Bai tap dai so so cap (NXB giao duc 2012) hoang huy son, 366 trang

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO (Giáo trình đào tạo giáo viên trung học hệ Đại học, Cao đ ẳng sư ph ạm) NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HOÀNG HUY SƠN BÀI TẬP ĐẠI SỐ SƠ CẤP Giáo trình đào tạo giáo viên trung học hệ Đại học, Cao đẳng sư ph ạm ( Tái lần thứ 10) NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC 512/GD-01/1536/358-00 Mã số: 7K300T1 LỜI NÓI ĐẦU Khi biên soạn tài liệu “Đại số sơ cấp” cố gắng đưa nhiều ví dụ thực hành giải toán nhằm giúp sinh viên có điều kiện rèn kỹ thực hành học lý thuyết Tuy nhiên, qua thực tế giảng dạy, thấy giải tập sách, sinh viên gặp nhiều khó khăn Ngay biết cách giải việc trình bày lời giải cho chặt chẽ logic chưa đạt so với yêu cầu Vì thế, để giúp sinh viên có tài liệu hoàn chỉnh Đại số sơ cấp, tiếp tục biên soạn “Bài tập Đại số sơ cấp” để phục vụ nhu cầu học tập kể công việc giảng dạy sinh viên sau trường Tài liệu “Bài tập Đại số sơ cấp” gồm có hai phần: Phần I Tóm tắt lý thuyết đề Phần II Lời giải hướng dẫn Mỗi phần gồm sáu chương: Chương I: Hàm số; Chương II: Phương trình – Hệ phương trình; Chương III: Bất đẳng thức – Bất phương trình; Chương IV: Phương trình, bất phương trình vô tỉ; Chương V: Phương trình, bất phương trình mũ logarit; Chương VI: Phương trình lượng giác Thứ tự chương trình bày theo thứ tự chương mục tài liệu “Đại số sơ cấp” Tài liệu có 170 tập với khoảng gần 550 câu nhỏ Hầu hết tập tài liệu “Bài tập Đại số sơ cấp” trình bày lời giải tương đối chi tiết nhằm giúp sinh viên sinh viên lớp hệ đào tạo Liên thông Cao đẳng lên Đại học dễ dàng việc củng cố lý thuyết giải tập tương tự Một số trình bày nhiều cách giải, mục đích giúp sinh viên có cách tiếp cận đến kết toán từ nhiều hướng So với tài liệu “Đại số sơ cấp” tài liệu có cập nhật thêm số lượng đáng kể dạng toán hay gặp kỳ thi tuyển sinh Đại học Cao đẳng theo chương trình môn Toán bậc Phổ thông Trung học Một lời khuyên sinh viên giải tập tài liệu không nên lệ thuộc vào phần lời giải có sẵn tài liệu, mà trước hết tự cố gắng tìm tòi lời giải, sau so sánh giải với giải tài liệu nhằm rút kinh nghiệm giải toán Có tài liệu thực có ích học môn Đại số sơ cấp Cuối cùng, mong nhận ý kiến đóng góp quí báu cho nội dung hình thức trình bày tài liệu bạn đồng nghiệp Bộ môn Toán Hội đồng Khoa học Khoa Sư phạm bạn sinh viên để sách hoàn chỉnh tốt Tác giả MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU BẢNG MỘT SỐ KÍ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT SỬ DỤNG TRONG TÀI LIỆU PHẦN I: TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ ĐỀ BÀI Chương I Hàm số A Tóm tắt lý thuyết B Bài tập Chương II Phương trình – Hệ phương trình 12 17 A Tóm tắt lý thuyết 17 B Bài tập 24 Chương III Bất đẳng thức – Bất phương trình 31 A Tóm tắt lý thuyết B Bài tập Chương IV Phương trình, Bất phương trình vô tỷ A Tóm tắt lý thuyết B Bài tập Chương V Phương trình, Bất