TỔ HỢP XÁC SUẤT CÓ LỜI GIẢI

I. Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất 1/ Tìm nguyên hàm của các hàm số. 1. f(x) = x2 – 3x + ĐS. F(x) = 2. f(x) = ĐS. F(x) = . f(x) = ĐS. F(x) = lnx + + C 4. f(x) = ĐS. F(x) = 5. f(x) = ĐS. F(x) = 6. f(x) = ĐS. F(x) = 7. f(x) = ĐS. F(x) = 8. f(x) = ĐS. F(x) = 9. f(x) = ĐS. F(x) = x – sinx + C 10. f(x) = tan2x ĐS. F(x) = tanx – x + C 11. f(x) = cos2x ĐS. F(x) = 12. f(x) = (tanx – cotx)2 ĐS. F(x) = tanx - cotx – 4x + C 13. f(x) = ĐS. F(x) = tanx - cotx + C 14. f(x) = ĐS. F(x) = - cotx – tanx + C 15. f(x) = sin3x ĐS. F(x) = 16. f(x) = 2sin3xcos2x ĐS. F(x) =

CHUYÊN ĐỀ 1: TỔ HỢP – XÁC SUẤT • KIẾN THỨC CẦN PHẢI NHỚ: • Trước tiên ta cần nhớ công thức: Các công thức hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp cần nhớ Công thức Hoán vị: pn  n ! Ví dụ:  n 1 Có cách xếp bạn vào ghế theo hàng ngang Ta xếp thứ tự cho bạn p4  4! Đáp án: Chỉnh hợp Ak n  n!  nk! Tổ hợp 1 k  n Ckn  n!  n  k  !k ! 1 k  n từ số: 2,3,5,7 có bao tổ có 10 bạn, lấy bạn nhiêu số tự nhiên có chữ quét nhà Hỏi có số khác cách chọn Ta lấy từ số (2,3,5,7) số xếp thứ tự: A34  4!   3 !  4! Ta lấy từ 10 người người không xếp thứ tự: 10! C 410   10   !4! Tiếp theo ta phải phân biệt dùng hoán vị, dùng chỉnh hợp, dùng tổ hợp kết hợp hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp ( toán kết hợp) Câu hỏi phân loại Có xếp thứ tự hay không? Nếu xếp xếp phần tử? Hoán vị: Chỉnh hợp Tổ hợp Có Không Có tất (n phần tử) k phần tử n phân tử Với câu hỏi đầu ta nhận biết tổ hợp, với câu hỏi ta nhận biết hoán vị chỉnh hợp Các công thức nhị thức newton  a  b n  Cn0 a n  Cn1 a n 1b   Cnk a n  k b k   Cnn b n Trong ta lưu ý : số hạng thứ k+1 vế phải khai triển có công thức tổng quát là: k nk k k 1 n T C a b Các công thức xác suất: P ( A)  n  A n   Trong đó: A- biến cố n(A)- số phần tử biến cố A n    - số phần tử không gian mẫu P ( A) - xác suất biến cố A  CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Các dạng toán về: hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp: STT Các dạng toán Hoán vị Chỉnh hợp Dạng xếp số ( chữ số 0)  Có số tự  có số tự VD: Từ số: nhiên có chữ số nhiên có chữ số 1,2,3,4,5,6 khác khác 6!  P6  6!  ? ?  A6    3 ! Tổ hợp   có tập hợp gồm chữ số khác tạo thành từ số 6! C63  ?   3 !3! Dạng Sắp xếp số ( có chữ số ) VD: từ số: 0, 1,2, 3, 4, 5,6 Phương pháp: ta tính số có chữ số ( số thực chất coi không tồn ) Dạng Sắp xếp số ( có điều kiện kèm theo) VD: Từ số: 1,2,3,4,5  Có số tự nhiên có chữ số khác  Giải: + số tự nhiên có chữ số mà chữ số đầu có dạng: 0a1a2 a3 a4 a5 + có cách chọn chữ số đứng đầu + chữ số lại a1a2 a3 a4 a5 chọn chữ số 1,2,3,4,5,6 có A65 cách chọn: a1a2 a3 a4 a5 5 Vậy có: A6 = A6 số có chữ số 0a1a2 a3 a4 a5 (chữ số đầu 0) Mặt khác: từ chữ số 0,1,2,3,4,5,6 số tự nhiên có chữ số lập ( kể trường hợp chữ số đứng đầu) là: 7! A76   7!   6 ! Vậy số tự nhiên có chữ số ( số không đứng đầu ) = số tự nhiên có chữ số ( kể trường hợp số đứng đầu ) - số tự nhiên có chữ số mà số Ta có: số tự nhiên có chữ số ( số không đứng đầu ) = A7 - A6 a Có số tự nhiên chẵn có chữ số khác b Có số tự nhiên có chữ số khác có số hàng đơn vị  Giải: Gọi số tự nhiên có chữ số khác có dạng: a1a2 a3 a + Số chẵn tận phải Vậy a3 có cách chọn ( hoặc 4) + Sau chọn số làm a3 a1a2 số chọn ( trừ số chọn làm a3 ) số cách chọn a1a2 số chỉnh hợp chập 2 4: A4  4! 