De cuong toan 2014-2015 - Phan 211

CHUYÊN ĐỀ 5: ĐẠI SỐ TỔ HỢP, XÁC SUẤT Kiến thức 1.1 Đại số tổ hợp 1.1.1 Quy tắc cộng: Có n1 cách chọn đối tượng A1 n2 cách chọn đối tượng A2 A ∩ A2 = ∅ ⇒ Có n1 + n2 cách chọn đối tượng A1, A2 1.1.2 Quy tắc nhân: Có n1 cách chọn đối tượng A1 Ứng với cách chọn A1, có n2 cách chọn đối tượng A2 ⇒ Có n1.n2 cách chọn dãy đối tượng A1, A2 1.1.3 Hoán vị: − Mỗi cách thứ tự n phần tử gọi hoán vị n phần tử − Số hoán vị: Pn = n! 1.1.4 Chỉnh hợp: − Mỗi cách lấy k phần tử từ n phần tử (0 < k ≤ n) thứ tự chúng gọi chỉnh hợp chập k n phần tử n! k − Số chỉnh hợp: An = (n − k )! 1.1.5 Tổ hợp: − Mỗi cách lấy k phần tử từ n phần tử (0 ≤ k ≤ n) gọi tổ hợp chập k n phần tử n! k − Số tổ hợp: Cn = k !(n − k )! k n −k k −1 k k − Hai tính chất: Cn = Cn , Cn−1 + Cn−1 = Cn 1.1.6 Nhị thức Newton n (a + b) n = ∑ Cnk a n−k b k = Cn0 a n + Cn1a n−1b + + Cnnb n k =0 k n −k k − Số hạng tổng quát (Số hạng thứ k + 1): Tk +1 = Cn a b n 2 n n − Đặc biệt: (1 + x) = Cn + xCn + x Cn + + x Cn 1.2 Xác suất 1.2.1 Tính xác suất định nghĩa cổ điển: P ( A ) = + ≤ P(A) ≤ ΩA Ω + P ( Ω) = 1, P ( ∅) = 1.2.2 Tính xác suất theo quy tắc: a) Quy tắc cộng xác suất 80 Nếu A B hai biến cố xung khắc, thì: P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) c) Quy tắc nhân xác suất Nếu hai biến cố A B độc lập với thì: P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) Các dạng tốn 2.1 Bài tốn đếm: Ví dụ Cho tập A = { 1;2;3; 4;5;6;7} a) Có số tự nhienegoomf chữ số đôi khác lấy từ tập A b) Từ tập A lập số chẵn có chữ số đơi khác Lời giải a) Gọi số cần tìm : n = abcde Các số tự nhiên có chữ số khác lấy từ tập A chỉnh hợp chập phần tử A75 = 2520 b) Gọi số cần tìm : n = abcdef + n số chẵn f ∈ {2;4;6} ⇒ có cách chọn f + số lại A65 Theo quy tắc nhân: A65 =2160 (số) Ví dụ Cho tập A = { 0;1; 2;3;4;5;6} , Từ tập A lập được: a) số có chữ số khác b) số có chữ số khác cho chữ số số lẻ c) số có chữ số khác cho chữ số chẵn Lời giải : a) Gọi số cần tìm : n = abcde Cách : + a có cách chọn + số lại A64 =360 Theo quy tắc nhân: A64 =2160 Cách 2: chọn số tập A: A75 = 2520 + Chọn số có chữ số mà chữ số đầu có chữ số 0: A64 = 360 Vậy có: A75 − A64 = 2520 − 360 = 2160 b) Gọi số cần tìm : n = abcde 81 + n số lẻ e ∈ {1;3;5} ⇒ có cách chọn e + a có cách chọn + số lại A53 = 60 Theo quy tắc nhân: 3.5.60=900 c) Gọi số cần tìm : n = abcde + n số chẵn e ∈ {0;2;4;6} TH1 : e=0 ⇒ e có cách chọn + số lại: A64 = 360 Theo quy tắc nhân: 1.360=360 TH2: e ≠ ⇒ e có cách chọn + a có cách chọn + số lại A53 = 60 Theo quy tắc nhân: 3.5.60=90 Kl: có tất cả: 360+900=1260 Ví dụ Cho tập A = { 0;1; 2;3;4;5} , từ A lập số tự nhiên gồm chữ số khác nhau, thiết phải có chữ số Lời