Bài giảng tỷ số kép, phép chiếu xuyên tâm, hàng điều hòa, chùm điều hòa

Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Tỷ số kép, phép chiếu xuyên tâm, hàng điều hòa, chùm điều hòa Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Mục lục Tóm tắt lý thuyết 1.1 Hàng điểm, tỷ số đơn, tỷ số kép 1.1.1 Các định nghĩa 1.1.2 Các tính chất tỷ số đơn tỷ số kép 1.2 Chùm đường thẳng, tỷ số kép chùm 1.2.1 Các định lý định nghĩa 1.2.2 Các tính chất 1.3 Phép chiếu xuyên tâm 1.3.1 Quy ước định nghĩa 1.3.2 Các tính chất 1.4 Hàng điểm điều hòa, chùm đường thẳng điều hòa 1.4.1 Các định nghĩa 1.4.2 Ba hàng điểm điều hòa chùm điều hòa đặc biệt 1.4.3 Các định lý ứng dụng 1.5 Các định lý hình học xạ ảnh Luyện tập 1.1 1.1.1 1 2 7 10 11 11 13 14 15 16 Tóm tắt lý thuyết Hàng điểm, tỷ số đơn, tỷ số kép Các định nghĩa Định nghĩa Tập hợp điểm phân biệt có thứ tự thuộc đường thẳng gọi hàng điểm, đường thẳng chứa điểm gọi giá hàng điểm A N B M Hình Định nghĩa Hàng điểm gồm ba điểm thẳng hàng A, B có tỷ số đơn ký hiệu định MA nghĩa sau (AB, M) = = k, ta cịn nói C chia đoạn AB theo tỷ số k MB M A B Hình Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Định nghĩa Hàng điểm gồm bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng có tỷ số kép ký hiệu (AB, C) CA DA : = k, đơi cịn gọi C, D chia liên hợp A, B định nghĩa sau (AB, CD) = = (AB, D) CB DB tỷ số k, khơng có nhầm lẫn ta gọi hàng bốn điểm hàng điểm A C B D Hình 1.1.2 Các tính chất tỷ số đơn tỷ số kép Ta xét hàng điểm A, B, C, D ta ln có tính chất sau • (AB, M) 6= 1, (AB, M) = −1 ⇔ M trung điểm AB • (AB, CD) = (BA, DC) = (CD, AB) = (DC, BA) (phép chia liên hợp phụ thuộc hai điểm thứ tự chúng) 1 1 = = = (thay đổi thứ tự hai điểm chia (BA, CD) (AB, DC) DC, AB (CD, BA) bị chia làm nghịch đảo tỷ số kép) • (AB, CD) = • (AB, CX) = k với A, B, C, k xác định X tồn nhất, tương tự với vị trí cịn lại tỷ số kép • (ABCD) 6= 1.2 1.2.1 Chùm đường thẳng, tỷ số kép chùm Các định lý định nghĩa Định nghĩa Tập hợp đường thẳng phân biệt, có thứ tự qua điểm gọi chùm đường thẳng, điểm đường thẳng qua gọi tâm chùm, khơng có nhầm lẫn ta gọi chùm bốn đường thẳng chùm (hoặc chùm đường thẳng) O d a b c Hình Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Ta thường có hai cách để định nghĩa tỷ số kép chùm đường thẳng, cách định nghĩa sau giúp hiểu rõ chất tỷ số kép, ta định lý nói lên liên hệ tỷ số đơn, tỷ số kép chùm đường thẳng Định lý Cho chùm đường thẳng a, b, c, d đường thẳng ∆ cắt a, b, c, d A, B, C, D đường thẳng ∆0 k d, ∆0 cắt a, b, c A0 , B , C (AB, CD) = (A0 B , C 0) O A' B' C' ă' ă D C B A Hình Định lý Cho chùm đường thẳng a, b, c, d đường thẳng ∆ cắt a, b, c, d A, B, C, D đường thẳng ∆0 cắt a, b, c, d A0 , B , C , D (AB, CD) = (A0 B , C D ) Trần Quang Hùng - THPT chuyờn KHTN O ă' D' C' B' ă A' D C B A Hình Định lý thứ hai cho ta thấy đường thẳng cắt chùm đường thẳng tỷ số kép hàng giao điểm khơng đổi, ta dùng để định nghĩa tỷ số kép chùm đường thẳng Định nghĩa Cho chùm đường thẳng a, b, c, d đường thẳng ∆ cắt a, b, c, d A, B, C, D tỷ số kép chùm đường thẳng định