HỆ PT 53 102 BOXMATH

53 Giải hệ phương trình:  2x2 + 4xy + 2y + 3x + 3y − = (1) x2 + y + 4xy + 2y = (2) 50 Hệ Phương Trình BoxMath Lời giải ath **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****  x + y = −2 x+y = Với x + y = −2 ⇒ x = −2 − y thay vào phương trình (2) ta y = ⇒ x = −3 (−2 − y)2 + y − 4(2 + y)y + 2y = ⇔ 2y + 2y − = ⇔ y = −2 ⇒ x = 1 Với x + y = ⇒ x = − y thay vào phương trình (2) ta 2  √ √ −1 − 11 + 11 ⇒x= y = 1 4√ 4√ − y + y2 + − y y + 2y = ⇔ −2y + 3y + = ⇔   2 − 11 −1 + 11 y= ⇒x= √ √ √ √ + 11 −1 − 11 − 11 −1 + 11 Vậy nghiệm hệ là:(x; y) = (1; −3); (−2; 0); ; ; ; 4 4 ox m Ta có phương trình (1) ⇔ 2(x + y) + 3(x + y) − = ⇔  54 Giải hệ phương trình:  x4 − x3 y + x2 y − = (1) x3 y − x2 + xy + = (2) /b **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải Lấy phương trình (1) + (2) vế với vế ta x4 − x2 + x2 y + xy = ⇔ x(x3 − x + xy + y) = Ta có: p:/ ⇔ x = 0(loai) x3 − x + xy + y = 0(3) (2) ⇔ xy(x2 + 1) = x2 − x(x2 − 1) ⇔x +x = y htt (3) ⇔ x(x2 − 1) = −y − xy Do ⇔ x(x2 − 1) = −1 − xy y −x4 − x2 − x + x = −1 − xy ⇒ y = (4) x Thế (4) vào phương trình (2) ta được: x2 (−x4 − x2 − 1) − x2 − x4 − x2 − + = ⇔ x6 + 2x4 + 3x2 = boxmath.vn x = 0(loai) x4 + 2x2 + = 0(V N ) ⇔ x2 (x4 + 2x2 + 3) = ⇔ Kết luận: Vậy hệ phương trình cho vô nghiệm 55 Giải hệ phương trình: ath  2x2 y − 3y = −1 xy − 3y = −2 **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải (I) ⇔ (2x2 − 3)y = −1 (x − 3)y = −2 ⇒ 2x2 − x = 1 2 − ⇒ (x − )(2x + − 1) = y y y y  x − y = ⇔  2x + − = y Với 2x + /b thay vào phương trình thứ (2) ta được: y − 3y + = y  y=1⇒x=1  ⇔ −2 −3 y= ⇒x= 2 1 −5 − = ⇒ x = − thay vào phương trình thứ (2) ta được: y −y+2=0 y y  √ √ −1 + 21 − 21 ⇒x= y = 10√  √ ⇔ −1 − 21 + 21 y= ⇒x= 10 p:/ Với x = ox m Nhận xét: y = nghiệm hệ.Vậy Ta có  −1    2x − = y −2    (x − 3) = y htt Kết luận:Vậy hệ phương trình có cặp nghiệm √ √ −3 −2 −7 − 21 −1 + 21 (x; y) = (1; 1), ; , ; 10 , √ √ + 21 −1 − 21 ; 10 56 Giải hệ phương trình:  x3 − 4xy + 8y = 2x4 + 8y = 2x + y **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** boxmath.vn Lời giải Từ hệ phương trình nhân chéo vế ta được: (2x + y)(x3 − 4xy + 8y ) = 2x4 + 8y ⇔ x3 y − 8x2 y + 12xy = ath Với y = ⇒ x = Với y = (1) x x x (1) ⇔ =0 −8 + 12 y y y x = ⇒ x = 2y y x  ⇔  = ⇒ x = 6y y x =0⇒x=0⇒y=0 y Với x = 2y thay vào phương trình đầu ta (2y)3 − 8y + 8y = ox m ⇔ 8y = ⇒y= ⇒x=1 Với x = 6y thay vào phương trình đầu ta (6y)3 − 24y + 8y = ⇔ 200y = ⇒y= ⇒x= 200 216 200 /b Kết luận:Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (1; 0), (0; 0); 1; ; 216 ; 200 200 57 Giải hệ phương trình:  2x2 y + y = x6 + 2x4 (x + 2)√y + = (x + 1)2 (1) (2) p:/ **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** htt Lời giải Điều kiện y ≥ Do x = nghiệm hệ nên y y + = x3 + 2x (1) ⇔ x x Xét hàm f (t) = t + 2t ⇒ f (t) = 3t + ≥ ⇒ f (t) đồng biến R y ⇒ = x ⇔ y = x2 x √ ⇒ (x + 2) x2 + = x2 + 2x + √ ⇔ (x + 2)( x2 + − x) = √ ⇔ x + = x2 + + x boxmath.vn ⇔ x2 + = √ x= ⇔ √ x=− 3 58 Tìm m để hệ phương trình  có nghiệm: x3 − y + 3y − 3x − = √ x2 + − x2 − 2y − y + m = **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải 0≤y≤2 Từ phương trình thứ ta có: ath −1≤x≤1 Điều kiện: (x + − y)(x2 + (y − 1)x + y − 2y − 2) = Do x2 + (y − 1)x + y − 2y − > điều kiện toán nên ta có y = x + Thay vào phương trình số (2) ta có √ √ x2 + − x2 − 2y − y = −m ⇒ x2 − − x2 = −m ox m √ Xét hàm số f (x) = x2 − − x2 tập [−1; 1] ⇒ −2 ≤ f (x) ≤ ⇒ −2 ≤ −m ≤ ⇒ −1 ≤ m ≤ Vậy giá trị m để hệ có nghiệm −1 ≤ m ≤ 59 Giải hệ phương trình:  2 − x2 y + 2xy − y + = 2(3 − √ − x)y  x − y2 + x = **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** /b Lời giải Để ý phương trình đâu có y Xét y = chia vế cho y Ta phương trình sau: − y2 x2 + Đặt x + p:/ ⇔ 2(x + √ 2x + − = − 2 − 2x y2 y4 )− y2 = t Ta y2 2t − htt boxmath.vn ⇔ √ √ t2 − = − 2 =3 y2 ⇒ y2 = 3−x x+ x−  √ ) −1=6−2 2 y ⇒t=3 Với t = Ta có Thay vào phương trình ta (x + +x=3 3−x x=2⇒y=1 √ √ x=4− 2⇒y =± 2+1 √ 2; √ + 1); (4 − 60 Giải hệ phương trình:  2x2 + 3xy = 3y − 13 (1) (I) 3y + 2xy = 2x + 11 (2) √ 2; − √ + 1) Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y), (2; 1), (4 − **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** ath Lời giải 11 − 3y Từ phương trình (2) x = vào phương trình (1) ta 2y − 2 3(11 − 3y )y 11 − 3y + = 3y − 13 2y − 2y − (y − 3)(y + 7)(3y − 7) ⇒ =0 y−1  y = ⇒ x = −4  17   y = −7 ⇒ x =   y = ⇒ x = −2 17 Kết luận :Vậy hệ phương trình có cặp nghiệm (x; y) = (3; −4); (−7; ); ( ; −2) ox m 61 Giải hệ phương trình:  (2x − y + 2)(2x + y) + 6x − 3y = −6 √2x + + √y − = **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** /b Lời giải √ √ −1 ; y ≥ Đặt a = 2x + 1; b = y − ĐK:x ≥ Ta có hệ: (a2 − b2 )(a2 + b2 ) + 3(a2 − b2 − 2) = −6 a+b=4 4(a − b)(a2 + b2 + 3) = p:/ ⇔ ⇔ a+b=4 a=b ⇔ a = b = ⇔ x = ;y = a+b=4 Kết luận: Vậy nghiệm hệ phương trình x = ; y = htt 62 Giải hệ phương trình:  4x2 + 3y(x − 1) = 3y + 4x(y − 1) = **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải Ta có hệ phương trình ⇔ boxmath.vn 4x2 + 3y(x − 1) = (y − 1) [3(y + 1) + 4x] = ⇔   4x2 + 3y(x − 1) =   y=1    3y = −3 − 4x Kết luận :Vậy hệ phương trình có    ⇔   ath   x =    4x + 3x − 10 =  y=1   x = −2 y=1  ⇔  y=1 3y = −3 − 4x    x = x=4    y = −19 −19 ; , (−2; 1) 4; cặp nghiệm(x; y) = 63 Giải hệ phương trình:  x2 + = x(y − 1) y − = y(x − 1) **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** ox m Lời giải Nhận thấy x = 0; y = nghiệm xét x; y = Ta có x2 + = x(y − 1)(1) y − = y(x − 1)(2) Lấy (1) cộng (2) ta được: (x − y)2 + (x + y + 1) = 6(3) mặt khác lấy (1) trừ (2) ta được: x2 − y + = −x + y /b ⇔ (x − y)(x + y + 1) = −9 −9 (x = y) ⇔ (x + y + 1) = x−y Thế vào (3) ta được: (x − y)2 − =6 x−y ⇒ (x − y)3 − = 6(x − y) p:/ ⇒x−y =3 Thế vào (2) ta  −1  x = −7  y = −1 −7 Kết luận:Vậy nghiệm hệ phương trình x = ;y = 2 htt 64 Giải hệ phương trình:  4x2 + (4x − 9) (x − y) + √xy = 3y  (x + 2) (y + 2x) = (x + 3) (1) (2) **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Nếu x = : (I) ⇔ boxmath.vn 9y = 3y Lời giải (V N ) 2y = (V N ) 2x (x + 2) = (x + 3) Do đó: y>0  x = 0; y = Từ (1) ta suy ra:    4x2 + (4x − 9) (x − y) ≥ 4x + (4x − 9) (x − y) ≥     ⇔ ⇔ ĐK: (x + 2) (y + 2x) ≥ (x + 2) (y + 2x) ≥      x > (doy > 0)  xy > 4x2 + (4x − 9) (x − y) ≥ x>0 ath Nếu y = : (I) ⇔ 4x2 + (4x − 9) x = (2) ⇔ (x + 2) (y + 2x) = 81(x + 3)4 ⇔ y + 2x = 81(x + 3)4 x+2 x+3 (x + 3)4 Do: x > ⇒ >1⇒ > (x + 3)3 (dox > ⇒ x + > > 0) x+2 x+2 Ta có: (x + 3)3 > (x + 3)2 > 2x + 3, ∀x > 81(x + 3)4 > 2x+3, ∀x > ⇒ y > x+2 ox m ⇒ 81(x + 3)3 > (x + 3)3 > (x + 3)2 > 2x+3, ∀x > ⇒ y+2x = √ 4x2 + (4x − 9) (x − y) − 2y + xy − y = √ √ √ 4x2 + (4x − 9) (x − y) − 2y + y x − y = (1) ⇔ ⇔ x−y √ y √ √ =0 x+ y 4x2 + (4x − 9) (x − y) + 2y √ y 8x + 4y − ⇔ (x − y) +√ √ =0 x+ y 4x2 + (4x − 9) (x − y) + 2y ⇔ (x − y) (x + y) + (4x − 9) (x − y) + >0,∀x>0,y>3 Thay vào (2) ta có: /b ⇔x=y 3x (x + 2) = (x + 3) ⇔ 3x (x + 2) = 81(x + 3)4 ⇔ x (x + 2) = 27(x + 3)4 (3) p:/ Ta có: (x + 3)4 > (x + 3)2 > x (x + 2) , ∀x > ⇒ 27(x + 3)4 > 27(x + 3)2 > 27x (x + 2) > x (x + 2) , ∀x > ⇒ (3) vô nghiệm Vậy hệ phương trình (I) vô nghiệm htt 65 Giải hệ phương trình:  y + (4x − 1)2 = 4x (8x + 1) 40x2 + x = y √14x − **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải ĐK: x ≥ Đặt: t = 4x t ≥ 14 boxmath.vn (I) ⇔  2   y + (t − 1) = t   t2 + = y t (2t + 1) (1) t − (2) t (2t + 1) = 2t + 2t + 1 ≤ 2t Nhận xét: từ (2) ta có: y > Ta có: 2t + +1 =t+ Do đó, từ (1) suy ra: Ta có: y 1 ⇔ y ≤ −t2 + 3t − (3) 2 ath y + (t − 1)2 ≤ t + y + t−1 t−1≤ 2 Do đó, từ (2) suy ra: y + t−1 t t + ≤ ⇔ 5t2 − 3t + ≤ y (4) Từ (3) (4) suy ra: ox m 5t2 − 3t + ≤ −t2 + 3t − ≤0 ⇔ 4t2 − 4t + ≤ ⇔ 6t2 − 6t + ⇔ (2t − 1)2 ≤ /b ⇔ 2t − = ⇔t= ⇔ 4x = ⇔x= vào hệ (I) ta có:  √   3  2 √    y + = y = y = ± 4 √ √ ⇔ √ ⇔ ⇔y=    y = y =  y = 2 √ Vậy hệ phương trình có nghiệm nhất: (x; y) = ; p:/ Thay x = htt 66 Giải hệ phương trình:  xy − x + y = (1) 4x3 + 12x2 + 9x = −y + 6y + (2) **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** boxmath.vn Lời giải ⇔ 4x3 + 12x2 + 9x = −y + 6y + − 3y(xy + y − 3) + 3x − 3y = −9 (3) 4x3 + 12x2 + 9x = −y + 6y + (4) 3xy − 3x + 3y = (I) ⇔ (do x = xy + y − 3) ath Lấy (3) cộng (4) với theo vế ta được: 4x3 + 12x2 + 12x − 3xy + y − 3y + = ⇔ 4(x + 1)3 + 4y − 3y (y + x + 1) = ⇔ (x + y + 1) 4(x + 1)2 − 4(x + 1)y + y = ⇔ (x + y + 1)2 (2x + − y)2 = ⇔ x+y+1=0 2x + − y = ox m Với x + y + = ⇒ y = −x − thay vào (1) ta có x2 + 3x + = (vô nghiệm)  √ −3 + 17 x = 4√ Với 2x + − y = ⇔ y = + 2x thay vào (1) ta có 2x2 + 3x − = ⇔   −3 − 17 x= √ √ √ √ −3 − 17 − 17 −3 + 17 + 17 ; , ; Vậy hệ cho có nghiệm: (x; y) = 4 67 Giải hệ phương trình:  4x2 + y − 4xy = (1) 2x2 + y − 2xy = (2) **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** /b Lời giải Nhân vế (2) với −2 cộng cho (1) vế theo vế ta được: y − 2y − 4xy + 4xy + = ⇔ y2 − ⇔ y2 − − 4xy y − = y − − 4xy = ⇔ y = ∨ y = −1 ∨ y − − 4xy = p:/ Nếu y = 1, thay vào (1) ta được: 4x2 + − 4x = ⇔ x (x − 1) = ⇔ x=0 x=1 Nếu y = −1, thay vào (1) ta được: 4x2 + + 4x = ⇔ x (x + 1) = ⇔ x=0 x = −1 y − (Vì y = không thỏa phương trình) Thay vào (1) ta được: Nếu y − − 4xy = ⇔ x = 4y htt y2 − 4y boxmath.vn + y4 −  y  y   ⇔ y    y y2 − 4y y = ⇔ 5y − 6y + = =1⇒x=0 = −1 ⇒ x = √ √ 5 = ⇒x=− 5√ √5 5 =− ⇒x= 5 √ √ 5 (x; y) = (1; 1) , (0; 1) , (−1; −1) , (0; −1) , − ; 5 √ √ 5 ;− 5 , Vậy hệ phương trình có nghiệm là: 68 Giải hệ phương trình: ath  x4 + 5y = (1) x2 y + 5x = (2) **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được: x4 − x2 y + (y − x) = ⇔ x2 x2 − y − (x − y) = ⇔ x2 (x − y) (x + y) − (x − y) = ⇔ (x − y) x2 (x + y) − = Nếu x = y, thay vào (1) ta được: ox m ⇔ x = y ∨ x2 (x + y) − = x4 + 5x = ⇔ x2 − x + (x + 2) (x − 1) = ⇔ x = −2 ⇒ y = −2 x=1⇒y=1 − x Thay vào (1) ta được: x2 x4 + − x = ⇔ x6 − 5x3 − 6x2 + 25 = x2 Từ (2) ta có: 5x = − x2 y ≤ ⇒ x ≤ Do đó: 6 432 5x3 + 6x2 ≤ < 25 ⇒ x6 − 5x3 − 6x2 + 25 > +6 ≤ 5 25 /b Nếu x2 (x + y) − = ⇔ y = Suy trường hợp hệ vô nghiệm Vậy hệ phương trình cho có nghiệm nhất: (x; y) = (−2; −2) , (1; 1) p:/ 69 Giải