NGUT TRẦN MINH QUỚI
Tuyến tập 45 bộ đề
ơn luyện thi Đại học mơn
TOAN
On luyén thi t6t nghiép THPT
va tuyén sinh Đại học Cao đăng
WE NHA XUAT BAN
Trang 2Nha gido wu ta TRAN MINH QUỚI
TUYEN TAP
45 BO DE
ON LUYEN THI DAI HOC
Mon
TOAN ON LUYEN THI TOT NGHIED THPT VA TUYEN SINH DAI HOC - CAO PANG
Trang 3LOI NOI PAU
Pay 1A quyén sách hướng dẫn ơn tập, nội dung được biên soạn dựa vào chương trình đang hiện hành đối với mơn Tốn của Bộ giáo duc va Dao tao
Chúng tơi tuyển chon các bài tập phù hợp với chương trình với 45 bộ đề tổng hợp mơn Tốn mỗi dé tổng hợp gồm cĩ 5 câu hỏi,
kiến thức bao quát trong ba năm học bậc Trung học phổ thơng Về hình thức và nội dung, mỗi đề tổng hợp cĩ cấu trúc như một đề thi tốt nghiệp Trung học phổ thơng và tuyển sinh vào Đại học
Chứng tơi hy vọng rằng, nội dung được trình bày trong quyển sách này giúp học sinh ơn tập đúng những kiến thức trọng tâm trong
ba năm học, giải được các bài tập khĩ và đạt hiệu quả tốt trong các ki thi tuyển sinh sắp tới
Trang 4DE 1
Cau 1 Cho ham sé y = =x ~ mx’ + (4m — 3)x + 1
1 Xác định giá trị của m để hàm số đồng biến trên khoảng (0; +») 2 Khao sát sự biến thiên và vẽ dé thị (C) của hàm số khi m = }
3 Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đĩ bợp với trục hồnh một gĩc 45” Câu 2 ụ \ >a Lo 1 Giai phuong trinh cos?| x + S) + cos’ S| x + *| = 2sin’2x 2 } Cau 3 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
y= V4sin?x - 4sinx + 2+ V17 +8sinx - 4cos°x
Tìm hai hằng số a và h sao cho nụ 3x “1 - 4_ + - b_ x" -4x+3 x-1 x-3 Từ đĩ tính [ „+ dự, x -4x+3 Tinh dién tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: y = sinx, y = cosx (0 < x < 2n) Cau 4 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1; 3; 0), 1 B(-1; 8; 2), C(1: 1: 2), D(—1; I; 0) Tứ diện ABCD cĩ đặc điểm gì?
2 Viết phương trình của mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD
Câu 5
1 Cho phương trình e*?"*!? — e3 -9m-?" — x? + 2mx+m Xác định m để phương trình cĩ nghiệm
Trong khơng gian, cho đường thẳng A và hai điểm A, B sao cho đường thẳng
Trang 5m | ~z 1 3 +x
Vv | + 0 _ 0 +
« Nếu 1 <rmm <3 thì A <0, suy ra y >0, Vx e x Như thế hàm số đồng biến trên %, nên cùng đồng biến trên khoảng (0: +~)
sa Nếu m < 1 hoặc m > 3 thi A’ > 0, suy ra phương trình yˆ = Ơ cĩ hai
nghiệm phân biệt xị x¿ (Xị < Xa) x -x Xì Xa +> y | + 0 _ 0 + Trong trường hợp này, Y >0, Vx e (0; +=) khi: m< 0 4q —=>meceØ S=2m <0 Xi<ĂXxza<ÃO© o ”” ty cám cax6 m>
Tĩm lại, nếu m e [{1; 3) thì hàm số đồng biến trên khoảng (0; +>) 9 Khi m = t phương trình của hàm số trở thành y = x -Xx + x+1,
* Tập xác định D = 3 * Sự biến thiên:
ey =x -2x+1=(x-12>0,Vxek,
Hàm số đồng biến trên tồn tập xác định K e Giới hạn: limy =+z VÀ limy =-x, e Bảng biến thiền: x -x +O y’ + y ~ +x
* Đơ thị: Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0; 1L), điểm
ut 3] là tâm đối xứng của đồ thị
Trang 6e Nếu k = ~1 ta được phương trình: x? - 2x, + 1= —-1 = x) ~ 2Xu,+ 2= 0, (vơ nghiệm) Vậy cĩ hai tiếp tuyến thưa mãn bài tốn với phương trình là: y = x + J va Câu 2, 1 cos! t =| + cos?3 (x + 3Ì” = 2sin?2x (1), 1-cos2x 1-cos6x _ + 7 1 - cos4x
<> cos6x + cos2x = 2cos4x < 2cos4xcos2x — 2cos4x = 0 © cos4x(cos2x — 1) = Ũ © cos4x = 0 hode cos2x = 1
(1) <> sin’x + sin?3x = 2sin22x
o> 4x = 5 + kn hoặc 2x = n2z với k,n e Z
coxs = +k hose x = nm
8 4 °
Vay phương trình cĩ hai họ nghiệm: x = x = s + kt hoặc x z nz (k,n e 2
2 Phương trình của hàm số viết lại: y = \(2sinx ~ 1)? +1? + (j(2sìnx + 2)? + 3? Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét hai vectơ ũ = (2sinx - 1; 1) và Ÿ = (-2sinx — 2; 8) Ta cĩ u+v =({-3; 4) Suyra y= lul+lolvala+v¢] =5
Trang 72 Gọi f(x) = sinx vA g(x) = cosx f(x) — g(x) = sinx — cosx f(x) - g(x) = 0 = sinx — cosx = 0 = sinx = cosx © tanx = i ox-" + kn,x € [0; 2n] —x= x hoadc x = on 4 4 4 Diện tích hình phẳng: 4 S= JEinx - cosxjdx 7 4 57 jtsinx - cosx)dx| = (-cosx - sinx]2 | - 22 vr 1 1 4 Vậy S = 242 (đvdt) Câu 4 A(1; 3; 0), B(_—1; 3; 2), C(1; 1; 2), D(—1; 1; 0) 1 Ta dễ dàng tính được: AB = AC = AD = BC = CD = DB = 2/2
Vậy ABCD là một tứ diện đều
2 Goi I, J lan lượt là trung điểm của AB và CD, ta được I(0; 3; 1), J(O; 1; 1) Lại gọi G là trung điểm của IJ, ta được G(0; 2; 1)
Vi ABCD là một tứ diện đều nên G(0; 2; 1) là tâm của mặt cầu nội tiếp
của tứ diện ABCD
Ta cĩ: AB = (-2; 0; 2), AC = (0; -2; 2)
Vecta phap tuyén cha mat phAng (ABC): n = [ AB AC| = (4; 4; 4) cùng
4
phuong véi vecta a = (1; 1; 1)
Phương trình của mặt phẳng (ABC): 1.(xT— 1)+ 1y —- 3) + l(x—0)=ŨSx+y+z7z—4=0 Bán kính của mặt cầu nội tiếp ABCD: +2+1- t=d(G/ABO,= 0*211- 4, v3 v3 3 Phương trình của mặt cầu nội tiếp ABCD hà: x ely — 2) + (2-1 = 7 Cau 5
1 Xét phuong trinh et 2%? — eB Ly? 4 Ox 4m
