Các bài tập vectơ theo chu đề

Gia sư THÀNH ĐƯỢC www.daythem.edu.vn CÁC BÀI TẬP VECTOR THEO CHỦ ĐỀ Gia sư THÀNH ĐƯỢC www.daythem.edu.vn Chủ đề Chứng minh đẳng thức Vectơ VD1 Cho điểm A, B, C, D, E, F CMR : (bằng nhiều cách khác nhau)     a) AB  CD  AD  CB     b) AB  CD  AC  DB      c) AD  BE  CF  AE  BF  CD  VD2 Cho tam giác ABC với M, N, P trung điểm cạnh AB, BC, CA Chứng minh :    a) AN  BP  CM  O     b) AN  AM  AP    c) AM  BN  CP  O  VD3 (Hệ thức trung điểm) Cho hai điểm A, B    a) Cho M trung điểm A, B Chứng minh với điểm I ta có : IA  IB  IM      b) Với điểm N cho NA  2NB CMR với I : IA  IB  3IN      c) Vơi điểm P cho PA  3PB CMR với I bất ki : IA  3IB  2 IP d) Tổng quát tính chất VD3 (Hệ thức trọng tâm) Cho tam giác ABC G trọng tâm tam giác         a) Chứng minh AG  BG  CG  O Với I ta có : IA  IB  IC  IG b) M thuộc đoạn AG MG  GA CMR :     2MA  MB  MC  O Với     IA  IB  IC  IM c) Tổng quát tính chất d) Cho hai tam giác ABC DEF có trọng tâm G G1 Chứng minh :     + AD  BE  CE  3GG1 + Tìm điều kiện để hai tam giác có trọng tâm I bki Gia sư THÀNH ĐƯỢC www.daythem.edu.vn VD4 (Hệ thức hình bình hành) Chohình bình hành ABCD tâm O          a) CMR : AO  BO  CO  DO  O , Với I IA  IB  IC  ID  IO  b) M điểm thoả mãn: VD5 (Tứ giác bất kì) Cho tứ giác ABCD Gọi M, N AB CD CMR :    a) AD  BC  MN      b) AC  BD  MN     c) Tìm vị trí điểm I cho IA  IB  IC  ID  O    d) Với M bất kì, CMR : MA  MB  MC  MD  MI  VD6 (Khái niệm trọng tâm hệ n điểm tâm tỉ cự hệ n điểm) Cho n điểm A1 , A2 , , An a) Gọi G điểm thoả mãn     GA1  GA2   GAn  O CMR vơi bki M :     MA1  MA2   MAn  nMG     b) Gọi I điểm thoả mãn n1 IA1  n2 IA2   nn IAn  O CMR với M :     n1 MA1  n2 MA2   nn MAn  (n1   nn ) MI VD7 a) Cho lục giác ABCDEF CMR hai tam giác ACE BDF trọng tâm b) Cho lục giác ABCDEF Gọi M, N, P, Q, R, S trung điểm AB, CD, EF, BC, DE, FA CMR hai tam giác MNP QRS trọng tâm c) Cho hai tam giác ABC A’B’C’ điểm thuộc BC, CA, AB cho :       ’ ’ ’ A ' B  k A' C, B ' C  k B ' A, C ' A  kC ' B k  CMR hai tam giác ABC A B C trọng tâm Gia sư THÀNH ĐƯỢC www.daythem.edu.vn d) Cho tứ giác lồi ABCD Gọi M, N , P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA CMR hai tam giác ANP CMQ trọng tâm VD8 (Một số đẳng thức trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp) Cho tam giác ABC, G, H, O, I trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tâm đường tròn nội tiếp         a) 3OG  OA  OB  OC d) aIA  bIB  cIC  O     b) OH  OA  OB  OC       c) 2HO  HA  HB  HC   e) TanA HA  TanBHB  tan CHC  O     f) Gọi M điểm nằm tam giác ABC CMR : SBCM IA  S ACM IB  S ABM IC  O (M nằm không đúng) VD9 (Nhấn mạnh toán mở rộng nhiều trường hợp) Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm AB N điểm cạnh AC cho NC = 2NA Gọi K trung điểm MN  a) CMR : AK    AB  AC    b) D trung điểm BC CMR : KD  AB  AC Chủ đề Biểu diễn véc tơ ĐVĐề : Dẫn dắt từ trung điểm VD1 Cho tam giác ABC G trọng tâm B1 đối xứng với B qua G M trung điểm BC Hãy         