MỞ ĐẨUSự ưu việt của phương pháp thi trắc nghiệm dã vù đung dược chứng minh từ những nước có nền giáo dục tiên tiến trên thế giới hời những nu điềm như tính khách quan, tính hao quát và tính kinh tể. Trong thời gian không xa, theo chù trươtìg của BGDĐT các trường dại học, cao dẳng và trung học chuyên nghiệp sè chuyển sang hình thức tuyển sinh hằng phương pháp trắc nghiệm. Và dể có dược thời gian chuẩn hi tốt nhất, cúc hủi kiềm tra kiên thức trong chương trình THCS và THPT cũng sẽ có phần trắc nghiệm dê các em học sinh làm quen. Tuy nhiên, việc hiên soạn cức câu hòi trắc nghiệm cần tuân thù một sô yêu cầu cơ hàn về mặt li luận sư phạm và ý nghĩa đích thực của các số liệu thống kê. Ngoài ra, một dề thi môn toán dược chấm hoàn toàn dựa trên kết quà trắc nghiệm chắc chắn sẽ chưa phù hợp với hiện trạng giáo dục cùa nước tư hời nhiều lí do, từ dó dẫn tới việc không đàm hào dược tính khái h quan trong việc dánh giá kết quả học tập cùa học sinh. Đê khắc phục nhược sỉ I A ||| ề • 1 líiti lì í 1 I f In ii I I) Itíii r11««Dựa trên tư tưởng này, Nhóm Cự Mồn (lưới sự phụ trách của Lê Hồng Đức xin trán trọng giới thiệu tới hạn đọc hộ sách:TOÁN NẰNG CAO Tự LUẬN. VÀ TRẮC NGHIỆM THPT Bộ sách này sè cung cấp cho hạn đọc một ngân hàng hài rập tự luận vù trắc nghiệm mồn toán THPT có chất lượng theo đúng thứ tự cùa chương trình Toán PTTH hởi về hình thức hạn đọc sè nhận thấy rằng hộ sách này chính là những cuốn sách gidi hài tập của hộ sách Học và Ôn tập Toán (dược viết theo lớp 10,11,12) do NXB Đại học Quốc gia Hà Nội ấn hành. Cuốn LltyNC GI ẮC dược hiên soạn theo đúng thứ tự của chương trìnhLượng giác cấp PTTH và dược chia thành 2 chương:Chương ỉ: Hàm số lượng giác Chương II: Phương trình và hệ phương trình lượng giác Cuối cùng, cho dù đã rất cố gắng, nhưng thật khó tránh khỏi những thiếu sót hài những hiểu hiết và kinh nghiệm còn hạn chế, rất mong nhận dưạ những ý kiến đóng góp quý háu cùa hạn dọc gần xa. Mọi ý kiến đỏng góp xih liên hệ tới: Địa chỉ: Nhóm tác giả Cự Môn do Lẻ Hồng Đúc phụ trách SỐ nhà 20 Ngõ 86 Đường Tô Ngọc Vân Quận Tây H6 Hà Nội Điện thoại: (04) 7196671 hoác 0893046689 Email: cumonhn.vnn.vn hoặc lehongduc39vahoo.com.Hà Nội, ngày l tháng 5 năm 2006 NHÓM Cự MÔN LÊ HỔNG ĐỨC
Toán nâng cao Tự LUẬN & TRẮC NGHIỆM NHA XUÃT BÁN ĐẠI HỌC QUÕC GIA HÀ NỘI LÊ HỔNG ĐỨC - LÊ BÍCH NGỌC TỐN NÂNG CAO Tự LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM LƯƠNG GIÁC 11 MỞ ĐẨU Sự ưu việt phương pháp thi trắc nghiệm dã vù đung dược chứng minh từ nước có giáo dục tiên tiến giới hời nu điềm tính khách quan, tính hao quát tính kinh tể Trong thời gian khơng xa, theo chù trươtìg BGD&ĐT trường dại học, cao dẳng trung học chuyên nghiệp sè chuyển sang hình thức tuyển sinh phương pháp trắc nghiệm Và dể có dược thời gian chuẩn hi tốt nhất, cúc hủi kiềm tra kiên thức chương trình THCS THPT có phần trắc nghiệm dê em học sinh làm quen Tuy nhiên, việc hiên soạn cức câu hòi trắc nghiệm cần tuân thù sô yêu cầu hàn mặt li luận sư phạm ý nghĩa đích thực số liệu thống kê Ngồi ra, dề thi mơn tốn dược chấm hoàn toàn dựa kết quà trắc