_7 “

v2|in x| 4 cos 2x = cos 3x “Fi néu xe (0,7) Ầ Ầ cos2x = -cog 2x “ néu x € (1,27)

9 © Trong (0, 2m) ta có DS: x = le an 16 16 16 16