4!     ! 2! Vậy: số tự nhiên chẵn có chữ số khác là: A42  ? b + chữ số hàng đơn vị nên a3 có cách chọn + Vậy số: 1,2,3,4 (trừ số 5) để chọn làm a1a2 Vậy số cách chọn a1a2 số chỉnh hợp chập 4: A42 Vậy: số tự nhiên có chữ số khác mà tận là: A42  ? Dạng Bốc đồ vật VD: Hai hộp chứa cầu: + hộp thứ chứa đỏ xanh + hộp thứ hai chứa đỏ xanh Hỏi có cách lấy cầu cho: Chú ý: giải dạng phải đặt câu hỏi: + có để chọn? + chọn quả? Chú ý: với tính xác suất làm tương tự để tính số phần tử không gian mẫu biến cố Dạng xếp vị trí theo hàng VD: có 10 học sinh a b đỏ c xanh d có đỏ, xanh e có đỏ f bắt buộc phải có xanh Giải: a Nếu lấy có để chọn? ( có 3+2+4+6 để chọn) chọn 15 nên số cách chọn là: C15  ? b Nếu lấy đỏ có để chọn? ( có + đỏ hộp để chọn ) số cách chọn đỏ hộp là: C7  ? c Tương tự với qủa xanh? d đỏ, xanh: + số cách chọn đỏ hộp là: C7  ? + số cách chọn xanh hộp là: C8  ? số cách chọn có đỏ, xanh là: C72 C81  ? e ta chia thành trường hợp: + TH1: đỏ, xanh + TH2: đỏ, xanh + TH3: đỏ Sau làm tương tự phần cộng kết trường hợp lại f Làm tương tự phần e.( có màu xanh )  hỏi có cách xếp vị trí theo hàng dọc?  Giải: số cách xếp vị trí theo hàng dọc số hoán vị 10 người KL: có P10  10! cách xếp ( ý: xếp theo hàng ngang làm tương tự kết giống với hàng dọc ) Dạng xếp vị trí theo vòng tròn VD: có 10 học sinh, hỏi có cách xếp vị trí theo vòng tròn Chú ý: theo tính chất vòng tròn, nên ta lấy cố định người xếp người lại vào vị trí giống với xếp cho hàng Dạng viết khai triển nhị thức newton VD: viết dạng khai triển nhị thức:   x 12 Giải: Lấy cố định người Như người để xếp vào vị trí số cách xếp theo vòng tròn cho 10 người là: P9  9! Chú ý: VD2: làm nhanh, số cách xếp vị trí cho 12 người theo vòng tròn giải: lấy cố định vị trí, nên lại 11 người để xếp vào 11 vị trí số cách xếp là: P11  11! VD3: xếp theo vòng tròn 50 người ? Giải:   x 12  C120 212  C121 211.x   C1212 x12 Dùng máy tính (hoặc tính tay) để tính tổ hợp khai triển Phương pháp: đơn thay vào vế phải khai triển ta kết áp dụng công thức Dạng Các toán liên Phương pháp giải: quan đến khai triển Tất dựa vào công thức tổng quát số hạng thứ k+1 k nk k nhị thức newton Tk 1  Cn a b VD1: cho biết số hạng thứ 10 khai triển: 12     x  x  + Trong công thức có ẩn là: k n tuỳ đầu cho ta tìm k tìm n, từ dựa vào đầu tìm ẩn lại Giải: VD1: số hạng thứ 10 tức: 22     x  x  từ suy ra: k+1=10 vậy: k=9 dễ thấy n=12 Thay k=9, n=12 a=2/x, b=x vào công thức: Tk 1 số hạng thứ 10 khai triển có dạng:  Cnk a n k b k ta có: 12   2 T10  C    x VD2: 12 VD2: Cho biết hệ số số hạng thứ khai triển: Tk 1  T10 x  C12 23.x Số hạng thứ nên ta biết được: Tk 1 Dễ thấy n=22  T8 suy k+1=8 k=7 Thay k=7, n=22 a=2/x, b=x vào công thức: Tk 1 số hạng thứ khai triển có dạng:  Cnk a n k b k 22   2 T8  C    x 22 7 x  C22 215.x 15  C22 215.x 8 15 hệ số số hạng thứ là: C22  ? ta có: VD3: cho biết hệ số số hạng chứa x khai triển: 22     x  x  VD3: dễ thấy n=22 ta tìm k Số hạng thứ k+1 có dạng: 22 k  2 Tk 1  C22k    x x k  C22k 222k x k  22 k  C22k 222k x k 22 x nên ta có: x k  22  x  2k  22   k  12 12 22 12 2.12  22 Vậy số hạng có dạng: T12 1  C22 x  C2212 210 x Do số hạng cần tìm chứa 12 10 Vậy hệ số là: C22 Dạng Tính xác suất biến cố Phương pháp: Hoàn toàn dựa vào dạng tập đầu để tính số phần tử biến cố số phần tử không gian mẫu áp dụng công thức: P ( A)  n  A để làm n   v