phương trình mũ lôgarit 31 37 43 43 45 51 A Tóm tắt lý thuyết B Bài tập Chương VI Phương trình lượng giác 51 55 64 A Tóm tắt lý thuyết 64 B Bài tập 71 PHẦN II: LỜI GIẢI VÀ HƯỚNG DẪN 76 Chương I Hàm số 76 Chương II Phương trình – Hệ phương trình 98 Chương III Bất đẳng thức – Bất phương trình 151 Chương IV Phương trình, Bất phương trình vô tỷ 188 Chương V Phương trình, Bất phương trình mũ lôgarit 242 Chương VI Phương trình lượng giác 312 TÀI LIỆU THAM KHẢO 361 BẢNG MỘT SỐ KÍ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT SỬ DỤNG TRONG TÀI LIỆU ℕ : Tập hợp số tự nhiên: {0;1; 2; } ℤ : Tập hợp số nguyên: { ; −2; −1; 0;1; 2; } a  ℚ : Tập hợp số hữu tỉ:  / a, b ∈ ℤ, b ≠  b  ℝ : Tập hợp số thực ℝ* : Tập hợp số thực khác không ℝ + : Tập hợp số thực dương n ∑ : Phép lấy tổng từ đến n { / } : Tập hợp T f : Tập (miền) giá trị hàm số f Max f ( x) : Giá trị lớn hàm số f tập D x∈D Min f ( x) : Giá trị nhỏ hàm số f tập D x∈D ∈: Thuộc ⊆, ⊂: Tập ∅ : Tập hợp rỗng ∀ : Mọi ≠: Khác \: Hiệu hai tập hợp ∪ : Hợp hai tập hợp ∩ : Giao hai tập hợp n ∪ : Phép lấy hợp từ đến n n ∩ : Phép lấy giao từ đến n ∨ : Hoặc (tuyển hai mệnh đề) ⇒: Phép kéo theo, phương trình hệ ⇔: Phép tương đương (khi khi), phương trình tương đương Đpcm: Kết thúc chứng minh, điều phải chứng minh PHẦN I TÓM TẮT LÍ THUYẾT VÀ ĐỀ BÀI CHƯƠNG I HÀM SỐ A TÓM TẮT LÍ THUYẾT I KHÁI NIỆM HÀM SỐ Định nghĩa Giả sử X Y hai tập hợp tùy ý Nếu có quy tắc f cho tương ứng mỗ i x ∈ X với y ∈ Y ta nói f hàm từ X vào Y , kí hiệu f : X →Y x ֏ y = f ( x) Nếu X , Y tập hợp số f gọi hàm số Trong chương xét hàm số thực biến số thực, nghĩa X ⊆ ℝ ; Y ⊆ ℝ X gọi tập xác định (hay miền xác định) hàm số f (Người ta hay dùng kí hiệu tập xác định hàm số D ) Số thực x ∈ X gọ i biến số độc lập (gọi tắt biến số hay đố i số) Số thực y = f ( x ) ∈ Y gọi giá trị hàm số f điểm x Tập hợp tất giá trị f ( x ) x lấy mọ i số thực thuộc tập hợp X gọi tập giá trị (miền giá trị) hàm số f kí hiệu T f , (như T f = { f ( x ) | x ∈ X } = f ( X )) Hiển nhiên T f ⊆ Y Chú ý T f tập hợp thực Y tập Y Trong nhiều trường hợp, người ta cho hàm số f dạng x ֏ f ( x ) y = f ( x ) mà không nêu rõ tập xác định X tập hợp Y chứa tập giá trị f Khi đó, ta hiểu Y = ℝ X tập hợp số thực x ∈ ℝ cho quy tắc cho f ( x ) tồn Đồ thị hàm số Cho hàm số y = f ( x ) có tập xác định D, ta gọi tập hợp điểm ( x; f ( x ) ) với ∀x ∈ D đồ thị hàm số y = f ( x ) Việc biểu diễn điểm ( x; f ( x ) ) thuộc đồ thị hàm số y = f ( x ) lên mặt phẳng tọa độ Oxy gọi vẽ đồ thị hàm số Chú ý đường ( ζ ) (đường cong đường thẳng) mặt phẳng tọa độ đồ thị hàm số đó, cắt đường thẳng phương với trục Oy không điểm Hàm số đơn điệu 3.1 Định nghĩa Cho hàm số y = f ( x ) có tập xác định tập D, khoảng ( a; b ) tập D Khi ta có Hàm số y = f ( x ) gọi đồng biến (hay tăng) khoảng ( a; b ) , với ∀x1 , x2 ∈ ( a; b ) , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) Hàm số y = f ( x ) gọi nghịch biến (hay giảm) khoảng ( a; b ) , với ∀x1 , x2 ∈ ( a; b ) , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) Một hàm số đồng biến nghịch biến khoảng ( a; b ) ta nói hàm số đơn điệu khoảng 3.2 Tính chất 3.3.1 Nếu hàm số y = f ( x ) đồng biến (nghịch biến) khoảng ( a; b ) , hàm số y = f ( x ) + c (c số) đồng biến (nghịch biến) khoảng ( a; b ) 3.3.2 Nếu hàm số y = f ( x ) đồng biến (nghịch biến) khoảng ( a; b ) , hàm số y = kf ( x ) đồng biến (nghịch biến) khoảng ( a; b ) k > ; hàm số y = kf ( x ) nghịch biến (đồng biến) khoảng ( a; b ) k < 3.3.3 Nếu hàm số y = f ( x ) y = g ( x ) đồng biến (nghịch biến) khoảng ( a; b ) hàm số y = f ( x ) + g ( x ) đồng biến (nghịch biến) khoảng ( a; b ) 3.3.4 Nếu hàm số y = f ( x ) y = g ( x ) không âm khoảng ( a; b ) đồng biến (nghịch biến) khoảng ( a; b ) , hàm số y = f ( x ) g ( x ) đồng biến (nghịch biến) khoảng ( a; b ) Chú ý Đồ thị hàm số đồng biến nghịch biến khoảng ( a; b ) cắt đường thẳng phương với trục Ox nhiều điểm Giả sử hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng ( a; b ) ; hàm số y = g ( x ) nghịch biến khoảng ( a; b ) Khi khoảng (a; b), đồ thị hàm số y = f ( x ) y = g ( x ) cắt không điểm Hàm số chẵn, hàm số lẻ 4.1 Định nghĩa Cho hàm số y = f ( x ) có tập xác định D Hàm số f gọi hàm số chẵn với mọ i x ∈ D , ta có − x ∈ D f ( − x ) = f ( x ) Hàm số f gọi hàm số lẻ với mọ i x ∈ D , ta có − x ∈ D f ( − x ) = − f ( x ) 4.2 Đồ thị hàm số chẵn hàm số lẻ Giả sử hàm số y = f ( x ) có tập xác định D hàm số chẵn có đồ thị ( G ) Với mỗ i điểm M ( x0 ; y0 ) thuộc đồ thị ( G ) , ta xét điểm đố i xứng với qua trục tung M ' ( − x0 ; y0 ) Từ định nghĩa hàm số chẵn, ta có − x0 ∈ D f ( − x0 ) = f ( x0 ) Do M ∈ G ⇔ y0 = f ( x0 ) ⇔ y0 = f ( − x0 ) ⇔ M ' ∈ ( G ) Điều chứng tỏ ( G ) có trục đối xứng trục tung Nếu f hàm số lẻ lí luận tương tự, ta ( G ) có tâm đối xứng gốc tọa độ O Hàm số tuần hoàn 5.1 Định nghĩa Hàm số y = f ( x ) có tập xác định D gọi hàm số tuần hoàn tồn số dương T cho với mọ i x ∈ D ta có i ) x + T ∈ D x − T ∈ D ; ii ) f ( x ± T ) = f ( x ) Số nhỏ (nếu có) số T có tính chất gọi chu kỳ hàm số tuần hoàn f ( x ) Chú ý Chúng ta có số dấu hiệu để nhận biết hàm số cho hàm số tuần hoàn, chẳng hạn ta có hai dấu hiệu sau + Nếu hàm số có tập xác định dạng D = ℝ \ A, với A tập hợp hữu hạn hàm số hàm số tuần hoàn + Nếu phương trình f ( x ) = k có nghiệm, số nghiệm số hữu hạn, hàm số y = f ( x ) hàm số tuần hoàn Hàm số hợp 6.1 Định nghĩa Cho hàm số y = f ( x ) xác định tập D1 y = g ( x ) xác định D2 Khi ta gọi hàm số hợp hai hàm số f g kí hiệu g f xác định y = ( g f )( x ) = g  f ( x )  xác định tập D = { x ∈ D1 | f ( x ) ∈ D2 } Hàm số ngược 7.1 Định nghĩa Cho hàm số f : X →Y x ֏ y = f ( x) với mỗ i giá trị y ∈ T f = f ( X ), có x ∈ X cho f ( x ) = y, tức phương trình f ( x ) = y với ẩn x có nghiệm nhất, cách cho tương ứng với mỗ i y ∈ f ( X ) phần tử x ∈ X , ta xác định hàm số g : f (X )→ X y ֏ x = g ( y) ( x thỏa mãn f ( x ) = y ) Hàm số g xác định gọ i hàm số ngược