giải Gọi số cần tìm abcde ( a ≠ ) Tìm số số có chữ số khác mà có mặt khơng xét đến vị trí a Xếp vào vị trí có: A52 cách vị trí cịn lại có A43 cách Suy có A52 A43 số Tìm số số có chữ số khác mà có mặt với a = Xếp có cách vị trí cịn lại có A43 cách Suy có 4.A43 số Vậy số số cần tìm tmycbt là: A52 A43 − A43 = 384 Ví dụ Cho tập hợp A={1;2;3;4;5;6} Hỏi có tập chứa phần tử tập A 82 Lời giải Tập chứa phần tử tập A : C62 =15 Ví dụ Một có 52 quân màu a) Có cách rút quân có quân píc, quân chuồn quân b) Có cách rút quân có đỏ đen? Lời giải a) + Lấy pic 13 : C13 + Lấy chuồn 13 C13 + Lấy 13 C13 Theo quy tắc nhân : C13 C13 C13 =290004 b) Số cách rút đỏ đen : C26 C26 = 845000 Tập chứa phần tử tập A : C62 =15 Ví dụ Một hộp đựng viên bi màu xanh, viên bi màu vàng a) Có cách lấy viên bi b) Có cách lấy viên bi có màu xanh vàng c) Có cách lấy viên bi cho có viên bi màu xanh Lời giải a) C12 = 924 b) Số cách lấy viên bi xanh, vàng : C52 C74 = 350 c) + chọn viên bi : C12 = 924 + viên bi lấy khơng có viên màu xanh : C76 = Vậy có tất : 924-7=917 (cách) Ví dụ Có số tự nhiên có chữ số khác mà số ln ln có mặt hai chữ số chẵn ba chữ số lẻ Lời giải Từ giả thiết tốn ta thấy có C52 = 10 cách chọn chữ số chẵn (kể số có chữ số đứng đầu) C53 =10 cách chọn chữ số lẽ => có C52 C53 = 100 số chọn Mỗi số có 5! số thành lập => có tất C52 C53 5! = 12000 số Mặt khác số số lập mà có chữ số đứng đầu C41 C53 4! = 960 Vậy có tất 12000 – 960 = 11040 số thỏa mãn tốn Ví dụ Có 12 học sinh giỏi gồm học sinh khối 12, học sinh khối 11, học sinh khối 10 Hỏi có cách chọn học sinh cho khối có học sinh 83 Lời giải Tổng số cách chọn học sinh 12 học sinh C126 Số học sinh chọn phải thuộc khối Số cách chọn có học sinh khối 12 khối 11 là: C76 Số cách chọn có học sinh khối 11 khối 10 là: C96 Số cách chọn có học sinh khối 12 khối 10 là: C86 Số cách chọn thoả mãn đề là: C126 − C76 − C96 − C86 = 805 (cách) Ví dụ 10 Trên cạnh AB, BC, CD, DA hình vng ABCD cho 1, 2, n điểm phân biệt khác A, B, C, D Tìm n biết số tam giác có ba đỉnh lấy từ n + điểm cho 439 Lời giải Nếu n ≤ n + ≤ Do số tam giác có ba đỉnh lấy từ n + điểm khơng vượt qua C83 = 56 < 439 (loại) Vậy n ≥ Vì tam giác tạo thành ứng với tổ hợp chập n + phần tử Nhưng cạnh CD có đỉnh, cạnh DA có n đỉnh nên số tam giác tạo thành là: Cn3+6 − C33 − Cn3 = ( n + ) ( n + ) ( n + ) − − ( n − ) ( n − 1) n = 439 6 ⇔ (n + 4)(n + 5)(n + 6) – (n – 2)(n – 1)n = 2540 ⇔ n2 + 4n – 140 = Từ tìm n = 10 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho tập A = {1;2;3;4;5 ;9} a) Từ tập A lập số lẻ có chữ số đơi khác nhau? (ĐS: 33600) b) Từ tập A lập số có chữ số đơi khác cho có chữ số lẻ chữ số chẵn? (ĐS:1440) c) Từ tập A lập số có chữ số