Về không điểm của các đa thức đạo hàm

ì ì P ề ế ì ì P ề ế t số ữớ ữợ P sỹ ự tổ ữợ sỹ ữợ P r t t tr tr tỹ ữ tứ ữủ ổ ố tr t ự ổ tr t ũ ỡ ữủ tỹ t t trữớ ữ ữợ ỹ ữợ P r t ữủ ỷ ỡ s s t t ữớ ữợ P r ữớ ữ r t t t ữợ tr sốt q tr ự t ỗ tớ t ụ t ỡ t ổ tr rữớ ữ t t t từ tử t t ụ ỷ ỡ tr ợ ú ù t tr q tr t tớ ố ữủ tự ợ ổ t tr ọ ỳ t sõt t rt ữủ sỹ t t t ổ ỗ t t ỡ t ũ ử ỵ tt sỹ ố tr ởt số ỡ ổ tự Pss s ỵ ỡ số t ỵ Pr ỵ ỵ ỹ ỵ tt t q tr ởt số trữớ ủ t qt ởt số t q ổ tự ởt t q rr r ổ tự ởt số t q ổ tự t t (f n )(t) ff ỵ ỵ tt ởt ỵ tt t ự tr t ữủ t tr õ ởt tr ỳ q trồ t t ự ỵ tt tr t tr t t ự t t ự tr ỳ ỹ tữ ứ rt ữ ỵ tt số ữỡ tr t ỵ ỳ t tờ ợ t õ õ ỵ tt ụ ỗ tớ ỳ t tờ ợ t t rt rs Prts ỵ ỡ tự ởt t q rt s s tr t ự ởt tr ỳ t q s s tr t ự ởt ỵ Pr tr ỵ Pr õ r ởt f tr C ọ q tr t f ụ t ỡ ỳ t tỹ t ự ú t t r ỵ Pr ụ ởt q ỵ ỡ tự số tr tr ỵ Pr ự ỵ Pr f =1 t f f tr C tọ f = õ ữủ t q tứ ỵ s trt tr Pr rr ts tr rts t (1959), 42 tứ s õ rt t ự ố tr tờ qt t q tr ỳ t ố ữợ ự t tr t t ữủ t q q trồ tr t ự t p ú tổ t ổ tự tở ữợ ự õ tr Pữỡ ự ữ t t tứ t t tr ữợ qố t q ỵ tt ố tr õ t ự tr tr ởt số t q rr r ởt số t tr ữợ ự ỗ ữỡ ữỡ ỵ tt sỹ ố tr ữỡ ỵ ỹ ữỡ ổ tự ởt ữỡ ỵ tt sỹ ố tr r ữỡ ú tổ ởt số t q ỡ ỵ tt tr ởt số ỡ C ởt tr t ự tr n C C ởt trứ r t tữớ ỹ số tỹ ổ z0 C f tr C ởt n f tr z0 f õ ữợ f (z) = (z z0 )n h(z), h(z) tr z0 , h(z0 ) = ữủ ổ z0 C ữủ n f f tr ỹ ổ ỹ õ ỹ ỡ n f z0 C ởt ổ ỏ ữủ ổ sin2 z õ ổ t z0 = tan z õ ỹ ỡ t z0 = ổ tự Pss s ỵ ổ tự Pss s f (z) tr trỏ {|z| R} ; < R < + f (z) sỷ aà (à = 1, 2, , M ) ổ ộ ổ ữủ ởt số õ bv (v = 1, 2, , N ) ỹ f tr trỏ õ ộ ỹ ữủ ởt số õ õ z = r.ei , (0 < r < R) , f (z) = 0, f (z) = t log |f (z)| = i log f Re R2 r d R2 2Rrcos ( ) + r2 M N R (z aà ) R (z av ) log + log 2a z 2a z R R v à=1 v=1 ổ tự r r t tr ổ ỹ ổ ữủ tr ổ f (z) rữớ ủ t t z=0 log f Re f (z) tr t t õ t t ổ tự õ M i |z| < R |z| < R tr tr log |f (0)| = f (z) N |bv | |aà | log , d + log R R v=1 à=1 f (0) = 0; f (0) = r trữớ ủ f (0) = f (0) = , ổ tự t ởt út õ f (z) õ tr t z = ợ tt f (z) = c z + , Z t (z) = R f (z) z õ t t (0) = 0, ỗ tớ z = Rei , |(z)| = |f (z)| ứ õ t õ log |c | = 2 N M |b | |aà | log log R log |f (Re )|d + log R R =1 à=1 i ợ ộ số tỹ ổ x t ỵ log+ (x) = max {log x; 0} D (r) = {z C : |z| < r} ợ < r n(r, f ) số ỹ f tr õ D(r) t ỹ f ỵ N (r, f ) ữủ ữ f tr s r N (r, f ) = n (t, f ) n (0, f ) dt + n (0, f ) log r, t n (0, f ) = lim inf t0 n (t, f ) f ữủ m(r, f ) tr õ ữủ m (r, f ) = log+ f rei d trữ f ỵ T (r, f ) ữủ ợ ộ a C tr õ ỵ T (r, f ) = m (r, f ) + N (r, f ) ) số a n(r, f a f ) f a ữủ D(r) t a f ỵ N (r, tr õ N (p)(r, f1 ) p Z+ ổ f ợ ợ ỡ p (ii) ỗ t H tr C tọ ữỡ tr s (z) = H (z) 2at1 (z) = , H (z) t(t + 1) s tự s ú (H )t+1 f= , t!H(H )t Lt = ( d d + ) ( + t), dz dz = Lt (f ) = , H t+1 tr õ n + ỡ n+1 = ú ỵ r at1 0, õ (i) ú ú t õ t t g = atf õ g(t) = atf (t) s tự tỹ as õ t t bz + c tr õ b, c H = bekz , H tỗ t t số = k = õ H = õ H = kH õ f ữ tr ỵ õ 1 1 N (r, ) + N (r, ) N (t+1) (r, ) + N0 (r, ) + S(r, f ), f f tr õ N0(r, ) t ổ ổ ổ 1, N (r, ) t ổ ổ ổ ổ f ợ t + ự sỷ t z0 C t t ởt tr f õ ổ t z0 sỷ z0 ổ m t z0 m=0 t số số f (z0 ) = ỡ ỳ t sỷ t m t + õ z0 ữủ ợ 1 ữ tr N0 (r, ) N (r, ) õ ụ ữủ ợ 1 (t+1) ữ tr N (r, ) N (r, ) ữ t tự f f ú tr trữớ ủ m t + ỹ (z0 ) N (r, ) N (r, ) + N (r, ) t p0 f f z0 õ ổ õ t õ ỹ as t (s) f f õ ổ q f (t) = + f f t1 s=0 s fs f t õ t1 mt+à+ t1 ps = (t + 1) + (à 1) + s=0 z0 tr s=0 n(r, 1/f ) + n (r, 1/ ) n(r, ) + n(r, ) ứ õ s r f ữủ t 1) + (à 1) ps m tr 1 1 N (r, ) + N (r, ) N (t+1) (r, ) + N0 (r, ) + f f ứ t t ọ as t t (t + t1 N (r, as ) s=0 s r ự t t ự ỵ ự rữợ t t ự sỷ f ữủ ữ tr ỵ ỵ t tự t õ 1 T (r, f ) N (r, f ) + N (t+1) (r, ) + N (r, ) N (r, ) + S(r, f ) f N1 (r, f ), N (r, f ) t õ N (r, f ) = N1 (r, f ) + N (r, f ), N1 (r, f ) + 2N (r, f ) N (r, f ) T (r, f ) t ủ ợ t õ 1 N (r, f ) N (t+1) (r, ) + N (r, ) N (r, ) + S(r, f ) f N1 (r, f ) = S(r, f ) t t ữủ t tự ỡ t tự ự t õ t sỷ N1 (r, f ) = S(r, f ) t t s M ữủ ữ s M = (t + 1) 2at1 (t + 2) t q Q ữủ ữ tr ỵ tr f õ ỹ ỡ t