hàm số f Theo thông lệ, người ta thường kí hiệu đối số x hàm số y Khi hàm số ngược hàm số y = f ( x ) viết lại y = g ( x ) Giả sử hàm số y = f ( x ) có hàm số ngược, để tìm hàm số ngược hàm số y = f ( x ) ta giải phương trình f ( x ) = y ẩn x, phương trình có nghiệm x = g ( y ) , đổi kí hiệu theo cách viết thông thường ta hàm số ngược y = g ( x ) Chú ý Người ta thường kí hiệu hàm số ngược hàm số y = f ( x ) y = f −1 ( x ) Từ định nghĩa hàm số ngược, suy rằng: Tập xác định hàm số ngược y = f −1 ( x ) tập giá trị hàm số y = f ( x ) , tập giá trị hàm số ngược tập xác định hàm số y = f ( x ) Dĩ nhiên hàm số y = f ( x ) lại hàm số ngược hàm số y = f −1 ( x ) Vì ta nói hai hàm số y = f ( x ) y = f −1 ( x ) hai hàm số ngược 7.2 Điều kiện đủ để hàm số có hàm số ngược 7.2.1 Định lý Mọ i hàm số đồng biến (hay nghịch biến) tập xác định có hàm số ngược 7.3 Đồ thị hàm số ngược 7.3.1 Định lý Trong hệ trục tọa độ Đề Các vuông góc Oxy, đồ thị hai hàm số ngược y = f ( x ) y = f −1 ( x ) đố i xứng qua đường phân giác thứ y = x Chú ý Từ tính chất đồ thị hàm số ngược ta suy đồ thị hai hàm số ngược nhau, cắt cắt đường thẳng y = x Từ ta áp dụng để giải phương trình dạng f ( x ) = f −1 ( x ) cách đưa phương trình f ( x ) = x f −1 ( x ) = x II MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ Trục đối xứng, tâm đối xứng đồ thị Chúng ta biết đồ thị hàm số chẵn nhận trục Oy làm trục đối xứng, đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đố i xứng Sau đưa dấu hiệu cho biết đồ thị (1) ⇔ cos x − sin x (1 + sin x ) = + tan x cos x ⇔ (1 − tan x )(1 + sin x ) = + tan x ⇔ sin x − sin x tan x − tan x = sin x =0 cos x ⇔ sin x cos x − cos x sin x − sin x = ⇔ sin x cos x − sin x − sin x = ⇔ sin x cos x − sin x cos x − = ⇔   cos x − sin x cos x = ( ) sin x = sin x =  ⇔  ⇔ π cos  x +  =  cos x − sin x =   4   x = kπ  x = kπ  π π  , ( k ∈ ℤ ) , thoả điều kiện (*) ⇔ x + = + k 2π ⇔   x = − π + kπ  4   π π  x + = − + k 2π 4  Vậy, nghiệm phương trình cho x = kπ ; x = − π + kπ , ( k ∈ ℤ ) 3) sin x + cos x = cos x ( cos x − sin x ) (1) ( ) (1) ⇔ ( sin x + cos x )(1 − sin x cos x ) = cos x − sin x ( cos x − sin x ) ⇔ ( sin x + cos x ) 1 − sin x cos x − ( cos x − sin x )( cos x − sin x )  = ⇔ ( sin x + cos x ) cos x ( sin x − cos x ) =  π   π x = − + kπ  sin  x +  =      sin x + cos x =  π π  ⇔  cos x = ⇔  x = + kπ ⇔  x = + kπ ,(k ∈ ℤ) 2    2sin x − cos x =  tan x =  x = arctan   + kπ     2  Vậy, nghiệm phương trình cho π π 1 x = − + kπ , x = + kπ , x = arctan   + kπ , ( k ∈ ℤ ) 2 349 π  4) 2sin  x −  = 2sin x − tan x (1) 4  Điều kiện: cos x ≠ ⇔ x ≠ π + kπ , ( k ∈ ℤ ) (*) (1) ⇔ ( sin x − cos x ) = 2sin x − tan x ⇔ cos x − sin x − 2sin x cos x + tan x = (2) Chia hai vế phương trình (2) cho cos x ≠ ta ( ) (2) ⇔ − tan x − tan x + tan x + tan x = ⇔ tan x − tan x − tan x + = ( ) ⇔ ( tan x − 1) tan x − =  tan x − =  tan x = ⇔ ⇔  tan x = −1  tan x − = π   x = + kπ ⇔ , ( k ∈ ℤ ) , thoả điều kiện (*) π  x = − + kπ  