nghĩa ký hiệu (ab, cd) = (AB, CD) Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN O ă D C B A Hỡnh 1.2.2 Cỏc tính chất Tỷ số kép chùm định nghĩa từ tỷ số kép hàng điểm nên giữ nguyên tính chất tỷ số kép hàng điểm, sau ta đưa thêm định nghĩa khác chùm tính chất khác, ta lưu ý thêm khơng có khái niệm tỷ số đơn chùm ba đường thẳng Định nghĩa Trên mặt phẳng cho bốn điểm phân biệt A, B, C, D điểm O không thẳng hàng với hai số bốn điểm OA, OB, OC, OD chùm đường thẳng tỷ số kép chùm đường thẳng ta ký hiệu O(AB, CD) A B O D C Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Hình Định nghĩa cho ta cách nhìn chùm đường thẳng thơng qua điểm nó, định lý sau cho cách tính khác tỷ số kép chùm đường thẳng Định lý Trên mặt phẳng cho bốn điểm phân biệt A, B, C, D điểm O không thẳng hàng −−→ −→ −→ −→ sin(OC, OA) sin(OD, OA) với hai số bốn điểm O(ABCD) = −→ −−→ : −−→ −−→ sin(OC, OB) sin(OD, OB) A B O C D Hình → − → − − − Ta ý (→ a , b ) góc có hướng hai vector → a , b modulo 2π Hệ Cho A, B, C, D nằm đường trịn (O) với P (O) P (AB, CD) ln khơng đổi, ta quy ước P trùng vào số bốn điểm A, B, C, D chẳng hạn P ≡ A ta thay đường thẳng P A chùm tiếp tuyến qua A (quy ước mở rộng định nghĩa chùm đường thẳng phù hợp với lý thuyết) P O O A D D A B B C C Hình 10 Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Hệ giúp ta định nghĩa tỷ số kép bốn điểm nằm đường tròn sau Định nghĩa Cho bốn điểm phân biệt A, B, C, D nằm đường tròn (O) tỷ số kép A, B, C, D ký hiệu định nghĩa (AB, CD) = P (AB, CD) với P điểm (O) Như từ trở ký hiệu tỷ số kép (AB, CD) áp dụng cho hàng điểm bốn điểm đồng viên, ta thấy định nghĩa phù hợp với lý thuyết, mặt phẳng bổ sung điểm vơ đường thẳng xem đường trịn tâm vô −→ −→ −−→ −→ cot(OC, OA) cot(OD, OA) Hệ Nếu chùm OA, OB, OC, OD có OA ⊥ OD O(AB, CD) = −→ −−→ = −−→ −−→ cot(OC, OB) cot(OD, OB) Hệ Cho hai chùm gồm đường thẳng a, b, c, d a0 , b0 , c0 , d0 a, b, c tương ứng vng góc với a0 , b0 , c0 d ⊥ d0 (ab, cd) = (a0 b0 , c0 d0 ) O a' O' b' d c c' b d' a Hình 11 1.3 1.3.1 Phép chiếu xuyên tâm Quy ước định nghĩa Để thấy mối liên hệ chùm hàng điểm, ta nghiên cứu ánh xạ hàng điểm gọi phép chiếu xuyên tâm, nhiên trước định nghĩa phép chiếu xuyên tâm ta cần thêm vài quy ước điểm vô mặt phẳng để định nghĩa tốt Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Ta quy ước sau, tất đường thẳng song song với chúng cắt điểm gọi điểm vô cùng, ký hiệu ∞, có vơ số cặp đường thẳng song song với nên có vơ số điểm vơ cùng, chúng nằm đường thẳng gọi đường thẳng vô cùng, ký hiệu d∞ Cách quy ước dẫn đến nhiều tính chất khác xong ta khơng sâu phân tích mà sử dụng để định nghĩa phép chiếu xuyên tâm sau Định nghĩa Cho hai đường thẳng phân biệt ∆ ∆0 điểm S không nằm ∆ ∆0 , phép tương tứng f P ∈ ∆ với P ∈ ∆0 cho S, P, P thẳng hàng ánh xạ gọi phép chiếu xuyên tõm S t lờn S P ă ¨' P' Hình 12 Rõ nhờ quy ước điểm xa vơ f xác định tồn ∆ (điểm P ∈ ∆ mà SP k ∆0 biến thành điểm ∞ ∆0 ) nhờ quy ước điểm xa vơ ta gộp hai định lý quan trọng định lý định lý lại sau Định lý Phép chiếu xuyên tâm biến A, B, C, D thành A0 , B , C , D (AB, CD) = (A0 B , C 0D ) ta có (AB, CD) = (A0 B , C 0∞) = (A0 B , C ) giá hàng A0 , B , C song song DD Trần Quang Hùng - THPT chuyờn KHTN O A' B' C' ă' ¨ D C B A Hình 13 O ¨' D' C' B' ă A' D C B A Hỡnh 14 Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN 10 Nói cách khác phép chiếu xuyên tâm bào toàn tỷ số kép Định lý định lý quan trọng toàn viết này, quan trọng mặt lý thuyết lẫn thực hành 1.3.2 Các tính chất Các tính chất sau cho ứng dụng lớn khái niệm định nghĩa vừa nêu vào tốn hình học sơ cấp, đến có ý ta bắt đầu thấy tượng "đối ngẫu", tức định lý phát biểu "điểm" "đường" phát biểu lại "đường" "điểm" Ta gặp lại nhiều "bài toán" đối ngẫu phần tập Định lý Cho cho hai hàng điểm gồm điểm O, A, B, C O, A0, B , C AA0 , BB , CC đồng quy (OA, BC) = (OA0 , B C ) A B O C C' B' A' Hình 15 Định lý Cho cho hai chùm gồm đường thẳng m, a, b, c m, a0 , b0 , c0 giả sử a, b, c giao a0 , b0 , c0 A, B, C A, B, C thẳng hàng (ma, bc) = (ma0 , b0 c0 ) Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN 11 a a' m b b' c c' Hình 16 Như ta hồn thành lý thuyết tỷ số kép hàng điểm chùm đường thẳng sau ta xét hàng điểm chùm đường thẳng có tỷ số kép đặc biệt, chúng cho ta thêm nhiều ứng dụng hay vào hình học sơ cấp 1.4 1.4.1 Hàng điểm điều hòa, chùm đường thẳng điều hòa Các định nghĩa Định nghĩa Ta gọi hàng điểm A, B, C, D hàng điểm điều hòa (AB, CD) = −1, tương tự ta gọi chùm đường thẳng a, b, c, d chùm đường thẳng điều hòa (ab, cd) = −1 hay gọi tắt chùm điều hịa Nhờ tính chất tỷ số kép ta thấy tỷ số kép đặc biệt −1 nên việc C, D chia A, B A, B chia C, D tức (AB, CD) = (CD, AB) = (BA, DC) = (DC, BA) = (BA, CD) = (CD, BA) = (AB, DC) = (DC, BA) = −1 nên ta cịn nói A, B liên hợp điều hịa với C, D Ta có tính chất tương tự cho chùm điều hịa Nhờ liên hệ tỷ số đơn tỷ số kép ta có định lý sau chùm điều hòa Định lý Một chùm điều hòa đường thẳng song song với đường thẳng chùm bị ba đường thẳng thẳng lại chắn hai đoạn thẳng Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN 12 O A M B Hình 17 Định lý cịn phát biểu dạng chùm cho điểm sau Định lý Cho chùm O(ABCD) = −1 với A, B, C thẳng hàng, B trung điểm AC AC k OD O A D C B Hình 18 Do tính đặc biệt tỷ số kép −1 ta có loạt tính chất sau tương đương với định nghĩa hàng điểm điều hòa Định lý Cho hàng điểm A, B, C, D I trung điểm AB, J trung điểm CD ta có khẳng định sau tương đương 1) (AB, CD) = −1 1 = + (Hệ thức Descartes) 2) AB AC AD 3) IA2 = IB = IC.ID (Hệ thức Newton) 4) AB.AJ = AC.AD (Hệ thức Maclaurin) Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN 1.4.2 13 Ba hàng điểm điều hòa chùm điều hòa đặc biệt Ta đưa ba ví dụ hàng điểm điều hòa chùm điều hòa Định lý 10 Cho tam giác ABC AD, AE hai phân giác ngồi tam giác (BCDE) = −1 kéo theo A(BCDE) = −1 A E D B C Hình 19 Định lý 11 Cho tam giác ABC điểm P bất kỳ, gọi D, E, F giao điểm đường thẳng P A, P B, P C với BC, CA, AB Gọi EF giao BC G (BC, DG) = −1 A E F P G B D C Hình 20 Định lý 12 Cho P điểm nằm đường tròn (O) P A, P B hai tiếp tuyến kẻ từ P với A, B thuộc (O) Một đường thẳng qua P cắt (O) C, D AB giao