nghiệm chắn chưa phù hợp với trạng giáo dục cùa nước tư hời nhiều lí do, từ dó dẫn tới việc khơng đàm hào dược tính khái h quan việc dánh giá kết học tập cùa học sinh Đê khắc phục nhược sỉ I A/ /||| ề•1*líit/i //lì ///í /1 /I fIn//' ii I I) Itíii/ r/11«« Dựa tư tưởng này, Nhóm Cự Mồn (lưới phụ trách Lê Hồng Đức xin trán trọng giới thiệu tới hạn đọc hộ sách: TOÁN NẰNG CAO T ự LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM THPT Bộ sách sè cung cấp cho hạn đọc ngân hàng hài rập tự luận vù trắc nghiệm mồn tốn THPT có chất lượng theo thứ tự cùa chương trình Tốn PTTH hởi hình thức hạn đọc sè nhận thấy hộ sách sách gidi hài tập hộ sách Học Ơn tập Tốn (dược viết theo lớp 10,11,12) NXB Đại học Quốc gia Hà Nội ấn hành Cuốn LltyNC GIẮC dược hiên soạn theo thứ tự chương trình Lượng giác cấp PTTH dược chia thành chương: Chương ỉ: Hàm số lượng giác Chương II: Phương trình hệ phương trình lượng giác Cuối cùng, cho dù cố gắng, thật khó tránh khỏi thiếu sót hài hiểu hiết kinh nghiệm hạn chế, mong nhận dưạ ý kiến đóng góp quý háu cùa hạn dọc gần xa Mọi ý kiến đỏng góp xih liên hệ tới: Địa chỉ: Nhóm tác giả Cự Môn Lẻ Hồng Đúc phụ trách SỐ nhà 20 - Ngõ 86 - Đường Tô Ngọc Vân - Quận Tây H6 - Hà Nội Điện thoại: (04) 7196671 hoác 0893046689 E-mail: cumon@hn.vnn.vn lehongduc39@vahoo.com Hà Nội, ngày l tháng năm 2006 NHĨM Cự MƠN - LÊ HỔNG ĐỨC CHƯƠNG I H À M S Ố lU Ợ N « G IÁ C CHỦ ĐỀ GĨC VÀ CUNG LƯỢNG GIẤC I TỎM TẮT LÝ THUYẾT s DỤNG ĐƯỜNG TRỊN LƯỢNG GIÁC Dườìig trịn Ìượtìg giác đường trịn định hướng có bán kính 1, có diêm A gọi diêm gốc 1rục noann hoành tương ưng VƠI trục gia tri cua cosin c< Trục tung tương ứng với trục giá trị cùa sin J Đường thăng di qua điểm A(l, 0) vuong góc với trục cos tương ứng với trục giá trị tang Đường thẫng di qua diếm B(0, 1) vng góc với trục sin tương ứng VỚI trục giá trị cùa cotang _ M U V _ * / • i _ J Ộ I M • i l Ị V _ ã / #ã V U ô ã / /\ V X U 1U Ệ , _ t ' —— Hàin số lượng giac ' cosa sina tga cotga Đô đo < < 90° • + + + + 90lr < a < 180° + — — m inm e I: Mam so lương lilac CÁC HẰNG ĐẲNG t h ứ c l ợ n g g iá c c b ẳ n a sin2a + cos2a = sina b tga = d tga.cotga = 1 _ , = + tg a e c f cosa cosa cotga = sina eos a = l + cotg2a sin2a HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG ĐỐI NHAU a sin(- x) = - sinx b cos(- x) = cosx c tg(- x) = - tgx d cotg(- x) = - cotgx HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG BÙ NHAU a sin( 180° - a) = sina b cos( 180" - a) = - cosa c tg( 180° - a ) = - tga d cotg( 180° - a ) = - cotga HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CƯNG PHỤ NHAU a sin(90" - a) = cosa b cos(90" - a) = sina c tg(90" - a ) = cotga d cotg(90" •- a) = tga II PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DANG TOÁN LIÊN QUAN VÀ BÀI TẬP , Bái tập 4: Xác p T ự LUẬN TRẮC NGHIỆM :ủ thức: PHƯƠNG PHÁP CHƯNG Ta sử dụng đẳng thức lượng giác Cần lưu ý việc rút gọn biểu thức nhiéu trường hợp công vièc cẩn thiết trước thực việc tính giá trị biểu thức Bài tập 12: Rút gọn biểu thức: a Ak= - ■ ., với a € (7t, 2n) sin a - )/cot g 2a - cos2a □ b a