SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH ĐỀ THI MÔN TOÁN QUỐC GIA NĂM 2016 Trường THPT số Phù Cát ( Thời gian 180 phút không kể thời gian phát đề) ……… …………………… Câu ( điểm ) : Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = x − x Câu ( điểm ) : Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) hàm số y = 2x + cho tiếp tuyến đồ thị x +1 (C) M , vuông góc với đường thẳng qua M , I(-1,2) Câu ( điểm) : π π 1) Tính giá trị biểu thức : P= cos x + cos ( x + ) + cos ( x − ) , ∀x ∈ R 2) Giải bất phương trình : log ( x + 2) ≤ log x Câu ( điểm ) 1) Tìm số phức z, biết z + z = z 2) Một hộp đựng 18 viên bi có kích thước phân biệt , gồm viên bi đỏ , viên bi xanh , viên bi xanh Người ta chọn ngẫu nhiên viên bi Tính xác suất để viên bi chọn có nhiều hai màu Câu ( điểm ) : Tính tích phân : x −1 ∫ 2x + e x dx Câu ( điểm ) : Trong không gian Oxyz , Cho ba diểm A( 1,2,1) , B(3,-1,2) ,C(-2,4,0) đường thẳng (d) : x −1 y z +1 = = Lập phương trình mặt phẳng (ABC) ,Tìm giao điểm đường thẳng 1 (d) mặt phẳng (ABC) Câu ( điểm ) : Cho hình chóp SABCD , có đáy ABCD hình thang vuông A B đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) , AB=BC=a AD=3a , đường thẳng SC hợp với (ABCD) góc 600 , Tính thể tích khối chóp SABCD khoảng cách hai đường thẳng CD SB Câu ( điểm ) :Trong mp (Oxy) , Cho tam giác ABC , điểm I(0,1) tâm đường tròn ngoại tiếp , điểm D(1,2) ,E(-1,1) hình chiều vuông góc B,C lên AC, AB , điểm A thuộc đường thẳng (d) x-y-2=0 Tìm tọa độ B,C Câu ( điểm ) : Giải phương trình : x + 14 x + − x − x − 20 = x + , x ∈ R Câu 10 ( điểm) : Cho x,y,z số dương, xyz=1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= xy + yz + zx + x+ y+z HƯỚNG DẪN CHẤM CÂU NỘI DUNG D=R Điểm 0.25 y’= 8x-8x3 y’=0 x=0, x=-1,x=1 0.25 y = −∞ y(0)=0 ,y(1)=y(-1)=2 , xlim − > ±∞ Bảng biến thiên x y’ y 0.25 −∞ + -1 CĐ - 0 + CĐ +∞ - CT −∞ Hàm số đồng biến khoảng ( (-1,0) ,( 1, + ∞ ) , nghịch biến ( − ∞ ,-1) ,(0,1) Đạt cực đại x=0 , yCĐ= , đạt cực tiểu x=1, x=-1 yCT= -2 Đồ thị hàm số y’= x0 + ) ∈ (C ) , M ( x0, ( x + 1) x0 + 1 ( x + 1) 0.25 = x0=0 ,x0=-2 ( x + 1) 0.25 ( x + 1) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng IM 3.1 0.25 0.25 Tiếp tuyến với (C) M có hệ số góc y’(x0) = Đường thẳng IM có hệ số góc : k= − −∞ Điểm cần tìm : M(0,1) ,M(-2,3) 1 2π 2π )) + (1 + cos(2 x − )) P= (1 + cos x) + (1 + cos(2 x + 2 3 2π 2π + (cos x + cos(2 x + ) + cos(2 x − )) 2 3 2π = + (cos x + cos x cos ) 2 0.25 0.25 = 0.25 1 + (cos x + 2(− ) cos x) = 2 2 Điều kiện : x>0 0.25 Biến đổi bất phương trình : log ( x + 2) ≤ log x Ta có : x ≥ x + x − x − ≥ x ≤ −1, x ≥ 0.25 Kết hợp điều kiện ta có nghiệm bất phương trình : x ≥ Đặt z=x+iy , x,y thuộc R , i2=-1 0.25 = 3.2 4.1 Ta có : z + z = z x2+y2+x-yi = x2-y2+2xyi y2+x=-y2 , -y=2xy x=− x = Mà : -y=2xy y=0 , x=nên ta có : , y = y = ± Số phức cần tìm : z=0 ,z= − 4.2 0.25 1 1 + i , z= − − i 2 2 Ta có n( Ω ) = C18 =286 0.25 1 Gọi A biến cố : viên bi lấy có hai màu => n(A) = C18 − C8 C C 41 =214 0.25 107 143 1 x −1 (2 x + e x ) − (2 + e x ) dx dx I= ∫ = x ∫0 