CD Q (P Q, CD) = −1 Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN 14 A D Q C P O B Hình 21 1.4.3 Các định lý ứng dụng Ta thấy hàng điều hòa chùm điều hịa có ứng dụng lớn hình học sơ cấp qua định lý ứng dụng sau Định lý 13 Cho chùm (ab, cd) = −1 mệnh đề sau tương đương 1) c ⊥ d 2) c phân giác góc tạo a b 3) d phân giác góc tạo a b Sử dụng định nghĩa tỷ số kép bốn điểm đồng viên ta định nghĩa tứ giác điều hòa sau Định nghĩa 10 Tứ giác nội tiếp ABCD gọi tứ giác điều hòa (AB, CD) = −1 Định lý sau cho khẳng định tương đương với định nghĩa tứ giác điều hòa Định lý 14 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), gọi ∆a , ∆b , ∆c , ∆d tiếp tuyến (O) A, B, C, D điều kiện sau tương đương 1) Tứ giác ABCD điều hòa, 2) AB · CD = AD · BC, 3) ∆b , ∆d , AC đồng quy, 4) ∆c , ∆a , BD đồng quy Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN 1.5 15 Các định lý hình học xạ ảnh Định lý 15 (Định lý Pappus) Cho hai đường thẳng ∆ ∆0 , điểm A, B, C ∈ ∆, A0 , B , C ∈ ∆0 giao điểm cặp đường thẳng AB A0 B, BC B C, CA0 C A thẳng hàng Định lý 16 (Đối ngẫu định lý Pappus) Cho hai chùm đường thẳng a, b, c a0 , b0 , c0 gọi da đường thẳng qua giao hai điểm b, b0 c, c0 tương tự ta có db , dc da , db , dc đồng quy Định lý 17 (Định lý Desargues) Cho hai tam giác ABC A0 B C chứng minh AA0 , BB , CC đồng quy giao điểm cặp đường thẳng BC B C , CA C A0 , AB A0 B thẳng hàng Ta thấy định lý Desargues phát biểu hai chiều đối ngẫu Định lý 18 (Định lý Pascal) Cho hai tam giác ABC A0 B C nội tiếp đường trịn giao điểm cặp đường thẳng AB A0 B, BC B C, CA0 C A thẳng hàng Định lý 19 (Định lý Brianchon đối ngẫu định lý Pascal) Cho hai tam giác ABC A0 B C ngoại tiếp đường tròn, ta gọi Da giao điểm BC B C tương tự có Db , Dc Da , Db , Dc thẳng hàng Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN 16 Luyện tập Trong mục mức độ khó dễ tốn đánh số từ tới ghi ngoặc Bài (1) Cho bốn điểm thẳng hàng A, B, C, D Chứng minh (AB, CD) + (AC, BD) = Bài (1) Cho bốn điểm thẳng hàng A, B, C, D Chứng minh (AB, CD) = −1 (AC, BD) = Bài (2) Cho bốn điểm thẳng hàng A, B, C, D Chứng minh điều kiện sau tương đương a) (AB, CD) = λ λ 1−λ = − (Mở rộng hệ thức Descartes) b) AB AD AC 1+λ 1+λ c) IA2 = IC.ID + IA.DC, IB = IC.ID + IB.CD Với I trung điểm AB (Mở 1−λ 1−λ rộng hệ thức Newton) d) AC.AD = AB.AK với K điểm thỏa mãn (CD, K) = λ (Mở rộng hệ thức Maclaurin) Bài (2) Cho ba điểm thẳng hàng A, B, C Gọi D, E, F hình chiếu A, B, C lên đường thẳng d Chứng minh AD.BC + BE.CA + CF AB = Bài (3) Cho tam giác ABC đường thẳng d cắt BC, CA, AB D, E, F Gọi X, Y, Z hình chiếu A, B, C lên d Chứng minh BY CZ.EF + CZ.AX.F D + AX.BY DE = Bài (1) Cho tam giác ABC điểm P Gọi P A, P B, P C cắt BC, CA, AB D, E, F Gọi P A cắt EF G Chứng minh (AP, GD) = −1 Bài (2) Cho A, B, C, D, E, F thẳng hàng với (BC, AD) = −1, (CA, BE) = −1, (AB, CF ) = −1 Chứng minh (AD, EF ) = (BE, F D) = (CF, DE) = −1 Bài (3) Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H AH cắt BC D E điểm thuộc đoạn AD cho ∠BEC = 90◦ M trung điểm EH Gọi đường trịn đường kính AM cắt đường trịn