Trang 8Phương trình này cĩ nghiệm khi và chỉ khi: A'=mˆ- m>0<>m <0 hoặc m > 1 Vậy nếu m < 0 hoặc m > 1 thì phương trình đã cho cĩ nghiệm 2 Gọi H và K lần lượt là hình A chiếu vuéng goc cha A va B trên A Dựng mặt phẳng (P) vuơng gĩc với A tại K Trong (P) dựng đường trịn (T) tâm K bán kính KB thì A là trục đối xứng của đường trịn (T)
Như thế với mọi điểm M € A và mọi điểm N e (T) ta đều
cé MN = MB
Goi (Q) là mặt phẳng xác định bởi A và A Mặt phẳng (Q) cắt (T) theo đường
kính CD, trong (Q) ta cĩ thể giả sử hai điểm À và C nằm cùng một phía đối với A Như thế khi điểm M đi động trên A ta luơn cĩ MB = MC = MD
a) Vi tri cua M để MA + MB nhỏ nhất:
Ta cĩ: MÀ + MB = MA + MD > AD (a)
Bất đẳng thức (a) thành đẳng thức khi và chỉ khi M trùng với điểm Ì với I là giao điểm của A và đoạn thắng AD
Để ý rằng, trong mặt phẳng (Q) ta cĩ:
KD // AH =» NHAN, IK KD BK
Như thế I la diém chia doan thang HK theo tỉ số: k = — HH
Tĩm lại: Khi điểm M trùng với điểm I thì MA + MB đạt giá trị nhĩ nhất
và ta được: mìn(MA + MB) = AD
b) Vị tr cua M đế ÌMA - MB| lớn nhất:
Ta cĩ: [MA - MB| = [MA - MC| < AC (b)
Bất đẳng thức (b) thành đẳng thức khi và chỉ khi M trùng với điểm J, với J la giao điểm của A và đường thẳng AC Trong mặt phẳng (Q) ta cũng cĩ:
CK // AH = JH _ AH _ AH
JK CK BK
Z4 TA re » «1, AH
Nhu thé J 14 điểm chia doan thang HK theo ti sé: k’ = BK
Vậy: Khi điểm M trùng với H thì |MA - MB] đạt giá trị lớn nhất va ta
được: max([MA - MB|) = AC
Chú ý răng khi AH = BK thi AC // A nén điểm j khơng xác định, trong trường hợp này khơng tồn tại điểm M nào trên A để |MA - MB Í đạt giá
Trang 9DE 2
Cau 1
1 Cho hàm số y = f(x) = ax’ + bx’ + cx + d (a # 0) Xde định phương trình
của hàm số, biết rằng đồ thị của hàm số cĩ hai điểm cực trị là A(1; -1) và
B(~1; 3) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với các giá
trị a, b, c, d vừa tìm được
2 Chứng minh rằng nếu hàm số cĩ hai cực trị sao cho giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu thì phương trình axŸ + bx? + ex + d = 0 cĩ ba nghiệm phân biệt Câu 2 1 Giải phương trình 4cos)x ~ 2 V3 cos?x — 2cosx + v3 = 0 (1) 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y= Vx°+1+v4x? -4x+2 + 9x? - 30x + 29 Câu 8 ` we 1 a b c 1 Tim cdc hang sé a, b, c sao cho 7 =—+ + x(x -1} x x-1 xl Tu d6 tinh [> x(x* -1) —dx 2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: y=x- 8x,y =-8x41,x=0,x=2 Câu 4 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 2; 0), B(0; 2; 3), C(1; 0; 3)
1 Chứng minh rằng tử diện OABC cĩ các cặp cạnh đối bằng nhau từng đơi một
2 Viết phương trình của mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC Câu 5
1 Giải phương trình 2x — lg(5 * + x - 2) = 1g4*
2 Cho hai tía Ax và By chéo nhau Hai điểm M va N thay đổi lần lượt trên
Ax va By sao cho AM = BN (Mz A, N = B}
Trang 10Ta được y = x” — 3x + 1 Kiểm tra lại ta thấy hàm số đạt cực đại tại điểm
x = —1 và đạt cực tiểu tại điểm x = 1
Vậy phương trình của hàm số là y = xỶ - 3x + 1
* Khảo sát hàm số y = x" — 3x + 1 (doe gia tu khảo sát)
2 Ta xét bài tốn trong trường hợp a > 0, trường hợp a < 0 được chứng minh
tương tự
Giả sử hàm số đạt cực đại tại diém x, va dat cực tiểu tại điểm x¿ giá trị
cực đại và cực tiếu tương ứng là y; va yo
Vì a >0 nên hàm số cĩ bảng biến thiên như sau: —® Xì Xe + y + 0 — 0 + y Ÿì +x =x CT Trong trường hợp này ta phải cĩ xị < Xạ, yị > Ư và y¿ < 0 (vì y¡ và y;¿ trái dấu) * fix,))=y, > 0
limf(x) = —x = 3œ < 0 với Ìœ|Ì đủ lớn sao cho œ < xị và f(œ) < 0 Suy ra Ấ(x¡).f(œ) < Ư 3e € (ơ; xị) sao cho Ấy) = 0
ôâ fx\).X) = Vi.Y < 0 = Jez € (x); X2) sao cho f(c2) = 0
« f{x,) = yo < 0
limf(x) = +% => 3B > 0 véi B du lén sao cho B > x» va f(B) > 0
Suy ra f(x;).f(B) < 0 = Fey € (x2; 8) sao cho f(c3) = 0
Như vậy c¡, c¿, ca là ba nghiệm phân biệt của phương trình fx) = 0
Mat khac f(x) = O0 là phương trình bậc ba nên cĩ nhiều nhất ba nghiệm,
đo vậy phương trình này cĩ đúng ba nghiệm phân biệt là c¡, cs, ¢3
Vậy phương trinh: f(x) = 0 © ax* + bx? + cx + đ= 0 cĩ đúng ba nghiệm
phân biệt
Câu 2
Trang 11i =(x; 1), ở =(2x-— 1;1), W =(—3x + 5; 2)
Ta cĩ ủ+ Vv+w =(4; 4)
Suy ra: y=lũl+lvl+ lwlvà lũ+ ý + w|Ì=4v2
Trang 122 Gọi I J lần lượt là trung điểm của OA và BC, suy ra E 1; 0), afk 1; 3|
J `
Lại gọi G là trung điểm của lJ, ta được (5: 1; 5)
Vi OABC là một tứ diện cĩ các cặp cạnh đối bằng nhau từng đơi một, nền 2
Ta cĩ: OA = (1,2,0) OB =(0; 2; 3),
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (OAB): i =[OA, OB} = (6; -3; 2)
Phương trình của mặt phẳng (ABC): 6.(xT— 1)-— 3.(y-—- 2)+ 2.(z_—-0)=0 Cc6x- äy + 2z = 0 Bán kính của mặt cầu nội tiếp OABC: E¿ -3.1+ 23 R = d(G,(OAB)) = ST = Phương trình của mật cầu nội tiếp OABC là: 2 2 ( -3Ì ¿qw-1?+|x-Š| =ÝS, củ — 3) 16 a} TY +X 5 \ eft 1; 5 | là tăm của mặt cầu nội tiếp của tứ điện OABC a) 5 Cau 5 1 Xét phương trình 2x — Ig(5?" + x — 2) = lg4* (1) Điều kiện 5“ + x — 2 > 0 (*) Ta cĩ: (1) © 2x = 1g(5% + x — 2) + Igd* < 2x = Ig((5™ + x — 2).4%) = 10” = (5% + x — 2).4" <> 10% = 10% 4 44x - 2) = 0 24 (x-2)=00x=2 Vậy phương trình cĩ một nghiệm x = 2
