SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH TRƯỜNG QUỐC HỌC QUY NHƠN ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu (2 điểm): 2x +1 có đồ thị ( C ) x −1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho b) Gọi ( d ) đường thẳng qua điểm B (−2; 2) có hệ số góc m Tìm m để ( d ) cắt ( C ) hai điểm phân biệt M , N cho đường thẳng qua M N song song với trục tọa độ tạo thành hình vuông Câu (1 điểm): a) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = 2sin x + cos x đoạn [ 0; π ] b) Cho log = m , log = n Tính theo m, n giá trị biểu thức A = log 225 Cho hàm số y = Câu 3(1 điểm): 2 xy x + y + x + y = Giải hệ phương trình: x + y = x2 − y Câu 4(1 điểm): e ln x + ln x ÷dx Tính tích phân I = ∫ x + ln x Câu 5(1 điểm): ( − i ) z a) Cho số phức z thỏa mãn ( + i ) z + = −4 + 9i − 2i Tìm môđun số phức w = − z + z b) Cho hộp đựng 12 viên bi, có viên bi màu đỏ, viên bi màu xanh Lấy ngẫu nhiên viên bi Tính xác suất để viên bi đỏ Câu 6(1 điểm): · Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a Góc BAC = 600 , hình chiếu vuông góc S mặt ( ABCD ) trùng với trọng tâm tam giác ABC Mặt phẳng ( SAC ) hợp với mặt phẳng ( ABCD ) góc 600 Tính thể tích khối chóp S ABCD khoảng cách từ B đến ( SCD ) theo a Câu 7(1 điểm): Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho điểm C ( 2; −5 ) đường thẳng ∆ : 3x − y + = Tìm 5 ∆ hai điểm A B đối xứng qua I 2; ÷ cho diện tích tam giác ABC bằng15 2 Câu 8(1 điểm): Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng ( P ) có phương trình: x + y – z – = Lập phương trình mặt cầu ( S ) có tâm gốc tọa độ O tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) ,tìm tọa độ tiếp điểm Câu 9(1 điểm): Xét số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = x (y + z) y (z + x) z (x + y) + + yz zx xy - HẾT MA TRẬN ĐỀ Cấp độ Chủ đề 1.Hàm số, đồ thị toán liên quan Số câu Số điểm (Tỉ lệ) 2.Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số tính giá trị biểu thức chứa logarit Số câu Số điểm (Tỉ lệ) 3.Giải hệ phương trình Số câu Vận dụng Cấp độ thấp Cấp độ cao Biết khảo sát Áp dụng biến thiên toán liên vẽ đồ thị quan để tìm hàm số điều kiện tham số thỏa điều kiện cho trước 0,5 0,5 1,0 (10%) 1,0 (10%) Tính giá trị Ứng dụng đạo biểu thức hàm tìm chứa logarit GTLN-GTNN hàm số Nhận biết 0,5 0,5 (5%) Thông hiểu 0,5 0,5 (5%) Cộng 2,0 (20%) 1,0 (10%) Giải hệ phương trình 1,0 (10%) 1,0 (10%) 4.Tích phân Số câu Số điểm (Tỉ lệ) 5.Số phức xác suất Tính xác suất 0,5 0,5 (5%) Áp dụng công thức tính thể tích để tính thể tích khối chóp 0,5 0,5 (5%) 6.Khối đa diện Số câu Tính tích phân 1,0 (10%) Thực phép tính tập số phức 0,5 0,5 (5%) Số câu Số điểm (Tỉ lệ) 1,0 (10%) Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Tọa độ mặt phẳng 8.Tọa độ không gian 1,0 (10%) Lập phương trình mặt cầu , tìm tọa độ tiếp 0,5 0,5 (5%) Xác định tọa độ điểm thỏa điều kiện cho trước 1,0 (10%) 1,0 (10%) 1,0 (10%) điểm 1,0 (10%) 1,0 (10%) 9.Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức Tổng số câu Tổng số điểm Tỉ lệ Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1,5 1,5 15% 3,5 4,0 40% 2,5 25% 1,0 (10%) 2,0 20% 1,0 (10%) 10 100% -HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Ý Nội dung Điểm + TXĐ: D = ¡ \ { 1} + Sự biến thiên: y ' = −3 ( x − 1) < 0, ∀x ∈ D 0,5 Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞;1) , ( 1; +∞ ) Tiệm cận đứng : x = lim+ y = +∞; lim− y = −∞ x →1 (2 điểm) a) (1đ) x →1 y = lim y = Tiệm cận ngang : y = xlim →+∞ x →−∞ Bảng biến thiên: x −∞ y' P − +∞ y − +∞ ] P −∞ 0,25 ] Vẽ đồ thị nhận xét đồ thị nhận điểm I ( 1; ) làm tâm đối xứng + Đồ thị (C) cắt Oy ( 0; −1) , cắt Ox − ; ÷ b) Pt đường thẳng( d ) : y = m( x + 2) + 2x +1 = m( x + 2) + ( 1) PT hoành độ giao điểm (C) (d): x −1 mx + mx − 2m − = ( ) ( 1) ⇔ x ≠ (d) cắt (C) điểm phân biệt M , N PT (2) có nghiệm phân biệt khác , nghĩa là: 0,25 0,25 0,25 0.25 (1đ) m ≠ m ≠ m > m > ⇔ ⇔ ∆ = 9m + 12m > ( *) m < − m < − m ( 1) + m.1 − 2m − ≠ Gọi M ( x1 ; y1 ) , N ( x2 ; y2 ) ( x1 ≠ x2 ) P, Q hai đỉnh lại hình vuông, MPNQ hình vuông MP = MQ ⇔ y2 − y1 = x2 − x1 ⇔ m ( x2 − x1 ) = x2 − x1 0.25 Kết hợp điều kiện ( *) suy m = a) (0,5 điểm) (1 điểm) Biến đổi y = −2sin x + 2sin x + Đặt t = sin x, t ∈ [ 0;1] Xét hàm số y = −2t + 2t + đoạn [ 0;1] y ' = −4t + 2; y ' = ⇔ t = ∈ ( 0;1) 1 Tính y ÷ = ; y ( ) = 1; y ( 1) = 2 1 Suy Maxy = y ÷ = ; Miny = y ( ) = y ( 1) = t∈[ 0;1] t∈[ 0;1] π 5π π Kết luận Maxy = y ÷ = y ÷ = ; Miny = y ( ) = y ÷ = y ( π ) = x∈[ 0;π ] 6 x∈[ 0;π ] 2 Biến đổi A = log 225 = log ( 15 ) = 4(1 + log 5) b) (0,5 điểm) Với log = m , log = n suy log = log m = log n m Suy A = 1 + ÷ n 0,25 0,25 0,25 0,25 ÑK : x + y > xy 2 x + y + x + y = ( 1) x + y = x2 − y ( 2) ( 1) ⇔ ( x + y ) (1 điểm) − xy + xy −1 = x+ y 0,25 ⇔ ( x + y ) − xy ( x + y ) + xy − ( x + y ) = ⇔ ( x + y) ( ( x + y ) − 1) − xy ( x + y − 1) = ⇔ ( x + y − 1) ( x + y ) ( x + y + 1) − xy = x + y = ( 3) ⇔ 2 x + y + x + y = ( ) Dễ thấy (4) vô nghiệm x + y > Thế (3) vào (2) ta x − y = x + y = x = 1; y = ⇒ Giải hệ (nhận) x − y = x = −2; y = Vậy hệ phương trình có nghiệm (1;0) (-2;3) (1 điểm) e ln x + ln x ÷dx =I1 + I2 + I = ∫ x + ln x 0,25 0,25 0,25 1,0 4−2 + Tính I = e − + Tính I1 = (1 điểm) a) (0,5 điểm) b) (0,5 điểm) + Tính đáp số 37 w = − z + z = − + 3i ⇒ w = 2 - Gọi Ω tập hợp tất cách lấy viên bi số 12 viên bi 0,5 Ta có: Ω = C12 = 220 - Gọi A biến cố “lấy viên bi màu đỏ” Số cách lấy viên bi màu đỏ viên bi màu đỏ ΩA = C7 = 35 - Vậy xác suất P(A) để lấy viên bi màu đỏ : Ω 35 P ( A) = A = = Ω 220 44 0,25 0,25 (1 điểm) 0,5 (1 điểm) (1 điểm) Trong (SBD) kẻ OE//SH Khi OC,OD,OE đôi vuông góc a a 3a OC = , OD = , OE = 2 1 1 3a = + + ⇒d = Áp dụng công thức 2 2 d (O,( SCD )) OC OD OE 112 6a Mà d ( B,( SCD)) = 2d (O ,( SCD)) = 112 3a + 16 − 3a ) ⇒ B (4 − a; ) Khi diện tích tam giác ABC + Gọi A(a; 4 S ABC = AB.d (C , ∆) = AB 2 a = − 3a +Theo giả thiết ta có AB = ⇔ (4 − 2a ) + ÷ = 25 ⇔ a = Vậy hai điểm cần tìm A(0;1) B(4;4) Ta có O(0;0;0), mặt cầu (S)có tâm O tiếp xúc với mp(P) nên ta có: | −6 | = R=d(O,(P))= 2 + + (−2) Vậy pt mặt cầu (S) là: x2 +y2 +z2 = Gọi H hình chiếu vuông góc O mp(P), H tiếp điểm mặt cầu (S) mp(P) r Đường thẳng OH qua O vuông góc mp(P) nhận n = (1;1; −2) vectơ pháp tuyến mp(P) làm vectơ phương, pt đường thẳng OH có dạng: x = t * H ∈ OH ⇒ H (t ; t ; −2t ) y = t z = −2t *Ta lại có H ∈ mp ( P ) ⇒ t + t − 2( −2t ) − = ⇔ t = Vậy H ( 1;1; −2 ) (1 điểm) Ta có : P = 2 2 2 x x y y z z + + + + + y z z x x y (*) 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Nhận thấy : x2 + y2 – xy ≥ xy ∀x, y ∈ ¡ Do : x + y ≥ xy(x + y) ∀x, y > 3 Tương tự, ta có : x y2 + ≥ x + y ∀x, y > hay y x y2 z2 + ≥ y+z z y ∀y, z > z2 x + ≥z+x x z ∀x, z > 0,25 Cộng vế ba bất đẳng thức vừa nhận trên, kết hợp với (*), ta được: P ≥ 2(x + y + z) = ∀x, y, z > x + y + z = Hơn nữa, ta lại có P = x = y = z = Vì vậy, minP = ( Mọi cách giải khác cho điểm tối đa ) 0,25 0,25