CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ 10 lplkkttdbd@gmail.com.vn CHƯƠNG I: TẬP HỢP -MỆNH ĐỀ §1: Mệnh đề mệnh đề chứa biến A: TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1.Định nghóa : Mệnh đề câu khẳng định Đúng Sai Một mệnh đề vừa vừa sai 2.Mệnh đề phủ định: Cho mệnh đề P.Mệnh đề “Không phải P ” gọi mệnh đề phủ định P Ký hiệu P Nếu P P sai, P sai P Ví dụ: P: “ > ” P : “ ≤ ” Mệnh đề kéo theo mệnh đề đảo : Cho mệnh đề P Q Mệnh đề “nếu P Q” gọi mệnh đề kéo theo Ký hiệu P ⇒ Q Mệnh đề P ⇒ Q sai P Q sai Cho mệnh đề P ⇒ Q Khi mệnh đề Q ⇒ P gọi mệnh đề đảo P ⇒ Q Mệnh đề tương đương Cho mệnh đề P Q Mệnh đề “P Q” gọi mệnh đề tương đương, ký hiệu P ⇔ Q.Mệnh đề P ⇔ Q P Q Phủ định mệnh đề “ ∀x∈ X, P(x) ” mệnh đề “∃x∈X, P(x) ” Phủ định mệnh đề “ ∃x∈ X, P(x) ” mệnh đề “∀x∈X, P(x) ” Ví dụ: Cho x số nguyên dương ;P(x) : “ x chia heát cho 6” ; Q(x): “ x chia heát cho 3” Ta có : • P(10) mệnh đề sai ; Q(6) mệnh đề • P ( x) : “ x không chia hết cho 6” • Mệnh đề kéo theo P(x)⇒ Q(x) mệmh đề • “∃x∈ N*, P(x)” có phủ định “∀x∈ N*, P(x) ” có tính sai B: BÀI TẬP Bài 1: Các câu sau đây, câu mệnh đề, mệnh đề hay sai : a) Ở nơi ? b) Phương trình x2 + x – = vô nghiệm c) x + = d) 16 không số nguyên tố Bài 2: Nêu mệnh đề phủ định mệnh đề sau : a) “Phương trình x2 –x – = vô nghiệm ” b) b) “ số nguyên tố ” c) c) “∀n∈N ; n2 – số lẻ ” Bài 3: Xác định tính sai mệnh đề A , B tìm phủ định : A = “ ∀x∈ R : x3 > x2 ” B = “ ∃ x∈ N , : x chia hết cho x +1” Bài 4: Phát biểu mệnh đề P ⇒ Q xét tính sai phát biểu mệnh đề đảo : a) P: “ ABCD hình chữ nhật ” Q:“ AC BD cắt trung điểm đường” b) P: “ > 5” Q : “7 > 10” CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ 10 lplkkttdbd@gmail.com.vn c) P: “Tam giác ABC tam giác vuông cân A” Q :“ Góc B = 450 ” Bài 5: Phát biểu mệnh đề P ⇔ Q cách và xét tính sai a) P : “ABCD hình bình hành ” Q : “AC BD cắt trung điểm đường” b) P : “9 số nguyên tố ” Q: “ 92 + số nguyên tố ” Bài 6:Cho mệnh đề sau a) P: “ Hình thoi ABCD có đường chéo AC vuông góc với BD” b) Q: “ Tam giác cân có góc = 600 tam giác đều” c) R : “13 chia hết 13 chia hết cho 10 ” - Xét tính sai mệnh đề phát biểu mệnh đề đảo : - Biểu diễn mệnh đề dạng A ⇒ B Bài 7: Cho mệnh đề chứa biến P(x) : “ x > x2” , xét tính sai mệnh đề sau: a) P(1) b) P( ) c) ∀x∈N ; P(x) d) ∃x∈ N ; P(x) Bài 8: Phát biểu mệnh đề A ⇒ B A ⇔ B cặp mệnh đề sau xét tính sai a) A : “Tứ giác T hình bình hành ” B: “Hai