a) Qua A dựng tỉa Ay” song song và cùng hướng với By Đường thẳng qua N song song với AB cắt Ay/ tại P Tứ giác ABNP là một hình bình hành nên: « NP / AB, NP = AB
e BN = AP = AP x AM Do đĩ tam giác AMP cân tại A Suy ra MP song
song với phản giác ngoai As của gĩc xAy’ trong mat phdng (Axy’) Mat
Trang 13phẳng (BAs) là một mặt phẳng cố định
Ta để dàng chứng minh được: (MNP) // (BAä')
Ma MN c (MNP) nén MN // (BAs)
Vậy: Đường thẳng MN luơn song song với mặt phẳng cố định
b) Gọi ở là trung điểm MP thì IJ // NP va IJ = =-Suy ra lJ // AB va J = ae
Trong mặt phẳng (Axy), tam giác AMP can tai A nén quy tich cua J la
phân giác At (loại điểm A) của gĩc xÂy'
Ta cĩ: đÍ = ; AB Do đĩ phép tịnh tiến T theo vecto u = AB bién J
thành I
Vậy: Quỹ tích của I 14 tia Oz (loai diém O) anh cua At trong phép tinh tiến theo vectd u = 5 AB Tia Oz đi qua trung điểm O cua AB song song
và cùng hướng với tia At
ĐỀ 3
Cau 1 Cho ham sé y = f(x) = 2x* — 3(m + 3)x? + 18mx — 8 (C,,)
Véi gid tri nao cua m thì đồ thị của hàm số tiếp xúc với trục hồnh
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với m = 1
Chứng minh rằng trên đề thị (C) tổn tại vơ số cặp điểm mà tiếp tuyến tai các cặp điểm đĩ song song với nhau
Câu 2
1 Giải phương trình 4sinŸx + 4sinˆx + ( M2 — 2)sinx + 2 - 2=0(1)
2 Cho x và y là hai số thực bất kì, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
As (x? +y?+2y +24 /x? +y? +6x-10y +38
WN
Pr
Cau 3
1 Tinh fisin’x + sinÌx + sinx)dx
2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: y = XỂ + x và y = 5x
Câu 4 Trong khơng gian với hệ tọa độ Ơxyz, cho tam giác ABC với À(1; 3; 1),
B(-1; 3; 3), C(1; 1; 3)
1 Kiểm chứng rằng tam giác ABC đều, tìm tâm và bán kính của đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC
Trang 142 Cho hai đường thẳng d và d chéo nhau Đoạn thẳng AB cĩ đơ đài a trượt
trên đ và đoạn thắng CD cĩ độ dài b trược trên d' Chứng minh rằng khối
tự diện ABCD cĩ thể tích khơng đổi
Giới
Câu 1
1 Giả sử đồ thị (C„) tiếp xúc với trục hồnh tại điểm cĩ hồnh độ x, thi xo là nghiệm của hệ phương trình: an =0 2xj - 3(m + 3)x; + 18mx,-=8 =0 (1) đ> f{x,) =0 6x, - 6(m + 3)x, +18m = 0 (2) Ta cd (2) x? -(m + 3)x, + 3m = 0 Phuong trinh trén cé hai nghiém x, = 3 hoac xy = =m a ` 35 e Thể xạ = 3 vào (1) ta được: 27m - 35 = Ư c©mn = 37 e Thế xo = m vào (1) ta được: » m = (m - 1)(m“ - 8m - 8) = 0 => jm =4+2J6 Vậy cĩ bốn giá trị của m để đỗ thị (C„) tiếp xúc với trục hồnh là: m= 3 m=1m=4+ 2/6 27 2 Khi m = 1 phương trình của hàm số trở thành y = Đx) = 2x” — 12x‘ + 18x — 8 * Tập xác định: D = R * Sự biến thiên:
s Chiểu biến thiên: y' = 6(xˆ - 4x + 3), y` =0 © x= 1 hoặc x = 3
y' >0 khi x e C%; 1) (2 (3; +») Hàm số đồng biến trên khoảng (—x; 1), (3; +00)
Vy <0 khi x e (1; 3) Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 3)
e Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 1, ycp = 0 và đạt cực tiểu tai x = 3, Yer = —8 e Gidi han: limy = +0 và limy = -x x + xơ x ô Bảng biến thiên: X —® 1 3 +X Vy + 0 — 0 + y _ ee” 0 hs, _—_—” +* —> -8 * Đồ thị:
Đỗ thị cắt trục tung tại điểm (0; —8), cắt trục hồnh tại hai điểm (1: Ơ),
Trang 153 Ta cĩ f{x) = 6(x” - 4x + 3)
Trên đổ thị (C) lấy hai điểm bất kì Mi: yÀ), M¿(@X¿; y›), (KỊ # X2)
Hệ số gĩc tiếp tuyến của (C) tại M; 1 3 |, Si
la ky = f(x.) = 6( x? - 4x, + 3) O W
Hệ số gĩc tiếp tuyến của (C) tại M;
fa ky = f(x.) = 6(X; - 4x2 + 3)
Hai tiép tuyén cua (C) tai M; va M,
song song với nhau khi và chỉ khi: ky =k, < 6(x? — 4x, + 3) = 6( x} — 4x2 + 3) -8 © (Xị -— X¿)(Xị + X¿T— 4) = 0
€2 Xị + X¿ — 4 = ƠƯ (VÌ Xị # Xa) ©X;¿= 4- XI,
Do vậy hai điểm M\(x;; yụ), M;(x¿; yo) thuộc (C) với x; = 4 — xị thì các tiếp tuyến của (C) tại Mị và M¿ song song với nhau Vì xị e X nên tồn tại vơ số cặp điểm với các tiếp tuyến của (C) tại Mì và M; song song với nhau Câu 2 16 1 Xét phương trình 4sinŸx + 4sin”x + (⁄2 - 2)sinx + 2 - 2= 0(1), v2 (1) © (sinx + 1)(2eos2x - v2) = 0 © sinx = —1 hoặc cos2x = —— TL esinx = -lLOxX=-> + k2n 2 T T * cos2x = 2 © cos2x = cos 7 os 2x =t +manoxate + mn “|3 Vậy phương trình cĩ ba họ nghiệm x = =8 + k2n,x =+— + mr(k,m e 2 cola 2 Xét biểu thức: Az jx? ty? +2y +24 jx? +y? +6x — 10y + 38 Biểu thức A cĩ thể viết A= vx?+(y+1 +1 + V(x+3)°+(y- 5)? +22 Trong khơng gian với hệ Oxyz, ta xét hai vectơ uU =(x;y + l;1), V =(-x—-3;-Y +5; 2) Ta cé ú + Vv =(-8; 6; 3) Suyra A= lủ|l+ lý lvà lũ + v[ = 36
Mặt khác với hai vectơ uủ, ÿ ta luơn cĩ lú | + |vl>zlũx+wdl=5
Trang 16Câu 3
1 Gọi Ï= [sin x +sin’x + sinx)dx
I= fa —cos’x)? + (L- cos’ x) + 1]sinxdx I = [(cos* x — 3cox?x + 3)sinxdx
Dat t = cosx => dt = -sindx cos" x 5 I=- t - 8t? + 3)dt =—+t!8t+C = 2 Goi f(x) = x? + x va g(x) = Ta co f(x) — glx) = x(x? — 4) fix) — gx) = 0 6 (x = 0 hoặc x = 2 hoặc x = ~2) Do đĩ điện tích của hình phẳng là: S = Ie — 4x\dx = = là - 4wdx + fe — 4xjdx 4 0 = [eo - se + foc — tồn = |š ~ ae | : 2 4{[% 2x 4 i} Vậy S = 8 (avdt)