Euler tam giác ABC P, Q Chứng minh P Q qua E Bài ((2) VMO-2010) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) cố định B, C cố định A di chuyển (O) Gọi phân giác tam giác AD AE với D, E thuộc BC M trung điểm DE H trực tâm tam giác ABC Chứng minh đường thẳng qua H vng góc AM qua điểm cố định A di chuyển Bài 10 (3) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Tiếp tuyến B, C (O) cắt T AT cắt BC D Đường tròn (K) qua A, D tiếp xúc BC D cắt (O) E khác A AE cắt 1 BC F Chứng minh = + FD FB + FD FC + FD Bài 11 (1) Cho tam giác ABC P điểm P A, P B, P C cắt BC, CA, AB D, E, F DE, DF cắt AB, AC K, L Gọi M, N trung điểm KF, LE Chứng minh B, C, M, N thuộc đường tròn E, F, K, L thuộc đường tròn Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN 17 Bài 12 (1) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), đường tròn nội tiếp (I) Gọi (K), (L), (N) đối xứng (I) qua BC, CA, AB Gọi (K) cắt (O) A1 A2 A1 A2 cắt BC A3 Tương tự có B3 , C3 Chứng minh A3 , B3 , C3 thẳng hàng Bài 13 (2) Cho tam giác ABC đường tròn (K) thay đổi qua B, C cắt CA, AB E, F BE giao CF H AH cắt BC D EF cắt BC G Đường thẳng qua D song song EF cắt CA, AB M, N Chứng minh đường trịn ngoại tiếp tam giác GMN ln qua điểm cố định (K) di chuyển Bài 14 (2) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Tiếp tuyến A (O) cắt BC T M trung điểm AT MB, MC cắt (O) K, L khác B, C P điểm AT Đường tròn ngoại tiếp tam giác P BK, P CL cắt BC E, F khác B, C Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE ACF cắt AT Bài 15 (2) Cho D nằm H M cố định Tam giác ABC thay đổi cho AH, AD, AM đường cao, phân giác trung tuyến tam giác ABC Chứng minh tâm đường tròn nội tiếp I tam giác ABC thuộc đường thẳng cố định tam giác ABC thay đổi Bài 16 (2) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) P điểm P A, P B, P C cắt BC, CA, AB D, E, F EF cắt BC G Đường tròn đường kính GD cắt (O) M, N MN cắt BC Q Chứng minh đường tròn qua Q, M tiếp xúc (O) đường tròn qua Q, N tiếp xúc (O) cắt BC Bài 17 (3) Cho tam giác ABC D điểm nằm cạnh BC Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD cắt AC E khác A Đường tròn ngoại tếp tam giác ACD cắt AB F khác A Hai đường tròn qua A, F tiếp xúc BC M, N ME giao NF X MF giao NE Y Hai đường tròn qua A, E tiếp xúc BC P, Q P E giao QF Z QF giao P E T Chứng minh X, Y, Z, T thuộc đường tròn Bài 18 (3) Cho tam giác ABC đường cao BE, CF đường tròn Euler (O9 ), phân giác AD, phân giác AG ED, F D cắt (O9 ) M, N khác E, F GE, GF cắt (O9) P, Q khác E, F P M giao NQ R Gọi S đối xứng G qua trung điểm P Q Gọi T đối xứng D qua trung điểm MN Chứng minh R, S, T thẳng hàng Bài 19 (3) Cho tam giác ABC vuông A P điểm nằm đường cao AD tam giác M, N thuộc P B, P C cho CM = CA, BN = BA E, F trung điểm P M, P N Gọi Y, Z trung điểm P B, P C Gọi (I) đường tròn ngoại tiếp tam giác P BC K thuộc trung trực BE cho KY k IC L thuộc trung trực CF cho LZ k IB Đường thẳng qua M vuông góc IC cắt đường trịn (K, KB) S, T Đường thẳng qua N vng góc IB cắt đường tròn (L, LC) U, V Chứng minh S, T, U, V thuộc đường tròn Bài 20 ((2) Mở rộng