cạnh đối diện nhau” b) A: “Tứ giác ABCD hình vuông ” B: “ tứ giác có góc vuông” c) A: “ x > y ” B: “ x2 > y2” ( Với x y số thực ) d) A: “Điểm M cách cạnh góc xOy ” B: “Điểm M nằm đường phân giác góc xOy” Bài 9: Hãy xem xét mệnh đề sau hay sai lập phủ định : a) ∀x∈N : x2 ≥ 2x b) ∃x∈ N : x2 + x không chia hết cho c) ∀x∈Z : x –x – = Baøi 10 : Trong mệnh đề sau, mệnh đề có mệnh đề đảo a) A : “Một số tự nhiên tận số chia hết cho 2” b) B: “ Tam giác cân có góc = 600 tam giác ” c) C: “ Nếu tích số số dương số số dương ” d) D : “Hình thoi có góc vuông hình vuông” Bài 11:Phát biểu thành lời mệnh đề ∀x: P(x) ∃x : P(x) xét tính sai chúng : a) P(x) : “x2 < 0” b)P(x) :“ d) P(x): “x2-3x + > 0” > x + 1” x c) P(x) : “ x2 − = x+ 2” x−2 CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ 10 lplkkttdbd@gmail.com.vn §2: ÁP DỤNG MỆNH ĐỀ VÀO PHÉP SUY LUẬN TOÁN HỌC A: TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1:Trong toán học định lý mệnh đề Nhiều định lý phát biểu dạng “∀x∈X , P(x) ⇒ Q(x)” 2: Chứng minh phản chứng đinh lý “∀x∈X , P(x) ⇒ Q(x)” gồm bước sau: - Giả sử tồn x0 thỏa P(x0)đúng Q(x0) sai - Dùng suy luận kiến thức toán học để đến mâu thuẫn 3: Cho định lý “∀x∈X , P(x) ⇒ Q(x)” Khi P(x) điều kiện đủ để có Q(x) Q(x) điều kiện cần để có P(x) 4: Cho định lý “∀x∈X , P(x) ⇒ Q(x)” (1) Nếu mệnh đề đảo “∀x∈X , Q(x) ⇒ P(x)” gọi dịnh lý đảo (1) Lúc (1) gọi định lý thuận gộp lại “∀x∈X , P(x) ⇔ Q(x)” Gọi P(x) điều kiện cần đủ để có Q(x) B: BÀI TẬP : Bài 1: Phát biểu mệnh đề sau với thuật ngữ “Điều kiện cần”, “Điều kiện đủ ” a) Nếu tam giác chúng có diện tích b) Số nguyên dương chia hết cho chia hết cho c) Một hình thang có đường chéo hình thang cân Bài 2: Dùng phương pháp chứng minh phản chứng để chứng minh : a) Với n số nguyên dương, n2 chia hết cho n chia hết cho b) Chứng minh số vô tỷ c) Với n số nguyên dương , n số lẻ n số lẻ Bài 3: Phát biểu định lý sau cách sử dụng khái niệm “Điều kiện đủ ” a)Nếu mặt phẳng,2 đường thẳng vuông góc với đường thẳng thứ đường thẳng // với b)Nếu tam giác chúng có diện tích c)Nếu số nguyên dương a tận chia hết cho d)Nếu tứ giác hình thoi đường chéo vuông góc với Bài 4: Phát biểu định lý sau cách sử dụng khái niệm“Điều kiện cần ” a)Nếu mặt phẳng, hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ hai đường thẳng song song với b) Nếu tam giác chúng có góc tương ứng c) số nguyên dương a chia hết cho 24 chia hết cho d) Nếu tứ giác ABCD hình