Cau 4 Xét tam giác AHC với A(1; 3; 1), B(-1; 3; 3), CQ; 1; 3)
1 AB = BC = CA = 2V2, do dé ABC là một tam giác đều
Điểm I(a; b; e) là tâm của đường trịn ngoại tiếp của tam giác ABC khi và IA = IB =[C chỉ khi: (1) Iemp(ABO) e IA = IB IA? = IBˆ ©(a- 1) + (b— 3)” + (e€ - 1)” = (a + 1” +b 3)* + (ce — 3)" @a-c+2-0 eIA=IC © IA? =1C7 c©(a- 1U?2+(b— 8)? +(c€— 1= (a~ 1) + (b~ LẺ + (e- 3)? =8 ©b-c=0 e AB = (-2; 0; 2), AC = (0; -2; 2) Suy ra vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC):
=[AB, AC] = (4; 4; 4), cùng phương với vectd ủ = (1; 1; 1)
Trang 172 Gọi A là đường thẳng vuơng gĩc với mặt phẳng (ABC) tại I thì A là trục
của đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Do đĩ nếu ABCD là tứ điện đều thì D « A Đường thẳng A đi qua Ï và vuơng gĩc với mặt phẳng (ABC) nên cĩ phương Least | 3 \ trinh tham sé la: v=Tét =D[ +2 +b 7 stl 3 3 3 3 | z=g+t 3 Ta phải cĩ điều kiện: AD = as <> AD? = AB? Cau 5 18 Goi (P) la mat phang qua d va song song eo (2 +E— ti +t—8)2= 8 œ 9Ử = 16 = 0St=tc, / Suy ra DĨễ, LL 3) hoặc D(-1; 1; 1) 3 3° 3 2x+y=4 1 Xét hệ phương trình vài Ta cĩ: 2'4 2? =64 2x+y=4 2x+y=4 2x+y =4 2x+y=4 xe] ch o =â
ơ + 2.?2v:1 26 x+2y+1=6 xX+2y =5 y=2
Vay hệ phương trình cĩ một nghiệm x = 1 va y = 2
với đ, thì (P) là mặt phẳng cố định Qua A kẻ đường thẳng A song
song với đ, thì A nằm trong (P)
Từ D dựng đường thẳng song song với AC cắt A tại điểm E
Ta thấy tứ giác ACDE là một hình
bình hành, do đĩ VAgcn = MT
(Vì hai khối B.ACD và B.ADE cĩ bai đáy là hai tam giác ACD và
DEA bằng nhau, cĩ cùng chiều cao là khoảng cách từ B đến mặt phẳng
(d’, A))
Gọi ơ là gĩc tạo bởi d và d/ Ta cĩ:
Vaspe = 5 -Sane.h với h = đ(D,(P))
Ma Sage = 5 -AB.ABsina = 5 AB.CDsina = 5 absina (khéng déi) Ngoai
ra, đo d // (P) nên khoảng cách từ h từ D đến (P) khơng đổi Suy ra Vaspr khơng đổi
Trang 18DE 4
Cau 1 Cho ham sé y = x*® ~ mx + m — 2, goi dé thi la (C,,)
1 Viết phương trình tiếp tuyến của (Cm) tại giao điểm của (C„) với trục tung
Chứng minh rằng khi m thay đổi, tiếp tuyến này luơn đi qua một điểm cố định
2 Xác định m để tiếp tuyến nĩi trong câu 1) chắn bai trục tọa độ một tam giác cĩ diện tích bằng 2
3 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đề thị (C) của hàm số ứng với m = -]1 Câu 2
1 Giải phương trinh 2cos"x ~ sin?x - 5cosx + 3 = 0
2 Cho ba số khơng âm x, y, z thỏa mãn điều kiện X(x — ]l) + W(y — lì + z(z_— 1)< : Chứng minh rằng: x + y + z < 4 Câu 3 1 Tính le +Jx
2 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C): y = ae tiép tuyén ectia (C) tai diém A(—2; 1) và trục hồnh
Câu 4 Trong khéng gian vdi hé toa d6 Oxyz, cho tam gidc ABC voi A(1; 2; -1),
B(0; 2; 2), C(1: 0; 2)
1 Viết phương trình của mặt phẳng (ABC)
2 Tìm tâm và bán kính của đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC
Cau 5,
1 Xác định các giá trị của m để bất phương trình sau vơ nghiệm:
4* —(m ~ 1)2' + 4m +1<0
2 Khối chĩp S.ARCD cĩ đáy là hình vuơng cạnh a, SA 1 mặt phẳng (ABCD)
và SA = a Gọi M là trung điểm của cạnh SC
a) Một mặt phẳng (a) đi qua AM và song song với BD chia khối chĩp thành hai phần Tính thể tích của mỗi phản đĩ
b) Tính gĩc tạo bởi mặt phẳng (ơ) và mặt phẳng (ABCD! Giới Câu 1 1 Đã thị (C„) cắt trục tung tại điểm A(0; m - 2) Goi A la tiếp tuyến của (C,,) tai A Ta cĩ y = 3x’ — m, suy ra y(@) = —m
Phương trình của tiếp tuyến A la y = -mx + m ~ 2
Trang 192 Tiếp tuyến A cắt trục tung tại điểm A(0; m ~ 2) và cắt trục hồnh tại điểm B=, 0Ì (m z0) m ` j Tam giác OAB là tam giác chắn bởi A với hai trục tọa độ _ _ o2 SOAB Z Ì OA.OB = 1 Im- 2l.E=S = (m = 2)" 2 2 m 2Imi Theo giả thiết ta cĩ phương trình (m - 2) 2m| ch 0703) 0n =8) = đm c mềm vá =0 | Soap = 40 =-2o(m- 2)*=4|m| (*) m = 4+2V3 m = 4 -2V3 em <0: (*) > (m— 2)* = -4m © m’ + 4 = 0 (vơ nghiệm) Vậy các giá trị của m cần tìm là m = 4 + 2/2 hoặc m = 4 — 22 3 Khi m = —1 phương trình của hàm số trở kỳ thành y = xỶ + x~ 3 | * Tập xác định D = & 9 provers * Su bién thién: ey =3x°+1>0, xe R
Hàm số đồng biến trên tồn tập xác định R
« Giới hạn: limy = +« và limy = —= s Bảng biến thiên: x —œ +x O X y * 1Ð 7 y +20 x 3 * Dé thi: ‘
Đồ thị cất trục tung tại điểm U(0; -3), điểm U cũng là tâm đối xứng của đề thị
Câu 2
20
1 Xét phương trình 2cos*x — sin’x — 5cosx + 3 = 0 (2)
(1) â 2cosđx + cos*x — 5cosx + 2 = 0 © (cosx + 2)(2cos*x — 3cosx + 1) = 0
Trang 20Hay (x + y + z)?- 8(x + y + 2) S$ B(x? + y? + 27) — Bix + y + 2)
Hay (x+y +2) — (cay +2) < Sxl 1) + yy 1) + z0 — DS 3.5