VNTST-2013) Cho tam giác ABC đường cao AD, BE, CF đồng quy H, EF giao BC G Gọi (K) đường trịn đường kính BC Trung trực BC cắt (K) điểm L cho A, L phía BC Gọi (N) đường tròn ngoại tiếp tam giác GDL CL cắt (N) M khác L MK cắt (N) P khác M CN cắt (K) Q khác C Chứng minh M, Q, P, C thuộc đường tròn Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN 18 Bài 21 (2) Cho tam giác ABC trọng tâm G Một đường thẳng qua G cắt BC, CA, AB DB EA EC F B F A DC − ) + EF ( − ) + F D( − ) = D, E, F Chứng minh DE( DC EC EA F A F B DC Bài 22 (2) Cho tứ giác ABCD với K, L thuộc DB, CA cho AK, BL CD đồng quy Gọi KL 1 1 1 + = + + + cắt AB, CD, AD, BC M, N, P, Q Chứng minh KP LQ KN KN LM LN Bài 23 (2) Cho tứ giác ABCD Một đường thẳng cắt AB, CD, AD, BC, AC, BD M, N, P, Q, R, S Giả sử hai ba đoạn MN, P Q, RS có trung điểm Chứng minh ba đoạn MN, P Q, RS có trung điểm Bài 24 (2) Cho tứ giác ABCD M, N di chuyển AD, BC P, Q trung điểm DN, CM DQ giao CP T DN giao CM R Dựng hình bình hành RDSC Chứng minh ST qua điểm cố định Bài 25 (2) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) cố định, B, C cố định A di chuyển (O) H trực tâm tam giác ABC Trung trực BC cắt CA, AB M, N Đường thẳng qua H song song OA cắt CA, AB P, Q MQ giao NP R Chứng minh đường thẳng qua R song song OH qua điểm cố định A di chuyển Bài 26 (2) Cho tam giác ABC trực tâm H, tâm ngoại tiếp (O), trung tuyến AM Đường thẳng qua H song song OA cắt BC D Đường thẳng qua D song song AM cắt AH E F đối xứng D qua E Chứng minh AF BC cắt đường thẳng Euler tam giác ABC Bài 27 (3) Cho tam giác ABC, tâm ngoại tiếp O, đường cao AD, BE, CF , N tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF OA cắt EF Na Ma trung điểm BC AN cắt Ma Na X Tương tự có Y, Z Chứng minh DX, EY, F Z đồng quy đường thẳng Euler tam giác ABC Bài 28 (3) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), tâm nội tiếp I AI cắt (O) D khác A M trung điểm BC N đối xứng M qua D P trung điểm ID Đường thẳng qua I song song NP cắt CA, AB E, F Gọi K, L đối xứng B, C theo thứ tự qua IC, IB J tâm ngoại tiếp tam giác IKL IJ cắt CA, AB S, T ET cắt F S H Chứng minh IH ⊥ BC Bài 29 (3) Cho tam giác ABC với AB < AC, nội tiếp đường tròn (O), tâm nội tiếp I M trung _ điểm BC, N trung điểm cung BC chứa A (O) Đường tròn ngoại tiếp tam giác IAN IBM cắt K khác I BK giao AC X NK giao AI Y Chứng minh XY, BI AN đồng quy Bài 30 (2) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) AB giao CD E, AD giao BC F M, N trung điểm BD, AC Đường thẳng qua F vuông góc EM cắt trung trực MN P Chứng minh ME vng góc với MF Bài 31 (2) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Giả sử AB giao CD E, AD giao BC F , AC giao BD G Gọi M, N trung điểm AC, BD Giả sử AC, BD giao EF P, Q a) Chứng minh M, N, P, Q thuộc đường tròn (K) b) Gọi OK giao EF L, MN giao EF H, GL cắt (O) S, T Chứng minh HS, HT tiếp xúc với (O) Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN 19 Bài 32 (2) Cho tam giác ABC Đường tròn (K) qua B, C cắt CA, AB E, F khác B, C BE giao CF H Đường thẳng qua A vng góc AK cắt BE, CF M, N Gọi P, Q tâm ngoại