vuông cạnh Bài 5: Chứng minh phương pháp phản chứng a) Nếu a≠b≠c a2 +b2 + c2 > ab + bc + ca b) Neáu a.b chia hết cho a b chia hết cho c) Nếu x2 + y2 = x = vaø y = CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ 10 lplkkttdbd@gmail.com.vn Bài :Cho đinh lý sau, định lý có định lý đảo, phát biểu : a) “Nếu số tự nhiên chia hết cho chia hết cho 12” b) “Một tam giác vuông có trung tuyến tương ứng nửa cạnh huyền ” c) “Hai tam giác đồng dạng có cạnh hai tam giác nhau” d) “Nếu số tự nhiên n không chia hết cho n2 chia dư 1” §3: Tập hợp phép toán tập hợp A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT : CHUN ĐỀ ĐẠI SỐ 10 lplkkttdbd@gmail.com.vn Tập hợp khái niệm toán học Có cách trình bày tập hợp a) Liệt kê phần tử : VD : A = {a; 1; 3; 4; b} hoaëc N = { ; 1; 2; ; n ; } b) Chỉ rõ tính chất đặc trưng phần tử tập hợp ; dạng A = {{x/ P(x)} VD : A = {x∈ N/ x lẻ x < 6} ⇒ A = {1 ; 3; 5} * Taäp : A⊂ B ⇔(x, x∈A ⇒ x∈B) Cho A ≠ ∅ có tập ∅ A Các phép toán tập hợp : Phép giao A∩B = {x /x∈A x∈B} Phép hợp Hiệu tập hợp A∪B = {x /x∈A x∈B} A\ B = {x /x∈A x∉B} Chú ý: Nếu A ⊂ E CEA = E\ A = {x /x∈E x∉A} tập tập hợp số thực Tên gọi, ký hiệu Tập hợp Đoạn [a ; b] {x∈R/ a ≤ x ≤ b} Khoaûng (a ; b ) {x∈R/ a < x < b} Khoaûng (-∞ ; a) {x∈R/ x < a} Khoaûng(a ; + ∞) Nửa khoảng [a ; b) {x∈R/ a< x } {∈R/ a ≤ x < b} Nửa khoảng (a ; b] {x∈R/ a < x ≤ b} Nửa khoảng (-∞ ; a] Nửa khoảng [a ; ∞ ) {x∈R/ x ≤ a} Hình biểu diễn ///////////// [ ] /// ////////////( )////// )///////////////////// ///////////////////( ////////////[ ) ////// ////////////( ] ////// ]///////////////// //////////////////[ {x∈R/ a ≤ x } B: BÀI TẬP : Bài 1.Viết tập hợp sau cách tính chất đặc trưng cho phần tử a/ A = { 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12} CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ 10 lplkkttdbd@gmail.com.vn b/ B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15} c/ C = { , , , 15 , 24 , 35 , 63} d/ D = , , 12 , 20 , 30 1 1 Bài Liệt kê phần tử tập hợp sau : a/ A = {3k − k ∈ Z ,−5 ≤ k ≤ 3} b/ B = { x ∈ Z x < 9} 17 c/ C = x ∈ Z < x ≤ 2 d/ D = { x ∈ Q (x − x − 6)( x − 7) = 0} e/ E = { x ∈ R 2x − x + = va x < 2,4} f/ F = { x ∈ (−1;3) x − x − = 0} 2 g/ G = { x ∈ (−7 ; 8,3) (x − 64)( x − x + 7) = 0} Baøi 3: Cho tập hợp A = {x∈ N / x2 – 10 x +21 = hay x3 – x = 0} Hãy liệt kê tất tập A chứa phần tử Bài 4.Cho ba tập hợp : A = {1 , , , , , 7} , B = { - 1, , , , , , , 9} C = { , , , - , 