Suy ra (x+ y +2) - 3(x+y+z)<4c>(x+y+z)— 3(x+ y+zZ)T— 4<Ơ, Đặt t =x+y+2>0, ta được bất dang thie t? - 8t-4<00-1<t<4 Kết hợp với t > 0 ta được 0 <t< 4 Vậy x + y +z< 4 Đẳng thức xảy ra khi x= y=z= s: Câu 3 1 Đặt t= 1+ Vx ax=t?- 2t4+1—5 dx = At— 1)dt dt? - 2t + 1 - dt „ đÌ- 3t” cät~1 Ta được [.&x =2| t = 2} t dt 3 2 [v ~at +37 ht =|Š -t + 8= In | s€, sa + ⁄x)(2x - 5x +11) - 9ln(1 + Vx) + 2 Tính điện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C): y = 2x ~ x — tiếp tuyến của (C) tại điểm A(—2; 1) và trục hồnh Goi f(x) = 2x +1 ta cĩ f(x) = “3 y* x-1" (x—1)? ` Suy ra F(—2) = -
Phương trình tiếp tuyến của (C)
Trang 21Câu 4 Theo giả thiết A(1; 2; —1), B(0; 2; 2), C(1; 0; 2)
1 AB =(-1; 0; 3), AC = (0; -2; 3) Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC): n = (AB, AC] = (6; 3; 2)
Phương trình của mặt phẳng (ABC):
6(x — 1) + Ä(y - 2) + 2(z + 1)= O0 © 6x + äy + 2z — 10 = 0
2 Điểm I(a; b; c) là tâm của đường trịn ngoại tiếp của tam giác ABC khi và
chỉ khi: lui Ie mp(ABC) (1) e IA = IB ¢ IA? = IB? © (a— 1)° + (b— 2)? + (¢ + 1) = a? + (b— 2) + (c — 2)" {2a _-6c+2=0 (1) e IÀ = IC IA” = 1C? > (a — 1)* + (b— 2)? + (c+ UỶ= (a~— 1+ b + (c ~ 2) &-4b +6c + 1=0 (2) ®Í e mp(ABC) © 6a + 3b + 2c - 10 = 0 (3) \ Giải hệ (1), (2), (3) ta dude: a = 85 b= 58 c= 61 98 49 98 Vậy tâm đường trịn ngoại tiếp của tam giác ABC là 'IE S5 an 98 49 98 Cau 5 22
1 Xét bat phuong trinh 4* - (m — 1)2**' + 4m + 1 < Ơ (1)
Bài tốn tương đương với, xác định giá trị của m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x € R: 4* — (m — 1)2%*) + 4m + 1 >0 (2) Dat t = 2" (t > 0), bất phương trình (2) trở thành t - 2(m ~ 1)t + 4m + 1> 0 (3) Gọi f{t) = tÌ~ 2(m — 1)t + 4m + 1 Như vậy ta xác định m để ft) > 0 với mọi † > Ơ Ta cĩ A“ = m” ~ 6m mì —œ 0 : 6 +x A’ + 0 - 0 +
se Nếu 0 <m < 6 thì A <0, suy ra ft) >0 vt e & Do do fit) > 0, Vt € (0; +)
Trang 22Kết hợp với điều kiện trên ta được ¬ <t<€0
Tĩm lại: Nếu -+ <t <6 thì bất phương trình (2) được nghiệm đúng với mọi x, hay bất phương trình đã cho võ nghiệm
2 Gọi V là thể tích của khối chĩp S.ABCD ta cĩ:
a) Mặt phẳng (œ) song song với BD nên b ne 1 1 2 a® V=-—S8 3 ABCD SA = ~.a 3 a= — 3 cắt mặt phẳng (SBD) 5 BD theo giao tuyến NP /⁄/ BD (N e SB, P c SD) Như
thé (a) cắt khối chĩp S.ABCD theo
thiết diện là tứ giác ANMP Gọi O = AC ¬ BD va 1 = AMo NP, dé thấy ba diém S, I, O thắng hàng Nhận thấy I la trong tam của ASAC nên SL = 2 SO 3 Trong ASBD, NP // BD = SN - SP 2 SB SD 3° Gọi V, là thể tích khối chĩp S.ANMP và V; là thể tích của khối đa điện cịn lại Vì ABCD là hình bình hành nên AACB = ACAD Do đĩ: V Ve acs = Vscan = a: Taco Vsaws _ SMSN _ 12 1 cm © Veacp SC SB 23 3 6 Tuong tu Vs amp = = Vv V Vv Do dé V, = Vs 1 SAMN + Veg Samp = =— + —=_—, 8 3 ° - 2V 2a? Va Vi = ay Vi 9 su ra Vo = — = —— y 2 3 9
Giao tuyến của hai mặt phẳng (ơ) và (ABCD) là đường thẳng A qua A song song với BD và NP Do OA L BD nén OA 1 Ấ Mặt khác MO là đường trung bình của ASAC nên MO / 8A
Suy ra MO L (ABCD) = MA L A Do đĩ gĩc giữa (œ) và (ABCD) là gĩc MAO
Trang 23DE 5
Câu 1 Cho ham sé: y = x” - 3x + 1
1 Khảo sát hàm số đã cho Gọi đồ thị của hàm số là (C)
2 Trên đường thẳng (D): y = 3, hãy chỉ ra các điểm từ đĩ vẽ được với (L) ba tiếp tuyến phân biệt
3 Trên đường thẳng (D): y = 3, hãy chỉ ra các điểm từ đĩ vẽ được với (L) ba tiếp tuyến phân biệt, trong đĩ cĩ hai tiếp tuyến vuơng gĩc với nhau
Câu 3 `
1 Giải phương trình V2 tan°x - (2V3 + 1)tan?x + (V3 + 2)tanx - 1 = 0 (1)
2 Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện xyz > x + y + z + 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của x + ÿy + z
Câu 3
1 Tính tan" xdx
2 Tính điện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y = linxl, y = 2
Câu 4 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường
thẳng (D) định bởi:
x=á+t (P):x-y+2z- 2=0,(D): ly =-2-t
z=1l-t
1 Chứng minh rằng đường thắng (D) song song với mặt pháng (Đ),
2 Viết phương trình của mặt phẳng (Q) qua (D) và hợp với (P) một gĩc 60” Cau 5
2
1 Giai phuang trinh logyoo4 Ax +t
Xo +x +3
2 Cho khối bát điện đều ABCDEG cạnh a, với các đường chéo là AC, BD, BG
a) Chứng minh rằng ba đường chéo AC, BD, EG vuơng gĩc với nhau từng đơi một và chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
b) Tính diện tích của mặt cầu nội tiếp của khối bát diện đã cho theo a
Giải
= xÊ_- 3x2 + 2,
Cau 1
1 Khảo sát ham số: tđĩc gin tự giai)
2 Trên đường thẳng (D) lấy điểm M(m; 3) bat ki Gọi A là đường thắng đi
Trang 24(x + 1)[2x? ~ (8m + 2)x + 8m + 2] = 0 (1)
x=-1
2 - `
[g0 = 2x” - (3m + 2)x + 3m + 2 = 0 (ID
Từ M vẽ được ba tiếp tuyến phân biệt với (L) khi và chỉ khi phương trình ( cĩ ba nghiệm phân biệt, hay phương trình (II) cĩ hai nghiệm phân biệt khác —1, tức là: ĐH m < ~~ hoặc m >2 o 3 g(-1) = 6(m + 1) z Ơ m z-1 “
Vậy nếu m e K = thì từ điểm Mí(m; 3) vẽ được với (L) ba tiếp
tuyến phân biệt
3 Nhận thấy chính (D) là một tiếp tuyến đặc biệt cia (L) qua M, got A; va A¿ là hai tiếp tuyến cịn lại Vì khơng cĩ tiếp tuyến nào của (L) vuơng gĩc với (D), nên hai tiếp tuyến vuơng gĩc với nhau chỉ cĩ thể là A, và A; Hồnh độ