hệ phương trình:  √x − √x − y − = (1) √ y + x + 2y x − y x = (2) **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** x−y−1≥0 htt ĐK: Lời giải x≥0 boxmath.vn (1) ⇔ √ x= x−y−1+1 ⇔x=x−y−1+2 x−y−1+1 ⇔y =2 x−y−1 ⇔ y = (x − y − 1) ⇔ (y + 2)2 = 4x √ ⇔y+2=2 x 10 77 Giải hệ phương trình: ath - Với x = −y, thay vào (2) ta x = Vậy hệcó nghiệm (0; 0) y= 1 2 - Với x = − y, thay vào (2) ta y = y ⇔  2 y=0 1 ;− , (0; 0) Trong trường hợp hệ có nghiệm: 1 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm: ;− , (0; 0) ; 9  y(xy − 2) = 3x2 (1) y + x2 y + 2x = (2) **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải Hệ phương trình cho tương đương với ox m y(xy − 2) = 3x2 (1) y(y + x2 ) = −2x (2) −3x − 3x3 xy − = ⇔ y = y + x2 5x Suy Thế (3) vào (1), ta − 3x3 5x x − 3x3 −2 5x (3) = 3x2 ⇔ (4 − 3x3 ) − 10.(4 − 3x3 ) − 75x3 = p:/ /b ⇔ 9x6 − 69x3 − 24 =  t=8  Đặt x = t, ta 9t − 69t − 24 = ⇔ t= −3 - Với t = suy x = dẫn đến y = −2 −1 −1 1 - Với t = suy x = dẫn đến y + y + = 3 1 Phương trình vô nghiệm ∆ = − < Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y)duy là: (2; −2) 78 Giải hệ phương trình:  (1 + 42x−y ).51−2x+y = + 22x−y+1 y + 4x + + ln(y + 2x) = (1) (2) htt **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải Từ phương trình (1), đặt t = 2x − y ta Đặt f (t) = 5 boxmath.vn t +5 5 t +5 t = + 2.2t t g (t) = + 2.2t 15 79 Giải hệ phương trình: ath Dễ dàng nhận thấy f (t)nghịch biến g (t) đồng biến, lại có f (1) = g (1)nên t = nghiệm phương trình Suy 2x − y = ⇔ y = 2x − Thay vào (2) ta được: (2x − 1)3 + 4x + + ln (4x2 − 2x + 1) = (3) Đặt h(x) = (2x − 1)3 + 4x + + ln(4x2 − 2x + 1) 16x2 + 8x − 2 = 6(2x − 1) + >0 Ta có h (x) = 6(2x − 1) + + 4x − 2x + 4x − 2x + Suy h(x) đồng biến, lại thấy f (0) = Do đó, x = nghiệm (3), dẫn đến y = −1 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (0; −1)  5x3 + 3y − 2xy = 3x3 + 2y + 3xy = **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải Hệ phương trình cho tương đương 5x3 + 3y = + 2xy ox m ⇔ x3 = 13xy − 12 3x3 + 2y = − 3xy Suy y = −21xy + 22 (∗) (xy)3 = (13xy − 12) (−21xy + 22) ⇔ (xy − 1) (xy)2 + 274xy − 264 =  xy =  √ ⇔  xy = −137 − √19033 xy = −137 + 19033 p:/ /b - Với xy = 1, thay vào (*) ta nghiệm hệ phương trình (1; 1) √ √ √ x = 13a − 12 - Với xy = −137 − 19033, ta với a = −137 − 19033 √ y = −21a + 22 √ √ √ x = 13b − 12 - Với xy = −137 + 19033, ta với b = −137 + 19033 √ y = −21b + 22 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm: √ √ √ √ (1; 1), x = 13a − 12; y = −21a + 22 x = 13b − 12; y = −21b + 22 √ √ với a = −137 − 19033 b = −137 + 19033 80 Giải hệ phương trình:  4x2 + y − 4xy = (1) 4x2 + 2y − 4xy = (2) htt **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải Trừ vế theo vế y − 2y + 4xy(1 − y ) = −1 ⇔ (y − 1) = 4xy(y − 1) ⇔ y2 − y − − 4xy = - Với y = ⇔ y = ±1 Ta có nghiệm (0;1) (1;1) (-1;-1) (0;-1) - Với y − = 4xy, thay vào (2), ta 4x2 + y = ⇔ y = − 4x2 (3) boxmath.vn 16 (1 − 4x2 )2 − 4xy(1 − 4x2 ) = − 4x2 Lại thay (3) vào (1) ta có 81 Giải hệ phương trình: ath Nếu − 4x2 = y = không thoả hệ Vậy − 4x2 − 4xy = ⇔ x2 + xy = Với x = ⇒ y = ±1 Với x = −y thay vào hệ x = ± √ 1 1 Vậy hệ cho có nghiệm (x; y)là: (0;1),(0;-1),(1;1),(-1;-1) , √ ; − √ , − √ ; √ 5 5  2x2 y + 3xy = 4x2 + 9y 7y + = 2x2 + 9x **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải 2x + 9x − Thay (3) (1), ta 2x2 2x2 + 9x − (3) ox m Ta có từ (2) suy ra: y = + 3x 2x2 + 9x − = 7.4x2 +9 2x2 + 9x − ⇔ 2x2 + 9x − (2x2 + 3x − 9) = 28x2 ⇔ 4x4 + 24x3 − 31x2 − 99x + 54 = ⇔ x− (x + 2)(4x2 + 18x − 54) = Suy x =  x =   √  33 −9 + x =  4√   −9 − 33 x= /b  htt p:/ −1 −1 ⇒y= Suy hệ phương trình có nghiệm ; 7 −16 −16 Với x = −2 ⇒ y = Suy hệ phương trình có nghiệm −2; 7 √ √ −9 + 33 −9 + 33 Với x = → y = Suy hệ phương trình có nghiệm ;3 4 √ √ −9 − 33 −9 − 33 Với x = → y = Suy hệ phương trình có nghiệm ;3 4 Với x = Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) là: √ √ −16 −9 + 33 −9 − 33 −1 ; , −2; , ; ;3 7 4 boxmath.vn 17  √x + y + √x + = y − x √x + y + √x = x + (1) (2) 82 Giải hệ phương trình: **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải (1) ⇔ √ ath Điều kiện: x > y−3 y−3 √ ⇔ = x x+y− x+3 Với y = 3, thay vào (1), suy x = √ √ Với x + y − x + = x (3) Thay vào (2) ta y=3 √ √ x+y− x+3=x √ x+3=x √ ⇔ 2x + + x2 + 3x = √ ⇔ x2 + 3x = − x √ x− ox m x+3− ⇔ x≤3 − 6x + x2 = x2 + 3x ⇔x=1 Thay vào (3), suy y = Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) (1; 8) /b 83 Giải hệ phương trình:  (x − y)4 = 13x − √ √ √  x + y + 3x − y = **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải Ta có √ x+y+ 3x − y = √ (x + y) (3x − y) = ⇔ − 2x = ⇔ 4x2 − 4x + = 3x2 + 2xy − y , x ≤ 2 ⇔ (x − y) = 4x − p:/ ⇔ x + y + 3x − y + (x + y) (3x − y) htt Thay vào (1), ta (4x − 1)2 = 13x −  x= 16 ⇔ x=1 −3 nên loại nghiệm Vậy x = Suy y = 16 16 −3 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm là: ; 16 16 Do x = > boxmath.vn 18  x2 y − 2x + y = 2x3 + 3x2 + 6y − 12x + 13 = 84 Giải hệ phương trình: **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Mặt khác 2x ≤ 1, dẫn đến −1 ≤ y ≤ +1 ath Lời giải 2x Suy x ≥ Ta có: (1) ⇔ y = x +1 Do x ≥ 0, áp dụng bất đẳng thức AM − GM , suy y = x2 (∗) −2x3 − 3x2 + 12x − 13 (−2x − 7)(x − 1)2 (2) ⇔ y = = − (3) 6 85 Giải hệ phương trình: ox m Do x ≥ nên từ (3) suy y ≤ −1 (∗∗) Từ (*) (**) suy y = −1 Thay y = −1, suy x = Vậy hệ phương trình có nghiệm (1; −1)  x3 + = 2(x2 − x + y) y + = 2(y − y + x) **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Hệ phương trình tương đương Lời giải  x3 − 2x2 + 2x + = 2y y − 2y + 2y + = 2x /b Xét f (t) = t3 − 2t2 + 2t + Ta có f (t) = 3t2 − 4t + > 0∀t Suy f (t) đồng biến R Hệ cho tương đương với hệ: f (x) = 2y f (y) = 2x p:/ - Nếu x > y, suy f (x) > f (y) dẫn đến 2y > 2x Lại suy y > x, mâu thuẫn Vậy hệ nghiệm x > y - Nếux < y, tương tự trên, loại trường hợp Vậy hệ có nghiệm(x; y) x = y √ √ √ √ 1− 1− 1+ 1+ ; ; ; Thế vào hệ có nghiệm : (1; 1) ; 2 2 htt 86 Giải hệ phương trình:  2y(x2 − y ) = 3x x(x2 + y ) = 10y **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải Nếu x = y = ngược lại Vậy (0; 0) nghiệm hệ Xét xy = Từ phương trình thứ suy x, y dấu boxmath.vn 19 20x2 y − 20y = 3x4 + 3x2 y ath ⇔ 3x4 − 17x2 y + 20y =  x = 4y ⇔ x2 = y x = 2y ⇔ (vì x, y dấu) √ 3x = 15y Nhân chéo vế phương trình hệ cho, ta ox m - Nếu x = 2y, vào (1) ta (x; y) = (2; 1) (x; y) = (−2; −1) √ √ √ √ √ 30375 135 − 30375 − 135 ; (x; y) = ; - Nếu 3x = 15y, vào (1) ta (x; y) = 6 √ √ √ √ 4 4 30375 135 − 30375 − 135 Vậy hệ có nghiệm (x; y) là: (0; 0), (2; 1), (−2; −1), ; ; 6 87 Gọi (x; y) nghiệm phương trình mx + y = 3m + với m tham số thực Tìm giá trị lớn biểu thức A = x2 + y − 2x **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải Phương trình tương đương với ((x − 1) − my)2 = (1 − 4m)2 ((x − 1)m + y)2 = (2m + 1)2 /b ⇔ (x − 1)2 + m2 y − 2m(x − 1)y = 16m2 − 8m + (x − 1)2 m2 + y + 2m(x − 1)y = 4m2 + 4m + 20m2 − 4m + m2 + 19m2 − 4m + ⇒A= m2 + ⇒ (x − 1)2 + y = p:/ Suy m2 (19 − A) − 4m + − A = (3) √ √ Để (3) có nghiệm ∆m ≥ ⇔ − (19 − A)(1 − A) ≥ ⇔ 10 − 85 ≤ A ≤ 10 + 85  √ −2 − 85 − 10 √ m = √  85 − Vậy giá trị lớn A 10 + 85  √  −2 + 85 − 10 √ m= 85 − htt 88 Giải hệ phương trình:  x + 2y  x + = (1) x + y2 2x − y  y + = (2) x2 + y **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải Điều kiện: x, y không đồng thời - Nếu x = thay vào (1), ta y = Nghiệm (0; 1) thỏa mãn hệ phương trình boxmath.vn 20 ath  xy + 2y   = 2y (3)  xy + x + y2  2x2 − xy   xy + = (4) x2 + y y−1 Cộng vế theo vế (3) (4), suy xy + = y ⇔ x = (y = 0) y Thay vào (2) ta - Nếu y = thay vào (2), ta x = (x; y) = (1; 0) không thỏa mãn hệ phương trình Xét x, y = Nhân hai vế (1) với y, nhân hai vế (2) với x, ta (y − 1) y − y +y =0 (y − 1)2 + y y4 − ⇔y =0 (y − 1)2 + y ox m ⇔ y = ±1 - Nếu y = 1, thay vào (2) suy x = x = −2 - Nếu y = −1, thay vào (2), suy x = x = −2 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (0; 1) , (−2; 1) , (0; −1) , (−2; −1) 89 Giải hệ phương trình:  xlog2 y = 4y y log2 x = 8x **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** /b Lời giải Điều kiện: x, y = Logarit số hai vế phương trình hệ, ta p:/ log2 xlog2 y = + log2 y log2 xlog2 y = + log2 x Đặt a = log2 x, b = log2 y Ta hệ ab = + b ⇔ ab = + a b − a = (1 ) ab = + b (2 ) htt √ Thay (1’) vào (2) ta b (b − 1) = + b ⇔ b = ± √ √ √ √ - Với b = + suy a = Từ đó, ta có x = log2 3, y = log2 + √ √ √ √ - Với b = − suy a = − Từ đó, ta có x = log2 − , y = log2 − √ √ √ √ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x; y) là: log2 3; log2 + ; log2 − ; log2 − 90 Giải hệ phương trình:  2x2 + x + y = (1) (I) xy − x + y = (2) **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** boxmath.vn Lời giải 21 Nếu x = −1 không thỏa mãn (2) Vậy x = −1 x+3 x+1 Từ phương trình (2) ta có xy − x + y = ⇒ y = Thay y vào phương trình (1) x+3 x+1 (1) ⇔ 2x + x + =7 x+3 x+1 ⇔ (2x + x − 6) + ath −1 =0 (x + 2) = (x + 1)2 2x3 + x2 − 4x + ⇔ (x + 2) =0 (x + 1)2 ⇔ (x + 2)(2x − 3) + x = −2 ⇔ 2x3 + x2 − 4x + =  ox m x = −2  x =   √ ⇔ −3 − 17 x =   √ −3 + 17 x= - Với x = −2, ta có nghiệm (−2; −1) - Với x = 1, ta có nghiệm (1; 2) √ - Với x = −3 − 17 , ta có nghiệm √ −3 + 17 , ta có nghiệm /b - Với x = √ √ − 17 √ −3 − 17 ; + 17 √ √ + 17 √ −3 − 17 ; + 17 p:/ Vậy hệ phương trình có nghiệm: √ √ − 17 √ , (−2; −1), (1; 2), −3 − 17 ; + 17 √ √ + 17 √ −3 − 17 ; + 17 91 Giải hệ phương trình: x2 + 3y = y + 4(2x − 3)y − 48y − 48x + 155 = **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải htt − x2 Ta có (1) ⇔ Thay vào (2) ta có: y + (2x − 3) y − 48 boxmath.vn − x2 − 48x + 155 = ⇔ y + (2x − 3) y + 16x2 − 48x + 11 = ⇔ y + 4x − 11 ⇔ y + 4x − = y = −4x + 11 (3) y = −4x + (4) 22 Ta có (∗) ⇔ x4 − 18x2 + 36x − 18 ⇔ x4 = 18(x − 1)2 ⇔ √ √ x2 − 2x + = (6) √ √ x2 + 2x − = (7) √ √ √ 18 − 12 12 − 36 − 24 ⇒y= 12 √ √ √ 18 − 12 12 + 36 − 24 ⇒y= 12 √ 2+ ath   − x2   y = Thay (3) vào (4), ta 2  − x   = −4x + 11 (∗) x = (6) ⇔  √  2− x= √ √ √ 18 − 12 −12 + 36 − 24 ⇒y= x = 12 (7) ⇔  √ √ √ √  −3 − 18 − 12 −12 − 36 − 24 x= ⇒y= 12 √ −3 + ox m  Thay (3) vào (5) ta có  − x2   y =   − x2   = −4x + 1(∗∗) (∗∗) ⇔ x4 − 18x2 + 36x + 72 = ⇔ x2 − 6x + 12 x2 + 6x + = /b ⇔ x2 + 6x + = (do x2 − 6x + 12 > 0, ∀x) √ √ x = −3 + ⇒ y = −1 + ⇔ √ √ y = −3 − ⇒ y = −1 − Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm (x; y) là: p:/ 92 Giải hệ phương trình:  x + y = x − y y − x = y − x **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Ta có x2 + y = x − y y − x3 = y − x2 Lời giải ⇔ x(x − 1) = −y(y + 1) (1) y(y − 1)(y + 1) = x2 (x − 1) (2) htt Thế (1) vào (2) boxmath.vn − x(x − 1)(y − 1) = x2 (x − 1) ⇔ x(x − 1)(x + y − 1) =  x=0  ⇔ x = x=1−y 23 - Nếu x = thay vào (1), ta y=0 - Nếu x = thay vào (1), ta y = −1 y=0 ath y = −1 - Nếu x = − y thay vào (1), ta (1 − y) (−y) = −y (y + 1) ⇔ −y = ⇔ y = Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là: (0; 0) , (0; −1) , (1; 0) , (1; −1) 93 Giải hệ phương trình:  x3 − y = 4x + 2y x2 − = 3(1 − y ) **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải Xét − x = ⇒ x = 2, y = x = −2, y = (cả hai thỏa mãn) Xét y = suy x = x = −2 (thỏa mãn) Xét y = x = ±2 Ta có: 4x − x3 = −(y + 2y) x(4 − x2 ) = −y(y + 2) (∗) ⇔ ⇔ − x2 = 3y − x2 = 3y 2 Suy 3xy = −(y + 2) Vậy ox m y = −3xy − (1) x2 = 10 + 9xy (2) Mặt khác hệ phương trình viết thành Thay (1), (2) vào ta được: (x − y)(x2 + y + xy) = 2(2x + y) (x − y)(x + y) = 4(1 − y ) (x − y)(8 + 7xy) = 2(2x + y) Mặt khác, x khác y /b (x + y)(x + y) = 12(1 + xy) x = y hệ trở thành 2x = y x = y = ±1 vô nghiệm nên ⇒ 12(8 + 7xy)(1 + xy) = 2(2x + y)(x + y) p:/ ⇒ 6(8 + 7xy)(1 + xy) = 2x2 + y + 3xy Lại thay (1), (2) vào cho ta 6(8 + 7xy)(1 + xy) = 18(xy + 1) xy = −5 - Với xy = −1 ta x = −1, y = x = 1, y = −1 −5 −5 - Với xy = ta x = √ , y = − √ x = √ , y = √ 7 7 htt Vậy hệ phương trình có sáu nghiệm (x; y) là: (1; −1); (−1; 1); (2; 0); (−2; 0); 94 Giải hệ phương trình: −1 √ ;√ 7 ; −5 √ ;√ 7 √  x − + √y − = √x + + √y + = **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải Điều kiện: x ≥ 1, y ≥ boxmath.vn 24 ath Cộng trừ vế theo vế hai phương trình, ta hệ: √ √ √ √ x + + x + + y − + y + = 10 √ √ √ √ x+6− x+1+ y+4− y−1=2 √ √   x + + x + + y − + y + = 10 ⇔ 5  √ √ =2 +√ √ y−1+ y+4 x+1+ x+6 √ √ √ √ Đặt a = x + + x + 6, b = y + + y − Ta có hệ :   a + b = 10 a + b = 10 ⇔ 5  + =2 ab = 25 a b Suy a, b nghiệm phương trình: X − 10X + 25 = Do a = b = 5, dẫn đến x = 3, y = Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) (3; 5) ox m 95 Giải hệ phương trình:  2x2 + xy − y − 5x + y + = (1) x + y + x + y − = (2) **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải 2 Ta có (1) ⇔ 2x + x (y − 5) − y − y + = Xét ∆x = (y − 5)2 − 4.2 (−y − y + 2) = 9y + 18y + = 9(y + 1)2 Vậy suy x = − y + (y + 1) = 2y + /b x = − y − (y + 1) = −4y + Nếu x = 2y + 8, thay vào (2) ta (2y + 8)2 + y + 2y + + y − = ⇔ 5y + 35y + 68 = (vô nghiệm) Nếu x = −4y + 2, thay vào (2) ta p:/ (−4y + 2)2 + y − 4y + + y − = ⇔ 17y − 19y + =  y=1 ⇔ y= 17 htt - Với y = 1, suy x = −2 26 - Với y = , suy x = 17 17 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x; y) là: (−2; 1) ; 26 ; 17 17 96 Giải hệ phương trình:  3 (x3 − y ) = 4xy (1) x y = (2) **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** boxmath.vn 25 Từ (2) suy xy = xy = −3 Nếu xy = thay vào (1) ta x − x √ =4⇔ x = x3 = − 31  √ ⇒  x = + 31 x= Nếu xy = −3thì thay vào (1), ta x − −3 x = ⇔ x3 2− √ 31; y = √ + 31; y = 3 2− √ 31 3 2+ √ 31 − 4x3 + 27 = (vô nghiệm) Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm 97 Giải hệ phương trình: ath  Lời giải ox m √  x − − √ y = − x3 (x − 1)4 = y (1) (2) **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải Điều kiện xác định: x ≥ 1, y ≥ √ Với điều kiện đó, từ (2) suy (x − 1)2 = y √ Thay vào (1), đặt x − = t,ta có: t − t4 = 23 − t2 + /b ⇔ t (1 − t) + t + t2 = (1 − t) (1 + t) t4 + 4t2 + ⇔ t=1 t + t + t2 = (1 + t) t4 + 4t2 + (∗) Xét (*), ta có t > nên t < + t Lại có (t + 4t + 7) − (t + t + 1) = (t + 1) + t − 2 nên t + 4t + > t + t + 1, VT(*) < VP(*) Vậy (*) vô nghiệm Suy t = 1, nên x = 2; y = Vậy (x; y) = (2; 1) nghiệm hệ phương trình 2 p:/ 2 + 19 > 0, 98 Giải hệ phương trình:  cos2 x = sin x sin y (1) sin2 x = cos x cos y (2) htt **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải Cộng vế theo vế hệ phương trình, ta cos (y − x) = ⇔ y = x + k2π, k ∈ Z Thay vào (1), ta cos2 x = s inx sin (x + k2π) boxmath.vn ⇔ cos2 x = sin2 x π lπ ⇔ x = + ,l ∈ Z 26 π mπ + ,m ∈ Z Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là:  √ 2 x + + √y − = 2√y + + √x − = ath 99 Giải hệ phương trình: π π π π +l ; +m (l, m ∈ Z) 4 Suy y = **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải Trừ vế theo vế phương trình hệ ta được: x−y x−y √ =√ √ y−1+ x−1 x+2+ y+2  x=y ⇔ √ √ x+2+ y+2 = y−1+ x−1 2√ Trường hợp 2: Viết lại /b ox m Trường hợp 1: x = y Thế vào phương trình thứ hệ, ta được: √ √ x+2+ x−1=5 √ ⇔ 5x − 18 + x2 + x − =   x ≤ 18 ⇔  16 x + x − = 25x2 + 180x + 324  18   x≤    ⇔ ⇔x=2⇒y=2 x=2       x = 178 p:/ √ √ y−1+2 x−1= x+2+ y+2 √ √ √ √ 5− x−1 ⇔2 5−2 x+2 +2 x−1= x+2+ √ √ ⇔2 x+2= x−1+3 √ ⇔ (x + 2) = x + + x − √ ⇔x=2 x−1 htt ⇔ x2 − 4x + = ⇔ x = ⇒ y = Vậy hệ phương trình có nghiệm (2; 2) 100 Giải hệ phương trình:  2y − x2 = (1) 2x3 − y = 2y − x (2) **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** boxmath.vn 27 Nếu x = hệ trở thành 2y = y + 2y = (vô nghiệm) ath Vậy x = Chia phương trình (1) cho x2 , phương trình (2) cho x3 , ta   2 y − = x x2 y y  2 − 2− =2 x x x x  y a = x Hệ trở thành: Đặt ẩn phụ: b = x2 Lời giải Thế (3) vào (4), ta được: ox m 2a2 − = b (3) − a = 2ab − b (4) 5a3 − 2a2 − 2a − = ⇔ (a − 1)(5a2 + 3a + 1) = ⇔ a = Với a = y = 1; vào (1) suy x x=y=1 x = y = −1 Vậy hệ có hai nghiệm (1; 1) (−1; −1) /b 101 Tìm m để hệ có nghiệm  2(x − 1) − √y − = m − 2(y − 1) − √x − = m − **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải p:/ Đặt √ y − = u, u ≥ x − = v, v ≥ Hệ phương trình trở thành 2v − u = m − 2u2 − v = m − ⇒ 2(v − u2 ) + (v − u) = htt ⇔ (v − u)(2v + 2u + 1) = ⇔ v = u (2v + 2u + > 0) ⇒x=y Thay vào hệ ban đầu ta boxmath.vn 2x − √ x−1=m ⇔ 4x2 − 4mx + m2 = x − ⇔ 4x2 − (4m + 1)x + m2 + = 28 Để hệ có nghiệm 4x2 − (4m + 1)x + m2 + = ⇔ ∆x ≥ ⇔ m ≥ 102 Giải hệ phương trình: x2 − y = 48 ath  y 15 x2 − y = 24 x + y + **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải Điều kiện:y > 0; x = ±y Biến đổi hệ phương trình cho:    x2 − y = 48 y p:/ /b ox m 48   x+y+ = 24 y  48   x = 24 − y − y ⇔ 48   x2 − y = y2  48    x = 24 − y − y ⇔ 48 482   − y2 =  24 − y − y y  48   x = 24 − y − y ⇔ 2.24.48   242 − 2.24.y − + 2.48 = y  48    x = 24 − y − y ⇔ y=6    y=8    y=6 ⇔ y=8   x = 10 htt Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) (10; 6) (10; 8) boxmath.vn 29