tiếp tam giác BAM, CAN Chứng minh BP, CQ cắt đường tròn (K) Bài 33 (2) Cho tứ giác ABCD nội tiếp Gọi AD giao BC E AB giao CD F Chứng minh đường trịn đường kính EF, BD, AC đồng trục Bài 34 (2) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Gọi AD giao BC E AB giao CD F M, N trung điểm AC, BD Đường tròn ngoại tiếp tam giác EMN cắt (O) X, Y Đường tròn ngoại tiếp tam giác F MN cắt (O) Z, T Chứng minh XY, ZT, MN đồng quy Bài 35 (2) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Đường tròn (K) qua B, C cắt CA, AB E, F Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt (O) L khác A Chứng minh KL qua điểm cố định (K) di chuyển Bài 36 ((2) VMO 2011) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Gọi AB giao CD M AD giao BC N Gọi P, Q, S, T giao điểm phân giác cặp góc ∠MAN ∠MBN; ∠MBN ∠MCN; ∠MDN ∠MAN; ∠MCN ∠MDN a) Chứng minh P, Q, S, T thuộc đường tròn ký hiệu (I) b) Gọi AC giao BD E Chứng minh E, O, I thẳng hàng Bài 37 (3) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) AC giao BD E Phân giác góc ∠AEB cắt AD, BC, AB, CD M, N, P, Q a) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AP M, BP N, CQN, DQM có điểm chung K (Trích đề thi VNTST 2013) b) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AP M, BP N, CQN, DQM lập thành tứ giác nội tiếp có điểm Miquel K Bài 38 (3) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Gọi K, L tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAC OBD OK, OL cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác OBD, OAC M, N khác O Chứng minh MN song song với đường nối trung điểm AC BD Bài 39 (3) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Phân giác góc ∠BAC cắt (O) D khác A P điểm di chuyển AD P B, P C cắt CA, AB E, F cắt (O) M, N khác B, C MN giao EF G GD cắt (O) S khác D NE giao MF H P H giao EF T Chứng minh ST qua điểm cố định P di chuyển Bài 40 (2) Cho tam giác ABC đường cao AH D, E thuộc AB, AC F, G hình chiếu D, E lên BC cho DG, EF, AH đồng quy P hình chiếu E lên HD Giả sử P A = P H Chứng minh ∠AP H = 2∠EP G Bài 41 (2) Cho tam giác ABC, phân giác AD cho ∠ADC = 60◦ G thuộc tia DA cho BD = DG CG cắt AB E BG cắt AC F Chứng minh EF vng góc ED Bài 42 (2) Cho tam giác ABC, trực tâm H, tâm ngoại tiếp O, tâm nội tiếp I, đường cao AD, phân giác AE, F trung điểm AE Đường thẳng qua D song song IH cắt AB, AC M, N DF cắt AB, AC P, Q MQ giao NP T Giả sử D, T, I thẳng hàng, chứng minh OI k BC Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN 20 Bài 43 (2) Cho tứ giác ABCD nội tiếp ` trung trực BD P điểm ` Q đối xứng P qua phân giác ∠BAD R đối xứng P qua phân giác ∠BCD Chứng minh AQ, CR cắt ` Bài 44 (2) Cho hai đường tròn (K), (L) cắt A, B M trung điểm AB P, Q nằm AB không nằm A, B Kẻ tiếp tuyến P E, P F tới (K) với E, F (K) Kẻ tiếp tuyến QG, QH tới (L) với G, H thuộc (L) Chứng minh EG qua M F H qua M Bài 45 (2) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc BC, CA, AB D, E, F Phân giác ngồi góc A cắt (O) G GD cắt (O) H khác G AH cắt EF K Chứng minh DK vuông góc EF Bài 46 (3) Cho tứ giác ABCD nội tiếp có điểm Miquel M