tiếp điểm xị, x; của À; và A¿ với (L) là các nghiệm của phương trình: 2x? - (3m + 2)x + 3m + 2= 0 Hệ số gĩc của A¡, Ay là: kị = 3( xj - D, kạ = 3(xj —1) Ta cĩ: kị.kạ = 3( x? -1).3(x2 —1) = 9(Gxyx;)” — (Xị + X;)” + 2XịX; + LI) 3m + 2 „Xị + X;y= 3m + 2 Mà X\.Xaạ= 5 Suy ra kị.kạ = 27(m + 1 Hai tiếp tuyến Ai và A; vuơng gĩc với nhau khi và chỉ khi: 28 kị.kạ =—1 © 27(m + l1) =-l ©m=-—_—_ 27
Vậy mS 3) là điểm duy nhất mà từ đĩ vẽ được với (L) ba tiếp tuyến phân biệt, trong đĩ cĩ hai tiếp tuyến vuơng gĩc với nhau
Câu 2
1 Xét phương trình V3 tan”x — (2 v3 + 1)tanẦx + (v3 + 2)tanx - 1= 0(1)
tanx = 1: xan aka
(1) > (V3 tanx — 1Xtanx - 1)?=006 va = 4 (k, m € Z)
tanX = —— Km +m —T
Trang 26c> 6(2mˆ + 2m + 2) = 4.9m? © 2m? - m~ 1=0© 1 Suy ra cĩ hai mặt thỏa mãn đề bài, phương trình là: 2x+y+z—-7=0,x+2y-2z+ l1=0 Cau 5 1 Xét phương trình l08zoos —c x +x +8 đx tÌ — v6 ay2+2() 2 Đặt a = xể + x?+ 3,b= 4x” + 1thì a—b= x° ~ 3x” + 2 lDBzyia b = a- b> logaygb — Ì0Bzoosa = a — b c© logsosạb + b = loga»ga + a (2) a
Goi f(t) = Ìogzoost + t thì Ất) là hàm số đồng biến trên khoảng (0; +=)
Ta cé f(a) = log, + a, b) = logzsosb + b Do đĩ: (2) c> ffa) = b) ©a=bc>a-b=0>x)-3x/+2=0(3) 3 2 =] Đặt u = x”, phương trình (3) trở thành: uˆ - 3u” + 2= 0 © " u = —2 (loai) Suy ra x = +1
Vay phương trình cĩ hai nghiệm: x = +1
2 a) Từ giả thiết ta cĩ AE = AG, BE = BG, CE = CG, DE = DG
b)
Do đĩ bốn điểm Á, B, C, D cùng năm trên mặt trung trực của đường chéo EG Kết hợp với AB = BC = CD = DA = a ta suy ra ABCD là hình thoi Chứng mình tương tu AECG va BEDG cũng là hai hình thoi
* Hai đường chéo một hình thoi thì vuơng gĩc với nhau nên ta dễ dàng suy ra được ba đường chéo AC, BD và EG vuơng gĩc với
nhau từng đơi một
* Gọi O là giao điểm của AC và BD thì O là trung điểm “NG
của AC và BD, suy ra O cũng là trung điểm của BG G
Vay ba đường chéo ÁC, BD và EG cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
Hiển nhiên điểm O-cách đầu các mặt của khối bát diện đều ABCDEG,
nên O 1A tam của mặt cầu (8) nội tiếp của nĩ
Gọi I là trung điểm của AB, H là hình chiếu vuơng gĩc của O trên EI Ta dé chứng minh được OH L mặt phẳng (EAB) Suy ra bán kính của (S) là r = OH
Trang 27ĐỀ 6
Câu I Cho hàm số y = xỶ - 3x + 1
1 2
Khảo sát hàm số đã cho Gọi dé thi của hàm số là (L)
Trên (L) lấy ba điểm phân biệt A, B, C cĩ hồnh lần lượt là a, b, c Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để ba diém A, B, C thang hàng là a + b + e = 0
Các tiếp tuyến của (L) tai A, B, C cắt (L) tại Ai, Bị, C¡ Chứng mình rằng
nếu ba điểm A, B, C thắng hàng thì ba điểm A¡, Bị, C¡ cũng thẳng hàng
Câu 2
1
2
Giải và biện luân phương trình sau theo tham số m
sin*x — (m + 1)sin?x + (m — 2)sinx + 2m = 0 2x_1 x Giải phương trình 4x” + + + x -6=0 Cau 3 1 Tính 1 a dx Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bới các đường y = x, y = 1 và 2 y= 7 trong mién x 2 0, y < 1 4 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (D) cĩ phương Ix=-2+t trình tham số ‡y = -2tL z=2+2t Tìm tọa độ của điểm I là hình chiếu vuơng gĩc của điểm A(4; 0; -1) trên đường thẳng (D)
Goi A là đường thẳng qua điểm A và song song với (D), Trong các mặt
phẳng qua A, hãy viết phương trình của mặt phẳng cĩ khoảng cách đến (Ð) lớn nhất Cau 5 1 2 Giải bất phương trình 1 + 2.2" + 3.3" < 6"
Cho khối lăng trụ tam giác ABC.AĐBC cĩ đáy là tam giác đều cạnh a,
diém A’ cách đều ba điểm A, B, C va canh bén AA’ tao với mặt phẳng đáy
một gĩc 60”
a) Tính thể tích V của khối lăng tru ABC.A‘B’C’
b) Tính thể tích của khối chĩp A.BCCB' và khoảng cách từ A đến mặt phang (BCC’B’)
c) Tinh dién tich xung quanh cua hinh Jang tru ABC.A’B’C’
Trang 28Giải
Câu I
1 Khảo sát hàm số y = x? ~ 8x + 1 (doc gia Tu vad
2 Ta cé A(a; a? — 3a + 1), Bib; b* — 3b + 1), Cle; ce? — 3c + 2)
AB = (b — a: b® — a? — 3(b ~ a)), AB cùng phương với vectơ
úủ =(1;a? + ab + b’ — 3)
Tương tự ÁC cùng phương với v = (1; a? + ac + ¢” - 3) Ba diém A, B, C thang hang khi va chi khi: - sa a+abt+b-3 1 u va v cùng phương <> —,———_,—— = — a +ac+ec -3 1 © ab + bŸ = ae +c? ©(b- eXa+b+e)=0 <a+bx+e=0(dobze)
3 Phương trình tiếp tuyến của (L) tại A cĩ đạng:
y = (3a? ~ 3)(x — a) + a)— 3a + Loy = (Ba? - 3)x — 2a” + L
Phương trình hồnh độ giao điểm của (L) và tiếp tuyến tai A: xỶ - 3x + 1= (3a” ~ 3)x - 2a` + 1 © (x - a)Äx + 2a) = Ú © x5
x=-2a Suy ra Á¡ cĩ hồnh độ ai = —2a
Tương tự Bị, C¡ cĩ hồnh độ là bị > -2b, e¡ = —2c Do đĩ ai + bị + c¡ =—2(a +b+c)
Trang 29+m= 1: hai họ nghiệm x = —2 +k2n, x= Ễ 4 nQn +-l<m< 1: ba ho nghiém X= Ta + k2n, x = arcsinm + n2n, x = 7 — aresinm + n2n + m < -1 hoặc m > 1: một họ nghiệm x = ~ 2 + k2n (k,n € Z) 2 Xét phương trình 4x? + = + bx -3 -6=0 Phương trình đã cho tương đương với phương trình: Í 3] x - + x Dat t = px - x — 2 =0, {x + 0) 2x -4 (t >0), phương trình trở thành t?+t—2=0 X