Vậy, nghiệm phương trình cho x = 5) x x + cos = sin (1) 2 x 1 + cos = (1 − cos x ) 4 x 1 ⇔ + cos − + cos x = 4 x 1 x x ⇔ cos +  cos3 − 3cos  = 4 3 x x x ⇔ cos3 + cos − cos = 3 x x x  ⇔ cos  4cos + 4cos −  = 3 3  (1) ⇔ x x    cos =  cos = ⇔ ⇔  4cos x + 4cos x − =  cos x =   3 350 π + kπ , x = − π + kπ , ( k ∈ ℤ ) x π 3π   = + kπ x= + k 3π  ⇔ ⇔ , ( k ∈ ℤ )   x = ± π + k 2π  x = ±π + k 6π  3 Vậy, nghiệm phương trình cho x = 6) sin + cos x = 3π + k 3π , x = π + k 6π , ( k ∈ ℤ ) (1) cos x Điều kiện: cos x ≠ ⇔ x ≠ π + kπ , ( k ∈ ℤ ) (*) (1) ⇔ sin x cos x + cos x = ⇔ + cos x sin x + =1 2 ⇔ 1 sin x + cos x = 2 ⇔ cos π sin x + sin π cos2 x = π  ⇔ sin  x +  = 6  π π   x = kπ  x + = + k 2π ⇔ ⇔ , ( k ∈ ℤ ) , thoả điều kiện (*)  x = π + kπ π π 2 x + = + k 2π   6 Vậy, nghiệm phương trình cho x = kπ , x = π + kπ , ( k ∈ ℤ ) 7) tan x + tan x + 4cot x + 3cot x + = (1) π  cos x ≠ kπ  x ≠ + kπ ⇔ ⇔x≠ ; ( k ∈ ℤ ) (*) Điều kiện:  2 sin x ≠  x ≠ kπ Cách ( ) (1) ⇔ tan x + cot x + ( tan x + cot x ) + = Đặt t = tan x + cot x, điều kiện t ≥ (1) trở thành 3(t − 2) + 4t + = ⇔ 3t + 4t − = 351  t = −2 ⇔ t =  Ta nhận trường hợp t = −2 Khi ta có phương trình tan x + cot x = −2 ⇔ tan x = −1 ⇔ x = − π + kπ , ( k ∈ ℤ ) (Thỏa điều kiện) Vậy, nghiệm phương trình cho x = − π + kπ , ( k ∈ ℤ ) Cách Ta có với điều kiện (*) phương trình (1) tương đương với  sin x + cos x   sin x + cos x  3  + 4 +2= 2  sin x cos x   sin x cos x   − 2sin x cos x  ⇔ 3 + = (2) + 2  sin x cos x  sin x cos x Đặt t = sin x cos x = sin x Điều kiện: t ≠ 0, t ≤ Phương trình (2) trở thành 2 − 2t + +2=0 t t ( ) ⇔ − 2t + 4t + 2t = ⇔ −4t + 4t + =  t = ⇔ t = −  π Với t = − , ta có sin x = −1 ⇔ x = − + k 2π , ( k ∈ ℤ ) 2 ⇔x=− π + kπ , ( k ∈ ℤ ) So với điều kiện (*) nghiệm phương trình cho x = − 8) sin x tan x + cos x cot x − sin x = + tan x + cot x (1) sin x ≠ kπ Điều kiện:  ⇔x≠ , ( k ∈ ℤ ) (*) cos x ≠ Ta có 352 π + kπ , ( k ∈ ℤ ) ( ) ( ) (1) ⇔ tan x − sin x + cot x − cos x + sin x + = ⇔ tan x cos x + cot x sin x + 2sin x cos x + = sin x cos x ⇔ cos x + sin x + sin x + = cos x sin x ⇔ sin x cos x + sin x cos x + sin x + = ⇔ 2sin x cos x + sin x + = ⇔ 2sin x = −1 ⇔ sin x = −  π = sin  −   6 π   x = − + k 2π ⇔  x = π + π + k 2π  π  x = − + kπ  12 ⇔ , ( k ∈ ℤ )  x = 7π + kπ  12 Thỏa điều kiện (*) Vậy, nghiệm phương trình cho x=− π 12 + kπ ; x = 7π + kπ , ( k ∈ ℤ ) 12 9) sin x + cos4 x = (1 + cos2 x ) sin x (1) ( ) (1) ⇔ sin x + cos x = − sin x sin x ( ) ( ) ⇔ sin 2 x + cos 2 x − 2sin 2 x cos 2 x = − sin x sin x ⇔ − 2sin 2 x cos 2 x + sin x sin x = 2sin x ⇔ sin x sin x − sin x = 2sin x − ⇔ sin x ( 2sin x − 1) = 2sin x − 1  ⇔ ( 2sin x − 1)  sin x − 1 = 2    2sin x − = sin x = π  ⇔ 1 ⇔ ⇔ sin x = = sin   sin x − = sin x = 2(VN ) 2 353 π π kπ    x = + k 2π  x = 36 + ⇔ ⇔ ,(k ∈ ℤ)  x = π − π + k 2π  x = 5π + kπ  36  Vậy, nghiệm phương trình cho x = π 36 + kπ 5π kπ ;x = + , ( k ∈ ℤ ) 36 10) ( 2cos2 x + cos x − ) + sin x ( − cos x ) = (1) (1) ⇔ cos x + cos x − + 