z0 s ổ õ as z0 ỹ õ M õ ổ q t z0 ự rữợ t t sỷ Q = t 1, q = õ z z0 f = (z z0 )1 + O(1) tr õ số z z0 t õ s (1)t t! (1)t1 at1 (z0 ) 1= + +O t+1 t (z z0 ) (z z0 ) (z z0 )t1 (1)t+1 (t + 1)! (1)t t!at1 (z0 ) + + O , = (z z0 )t+2 (z z0 )t+1 (z z0 )t õ z z0 t õ t+1 at1 = + O(z z0 ) z z0 t t+2 at1 = + O(z z0 ) z z0 t + M (z0 ) = M õ ổ q = t z0 t t sỷ Q t s at1 q = t Q õ z z0 t õ õ t t (1)t t! + O 1= (z z0 )t+1 (z z0 )Q+1 (1)t+1 (t + 1)! = + O , (z z0 )t+2 (z z0 )Q+2 õ z z0 t õ t+1 t+2 = + O((z z0 )q ), = + O((z z0 )q ) z z0 z z0 M õ ỹ t t q t z0 = f (t) ), q = t õ z z0 t õ õ tự ố ũ sỷ Q = (1)t t! (1)t+1 (t + 1)! 1= + O(1), = + O(1) (z z0 )t+1 (z z0 )t+2 tữỡ tỹ ữ t õ ữủ ự ự t t ự ỵ sỷ M M M (r, ) = S(r, ) = S(r, f ) ữủ ữ tr s õ t rt t õ ỵ ỡ tự t t õ ) + S(r, f ) T (r, M ) + S(r, f ) N (r, M ) + S(r, f ) M 2at1 ỹ M + õ t ỹ ỡ t r t ỹ as , ỹ f, ổ ữủ t tr N (r, ) ổ f t t t + ổ f t t t + ữủ t (t+2) tr n (r, 1/f ) n(t+1) (r, 1/f ), õ t õ qN1 (r, f ) N (r, 1 ) + N (r, ) 1 N (t+2) (r, ) N (t+1) (r, ) + S(r, f ) f f qN1 (r, f ) N (r, f ) + N (r, õ t ủ ợ t õ 1 ) + S(r, f ) qN1 (r, f ) N (t+2) (r, ) + 2N (r, f ố ũ t ủ tự t õ ự M t ữủ tr tự sỷ r N1 (r, f ) = S(r, f ), õ tỗ t z0 ỹ ỡ f tỗ t R ự z0 ọ s tt as t tr R õ ú t õ t t H ữ 1/(t+1) ởt ỡ tr (1 ) tr R, ợ ỹ ỡ t z0 M 0, t õ t t t trữớ ủ (t + 1) ứ 2at1 (t + 2) = t H t t H ữỡ tr ỡ ỳ t õ = Lt (f ) = H t+1 t t t tỷ t t J =( d d + ) ( + t), K = Lt J dz dz õ t G tr G= R ữ s H t+1 (1)t t!H(H )t õ t t õ d d H t+1 (1)t + t (G) = , dz (H )t1 dH t!H õ J(G) = = H t+1 t t s tỷ K = Lt J Lt = J ự sỷ K õ số K ọ N1 (r, f ) = S(r, f ), õ tỗ t z0 s K(f ) õ ỹ ỡ z0 , z z0 t õ c f (z) = + O(1), H(z) = (z z0 ) + O((z z0 )2 ) z z0 t õ s s ợ tr rt J(G) t õ (1)t+1 c= t! t+1 z z0 (1)t+1 c G(z) = = + O(1), t! t+1 (z z0 ) z z0 õ Gf z0 t õ K(f ) = Lt (f ) J(f ) = J(f ) = J(G f ), tứ õ t õ J(G f ) z0 K(f ) K ỹ ỡ t z0 õ ổ ỵ õ ợ tt tr ỵ t tự ú H tr t ự t V = H t+1 = tr õ =f d d + + t f, dz dz t = ó r t õ d 1 + = = t+1 = , dz