AC cắt BD E X, Y, Z, T hình chiếu E lên AB, BC, CD, DA N điểm Miquel tứ giác XY ZT Chứng minh N trung điểm EM Bài 47 (3) Cho tam giác ABC, đường cao AD, trung tuyến AM, tâm nội tiếp I MI cắt AD, AB [ = SDX \ S, X Chứng minh ∠A = 2∠B SDI Bài 48 (3) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Phân giác ngồi góc A cắt (O) D khác A P điểm thuộc đoạn BC Đường tròn (K) tiếp xúc (O) E tiếp xúc đoạn P D, P B Đường tròn (L) tiếp xúc (O) F tiếp xúc đoạn P C G tiếp xúc đoạn P D AP cắt (O) Q khác A QG cắt (O) H khác Q Chứng minh MH = ME Bài 49 (3) Cho tam giác ABC, tâm nội tiếp I, tâm ngoại tiếp O, tâm bàng tiếp Ia , Ib , Ic , chân phân giác thẳng hàng đường thẳng d Đường thẳng qua Ia , Ib , Ic vng góc BC, CA, AB cắt d tương ứng D, E, F Chứng minh AD, BE, CF OI đồng quy Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN 21 Tài liệu [1] Nguyễn Minh Hà, Nguyễn Xn Bình, Tốn nâng hình học 10, NXBGD 2000 [2] Nguyễn Minh Hà, Tỷ số kép ứng dụng, thảo 2008 [3] Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Trần Nam Dũng, Nguyễn Minh Hà, Đỗ Thanh Sơn, Lê Bá Khánh Trình Tài Liệu giáo khoa chun tốn hình học 10, NXBGD 2009 [4] Đồn Quỳnh, Văn Như Cương, Trần Nam Dũng, Nguyễn Minh Hà, Đỗ Thanh Sơn, Lê Bá Khánh Trình Tài Liệu giáo khoa chun tốn tập hình học 10, NXBGD 2009 [5] Trần Quang Hùng, Bài giảng hàng điểm điều hòa từ Ego [6] Nathan Altshiller-Court College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle Dover Publications; Rev Enl edition (April 19, 2007) [7] Ross Honsberger, Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry The Mathematical Association of America (September 5, 1996) [8] Roger A Johnson, Advanced Euclidean Geometry Dover Publications (August 31, 2007) [9] William Gallatly, The Modern Geometry Of The Triangle Merchant Books (April 15, 2007) [10] Coxeter, The Real Projective Plane Springer; 3rd edition (December 23, 1992) [11] Coxeter, Introduction to Geometry Wiley; 2nd edition (February 23, 1989) [12] Coxeter, Geometry Revisited The Mathematical Association of America; 1ST edition (1967) [13] Coxeter, Projective Geometry Springer; 2nd edition (October 9, 2003) [14] Milivoje Luki´c, Projective Geometry [15] Duˇsan Djuki´c, Inversion [16] Kin Y.Li, Pole and polar Mathematical Excalibur [17] Hoàng Quốc Khánh, Cực đối cực thảo 2008 [18] Mathley http://www.hexagon.edu.vn/tong-hop/mathley/ [19] AOPS Forum http://www.artofproblemsolving.com/ [20] Diễn đàn toán học http://diendantoanhoc.net ... hợp điều hịa với C, D Ta có tính chất tương tự cho chùm điều hòa Nhờ liên hệ tỷ số đơn tỷ số kép ta có định lý sau chùm điều hòa Định lý Một chùm điều hòa đường thẳng song song với đường thẳng chùm. .. 11 1.3 1.3.1 Phép chiếu xuyên tâm Quy ước định nghĩa Để thấy mối liên hệ chùm hàng điểm, ta nghiên cứu ánh xạ hàng điểm gọi phép chiếu xuyên tâm, nhiên trước định nghĩa phép chiếu xuyên tâm ta... D hàng điểm điều hòa (AB, CD) = −1, tương tự ta gọi chùm đường thẳng a, b, c, d chùm đường thẳng điều hòa (ab, cd) = −1 hay gọi tắt chùm điều hịa Nhờ tính chất tỷ số kép ta thấy tỷ số kép đặc