Tập hợp

Tập hợp Trong toán học, tập hợp hiểu tổng quát tụ tập số hữu hạn hay vô hạn đối tượng Các đối tượng gọi phần tử tập hợp Tập hợp khái niệm tảng (fundamental) quan trọng toán học đại Ngành toán học nghiên cứu tập hợp lý thuyết tập hợp Trong lý thuyết tập hợp, người ta xem tập hợp khái niệm nguyên thủy, không định nghĩa Nó tồn theo tiên đề xây dựng cách chặt chẽ Khái niệm tập hợp tảng để xây dựng khái niệm khác số, hình, hàm số toán học Nếu a phần tử tập hợp A, ta ký hiệu a A Khi ta nói phần tử a thuộc tập hợp A Một tập hợp phần tử tập hợp khác Tập hợp mà phần tử tập hợp gọi họ tập hợp Lý thuyết tập hợp thừa nhận có tập hợp không chứa phần tử nào, gọi tập hợp rỗng, ký hiệu Các tập hợp có chứa phần tử gọi tập hợp không rỗng Ngày nay, phần lý thuyết tập hợp nhiều nước đưa vào giáo dục phổ thông, chí từ bậc tiểu học Nhà toán học Georg Cantor coi ông tổ lý thuyết tập hợp Để ghi nhớ đóng góp ông cho lý thuyết tập hợp nói riêng toán học nói chung, tên ông đặt cho núi Mặt Trăng Biểu diễn tập hợp Không phải tập hợp cần phải liệt kê rành mạch theo thứ tự Chúng mô tả tính chất đặc trưng mà nhờ chúng xác định đối tượng có thuộc tập hợp hay không • Tập hợp xác định lời: A tập hợp bốn số nguyên dương B tập hợp màu quốc kỳ Pháp • Có thể xác định tập hợp cách liệt kê phần tử chúng cặp dấu { }, chẳng hạn: C = {4, 2, 1, 3} D = {đỏ, trắng, xanh} Các tập hợp có nhiều phần tử liệt kê số phần tử Chẳng hạn tập hợp 1000 số tự nhiên liệt kê sau: {0, 1, 2, 3, , 999}, Tập số tự nhiên chẵn liệt kê: {2, 4, 6, 8, } Tập hợp F 20 số phương cho sau F = {n2 / n số nguyên ≤ n ≤ 19} • Tập hợp xác định đệ quy Chẳng hạn tập số tự nhiên lẻ L cho sau: Nếu Quan hệ tập hợp Quan hệ bao hàm • Tập hợp con: Nếu phần tử tập hợp A phần tử tập hợp B tập hợp A gọi tập hợp (en:Subset) tập hợp B, ký hiệu A B, tập hợp B bao hàm tập hợp A Quan hệ bao hàm: A B Các tập hợp số Quan hệ A B gọi quan hệ bao hàm Quan hệ bao hàm quan hệ thứ tự tập Ví dụ: : Tập hợp số tự nhiên : Tập hợp số nguyên : Tập hợp số hữu tỉ = - : Tập hợp số vô tỉ : Tập hợp số thực Ta có Một tập hợp có n phần tử có 2n tập hợp [1] Quan hệ • Hai tập hợp A B gọi A tập hợp B B tập hợp A, ký hiệu A = B Theo định nghĩa, tập hợp tập nó; tập rỗng tập tập hợp Mọi tập hợp A không rỗng có hai tập rỗng Chúng gọi tập tầm thường tập A Nếu tập B A khác với A, nghĩa có phần tử A không thuộc B B gọi tập thực hay tập chân tập A Các phép toán tập hợp Các định nghĩa • Hợp: Hợp A B tập hợp gồm tất phần tử thuộc hai tập hợp A B, ký hiệu A B Ta có A B = {x: x A x B} • Giao: Giao hai tập hợp A B tập hợp tất phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B, ký hiệu A B Ta có A B = {x: x A x B} • Hiệu: Hiệu tập hợp A với tập hợp B tập hợp tất phần tử thuộc A không thuộc B, ký hiệu A B Ta có: A \ B = {x: x A x B} Lưu ý, A \ B B\A Phần bù A B • Phần bù: hiệu tập hợp Nếu A B B \ A gọi phần bù A B, ký hiệu CAB (hay CB A) • Trong nhiều trường hợp, tất tập hợp xét tập tập hợp U (được gọi tập vũ trụ-đôi có nghĩa trường hay không gian vật lý), người ta thường xét phần bù tập A, B, C, xét tập U, ký hiệu phần bù không cần rõ U mà ký hiệu đơn giản CA,CB, , Các tính chất Các phép toán tập hợp có tính chất sau: • Luật luỹ đẳng A A=A A A=A Phát biểu: giao hợp tập hợp với cho kết Mặt khác, hợp tập với phần bù nó giao tập với phần bù lại tập rỗng • Luật nuốt (còn gọi luật hấp thụ) A (A B) = A A (A B) = A Luật nuốt viết dạng khác sau: Nếu A • B A B = B A B = A Luật giao hoán: A B=B A A B=B A • Luật kết hợp: A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C • Luật phân phối: A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) • Luật De Moocgan: =