H V õ V tr t tr = tr õ c t õ (t + 1)(tV + 1) c = , tV H số c = t c = 0, t M (r, 1/()) = S(r, f ) ỷ t R õ H tr õ ổ ỡ õ tự t õ 1 m(r, ) m(r, ) + m(r, ) = S(r, f ) f f ỵ ỡ tự t t õ T (r, f ) N (r, ) + S(r, f ) f ỷ tự s, 1 = , f f ỹ f (s) f ổ ữủt q t õ 1 T (r, f ) N (r, ) + S(r, f ) N (t) (r, ) + S(r, f ) f f ữ t t ữủ t tự ỡ t t ự ỵ ú t õ t sỷ H ữủ t tự ú tr tr t tự sỷ tỗ t tự P (H) ổ q t1 s (H c1 ) (H ct+1 ) H t+1 + HP (H) (1)t f= = , t!H(H )t t!H(H )t tr õ t cs õ ổ cs trũ õ õ ổ t t tờ qt t f c1 = c2 , t+1 HH H = , t!f (H c1 )(H c2 ) s=3 H cs õ t+1 v1 H v2 H = + f H c1 H c2 tr õ vs s=3 H , H cs số t ủ ợ t õ m(r, ) = S(r, H) = S(r, ) = S(r, f ) f ứ t H, t t f ổ t õ ổ t õ t õ ữủ t tự ố ũ sỷ at1 0, ú f ữủ tr õ H H t t = 0, õ f ỳ t ợ f () = õ H ợ ỡ ỵ ỡ tự t t õ T (r, f ) = N (r, ) + O(1) f f õ ởt ổ t + õ ú ữỡ ổ tự ởt r ữỡ ú tổ tr ởt số t q r r r tr ổ ởt số tự tr tt ởt số rở ú t q rr r rữợ t ú tổ tr ởt số s õ ợ a C f (B(a, r)) s ợ f ởt f ữủ r > 0, ởt t U (r) tr r1 < r2 t õ U (r1 ) U (r2 ) õ t õ s õ t r (i) r>0 U (r) = {z0 } ợ z0 C a C f (z0 ) = a = z0 ỹ ỡ f, õ z0 ữủ tữớ ữủ a C f (z0 ) = z0 ỹ f õ z0 ữủ tợ a ữủ tr tợ (ii) r>0 U (r) = õ t õ r U (r) ởt t ý f õ U (r) ữủ ý U ởt ý ữ õ a ữủ tr t tỗ t ữớ C t r s f (z) a z ữớ ỏ ữủ ữớ t f (z) = z 2ez õ t B(0, r) f (B(0, r)) ó r f (0) = f (0) = õ z = tợ f t Rez = |z| f (z) 0, õ z = ụ ởt ý f ởt ý tr a ữủ rt tỗ r > s f (z) = a ợ z U (r) f = ez , a = ý a = rt ởt ý ữủ rt õ ổ rt ợ r > 0, tỗ t ởt z U (r) s f (z) = a ó r f tr a ổ tr U (r) ữủ t õ t t ữủ ởt U () a s ổ õ z tr U () f (z) = a, t ợ ý rt ởt ý a = sinz z t ợ ữ tr rr r ự t q s f ợ ỳ õ ý f tr a C tử tợ f (zs ) = a f ợ ỳ f õ ổ ổ t f tr ỳ ổ ổ ổ tự (f n)(t) f s t tr C, n, t số ữỡ s n > t õ (f n)(t) tr ỳ ổ ổ ỷ t ự ữủ ởt số t q s q f s t m số ữỡ õ f mf f (m)f (m+1) tr ỳ ổ ổ ự ợ t = 1, n = m + t t ữủ f mf a õ ổ ổ ợ a số ự tt t t ợ t = 1, n = 2, f = f (m) số ự b = t õ f (m) f (m+1) b õ ổ ổ ợ q f s t ợ ỳ õ f + f m õ ổ ổ m ự rữợ t t t g = f1 õ (gm1) ổ af m + (m 1)f (g m1 ) = (f 1m ) = tr ỳ õ (1 m)f m f = a õ ổ ổ f s t tr C s f õ ổ t t [ 2t ] + õ (f 2)(t) tr ỳ ổ ổ ự rữợ t t sỷ f õ ỳ ổ õ f2 ụ õ ỳ ổ ứ õ t ỵ ỹ ỵ q t õ (f )(t) a õ ổ ổ a = f õ ổ ổ õ t (f )(t) a õ ổ ổ ợ số ự ợ số ự t a = ởt số t q ổ tự f f r ú tổ tr t q rữợ t t t q s f s t tr C a ọ f õ t õ t tự s 9 T (r, f ) < N (r, f ) + N (r, ) + S(r, f ) 2 ff a q f tr C a ọ f õ (, f ) 97 t f f ự ứ t õ a õ ổ ổ N (r, f ) N (r, a, f f ) < T (r, f ) 2 T (r, f ) õ r ợ lim sup (, f ) t s r 0, t t õ N (r, a, f f ) < T (r, f ) f f a õ ỳ ổ õ (, f ) < (, f ) t ff a N (r, a, f f ) T (r, f ) õ ổ ổ f = a1 ọ f s tỗ t t ữỡ tọ f (t) à, tr õ số ỳ b, c số ự t õ t õ 1 T (r, f ) < N (r, ) + N (r, (t) ) + N (r, (t) ) N (r, f ) f f b f c N (r, ) + S(r, f ) (f (t) ) ự rữợ t t õ t tự s 1 f (t) m(r, ) m(r, (t) ) + m(r, ) f f f = m(r, (t) ) + S(r, f ), f õ ỵ ỡ tự t t õ 1 ) = T (r, f ) m(r, ) + O(1), f f 1 m(r, (t) ) = T (r, f (t) ) m(r, (t) ) + O(1) f f m(r, õ t õ T (r, f ) N (r, 1 ) + T (r, f (t) ) N (r, (t) ) + S(r, f ) f f ỵ ỡ tự t õ T (r, f (t) ) N (r, 1 ) + N (r, ) + N (r, ) f (t) f (t) b f (t) c N1 (r, f (t) ) + S(r, f (t) ) f õ ỹ p t z0 õ õ ữủ t t + p p (t) tr N1 (r, f ) = N (r, ) + 2N (r, f (t) ) N (r, (f (t) ) ) õ t (f (t) ) sỷ r õ N1 (r, f (t) ) N (r, f ) + N (r, ) + S(r, f ) (f (t) ) õ t ủ t õ ữủ t tự ự ỷ t q tr ú t õ ỵ s ỵ f s t a ọ f õ t t f f a f f + a õ ổ ổ f2 ự t = a F = k = 1, b = 1, c = õ F t õ 1 2T (r, f ) < 2N (r, ) + N (r, ) + N (r, )2N (r, f ) f f f + f f 1 N (r, ) + S(r, f ) (f f ) õ t sỷ (, f ) < õ r ợ t õ 1 N (r, ) + N (r, ) f f + f f > 0, 2T (r, f ) õ t t ff a ff + a õ ổ ổ t tr ởt số t q ố tr t q ỗ õ ữỡ ỵ tt sỹ ố tr ữỡ ỵ ỹ ữỡ ổ tự ởt ữỡ ú tổ tr tờ q ỵ tt ỵ ỡ tự t ỵ ỡ tự số t ỵ ữỡ ú tổ tr t q ỵ ỹ rở õ tr ữỡ ú tổ tr ởt số t q ổ ởt số tự tr ữợ ự t t t tử ự ố tr t rr tts s trt str t rr r t srts t rs t rr ts t rr st tt rr rr ts r Prss r sr Pr r t Prss t t Prt rr ts ts rts tt r t strt (z)f (z)f (z) t t s tr rts Pr rr ts t