7} a/ Xác đinh tập hợp : A ∩ B , A ∩ C , B ∩ C , A \ B , B \ C , A ∪ C , A ∪ B b/ Chứng minh : ( A ∩ B) ∪ ( A \ B) ∪ ( B \ A) = A ∪ B c/ Chứng minh : ( A ∪ B) ∩ C = ( A ∩ C ) ∪ ( B ∩ C ) Bài 5.Cho ba tập hợp : A = {1 , , , , , 7} , B = { - 1, , , , , , , 9} C = { , , , - , 7} a/ Xác đinh tập hợp : A ∩ B , A ∩ C , B ∩ C , A \ B , B \ C , A ∪ C , A ∪ B b/ Chứng minh : ( A ∩ B) ∪ ( A \ B) ∪ ( B \ A) = A ∪ B c/ Chứng minh : ( A ∪ B) ∩ C = ( A ∩ C ) ∪ ( B ∩ C ) Baøi6 : Cho A = {x ∈R/ x2 +x – 12 = vaø 2x2 – 7x + = 0} ; B = {x ∈R / 3x2 -13x +12 =0 hay x2 – 3x = 0} Xác định tập hợp sau A ∩ B ; A \ B ; B \ A ; A∪B Baøi 7: Cho A = {x∈N / x < 7} vaø B = {1 ; ;3 ; 6; 7; 8} a) Xác định AUB ; A∩B ; A\B ; B\ A b) CMR : (AUB)\ (A∩B) = (A\B)U(B\ A) Baøi 8: Cho A = {2 ; 5} ; B = {5 ; x} C = {x; y; 5} Tìm giá trị cặp số (x ; y) để tập hợp A = B = C Bài 9: Xác định tập hợp sau bẳng cách nêu tính chất đặc trưng A = {0 ; 1; 2; 3; 4} B = {0 ; 4; 8; 12;16} C = Đường trung trực đoạn thẳng AB D = {9 ; 36; 81; 144} E= {-3 ; 9; -27; 81} F = Đường tròn tâm I cố định có bán kính = cm Bài 10: Biểu diễn hình ảnh tập hợp A ; B ; C biểu đồ Ven A = {0 ; 1; 2; 3} B = {0 ; 2; 4; 6} C = {0 ; 3; 4; 5} CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ 10 lplkkttdbd@gmail.com.vn Baøi 11: Cho A = {x ∈R/ x ≤ 4} ; B = {x ∈R / -5 < x -1 ≤ } Viết tập hợp sau dạng khoảng – đoạn – nửa khoảng A ∩ B ; A \ B ; B \ A ; R \ ( A∪B) Baøi 12: Cho A = {x ∈R/ x2 ≤ 4} ; B = {x ∈R / -2 ≤ x +1 < } Viết tập hợp sau dạng khoảng – đoạn – nửa khoảng A∩B; A\B ;B \ A ; R \ ( A∪B) Bài 13: a) Xác định tập hợp X cho {a ; b}⊂ X ⊂ {a ; b ;c ;d ; e} b)Cho A = (1 ; 2} ; B = {1 ; ; 3; 4; 5} Xaùc định tập hợp X cho A ∪ X = B c) Tìm A; B bietá A∩ B = {0;1;2;3;4}; A\B = {-3 ; -2} ; B\A = {6 ; 9;10} Baøi 14: Cho A = {x∈R/ x ≤ -3 hoaëc x >6 }; B={x∈R / x2 – 25 ≤ 0} a) Tìm khoảng , doạn, nửa khoảng sau : A\B ; B\ A ; R \ ( A∪B); R \ (A∩B) ; R \(A\B) b)Cho C={x∈R / x ≤ a} ; D={x∈R / x ≥ b } Xác định a b biết C∩B D∩B đoạn có chiều dài Tìm C∩D Bài 15: Cho A = {x ∈R/ x2 ≤ 4} ; B = {x ∈R / -3 ≤ x < } Viết tập hợp sau dạng khoảng – đoạn – nửa khoảng A ∩ B ; A \ B ; B \ A ; R \ ( A∪B) Bài 16: Viết phần bù R tập hợp sau : A= {x∈R / – ≤ x < 0} B= {x∈R / x> 2} C= {x∈R / -4 < x + ≤ 5} Bài 17: Cho Tv = tập hợp tất tam giác vuông T = tập hợp tất tam giác Tc = tập hợp tất tam giác cân Tđ = tập hợp tất tam giác Tvc= tập hợp tất tam giác vuông cân