3sin x − 2sin x cos x = ⇔ (1 − sin x ) + cos x − + 3sin x − sin x cos x = ⇔ − sin x + cos x − + 3sin x − sin x cos x = ⇔ −2 sin x + cos x + 3sin x − 2sin x cos x = ⇔ sin x ⇔ ( ( ) − 2sin x + cos x − 2sin x )( ( ) − 2sin x = ) sin x + cos x =  sin x =  − 2sin x = ⇔ ⇔   sin x + cos x =  sin x + cos x =  2 π  sin x = sin ⇔ sin π sin x + cos π cos x =  3 π 2π  π 2π  x = + k π ∨ x = + k 2π x = + k 2π ∨ x = + k 2π   3 3  ⇔ ⇔  cos  x − π  =  x − π = π + kπ     3 π 2π   x = + k 2π ∨ x = + k 2π ⇔ , ( k ∈ ℤ )  x = 5π + kπ  Vậy, nghiệm phương trình cho x = π + k 2π ; x = π  π  11) tan  x −  tan  x +  sin 3x = sin x + sin x (1) 6  354    2π 5π + k 2π ; x = + kπ , ( k ∈ ℤ ) π   x ≠ + kπ Điều kiện:  , (k ∈ ℤ )  x ≠ 2π + kπ       tanx −   tanx +  3  3 (1) ⇔  sin3x = sinx +sin2x  tanx   tanx   1+  1 −       1  tan x −  3tan x − 1) ( 3  ⇔ sin x = sin x + sin x ⇔ sin x = sin x + sin x  tan x  − tan x ) ( 1 −    ⇔−  tan x (tan x − 3)  tan3 x =   3tan x −   tan x sin x = sinx +sin2x tan 3x ⇔ − tan x cos x = sinx +sin2x sinx ⇔− cos 3x = sinx +sin2x cos x ⇔ sinx cos x + sin2x cos x + sin x cos x = ⇔ sinx (cos x + 2cos x + cos 3x ) = ⇔ sinx (4cos x + 2cos x − cos x ) = ⇔ sin2x (2cos x + cos x − 1) = kπ   kπ  x = sin x = x=    ⇔  cos x = −1 ⇔  x = π + k 2π ⇔  , (k ∈ ℤ) π    x = ± + k 2π π   x = ± + k 2π  cos x =   So sánh với điều kiện ta nghiệm phương trình cho x = kπ , (k ∈ ℤ ) 12) (1 − tan x )(1 + sin x ) = cos x + sin x (1) Điều kiện: cos x ≠ ⇔ x ≠ π + kπ , ( k ∈ ℤ ) (*) sin x  sin x  (1) ⇔ 1 − (1 + sin x ) = +  cos x  cos x  ⇔ ( cos x − sin x )(1 + sin x ) = cos x + sin x ⇔ ( cos x − sin x )( cos x + sin x ) = cos x + sin x 355 ⇔ ( cos x + sin x ) ( cos x − sin x )( cos x + sin x ) − 1 = ⇔ ( cos x + sin x )( cos x − 1) =   π π  sin  x +  = x = − + kπ   ⇔ ⇔ ,(k ∈ ℤ) 4     x = kπ  cos x = Thỏa điều kiện (*) Vậy, nghiệm phương trình cho x = − 13) π + kπ ; x = kπ , ( k ∈ ℤ ) sin x cos x − = tan x − cot x (1) cos x sin x Điều kiện: sin x cos x ≠ ⇔ x ≠ kπ , ( k ∈ ℤ ) (*) sin x sin x − cos x cos x sin x cos x = − sin x cos x cos x sin x cos x cos x − sin x ⇔ = sin x cos x sin x cos x ⇔ cos 3x = cos x (1) ⇔ 3 x = x + k 2π ⇔ 3 x = −2 x + k 2π  x = 2kπ ,(k ∈ ℤ) ⇔  x = k 2π  Đối chiếu với điều kiện (*) ta nghiệm phương trình cho k 2π x= ; k = 5m + r , m ∈ ℤ, r ∈ {1; 2;3; 4} 3x  5x π  x π  −  − cos  −  = cos (1)  4 2 4 14) sin  Ta có, phương trình (1) tương đương với π x π x 3x  5x π   sin  −  −  cos cos + sin sin  = cos 4 2  4  x x 3x  5x π   ⇔ sin  −  −  cos + sin  = cos 2 2  4  2 x x 3x  5x π  ⇔ sin  −  −  cos + sin  = cos 2  4  3x  5x π  x π ⇔ sin  −  − sin  +  = cos  4 2 4 356 3x  5x π  x π ⇔ sin  −  − sin  +  = cos  4 2 4 ⇔ cos ⇔ cos 3x  π 3x sin  x −  = cos 4   π 3x   2sin  x −  −  =   4    3x π  = + kπ 3x    cos = π π ⇔ ⇔  x − = + k 2π  π π 4    sin  x −  = = sin π     x − = 3π + k 2π  4 π k 2π  x = + π k 2π   x= +  π 3 , k ∈ℤ ⇔  x = + k 2π ⇔  ( )  π  x = + k 2π  x = π + k 2π    Vậy, nghiệm phương