A = cos2a □ A = tga □ A = cotg2a B = J Õ + tga).cos2 a + (l + cot ga).sin2 a , với a € (0, —) □ □ $ A = sina B = cosa + sina B = cosa - sina □ a B = sina - cosa B = -cp sa - sina PHƯƠNG PHÁP CHUNG Sử dụng hệ thức hộ để thực hiộn phép biến đổi tương dương Khi dơ ta lựa chọn theo hướng sau: Hư(VHỊ 1: Biến dôi VT thành v p ngược lại, trường hợp thông thường ta lưa chon viêc biến đổi vế phúc tap vế dơn giản 242 phương d Giải bất phương trình Giải hệ phương hệ bất phương trình Hậm số, tìm giá trị lớn nhỏ Tính ngun hàm tích phân Hình học, tìm điểm thuộc dường trịn, Elíp, Hypebol thoả mãn điều kiện cho trước, tam giác nội tiếp toán tiếp tuyến số trường hợp ta chuyển chúng thành tốn lượng giác dể thực hiôn, công việc gọi phương pháp lượng giác hoá Việc lựa chọn phương pháp lượng giác hoá cho toán xác định 243 PĨÌÌH lui Phưtm^ phap lưitnu hu.i II PHƯƠNG PHÁP THỰC HIỆN VÀ BÀI TẬP Ta thực theo bước sau: Rưới Ị : Lượng giác hoá toán Bướr 2: Thực tốn mơi trường lượng giác BÀI TẬP T ự LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM Bài tập Cho a2 + b2 + c2 + 2abc = < a, b, c < a Lựa chọn việc lượng giác hoá cho biểu thức là: □ a = sina, b = sinp, c = siny □ a = tga, b = tgp, c = tgy Q a = cosa, b = cosp, c = cosy □ Lựa chọn khác k P V ilÍH n m i n h rả n n * 245 Bải tập 12 Cho số a, b, c thoả mãn < c a, c £ b Chứng mínt ràng: Bài tập 13 yj(a -c )c + 7(b-c)c £ Vãb IO phương ưình: 4x’ - 3x = Vl-X2 a Lựa chọn việc lượng giác hố cho phương trình là: □ X = sint □ X = cost □ X = tgt □ Kiác b Phương trình có nghiệm Tim nghiệm Bài tập 14 Cho phương trình: + - Vx-X2 = yfx + V l-X Lựa chọn việc lượng giác hố cho phương trình là: □ X = sin*t □ X = cos2t □ X = tg2t b Giải phương trình Bài tập 15 Cho phương trình: a x’ + □ Kiáic l - x 2)1 = X^2(l-X2) a Lựa chọn việc lượng giác hố cho phương ưình là: □ x = sint □ X = cost □ X = tgt b ầ Giải phương trình 246 □ Kháic Phu luc: Phươniĩ pháp luinu: lĩiác hoá Bài tập 16 Cho bát phương trình: 3x =r - I -X y [ĩ- x a Lựa chọn việc lượng giác hố cho bất phương trình là: □ X = sint □ X= cost □ X = tgt □ b Giải bất phương trình Bài tập 17 Với a > 0, giải bất phương trình: X+ Va2 - X2 < a Bài tập 18 Tìm a để bất phương trình sau có nghiêm: Va-X + Vx + a > a Bài tập 19 Cho hộ phương trình: t Khác, • ■ l.i-x a Lựa chọn việc lượng giác hoá cho phương trình là: □ X = sina, y = sinp □ X = tga, y = tgP□ X = cosa y = cosp □ Lựa chọn khác b Giải hệ phương trình: III HƯỚNG DẪN - GIẢI - ĐÁP s ố tí I CM Bài tập Vì < a, b, c < 1, dạt a = cosa, b = cosp, c = cosy, với < a, p, y < Khi dó, với điểu kiện: a2+ b2+ c2+ 2abc = o cos2a + cos2p + cos1/ + 2cosa.cosp.cosy = o —(1 + cos2a) + - (1 + cosP) + cos'y + [cos(a + P) + cos(a + P)].cosy = ỉ cos(a + P).cos(a - p) + cos*y + cos(a + P).cosy + cos(a + p).cosy = [cos(a + p) + cosy].[cos(a - p) + cosy] = o cos(a + P) + cosy = o cos(a + P) = cos(7t - y ) < = > a + p + y = ĩt Khi đó, dẳng thức biến đổi vé dạng: cosot.cosp.cosy + = cosy yj(ỉ - eos2 a)(l - eos2 P) + + cõsa ^ (l-p 2)(l-y2) + cosp 7(1- y2)(l - a z) 247 I-3 tg ¿a l-3 tg zp 1- 3tg y l-3 tg