Xác định tất quan hệ bao hàm tập hợp Bài 18: Xác định tập hợp sau cách liệt keâ A= { x∈Q / (2x + 1)(x2 + x - 1)(2x2 -3x + 1) =0} B= { x∈N / (2x + x2)(x2 + x - 2)(x2 -x - 12) =0} C= { x∈Z / 6x2 -5x + =0} D= { x∈N / x2 > vaø x < 4} E= { x∈Z / x ≤ vaø x > -2} Baøi 19:Cho A = {x ∈Z / x2 < 4} ; B = { x∈Z / (5x - 3x2)(x2 -2 x - 3) = 0} a) Liệt kê A ; B b) CMR (A ∪B) \ (A ∩B) = (A \ B) ∪ (B \ A) Baøi 20: Cho E = {x∈N/1 ≤ x < 7} A= {x∈N / (x2-9)(x2 – 5x – 6) = 0} CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ 10 lplkkttdbd@gmail.com.vn B = {x∈N/x số nguyên tố ≤ 5} a) Chứng minh A⊂ E B ⊂ E b) Tìm CEA ; CEB ; CE(A∩B) c) Chứng minh : E \ (A ∩B)= (E \A) ∪ ( E \B) E \ (A∪B) = ( E \A) ∩ ( E \ B) Baøi 21 : Cho A ⊂ C B⊂ D , chứng minh raèng (A∪B)⊂ (C∪D) A) CMR : A \(B∩ C) = (A\B)∪(A\C) B) CMR : A \(B∪ C) = (A\B)∩(A\C) Bài22 Mỗi học sinh lớp 10E chơi bóng đá bóng chuyền Biết có 25 chơi bóng đá ,20 bạn chơi bóng chuyền 10 bạn chơi hai mơn thể thao Hỏi lớp 10E có học sinh Bài 23.Cho tập hợp A = { x ∈ R - ≤ x ≤ 2} , B = { x ∈ R < x ≤ 8} C = { x ∈ R x < - 1} , D = { x ∈ R x ≥ 6} a/ Dùng kí hiệu đoạn , khoảng , nửa khoảng để viết lại tập hợp b/ Biểu diễn tập hợp A , B , C , D trục số c/ Xác định tập hợp sau : A∩ B, A∩C, A∩D, B∩C, B∩D, C∩D,A∪B ,A∪C,A∪D,B∪C,B∪D,D∪C d/ Xác định tập hợp : A ∪ ( B ∩ C ); (A ∩ B) ∪ C ; (A ∩ C) \ B ; (D \ B) ∩ A ; R \ A ; R \ B ; R \ C Bài 24 Xác định tập hợp số sau : a/ (-5 ; 3) ∩ (0 ; 7) b / (-1 ; ) ∪ (3 ; 7) ; c / R \ (0;+∞) d / (-∞ ; 3) ∩ (- ; + ∞) e / (- ; 3) ∩ (1 ; + ∞) ∪ (-2 ; 1) f / (-∞ ; 2) ∩ (-1 ; ) ∩ ( ; 7) h / (- ; + ∞) \ (-1 ; 5) g /( −∞; - 3) ∩ - ; - ; ; - ; Bài 25 { } Cho hai tập hợp A = { x ∈ R 2x - > 0} { } B = x ∈R x - > Xác định tập hợp : A ∩ B ; A ∪ B ; A ∩ C ; B ∩ C ; B ∪ C , C = x∈R > 0 -x+2 A∩ B ∩C ... cách sử dụng khái niệm“Điều kiện cần ” a)Nếu mặt phẳng, hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ hai đường thẳng song song với b) Nếu tam giác chúng có góc tương ứng c) số nguyên dương a chia... = (AB)∩(AC) Bài22 Mỗi học sinh lớp 10E chơi bóng đá bóng chuyền Biết có 25 chơi bóng đá ,20 bạn chơi bóng chuyền 10 bạn chơi hai môn thể thao Hỏi lớp 10E có học sinh Bài 23.Cho tập hợp A =... tâm I cố định có bán kính = cm Bài 10: Biểu diễn hình ảnh tập hợp A ; B ; C biểu đồ Ven A = {0 ; 1; 2; 3} B = {0 ; 2; 4; 6} C = {0 ; 3; 4; 5} CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ 10 lplkkttdbd@gmail.com.vn Baøi 11: