Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 12 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
12
Dung lượng
1,02 MB
Nội dung
PHƯƠNG TRÌNH PELL PHƯƠNG TRÌNH PELL LOẠI I I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa Phương trình Pell loại I phương trình dạng x − dy = 1, d ∈ ¥ * ( I ) Định lý (Sự tồn nghiệm) Phương trình (I) có nghiệm nguyên dương d số không phương Định lý (Công thức nghiệm) Giả sử ( a, b ) nghiệm nhỏ phương trình (I), nghĩa b số nguyên dương nhỏ để + db số phương Khi tất nghiệm phương trình (I) xác định hai dãy ( xn ) , ( yn ) cho hệ thức sau: Dạng thứ (truy hồi lồng nhau) x0 = 1, x1 = a, xn+1 = axn + dbyn y0 = 0, y1 = b, yn+1 = bxn + ayn Dạng thứ hai (tuyến tính cấp hai) x0 = 1, x1 = a, xn+2 = 2axn+1 − xn y0 = 0, y1 = b, yn+ = 2ayn+1 − yn Dạng thứ ba (công thức tổng quát) ( a +b d ) +( a −b d ) = n xn n ( a +b d ) −( a −b d ) = n ; yn d n ; n = 0,1, 2, Tuỳ vào hoàn cảnh cụ thể toán mà ta sử dụng dạng công thức nghiệm cho phù hợp Tính chất nghiệm Tất nghiệm nguyên dương ( xn ; yn ) phương trình (I) thoả mãn x0 = < x1 < < xn < ; y0 = < y1 < < yn < ( ( x + d y = x + d y n 1 n xn − d yn = x1 − d y1 ) ) n n n = 1, 2,3, II MỘT SỐ THÍ DỤ MINH HOẠ Thí dụ Giải phương trình nghiệm nguyên dương x2 − y2 = Lời giải Phương trình cho có nghiệm ( x; y ) = ( 2;1) Do tất nghiệm phương trình xác định x0 = 1, x1 = 2, xn+2 = xn+1 − xn với n = 0,1, 2, y0 = 0, y1 = 1, yn+2 = yn+1 − yn Thí dụ Tìm tất số nguyên dương x > cho tam giác có độ dài cạnh x − 1, x, x + có diện tích số nguyên Lời giải Gọi S diện tích tam giác Theo công thức Hê rông ta tìm S = x ( x − ) ⇒ 16 S = x ( x − ) Ta có, S ∈ ¢ x chẵn Đặt x = y suy S = y ( y − 1) ⇒ S = y ( y − 1) ⇒ ( y − 1) = h ⇒ h = z ⇒ y − z = Ngược lại, ( y; z ) nghiệm phương trình y − z = dễ thấy x = y, y > thoả mãn điều kiện đề Nghiệm nhỏ phương trình ( 2;1) Vậy tất nghiệm y phương trình dãy ( yn ) xác định y0 = 1, y1 = 2, yn+2 = yn+1 − yn Suy nghiệm toán dãy ( xn ) với n ≥ cho x0 = 2, x1 = 4, xn+2 = xn+1 − xn Đó số 4,14,52, Thí dụ (Irish MO 1995) Xác định tất số nguyên a cho phương trình x + axy + y = có vô hạn nghiệm nguyên phân biệt ( x; y ) Lời giải Phương trình có vô hạn nghiệm u ≥ Viết lại phương trình cho dạng ( x + ay ) − ( a − ) y = ● Nếu a < , nghiệm thực phương trình lập thành Elipse có hữu hạn nghiệm nguyên ● Nếu a = ±2 phương trình có vô số nghiệm nguyên VT = ( x ± y ) ● Nếu a > a − không số phương vid phương trình Pell u − ( a − ) v = có vô hạn nghiệm Nhưng theo phép đặt x = u − av, y = 2v suy phương trình cho có vô hạn nghiệm nguyên III BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giải phương trình sau a) x − y = b) x − y = c) x − 31y = d) x − 41y = Tìm nghiệm nguyên dương phương trình 2 a) x − xy + y = b) x − xy + y = c) ( x − 1) + ( x + 1) = y + (VNTST 1974) Tìm tất nghiệm nguyên dương phương trình x − y = thoả mãn điều kiện 80 < x < 120 Tìm số nguyên dương thoả mãn phương trình x ( x + 1) y ( y + 1) b) ÷ = a) ( x + 1) − x = y 3 2 2 Tìm nghiệm phương trình Diophantine x − ( m + 1) y = , với m ∈ ¥ * Tìm tất số nguyên dương T cho số tam giác T ( T + 1) số phương m ( m + 1) Tìm số nguyên dương m cho số số phương (USA MO 1986) Tìm tất cảc số nguyên dương n cho trung bình cộng n số phương lại số phương (Putnam Mathematical Competition) Chứng minh tồn vo hạn ba số nguyên dương liên tiếp mà số tổng hai bình phương 10.(T10/409 THTT) Cho p = ( n + 1) − n − ( n ∈ ¥ ) Chứng minh có vô hạn số tự nhiên n để p số phương 11.(American Mathematical Monthly (# 6628, 98 (1991)) 1 Tìm số nguyên dương m để tam giác với ba cạnh ( m3 + m ) − 1; ( m3 − m ) + 1; m m3 − 1 ( m − 1) ; m3 − ( m + 1) ; m có diện tích số phương 2 12.(T3/337 THTT) Xét tam giác có số đo độ dài ba cạnh ba số tự nhiên liên tiếp lớn số đo diện tích tam giác số tự nhiên Chứng minh tồn đường cao tam giác cho chia tam giác thành hai tam giác nhỏ mà số đo độ dài cạnh hai tam giác nhỏ số tự nhiên 13.Cho dãy số ( tn ) xác định truy hồi sau t0 = 0, t1 = 6, tn+ = 14tn+1 − tn Chứng minh với số n ≥ , tn diện tích tam giác có độ dài ba cạnh số nguyên b b+1 14.Xác định số nguyên dương a, b thoả mãn Ca = Ca −1 15.Tìm tất số nguyên dương n cho 2n + 3n + số phương 16.Tìm số nguyên dương n bé cho 2005n + 2006n + số phương 17.(VNTST 2013) a) Chứng minh tốn vô số số nguyên dương t cho 2012t + 2013t + số phương b) Xét m, n số nguyên dương cho mn + ( m + 1) n + số phương Chứng minh n chia hết cho ( 2m + 1) 18.Chứng minh n số nguyên dương cho 3n + 4n + bình phương n chia hết cho 56 19.Tìm bốn giá trị nhỏ số nguyên dương n cho tổng n phần tử dãy số học 1,5,9,13, số phương 20.Cho số nguyên dương d không số phương số nguyên dương k tuỳ ý Chứng minh tồn vô số cặp số nguyên dương ( x, y ) thoả mãn x − dy = y Mk 21.Chứng minh phương trình x + y + z + xyz = có vô số nghiệm nguyên 22.(Bulgarian MO 1999) Chứng minh phương trình x3 + y + z + t = 1999 có vô số nghiệm nguyên 23.(T6/287 THTT) Chứng minh phương trình sau có vô số nghiệm nguyên x + y + z + t = S − Trong S tổng n số nguyên dương đầu tiên, n số nguyên dương cho trước 24.Chứng minh phương trình x + y = z có vô số nghiệm nguyên 25.(Romanian TST 2000) Chứng minh tồn vô hạn ( x, y, z , t ) ước chung lớn thoả mãn x3 + y + z = t 26.Chứng minh có vô hạn ba số nguyên dương ( a, b, c ) có ước số chung lớn a 2b + b 2c + c 2a số phương 27.Chứng minh tồn vô hạn ( a, b, c ) số nguyên cho a + b3 = c ( a, c ) = 28.(Korea Final Round 2012) Chứng minh với số nguyên dương n , phương trình nx + y = z có vô hạn nghiệm nguyên dương ( x, y, z ) cho ( x, y ) = ( y , z ) = ( z , x ) = 29.(Canada MO 1998) Cho hai dãy số ( xn ) ( yn ) xác định sau: x0 = 0, x1 = 1, xn+1 = xn − xn−1 với n = 1, 2, y0 = 1, y1 = 2, yn+1 = yn − yn−1 Chứng minh với số nguyên dương n , ta có yn2 = 3xn2 + 30 (Nghệ An TST 2007, Cần Thơ MO 2012) Cho dãy số ( un ) xác đinh u1 = 1, u2 = 2, un = 4un−1 − un−1, n = 3, 4, Chứng minh với n ≥ ta có un2 − số phương 31.(THTT 11/2009) Cho dãy số ( un ) : u0 = 9, u1 = 161, un = 18un−1 − un−2 Chứng minh ( un − 1) số phương 32.(Phú Thọ MO 2005) Cho dãy số ( un ) : u0 = 3, u1 = 17, un+2 = 6un+1 − un , n = 0,1, 2, Chứng un2 − minh số phương với n = 0,1, 2, 33.Cho dãy số ( xn ) : x0 = 1, x1 = 3, xn+2 = xn+1 − xn , n = 0,1, Chứng minh với n ≥ xn không số phương 34.Cho dãy số ( an ) : a0 = 0, a1 = 4, an+1 = 18an − an−1, n = 1, 2, Chứng minh 5an2 + số phương với n = 0,1, 2, 35.(VNTST 2012) Cho dãy số nguyên dương ( xn ) xác định sau: x1 = 1, x2 = 2011, xn+2 = 4022 xn+1 − xn , n = 1, 2, Chứng minh x2012 + số 2012 phương 36.Cho số nguyên dương n thoả mãn + 28n + số nguyên dương Chứng minh + 28n + số phương 37.(British MO 2006) Cho số nguyên dương n Chứng minh + + 12n số nguyên số phương 38.Chứng minh có vô hạn số nguyên dương n cho 2n + số phương 39.Xét dãy ( un ) , ( ) u1 = 3, v1 = xn = un + xác định un+1 = 3un + 4vn Đặt Chứng minh yn = un + 2vn v = 2u + 3v n n n+1 yn = xn , ∀n ≥ a n 40.Cho dãy ( an ) : a1 = 1, an+1 = + a Chứng minh n an2 − ∈¢ 41.Tìm tất cặp số nguyên không âm ( m, n ) thoả mãn 9m = 2n2 + 42.Tìm tất số nguyên dương a, b thoả mãn 3a = 2b + 43.Chứng minh tồn vô hạn số phương có dạng + x + y với x, y ∈ ¥ * 44.Chứng minh ba số nguyên dương m, n, p thoả mãn m + n + p − mnp = số số phương 45.Chứng minh số nguyên n để n − luỹ thừa với số mũ lớn 46.Tìm nghiệm nguyên dương phương trình ( x − y ) = x3 − y 47.Cho hai đa thức P ( x ) , Q ( x ) với hệ số nguyên có hệ số cao dấu, deg P = n,deg Q = m thoả mãn P ( x ) = ( x − 1) Q ( x ) + Chứng minh P′ ( x ) = nQ ( x ) 2 x + y = z + u Tìm giá trị lớn xy = zu 48.(42nd IMO Shortlisted) Xét hệ phương trình x số thực m cho m ≤ y với nghiệm nguyên dương tuỳ ý ( x; y; z; u ) hệ x ≥ y 49 Chứng minh phương trình x − Dy = nghiệm nguyên dương D ≠ 0,3,8,15 ( mod16 ) phân tích D = pq , với p > số lẻ, ( p, q ) = p ≡ ±1( mod16 ) , p ≡ q ± 1( mod16 ) p ≡ 4q ± 1( mod16 ) PHƯƠNG TRÌNH PELL LOẠI II I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa Phương trình Pell loại II phương trình có dạng x − dy = −1, d ∈ ¥ * ( II ) Định lý Nếu d số nguyên tố phương trình Pell (II) có nghiệm d ≠ 4k + Định lý (Điều kiện để phương trình có nghiệm) Gọi ( a; b ) nghiệm nhỏ phương trình liên kết Pell (I) x − dy = (II) Khi phương trình (II) có nghiệm hệ sau có nghiệm nguyên dương a = x + dy b = xy a = x + dy Định lý (Công thức nghiệm) Giả sử hệ có nghiệm ( u; v ) b = xy Khi tất nghiệm (II) xác định dãy số nguyên dương ( xn ) , ( yn ) cho dạng sau: Dạng thứ x0 = u , x1 = u + 3duv , xn+2 = 2axn+1 − xn y0 = v, y1 = dv + 3u v, yn+ = 2ayn+1 − yn Dạng thứ hai ( ) n +1 ( ) n +1 u+v d x = n u+v d yn = ( ) n +1 ( ) n +1 + u −v d − u−v d d Tính chất nghiệm Các nghiệm phương trình (II) thoả mãn ( ( x + y d = u + v d n n xn − yn d = u − v d ) ) n +1 n +1 n = 1, 2,3, II MỘT SỐ THÍ DỤ MINH HOẠ Thí dụ Tìm nghiệm nguyên dương phương trình x − y = −1 Lời giải Phương trình liên kết x − y = có nghiệm nhỏ ( 3;2 ) Suy nghiệm nhỏ phương trình cho thoả mãn hệ 2 x0 = 3 = x0 + y0 ⇔ y0 = = x0 y0 Vậy nghiệm phương trình cho ( ) ( ) ( ) ( ) n +1 n +1 1+ + 1− x = n n +1 n +1 1+ − 1− yn = 2 * Thí dụ Tìm k , m ∈ ¥ thoả mãn k < m + + + k = ( k + 1) + ( k + ) + + m Lời giải Giả sử k , m ∈ ¥ * thoả mãn k < m + + + k = ( k + 1) + ( k + ) + + m ( *) ( *) ⇔ ( + + + k ) = + + + k + ( k + 1) + ( k + ) + + m m ( m + 1) ⇔ k ( k + 1) = ⇔ 2k + 2k = m + m ⇔ 8k + 8k = 4m + 4m ⇔ ( 2k + 1) − = ( 2m + 1) (1) 2 Đặt x = 2m + 1, y = 2k + , biến đổi ( 1) phương trình Pell loại II sau x − y = −1 (2) Theo thí dụ phương trình có nghiệm x0 = 1, x1 = 7, xn+2 = xn+1 − xn y0 = 1, y1 = 5, yn+ = yn+1 − yn Dễ thấy xk ≡ 1( mod ) , yk ≡ 1( mod ) , k = 0,1, 2, Do ta có hai dãy m k với xi − y −1 ; ki = i xác định 2 m0 = 0, m1 = 3, mi+ = 6mi +1 − mi + k0 = 0, k1 = 2, ki+2 = 6ki +1 − ki + Thí dụ Cho số nguyên k lớn Chứng minh phương trình x − ( k − ) y = −1 mi = có nghiệm nguyên dương k = Lời giải Trước hết ta xét toán sau: Chứng minh tồn ( x; y; z ) số nguyên dương cho x + y + = xyz z = Thật vậy, giả sử ( x; y; z ) nghiệm với z ≠ Với x = y x ( z − ) = , điều không thể, z − ≠ Vậy x ≠ y Ta có 2 = x + y + − xyz = ( x − yz ) + y + + xyz − y z = ( yz − x ) + y + − ( yz − x ) yz Vì 2 ( yz − x, y, z ) nghiệm, x ( yz − x ) = xyz − x = y + > suy yz − x > Chú 2 ý x > y x > y + = x ( yz − x ) Vì x > yz − x , điều nghiệm thiết lập nhỏ nghiệm ban đầu theo nghĩa x + y > ( yz − x ) + y Tuy nhiên với giả thiết x ≠ y , điều suy xây dựng vô hạn nghiệm nguyên dương giảm phương trình cho, vô lý Mâu thuẫn phương trình nghiệm z ≠ 2 Trở lại toán: Ta u − ( k − ) v = −4 ( 1) không giải k ≠ Giả sử ngược lại ( u, v ) nghiệm Khi u kv có tính chẵn lẻ Xét u + kv ⇒ u = x − kv ( 1) trở thành x + v + = xvk Do k ≠ nên theo toán phương trình vô nghiệm Giả sử với k ≠ , ( 1) có nghiệm ( x, y ) Nhân hai vế x= phương trình đa cho với ta có ( x ) − ( k − ) ( y ) = −4 Mậu thuẫn với kết 2 ( 1) 2 Khi k = , phương trình trở thành x − y = −1 ( ) Phương trình ( ) có nghiệm nhỏ ( 2;1) Suy nghiệm ( ) ( )( ) + (1− ) ( − ) ( ) 1 xn = + + yn = + + ÷ 5 2n 2n +2− ÷ 2− 5 2n ( 2n ) III BÀI TẬP TỰ LUYỆN Tìm nghiệm nguyên dương phương trình x − y = −1 Chứng minh phương trình x − 34 y = −1 vô nghiệm Tìm số nguyên dương n cho n + ( n + 1) số phương Xác định m, n ∈ ¥ * cho m + ( m + 1) + + n = mn Chứng minh tồn vô hạn số nguyên dương n cho n! chia hết cho n + 2 Đặt an = n + ( n + 1) , n ≥ Chứng minh có vô hạn số n cho an − an−1 > an+1 − an = Chứng minh số a, b ∈ ¥ * thoả mãn a2 + + số phương b2 giá trị Tìm n ∈ ¥ cho Cnk −1 = 2Cnk + Cnk +1 với số tự nhiên k < n x+2 y+2 + = có vô số nghiệm nguyên dương y x 10.Tìm tất cặp số nguyên ( m, n ) cho mn + m mn + n số Chứng minh phương trình phương 2 11.Tìm tất đa thức P( x) ∈ ¢ [ x ] thoả mãn Q( x) = ( x + x + 10 ) P ( x) − bình phương đa thức với hệ số nguyên 12.(USA MO 1997) Tồn hay không hàng tam giác Pascal chứa bốn phần tử phân biệt a, b, c, d cho b = 2a d = 2c PHƯƠNG TRÌNH PELL TỔNG QUÁT I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa Phương trình Pell tổng quát phương trình có dạng Ax − By = n; A, B ∈ ¥ * , n ∈ ¢ ( III ) Định lý Cho phương trình Ax − By = (*) với AB không phương A > Gọi ( a; b ) nghiệm nhỏ phương trình Pell liên kết x − ABy = a = Ax + By Xét hệ phương trình b = xy a) Nếu hệ có nghiệm nghiệm nhất, gọi ( x0 ; y0 ) nghiệm Nếu Ax02 − By02 ≠ −1 phương trình (*) có nghiệm ( x0 ; y0 ) nghiệm nhỏ b) Đảo lại, phương trình (*) có nghiệm ( x0 ; y0 ) nghiệm nhỏ ( x0 , y0 ) nghiệm hệ c) Giả sử phương trình (*) có nghiệm ( x0 ; y0 ) nghiệm nhỏ Xét dãy số nguyên dương ( xn ) , ( yn ) xác định Khi ( xn ; yn ) x0 , x1 = Ax03 + 3Bx0 y02 ; xn+2 = 2axn+1 − xn y0 , y1 = By0 + Ay0 x0 ; yn+ = 2ayn+1 − yn tất nghiệm (*) Cũng từ ta suy x = n yn = ( ( Ax0 + B y0 ) n +1 Ax0 + B y0 ) n +1 + ( Ax0 − B y0 ) n +1 Ax0 − B y0 ) n +1 A − ( B Định lý Phương trình (III) vô nghiệm vô số nghiệm Nếu ( xk ; yk ) xk +1 = axk + Bbyk nghiệm (III) , yk +1 = Abxk + ayk nghiệm ( xk +1; yk +1 ) xác định ( a; b ) nghiệm phương trình liên kết x − ABy = Định lý Giả sử phương trình (III) có nghiệm Nếu ( x0 ; y0 ) nghiệm nhỏ na y ≤ max nAb ; − , ( a; b ) nghiệm nhỏ phương B trình Pell liên kết x − ABy = Định lý (Công thức nghiệm) Giả sử phương trình (III) có nghiệm Gọi ( α1; β1 ) , ( α ; β ) , , ( α m ; β m ) tất nghiệm (III) thoả mãn bất đẳng thức na β ≤ max nAb ; − , i = 1, 2,3, , m B Xét m dãy sau đây: Dãy thứ i ( i = 1, 2,3, , m ) ( xn,i ; yn,i ) xác định i x0,i = α i ; y0,i = βi xn+1,i = xn,i a + Byn,ib y = x Ab + y a n ,i n ,i n+1,i Khi dãy ( xn,i ) ; ( yn,i ) vét hết nghiệm phương trình (III) Nhận xét: Mỗi dãy nghiệm ( xn,i ; yn,i ) xác định x0,i = α i ; x1,i = aα i + Bbβi ; xn+ 2,i = 2axn+1,i − xn ,i y0,i = βi ; y1,i = Abα i + aβ i ; yn+2,i = 2ayn+1,i − yn,i II MỘT SỐ THÍ DỤ MINH HOẠ Thí dụ Giải phương trình 3x − y = Lời giải Phương trình Pell liên kết x − y = có nghiệm nhỏ ( a; b ) = ( 5;2 ) Phương trình 3x − y = có nghiệm nhỏ ( x0 ; y0 ) = ( 1;1) Do tập nghiệm ( xn ; yn ) cho công thức x0 = 1; x1 = Ax03 + 3Bx0 y02 = 9; xn+ = 10 xn+1 − xn y0 = 1; y1 = By0 + Ay0 = 11; yn+2 = 10 yn+1 − yn Thí dụ Giải phương trình x − y = Lời giải Phương trình Pell liên kết x − y = có nghiệm nhỏ ( a; b ) = ( 3;2 ) Ta có βi2 ≤ 7.22 = 28 , βi ∈ { 1, 2,3, 4,5} Kiểm tra ta thấy có hai nghiệm thoả mãn ( 3;1) ( 5;3) Do tất nghiệm phương trình cho mô tả hai dãy ( xn,1; yn ,1 ) ( xn ,2 ; yn,2 ) xác định công thức sau: x0,1 = 3; y0,1 = x0,2 = 5; y0,2 = xn+1,1 = xn ,1 + yn ,1 xn+1,2 = xn ,2 + yn,2 y y n+1,1 = xn ,1 + yn ,1 n+1,2 = xn ,2 + yn ,2 mô tả hai dãy dãy truy hồi tuyến tính cấp sau x0 = 3; x1 = 13; xn+2 = xn+1 − xn y0 = 1; y1 = 9; yn+2 = yn+1 − yn x0 = 5; x1 = 27; xn+2 = xn+1 − xn y0 = 3; y1 = 19; yn+ = yn+1 − yn III BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giải phương trình x − y = Giải phương trình x − y = 2 Giải phương trình ( x − 1) + x + ( x + 1) = y + ( y + 1) Giải phương trình x + x + = y Tìm nghiệm nguyên dương phương trình x + y + = 3xy Chứng minh tồn vô hạn ba số nguyên dương liên tiếp cho số tổng hai số phương (American Mathematical Monthly) (a) Tìm tất số nguyên dương n cho n + 3n + số phương (b) Chứng minh n1 < n2 < < nk < số nguyên dương thoả mãn tính chất nk nk +1 + số phương, k = 1, 2, 10 (T6/382 THTT) Tìm giá trị lớn x + y x, y hai số nguyên thuộc đoạn [ −2009;2009] thoả mãn điều kiện ( x − xy − y ) = (VMO 1999) Cho hai dãy số ( xn ) n≥0 ( yn ) n≥0 xác định sau x0 = 1, x1 = 4, xn+1 = xn − xn−1 , n = 1, 2, y0 = 1, y1 = 2, yn+1 = yn − yn−1 , n = 1, 2, (a) Chứng minh xn2 − yn2 + = 0, n = 1, 2, (b) Chứng minh ( a, b ) hai số nguyên dương thoả mãn phương trình a − 5b + = tồn số tự nhiên k cho