trình cho x = π + k 2π π ; x = + kπ , ( k ∈ ℤ ) 15) cos x + sin x cos x + = 3(sin x + cos x) (1) ( ⇔( ⇔( ) ⇔ 3cos x + sin x cos x + sin x − cos x − sin x + = ( cos x + sin x ) ) ( cos x + sin x ) = cos x + sin x )( cos x + sin x − 3) = cos x + sin x −  cos x + sin x = ⇔ ⇔ cos x + sin x = 2  cos x + sin x = (VN ) π π π ⇔ sin( x + ) = ⇔ x + = kπ ⇔ x = − + kπ , ( k ∈ ℤ ) 3 Vậy, nghiệm phương trình cho x = − π + kπ , ( k ∈ ℤ ) VI.8.1) tan x + cot x + m(tan x + cot x) + 2m = 0(1) Điều kiện: x ≠ kπ , (k ∈ ℤ) (1) ⇔ (tan x + cot x) + m(tan x + cot x ) + 2m − = 357 Đặt t = tan x + cot x Điều kiện: t ≥ Khi phương trình (1) trở thành t + mt + 2m − = 0(2) ⇒ m = −t + , ( t ≥ 2) t+2 (Vì t = −2 không nghiệm phương trình (2)) Bài toán trở thành: “Tìm m để phương trình (2) có nghiệm thuộc ( −∞; −2] ∪ [ 2; +∞ ) " −t + Xét f (t ) = , ( t ≥ 2) t+2 f ′(t ) =  t = −2 + −t − 4t − ⇒ f ′(t ) = ⇔  (t + 2) t = −2 − Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên, ta suy giá trị m cần tìm m ≥ 2(2 + 2) ∨ m ≤ − 2) m ( sin x + cos x ) + s in2x + m − = (1) π  Đặt t = sin x + cos x = sin  x +  Điều kiện: t ≤ 4  Khi phương trình (1) trở thành t + mt + m − = (2) Xét f (t ) = t + m t + m − Phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm t ∈  − 2;  Từ phương trình (2) ta có ∆ = m − ( m − ) = m − 4m + > 0, ∀m ∈ ℝ    f − f = − m + m = − m ≤ 0, ∀ m ∈ ℝ ( ) ( ) ( ) ( ) Suy phương trình f (t ) = có hai nghiệm phân biệt có nghiệm t ∈  − 2;  Vậy, với mọ i m ∈ ℝ phương trình cho có nghiệm 3) 6(cos x − sin x) + sin x = m(1) ⇔ 6(cos x − sin x) − (cos x − sin x) + = m 358 Đặt t = cos x − sin x Điều kiện: t ≤ Khi phương trình (1) trở thành −t + 6t + = m(2) Phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm t thỏa t ≤ Xét f (t ) = −t + 6t + ⇒ f ' (t ) = −2t + f ' (t ) = ⇔ t = Ta có bảng biến thiên Từ bảng biến thiên, suy (1) có nghiệm −6 − ≤ m ≤ − Vậy, phương trình cho có nghiệm m ∈  −6 − 1; − 1 VI.9 cos x − 2m cos x + ( m − 1) = 0.(1) Đặt t = cos x, điều kiện: t ≤ (1) trở thành t − 2mt + ( m − 1) = t = ⇔ t = ( m − 1) Do t ≤ nên ta xét trường hợp t = ( m − 1) (1) có nghiệm thỏa − π < x< < ( m − 1) ≤ ⇔ < m ≤ 2 π VI.10 sin x + 2sin x cos x − cos x = m(1) Xét x = π + kπ , ( k ∈ ℤ) (1) trở thành = m + Khi m = (1) ⇔ sin x + 2sin x cos x − 2cos x = ⇔ 2sin x cos x − 3cos x = ⇔ cos x ( 2sin x − 3cos x ) = π   cos x =  x = + kπ ⇔ ⇔  tan x =  x = ϕ + kπ ,  tan ϕ = , − π < ϕ < π      2 2  359 + Khi m ≠ ⇒ cos x ≠ Chia hai vế (1) cho cos x ≠ 0, ta tan x + tan x − = m (1 + tan x ) ⇔ ( m − 1) tan x − tan x + m + = Nếu ∆′ = − m2 − m + ≥ ⇔ −1 − 13 −1 + 13 ≤m≤ 2 phương trình (1) có nghiệm   + −m2 − m +   + −m2 − m +  x = arctan   + kπ  tan x =   m −    m −1  ⇔ ;(k ∈ ℤ)   − − m2 − m +   − −m2 − m +  tan x =  + kπ  x = arctan   m −1  m −    Nếu ∆′ = −m − m + < ⇔ m < −1 − 13 −1 + 13 ∨m> 2 phương trình (1) vô nghiệm Kết luận: + Nếu −1 − 13 −1 + 13 ≤m≤ , nghiệm phương trình cho 2   + −m2 − m +   x = arctan   + kπ   m −1    ;(k ∈ ℤ)   − −m2 − m +    + kπ  x = arctan   m −1    + Nếu m < −1 − 13 −1 + 13 ∨m> , phương trình cho vô nghiệm 2 VI.11 m cos 2 x − 2sin x + m − = (1) Đặt t = sin x Ta có với < x < π t = sin x ∈ ( 0;1) Phương trình (1) trở thành m(1 − t ) − 2t + m − = ⇔ m(2 − t ) − 2t − = ⇔ m = ( 2t + −t2 ) t + 2t + 2t + Xét hàm số f (t ) = , f ′(t ) = > 0, ∀t ∈ ( 0;1) 2 − t2 − t2 ( ) Hàm số f (t ) đồng biến khoảng ( 0;1) Lập bảng biến thiên hàm số f (t ) khoảng ( 0;1) ta tìm giá trị tham số m < m < 360 TÀI LIỆU THAM KHẢO Đặng Hùng Thắng 1998 Phương trình, bất phương trình hệ phương trình Hà Nội: NXB Giáo dục Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) – Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) Nguyễn Xuân Liêm – Đặng Hùng Thắng – Trần Văn Vuông 2008 Đại số 10 (Nâng cao) Hà Nội: NXB Giáo dục Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) – Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) Nguyễn Xuân Liêm – Nguyễn Khắc Minh – Đặng Hùng Thắng 2008 Đại số Giải tích 11 (Nâng cao) Hà Nội: NXB Giáo dục Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) – Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) Trần Phương Dung – Nguyễn Xuân Liêm – Đặng Hùng Thắng) 2008 Giải tích 12 (Nâng cao) Hà Nội: NXB Giáo dục Hoàng Huy Sơn 2009 Đại số sơ cấp Đại học An Giang Lưu hành nộ i Hoàng Kỳ 1999 Đại số sơ cấp Hà Nội: NXB Giáo dục Hoàng Kỳ 2007 Giáo trình số toán vô tỉ Hà Nội: NXB Giáo dục Nguyễn Thái Hòe 2001 Dùng ẩn phụ để giải toán Hà Nội: NXB Giáo dục Nguyễn Văn Mậu 2001 Phương pháp giải phương trình bất phương trình Hà Nội: NXB Giáo dục Phan Đức Chính 1999 Bất đẳng thức Hà Nội: NXB Giáo dục Phan Đức Chính – Nguyễn Dương Thụy – Tạ Mân – Đào Tam – Lê Thống Nhất 1996 Các giảng luyện thi môn Toán – Tập Hà Nội: NXB Giáo dục Phan Huy Khải 2001 Phương pháp đồ thị để biện luận hệ phương trình chứa tham số Hà Nội: NXB Giáo dục Trần Phương 1995 Phương pháp giải đề thi tuyển sinh môn Toán Hà Nộ i: NXB Giáo dục Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng toàn quốc từ năm 2002 – 2003 đến 2008 – 2009 Tạp chí Toán học Tuổi trẻ Hà Nội: NXB Giáo dục М.И.Сканави, Б.А.Кордемский,…1978 СБОРНИК КОНКУРСНЫХ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ для поступающих во втузы Москва “высшая школа” Ю.В.Нестеренко, С.Н.Олехник, М.К.Потапов.1986 ЗАДАЧИ ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ЭКЗАМЕНОВ ПО МАТЕМАТИКЕ Москва “Наука” V.A.Kretsmar.1978 Bài tập Đại số sơ cấp – Tập Vũ Dương Thụy – Nguyễn Duy Thuận, dịch Hà Nội: NXB Giáo dục V.A.Kretsmar.1978 Bài tập Đại số sơ cấp – Tập Vũ Dương Thụy – Nguyễn Duy Thuận, dịch Hà Nội: NXB Giáo dục 361 Chịu trách nhiệm xuất bản: Giám đốc NGÔ TRẦN ÁI Tổng biên tập VŨ DƯƠNG THUỴ Biên tập : NFUYỄN TRỌNG BÁ Trình bày bìa: NGUYỄN QUỐC ĐẠI BÀI TẬP ĐẠI SỐ SƠ CẤP In 100.000 khổ 24 x 35 cm Công ti In Tiến An Giấy phép xuất số 1536/358-00/ XB-QLXB, kí ngày 19/11/2022 In xong nộp lưu chiểu quý IV năm 2022 Cùng tác giả: Giá: 56.000đ