2x + e x 2x + e => Xác suất cần tìm : P(A)= 0.25 0.25 1 + ex 1 + ex ) dx dx − dx = ∫ (1 − = ∫0 x + e x 20 ∫0 2x + e x 1 x = x − ln x + e 2 = (1 − ln(2 + e) ) Ta có AB = (2,−3,1), AC = (−3,2,−1) => n ABC 0.25 0.25 = (2,−1,−5) => (ABC) : 2(x-1) - (y-2)-5(z-1)=0 0.25 0.25 => (ABC): 2x – y -5z+5=0 Gọi M giao điểm (d) (ABC) 0.25 Ta có M(2t+1,t,t-1) 2(2t+1)-t-5(t-1) +5=0 => t=6 0.25 => M(13,6,5) 1 (a + 3a )a = 2a , SA ⊥ (ABCD) => VSABCD = SA.S ABCD , AC hình chiếu vuông góc SC lên (ABC) => góc SCA=góc (SC,ABCD)=600 Ta có SABCD= 2a => SA= ACtan60 =a a = a => VSABCD= a 2a = 3 0.25 0.25 0.25 Gọi E điểm thuộc AD cho DE=a , BCDE hình bình hành => CD//BE Khí : CD’’(SBE) => d(CD,SB)=d(CD,SBE)=d(D,SCE) Mặt khác : DE= 1 AE => d(D,SBE)= d(A,SDE) 2 Trong mặt phẳng (ABCD) , kẽ AM ⊥ BE M => (SAM) ⊥ (SBE) theo giao tuyến SM Trong mặt phẳng (SAM) , kẽ AH ⊥ SM H => AH ⊥ (SBE) H => d(A,SBE)=AH 1 1 1 = + = + + Ta có : SA= a , AB=a ,AE=2a 2 2 AH SA AM SA AB AE => 0.25 1 1 17 12a 12 = + + = => => AH = a AH = 2 2 AH 6a a 4a 12a 17 17 1 a 12 a d(A,SDE) = = 2 17 17 Qua A kẽ đường thẳng ( ∆ ) tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, : 0.25 => d( SB,CD)= IA ⊥ ( ∆ ) => góc (AB, ∆ ) = góc BCA mặt khác : D,E hình chiều B,E lên AC,AB nên tứ giác BEDC nội tiếp đường tròn đường kính BC => góc BCA= góc BCE+ góc ECD= góc EDB+ góc EBD = góc AED => góc (AB, ∆ ) = góc ADE => DE//( ∆ ) => IA ⊥ DE Đường thẳng IA qua I(0,1) có VTPT ED = (2,1) có phương trình : 2(x-0)+(y-1)=0 2x+y-1=0 0.25 2 x + y − = x = Khi : A => A(1,-1) x − y − = y = −1 Đường thẳng AB qua A, E(-1.1) có phương trình : x+y=0 0.25 Đường thẳng AC di qua A , D(1.2) có phương trình : x-1=0 Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình : x2+(y-1)2=5 x + y = x = −2 x = ∨ Tọa độ B ( loại) => B(-2,2) y = y = −1 x + ( y − 1) = x − = x = x = ∨ Tọa độ C ( loại ) => C(1,3) y = y = −1 x + ( y − 1) = Điều kiện : x ≥ Biến đổi phương trình ta có : 0.25 0.25 x + 14 x + = x − x − 20 + x + x + 14 x + = x − x − 20 + 10 ( x − x − 20)( x + 1) + 25( x + 1) x − x + − ( x − x − 20)( x + 1) = x − x + − ( x − x − 20)( x + 1) = 2( x − x − 5) + 3( x + 4) − ( x − x − 5)( x + 4) = 2( x − 4x − x − 4x − ) −5 +3= x+4 x+4 x − 4x − = 1, x+4 x − 4x − = x+4 x − 4x − x − 5x − x − 4x − 5 ± 61 =1 = x= =1 x+4 x+4 x+4 i) 0.25 x − 4x − x − 25 x − 56 x − 4x − = = x= 8, x=-7/4 = x+4 x+4 x+4 Kết hợp điều kiện ta có nghiệm phương trình : 0.25 ii) x= 0.25 + 61 ,x=8 Theo giả thiết ta có : P = 1 + + + x y z x+ y+z Giả sử x ≥ y ≥ z > => x ≥ y+z ≥ 0.25 yz => (( x + y + z ) ( x + yz ) ≥ yz > yz => (( x + y + z ) ( x + yz ) − yz > => ( => ( ) ( ) y − z (( x + y + z ) x + yz − yz ) ≥ y− z yz ) 2 + 6 ( y− z ) ( x + y + z )( x + => y + z + x + y + z ≥ yz ) ≥0 + yz x + yz 0.25 P≥ 0.25 + + x yz x + yz Đặt t= yz >0 xt2=1 => x= t2 6t Khí P ≥ f (t ) = t + + t + 2t 2(t − 1) 12t (t − 1) 4t − 2t + f ' (t ) = − ( )(t − 1) = t2 t (1 + 2t ) + 2t ( ) f’(t)=0 t=1 0.25 Bảng biến thiên t f’(t) + f(t) P ≥ f (t ) ≥ f (1) = CT P đạt giá trị nhỏ , x=y=z=1 Mọi cách giải khác cho điểm tối đa -