Trang 30S= fe Slax h— Xà vf x? 3 4 ; 4 yo x ; vu \ i “127 12° 6 2 O12 Vay điện tích hình phẳng là S = : (avdt) x=-2+t Câu 4 Theo giả thiết (D): 4y = -2t z=2+2t
1 Đường thẳng (D) cĩ vectơ chỉ phương ú = (1; -2; 2) Gọi (œ) là mặt phẳng qua À và vuơng gĩc với (D), thì phương trình của (ơ) là: 1.(x~— 4) - 2.(y- 0) + 2(z+ 1)=0Sx-2y+2z- 2= 0 Tọa độ của điểm I, hình chiếu vuơng gĩc của A trên (D) ứng với + nghiệm đúng phương trình: (-2+t)— 2(—-2Đ) + 2(2 + 2U - 2=0>9t=0t=0 Suy ra l(—2; 0; 2)
2 Gọi (P) là mặt phẳng đi qua đường thẳng A, thì ŒP) / (D) hoặc (P) 5 (D) Gọi
H bà hình chiếu vuơng gĩc của I trên (P) Ta luơn cĩ IH < IA và IH L AH Để ý rằng d((D), (P)) = dil, (P)) = IH va H é (a)
Trong mặt phẳng (ơ), [H < [A > maxIH = IA, khi H = A Lúc này (P) ở vị
trí (Pa) vuơng gĩc với ÏA tại điểm A
Trang 3132
Do vậy: (*) © x) < f2) © x> 9
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (2; +2), 2 a) Gọi H là hình chiếu vuơng gĩc của A’ trén mp(ABC)
Do A’ cach déu A, B, C nên H là tâm của AABC
ee paw ot: 0 A’ C Từ giả thiết suy ra A“AH = 60
Goi I la trung điểm cúa BC thì AI 1 BC Ta cĩ AH = = Al = as Từ tam giác A AH vuơng tại H: A“H = AHtan60° = S3 Vg =a Thể tích khối lăng trụ ABC.ABC là: a? 3 _ a3 1 as ra b) * Tứ giác BCC’B’ la mat bén cua khéi JAng tru nén 1a hinh binh hanh Do dé ABCB’ = AC’B’C Suy ra Va xcs: = Vacac Gọi V› là thể tích khối chĩp A.BCCPB:' thì Vị = 2V¿ scp: Vv = Sanc-A’H = 1 a33 Mà V ABCB = VN BABC = 3 =—V= 12 a Vậy Vi = avs * Mat khác BC 1 AI va BC 1 AA’ nén BC 1 mp(AA7) Suy ra ĐC 1 AA’ Ma BB’ // AA’ nén BC 1 AA’ Suy ra mặt bên BCŒTH là một hình chữ nhật
Tam giác A“AH là nửa tam giác đều nên AA” = 2AH = 2a
Gọi S là diện tích của hình chữ nhật BCC'B“:: 2 S = BC.BB’ = BC.AA’ = 2 Gọi d là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCCB'), ta cĩ: gã v3 ¡ 3M ea Specs’ 2v3a" 4 3
c) Goi J la hình chiếu vuơng gĩc của B trên cạnh ÁA
Ta cé: AA’ | BJ va AA’ 1 BC (do BC L1 (ÁA 7T) nên AA“ L (BC)
Suy ra AA’ 1 CJ va AA’ 1 IS
av3
Trang 32Từ tam giác ABJ vuơng tại ở:
2
By? = AB? — Ay? = a? — 34 138" nỊ AVI3 16 16
Goi S,,, 14 dién tich xung quanh của khối lăng trụ, ta cĩ Sxq = Sacer + SAngA + Sacra S,, = BC.BB’ + AA’.BJ + AA’.CJ (CJ = BJ) 84 = AA‘(BC + BJ + CJ) = 2.3a Ệ + 25) = ee V13 ) DE 7
Câu 1 Cho ham sé y = xỶ ~ 6x” + 3ax (a là tham số)
1 Với a > 4, bãy xét sự biến thiên của hàm số
2 Tìm các giá trị của a để hàm số đạt cực đại và cực tiểu
3 Gọi A, B là điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số Với giá trị nào của a thì ba điểm A, B, I thẳng hàng với I(0; 2)
Câu 2
1 Giải phương trình 3sin2x - 4cos2x + 10sinx + 4 = Ơ
2 Với các giá trị nào của tharn số m thì phương trình sau cĩ nghiệm? x+Ì x x-m+l ` x+m+2 Câu 3 osx +1 1 Tinh Fa dx 2 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi parabol (P): y* = 4x va dudng thang A: y = 2x — 4
Câu 4 Trong khơng gian với hệ Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; —1), B(~-1; 3; 1)
1 Viết phương trình của mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB
2 Tìm điểm M trên trục tung sao cho tam giác MAB là một tam giác vuơng Cau 5
1 Chứng minh rằng với mọi x ta đều cĩ: 1 + xÌn(x + V1+x?)> v1+x
2 Cho khối tứ điện ABCD trong đĩ hai đường thẳng AB và CD hợp với nhau một gĩc œ và khoảng cách giữa chúng bằng d Chứng minh rằng thể tích của khối tứ diện ABCD được tính bằng cơng thức:
Trang 33Giải
Câu 1 Ghi chú:
Nếu y = f(x) la một hàm số đa thức thì phương trình của hàm số luơn cĩ thể
viết dưới dang: f(x) = f00).P00 + R(x), trong dé P(x), R(x) 14 các hàm số đa thức † 1 Hàm số y = x? — 6x” + 3ax cé dao ham y’ = 3(x? — 4x + a) “=0€x”- 4x+a=0
Ta cĩ A = 4- a, Nếu a > 4 thì A' < 0 với mọi a Suy ra y’ = 0 với mọi x
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên RB
9 Hàm số đạt cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình y' = 0 cĩ hai nghiệm phân biệt và yˆ đổi dấu khi x qua hai nghiệm đĩ, điều này tương
đương với:
Aˆ.><4-a>»>0ca<^4
3 Phương trình của hàm số cĩ thể viết:
y= vn - 4 + 2(a — 4)x + 2a (*)
Goi A(x)! Y2), BCxe; yo) la điểm cực đại và cực tiểu của đổ thị hàm số thì X1, ¥2 la hai nghiệm của phương trình y' = 0 Thế xị, xạ vào (*) ta được:
yi = (a — 4)x,) + 2a, yo = 2(a — 4)x + 2a
Suy ra phương trình đường thẳng qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị ham s6 ‘a: y = 2(a — 4)x + 2a (A) Ba d:é.n A, B va I thang hang khi va chỉ khi: I(0; 2) e Aôâ>a= 1 Vy nu a = 1 thì ba diém A, B va I thẳng hàng, Cau 2
1 Xét phwong trinh 3sin2x — 4cos2x + 10sinx + 4 = 0 (1) (1) © 6sinxcosx — 4(1 — 2sin x) + 10sinx + 4 = 0
© 3sinxeosx + 4sin’x + 5sinx = 0 <= sinx(3cosx + 4sinx + 5) = 0 sirx = 0 (2) pa + 4sinx = —5 (3) se sinx =Ơ ~x=kn « Chia hai vế phương trình (3)-cho v3? +4? = 5 va d&t cosa = = sing = On| Mà
ta dude phuong trinh:
cosacosx + simasinx = —1 < cos(x — a) = -1