a = xk , b = yk 10.Chứng minh tồn vô hạn a ∈ ¥ * thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau: (i) Tồn x, y ∈ ¢ , ( x, y ) = cho a = x3 + y 2 (ii) Tồn b ∈ ¢ cho a ( a + 3) | b + 2 11.Chứng minh phương trình x + y = ( x + 1) ( y − 1) có vô hạn nghiệm nguyên dương 12.Chứng minh phương trình ( x + y + 1) = 16 xy có vô hạn nghiệm nguyên dương x + 3y + + = 10 có vô số nghiệm nguyên dương y x 14.Cho a, b số nguyên không đồng thời Chứng minh phương x+a y +b trình sau có vô hạn nghiệm nguyên dương y + x = 15.Cho a, b số nguyên thoả mãn a + b > Chứng minh phương trình sau x+a y +b có vô hạn nghiệm nguyên dương y + x = a + b + 16.(41st IMO Shortlisted) Chứng minh tồn vô hạn số nguyên dương n cho P = n.r với P, r tương ứng nửa chu vi bán kính đường tròn nội tiếp 13.Chứng minh phương trình tam giác với cạnh độ dài nguyên 17.(T2/137 THTT) Cho n số tự nhiên Chứng minh phương trình x + xy − y = n có nghiệm nguyên có vô số nghiệm nguyên 2 18.(PTNK 2003) Tìm k ∈ ¥ * để phương trình x − ( k − ) y = −24 có nghiệm nguyên 19.Cho d ∈ ¥ * Chứng minh có vô số n ∈ ¥ cho n! chia hết cho dn + 20 (40th IMO Shortlisted) Chứng minh tồn hai dãy tăng chặt số nguyên dương ( an ) , ( bn ) cho an ( an + 1) chia hết bn2 + với n ≥ 21 Cho x, y số nguyên dương cho x ( y + 1) y ( x + 1) số phương Chứng minh x y số phương 22.(VMO 2012) Xét số tự nhiên lẻ a, b mà a ước số b + b ước số a + Chứng minh a b số hạng dãy số tự nhiên ( ) xác định v1 = v2 = = 4vn−1 − vn−2 với n ≥ 23.(Timisoara’s Mathematics Gazette, 1979) Chứng minh tất số hạng dãy số xác định a1 = 1, an+1 = 2an + 3an2 − số nguyên 11 24.Chứng minh với cặp số nguyên dương m n , tồn số nguyên dương p thoả mãn ( m + m −1 ) n = p + p −1 TÀI LIỆU THAM KHẢO Một số vấn đề Số học chọn lọc – Nguyễn Văn Mậu Bài giảng số học – Đặng Hùng Thắng Số học – Hà Huy Khoái Các giảng số học – Nguyễn Vũ Lương Một số phương pháp xây dựng nghiệm cho phương trình Diophantine – Hoàng Ngọc Minh Tạp chí Toán học tuổi trẻ; AMM; Crux; Excalibur; Kvan;Mathematical Reflection An Introduction to Diophantine Equations – Titu Andreescu Pell’s Equation – Dusan Djukic Diễn đàn Mathscope Org; Mathlink.ro 10.IMO Shortlist 1959 – 2013 12 [...]... trình một tam giác với cạnh độ dài nguyên 17.(T2/137 THTT) Cho n là số tự nhiên Chứng minh rằng nếu phương trình x 2 + xy − y 2 = n có ít nhất một nghiệm nguyên thì nó có vô số nghiệm nguyên 2 2 2 18.(PTNK 2003) Tìm k ∈ ¥ * để phương trình x − ( k − 4 ) y = −24 có nghiệm nguyên 19.Cho d ∈ ¥ * Chứng minh rằng có vô số n ∈ ¥ sao cho n! chia hết cho dn 2 + 1 20 (40th IMO Shortlisted) Chứng minh rằng