biểu diễn véc tơ AM , AG , BC, CB1 , AB1 , MB1 qua hai véc tơ AB, AC VD2 Cho tam giác ABC, gọi I điểm cạnh BC cho 2CI = 3BI J thuộc BC kéo dài cho 5JB = 2JC Gia sư THÀNH ĐƯỢC   www.daythem.edu.vn       a) Tính AI , AJ theo hai véc tơ AB, AC Từ biểu diễn AB, AC theo AI , AJ (Nhấn mạnh cách tìm biểu diễn)    b) Gọi G trọng tâm tam giác Tính AG theo AI , AJ Chủ đề Chứng minh điểm thẳng hàng   Phương pháp : A, B, C thẳng hàng AB  k AC         Lưu ý : AB  m x  ny , AC  km x  kny AB  k AC VD1 (Dễ, sử dụng VD1 để dẫn dắt sang VD phức tạp hơn) Cho tam giác ABC M, N trung điểm AB, AC a) Gọi P, Q trung điểm MN BC CMR : A, P , Q thẳng hàng     b) Gọi E, F thoả mãn : ME  MN , BF  BC CMR : A, E, F thẳng hàng VD2 Cho tam giác ABC, E trung điểm AB F thuộc thoả mãn AF = 2FC a) Gọi M trung điểm BC I điểm thoả mãn 4EI = 3FI CMR : A, M, I thẳng hàng b) Lấy N thuộc BC cho BN = NC J thuộc EF cho 2EJ = 3JF CMR A, J, N thẳng hàng c) Lấy điểm K trung điểm EF Tìm P thuộc BC cho A, K, P thẳng hàng      VD3 Cho tam giác ABC M, N, P điểm thoả mãn : MB  3MC  O , AN  3NC ,    1      PB  PA  O CMR : M, N, P thẳng hàng ( MP  CB  CA, MN  CB  CA ) 2 Gia sư THÀNH ĐƯỢC www.daythem.edu.vn    VD4 Cho tam giác ABC L, M, N thoả mãn LB  LC, MC  1     MA , NB  NA  O CM : L, M, N thẳng hàng       VD5 Cho tam giác ABC với G trọng tâm I, J thoả mãn : IA  IC  O , JA  JB  JC  O  a) CMR : M, N, J thẳng hàng với M, N trung điểm AB BC b) CMR J trung điểm BI   c) Gọi E điểm thuộc AB thoả mãn AE  k AB Xác định k để C, E, J thẳng hàng      VD6 Cho tam giác ABC I, J thoả mãn : IA  IB, 3JA  JC=O CMR : Đường thẳng IJ qua G Chủ đề Xác định vị trí điểm thoả mãn đẳng thức Vectơ Đặt Vấn đề : Cho hai điểm A, B, C cố định       a) Nếu PB  PA  O P trung điểm AB  b) Nếu PB  PA  PC  O thị P trọng tâm tam giác ABC c) Nếu P điểm thoã mãn đẳng thức véc tơ khác có xác định vị trí P hay không ?    VD1(Cho hai điểm) Xác định vị trí điểm I thoả mãn : IA  IB  O    NX : Với hai điểm A, B cho trước xác định điểm I thoả mãn : mIA  nIB  O Với điểm O  ta có : OI  m  n  OA  OB mn mn VD2 (Bài toán điểm) Cho điểm A, B, C Tìm vị trí điểm M cho :    a) MB  MC  AB (Trung điểm AC)    b) 2MA  MB  MC  O     c) MA  MB  MC  O  Gia sư THÀNH ĐƯỢC    d) MA  MB  MC  O  www.daythem.edu.vn    e) MA  MB  MC  O     f) MA  MB  MC  O  NX : Mở rộng với n điểm Chủ đề Tìm quĩ tích điểm M thoả mãn đẳng thức véc tơ Một số quĩ tích :       a) MA  MB M nẵm đường trung trực AB b) MC  k AB , với A, B, C cố định M nẵm đường tròn tâm C bán kính k.AB c) AM  k BC với A, B, C cho trước  + k > M nẵm nửa đường thẳng qua A song song với BC theo hướng BC + k< + k Dạng (Bài toán hai điểm) VD1 Cho hai điểm A,B cố định Tìm quĩ tích điểm M cho :        a) MA  MB  AB    b) MA  MB  AB d) MA  MB  MA      c) MA  MB  MA  e) 2MA  MB  MA  MB Dạng (Bài toán điểm) VD2 Cho tam giác ABC Tìm quĩ tích điểm M cho :               MB  MC b) MA  AC  MA  MB c) MA  MB  MC  MB  MC a) MA  MB  MC      d) MA  MB  MC  MB  MC 