Trang 352 Phương trình tung độ giao điểm của (P) và A: yA yˆ= 2(y +4) ©yˆ-2y-8=0 © y =—2 hoặc y = 4 Chọn y làm biến số, khi đĩ: 2 yV°=4x xe Ty =2 4 y+4 2 —gĐ Diện tích của hình phẳng là: 4 2 4 y y+4 1 9 S~ i vs yea fo ~ dy = — -2 y My — 8)d 4 4 1[y* 2 /\ S= —}~-y’-8 Le yay = 9 Vậy diện tích hình phẳng là S = 9 (dvdt) Câu 4
1 Gọi (ơ) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB, thì (œ) đi qua điểm
1(0; 2 ; 0) là trung điểm cua AB ext ml-. _- 2
Mặt phẳng (ơ) cĩ vectơ pháp tuyến đ = AB = (—2; 1; 2)
Phương trình của mặt phẳng (a):
—2.(x— 0Ơ) + l./(y — S) + 8 — 0) = Ơ o> 4x + 2y + 42-5 =O
2 Gọi M(0; y; 0) e Oy là điểm cần tìm Chia ba trường hợp: (1) Tam giác MAB vuơng tại M:
Ta cĩ AM =(-1;y - 2; 1U, BM =(1; y - 8; —1),
Tam giác MAH vuơng tại M khi và chỉ khi:
AM L BM (—-1).1+(y - 2)(y - 3) + 1(—U = 0
© y)~ By + 4=0(y = 1 hoặc y = 4)
Ta được M(O; 1; 0) hoặc M(0; 4; 0)
Trang 36Ta được M(0; 7; O0) Tĩm lại cĩ bốn điểm trên Oy để AMAB vuơng là: M\(0; 1: 0), M¿(0; 4; 0), M;(0; —2; 0), M,(0; 7, 0) Câu 5 1 Bất đẳng thức đã cho tương đương với bất đẳng thức: 1+ xIn[x + v1 + x?] —~ Wl+x? >0 Xét hàm số f(x) = 1 + xÌn(x + Vi+x? )- VI+x?2,xe®# Ta can chitng minh {x} 2 0, Vx € & Ta cĩ F(x) = In(x + vÌ +x) 1-x»0 f(x) =0 €©>x+ vVI+x” =1» „ =©x=Ú 1+x? =(1-xỲ Ta lại cĩ F(x) = 1 >0 =>fỂ(0) >0 v1+x" Ham sé f(x) đạt cực tiểu tại điểm x = 0, Đx)c+ = O0 Suy ra f(x) > 0, Vx c 3 (đpem) 2 Vé hinh binh hanh ABED ¢ DE / AB = (AB,CD) = (CD,DE) = a e AABD = AEBD va hai tam giác này cùng nằm trong một mặt phẳng Do đĩ: V= Vancp = Vé An = Vcrnp = Vacne Mà Vnen¿ = với h là khoảng cách từ B đến mp(CDE) ° Scpr = 5 DE.CDsina = 5 AB.CDsino
e Mat phdng (CDE) chifa CD va song song véi AB, do đĩ h chính là
khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD tức là h = d
Vay: V = 5:5 AB-CD.d.sina = = ABCD.d.sina (đpem),
Trang 37ĐỀ 8
Câu 1 Cho ham s6 y = f(x) = ax’ + bx’ + cx + d (a # 0), gọi đồ thị của hàm số là (C) 1 Khao sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với a = ~2,b = 3,
c=0,đ=-1
2 Gọi I là điểm thuộc (C) cĩ hồnh độ là nghiệm của phương trình fx) = 0 Chứng minh rằng trong tất cả các tiếp tuyến của (C) thì tiếp tuyến tai điểm I cĩ hệ số gĩc nhỏ nhất khi a > 0 và cĩ hệ số gĩc lớn nhất khi a < 0
Câu 2
1 Giải phương trinh sin2x - 2cos’x = V2 sinx - 1
2 Giải và biện luận hệ phương trình: x+my =1 n —3my = 2m+3 Câu 3 osx — sinx 1 Tinh foosx —sinx dx cos2x
2 Tính điện tích của hình phẳng giới hạn bởi elip (E): 16 + % 21 va parabol (P): y = ot trong mién y > 0
Câu 4 Trong khơng gian Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; —1; —3), B2; 1; —2),
C(-5; 2; —6)
1 Tính độ dài đường phân giác trong kẻ từ À của tam giác ABC
2 Viết phương trình của mặt phẳng qua BC cĩ khoảng cách đến điểm A lớn nhất
Câu 5
1 Chứng minh rằng Inx > 2(x = với mọi x > 1
x+1
2 Cho khéi chép S.ABCD cĩ đáy ABCD là nửa lục giác đều với AB = CD = CD = a va AD = 2a Hai mat bén SAB va SAD vuơng gĩc với đáy, mặt
Trang 382 Ta cĩ f(x) = 3ax? + 2bx + ec, f(x) = 6ax + 2b F24x) = 0 c 6ax + 2b =0 csx=—-Ð 3a Suy ra Ï(XỊ; Vì) VỚI Xị = ° VÀ vị = (>| 3a 3a Nếu gọi k là hệ số gĩc tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm bất kì M(x; Đx)) thi k = f(x) Vì hàm số k = f{x) = 3ax? + 2bx + e là một hàm số bậc hai nên: * Nếu a > 0: _+ bé x 3a +L k’ 0 + k _T—— 3ac -b° 3a Rõ ràng tiếp tuyến của (C) tại điểm I cĩ hệ số gĩc nhỏ nhất là min(k) = (=) „ Bac —b? 3a 3a * Néu a < 0: b xX => ¬ 3a +2 k’ + 0 — k Bac - b? _ 3a _ —————> Rõ ràng tiếp tuyến của (C) tai điểm I cĩ hé sé gĩc lớn nhất là Tan — 2 max(k) = (4) = Sac ~ be 3a 3a Cau 2
1 Xét phương trình sin2x — 2cos2x = V2 sinx — 1 (1)
Trang 39=1 2 Xét hệ phương trình: xr my mx — 3my = 2m+3 Tính các định thức: “kh pf = -m = âm = —mfm + 8) m D, = = —2m(m + 3) 2m+3 -3 1 d= james 2m + Biện luận: se Nếu m # 0 và m z -3 thì D z 0: hệ phương trình cĩ một nghiệm _ 72m(m+3) _ _ mä3ä _ 1 _ =mm+8) “`” =m(m+3) mm
e Nếu m = 0 thì D, = 3 z 0: Hệ phương trình vơ nghiệm
e Nếu m = -8 thì D, = 0 va D, = 0: Hệ thu lại x— 3y = 1
Hệ phương trình cĩ vơ số nghiệm: y = yụ, X = 3ÿo + ] với yọ e š Cau 3
OSX - sinx cosx — sinx 1
1 re dx = ste ante E———w
Trang 402 S =2 [ire $a a đ \ - v3 [ie wax ~3 fxr 2 3)? ° [t°dx =* = 8 a 3 0 3 2 « Tính |N16- x” dx av (E) Dat x = 4sint, t € - > | => dx = 4costdt wl a Khi x= 0 thi t= 0, khix = 2thit= 7 2 5 5 é R6 _x? dx = Nhøqd - gin?t) ,.4eost.dt = 16 Eos°t.dt =8 fa + cos2t) dt 4) 0 0 9 -a|: SH, 05+ 3) a 6 4 Vậy: S = 8/3 a v8 _3 8 _ 4nva + 2 (dvdt) 6 4 2°3 3
Câu 4 Theo giả thiết Á(1; —1; —3), B(2; 1; -2), C(—5; 2; —8)
1 Gọi D là chân đường phân giác trong kẻ từ A của tam giác ABC ta cĩ pG - AC ps AB Ta cĩ AB = vV12+2? +1? = võ, AC = V(-6)? +3? +(-8)2 = 3 v6 Thế vào (*) ta được DC = -3DB, như thế D là điểm chía đoạn thắng CB theo tỉ số k = -3 x _ 5 +3.2 x _i "1+8 > 4 2+3.1 5 1 5 8 wr Yo a3 = o yg =— > D(-; ~;-3) POG -6 + 3(~2) 2p = -3 Zđbù = —— 1+3