đôi khác cho chữ số đầu lẻ, chữ số cuối chẵn? (ĐS:16800) d) Từ tập A lập số tự nhiên có chữ số đôi khác cho chữ số đầu cuối chẵn? (ĐS: 2520) Bài 2: Từ số {1;2;3;4;5} lập số tự nhiên mà số có chữ số khác nhau? (ĐS: 325) Bài 3: Cho tập hợp A={0;1;2;3;4;5;7;8;9} Từ tập A lập được: a) Bao nhiêu số có chữ số khác >50.000 (ĐS:3360) b) Có chữ số khác số chẵn? (ĐS:3000) Bài 4: a) Có số tự nhiên chia hết cho mà số có chữ số khác nhau? (ĐS:952) b) Từ số {0;1;2;3;4;5;6;7;8} lập số tự nhiên chẵn có chữ số khác nhau? (ĐS:90720) 84 Bài 5: Trong lơ hàng có 10 quạt bàn quạt trần a) Có cách lấy quạt có quạt có quạt bàn (ĐS:1200) b) Có cách lấy quạt có quạt bàn (ĐS:1260) Bài 6: Lớp học có nam 12 nữ a) Chọn học sinh cho có đủ nam nữ Có cách chọn (ĐS:37808) b) Chọn từ 10 học sinh cho có học sinh nam (ĐS: 182930) Bài 7: Trong lớp 11A5 có nam nữ Cơ giáo muốn chọn học sinh để làm trực nhật lớp học phải có học sinh nam Hỏi có cách chọn (ĐS: 216) Bài 8: Một lớp học có 30 người có cán lớp Hỏi có cách chọn em lớp để trực tuần cho em ln có cán lớp (ĐS:1135) Bài 9: Có số tự nhiên gồm bốn chữ số khác mà số lớn 2010 2) Cho hai đường thẳng song song d1 d2 Trên đường thẳng d1 có 10 điểm phân biệt, đường thẳng d2 có n điểm phân biệt ( n ≥ ) Biết có 2800 tam giác có đỉnh điểm cho Tìm n 3) Cho tập A = { 0;1; 2;3;4;5} , từ A lập số tự nhiên gồm chữ số khác nhau, thiết phải có chữ số 3.hoctoancapba.com 2.2 Nhị thức Newton: n   Ví dụ Tìm số hạng không chứa x khai triển nhị thức  2.x + ÷, x  biết An2 − Cnn+−11 = 4n + Lời giải Giải phương trình An2 − Cnn+−11 = 4n + ; Điều kiện: n ≥ ; n ∈ N Phương trình tương đương với n(n − 1) − (n + 1)! n(n + 1) = 4n + ⇔ n(n − 1) − = 4n + 2!( n − 1)! ⇔ n2 – 11n – 12 = ⇔ n = - (Loại) v n = 12 12   Với n = 12 ta có nhị thức Niutơn:  2x + ÷ x  k k 12 12 − k Số hạng thứ k + khai triển là: Tk +1 = C (2 x) k Hay Tk+ = C k ( x ) 12 −k x − = C k 212−k.x 12 12 24−3 k    ÷ ; k ∈ N, ≤ k ≤ 12  x k ∈ N , ≤ k ≤ 12 ⇔ k = Số hạng không chứa x  24 − 3k = Vậy số hạng thứ không chứa x T9 = C128 24 = 7920 85 Ví dụ Tìm hệ số x8 khai triển (x2 + 2)n, biết: An3 − 8Cn2 + Cn1 = 49 Lời giải Điều kiện n ≥ n k k n−k Ta có ( x + ) = ∑ Cn x n k =0 Hệ số số hạng chứa x8 Cn4 2n− Hệ số số hạng chứa x8 Cn4 2n− Ta có: An3 − 8Cn2 + Cn1 = 49 ⇔ (n – 2)(n – 1)n – 4(n – 1)n + n = 49 ⇔ n3 – 7n2 + 7n – 49 = ⇔ (n – 7)(n2 + 7) = ⇔ n = Nên hệ số x8 C74 23 = 280 Ví dụ (ĐH) Cho khai triển đa thức: ( − x ) 2013 = ao + a1 x + a2 x + + a2013 x 2013 Tính tổng: S = a0 + a1 + a2 + + 2014 a2013 Lời giải Ta có: x(1 − x) 2013 ′ = a + 2a x + 3a x + + 2014a ( ) 2014 x 2013 ⇔ (1 − x) 2013 − 4026 x(1 − x)1012 = a0 + 2a1 x + 3a2 x + + 2014a2013 x 2013 (*) k k Nhận thấy: ak x = ak (− x) thay x = −1 vào hai vế (*) ta có: S = a0 + a1 + a2 + + 2014 a2013 = 1343.32213 Ví dụ (ĐH) Cho khai triển: ( + x ) 10 (x + x + 1) = ao + a1 x + a2 x + + a14 x14 Hãy tìm giá trị a6 Lời giải Ta có x + x + = (2 x + 1) + nên 4 10 ( + x ) ( x + x + 1)2 = (1 + x)14 + (1 + x)12 + (1 + x)10 16 16 Trong khai triển ( + 2x ) 14 hệ số x là: 26 C146 ; Trong khai triển ( + 2x ) 26 C126 Trong khai triển ( + 2x ) Vậy hệ số a6 = 10 hệ số x là: 26 C106 6 6 6 C14 + C12 + C10 = 41748 16 16 86 12 hệ số x là: 100 + 8C100 + 12C100 + + 200C100 Ví dụ (ĐH) Tính giá trị biểu thức: A = 4C100 Lời giải Ta có: ( + x ) 100 100 100 = C100 + C100 x + C100 x + + C100 x (1− x) 100 100 100 = C100 − C100 x + C100 x − C100 x + + C100 x (2) Lấy (1)+(2) ta được: ( + x ) Lấy đạo hàm 100 ( + x ) − 100 ( − x ) 99 99 100 + ( 1− x) hai 100 (1) 100 100 = 2C100 + 2C100 x + 2C100 x + + 2C100 x vế theo ẩn x ta được: 100 99 = 4C100 x + 8C100 x + + 200C100 x 100 + 8C100 + + 200C100 Thay x=1 vào => A = 100.299 = 4C100 BÀI TẬP TỰ LUYỆN  + 1) Tìm số hạng khơng chứa x khai triển   x 10  x ÷ với x >  C2012 C1 C2 C 2012 + 2012 + 2012 + L + 2012 2013 2 2012 C2012 2C2012 C2012 23 C2012 22012 C2012 − + − + + 3) Tính tổng S = 1.2 2.3 3.4 4.5 2013.2014 2) Tính tổng: T = 2.3 Xác suất: Ví dụ Một hộp chứa cầu màu đỏ, cầu màu xanh cầu màu vàng Lấy ngẫu nhiên lúc cầu từ hộp Tính xác suất cho cầu lấy có cầu màu đỏ không hai cầu màu vàng Lời giải Số phần tử không gian mẫu Ω = C16 = 1820 Gọi B biến cố “ lấy có cầu màu đỏ không hai màu vàng” Ta xét ba khả sau: - Số cách lấy đỏ, xanh là: C41C53 - Số cách lấy đỏ, xanh, vàng là: C41C52C71 - Số cách lấy đỏ, xanh, vàng là: C41C51C72 hoctoancapba.com 1 2 Khi Ω B = C4C5 + C4C7C5 + C4C7 C5 = 740 Xác suất biến cố B P ( B ) = ΩB 740 37 = = Ω 1820 91 Ví dụ Chọn ngẫu nhiên tú lơ khơ Tính xác suất cho quân có quân thuộc (ví dụ K) Lời giải 87 Số cách chọn quân tú lơ khơ là: C552 = 2598960 Số cách chọn quân tú lơ khơ mà quân có quân thuộc là: 13 C34 = 52 Xác suất để chọn quân tú lơ khơ mà quân có quân 52 13 = 2598960 649740 Ví dụ Cho E tập số tự nhiên gồm chữ số khác lập từ chữ số: 0,1,2,3,4,5,6,7 Lấy ngẫu nhiên số E Tính xác suất để lấy số chia hết cho Lời giải thuộc là: Giả sử abcde ∈E ⇒ a ≠ ⇒có cách chon a; & Chọn bcde có A ⇒ n( E ) = A = 5880 e = ⇒ n(Ω) = 5880; abcde ∈ E abcdeM5 ⇔  ⇒ Trong E có : A + 6A 36 = 1560 e = Số chia hết cho Gọi A biến cố chọn dc số chia hết cho n(A)=1560 1560 13 P( A) = = 5880 49 Ví dụ Cho tập E = { 1, 2,3, 4,5} Viết ngẫu nhiên lên bảng hai số tự nhiên, số gồm chữ số đôi khác thuộc tập E Tính xác suất để hai số có số có chữ số Lời giải Số số tự nhiên có chữ số đơi khác thuộc tập E là: 5.4.3 = 60 Trong số số khơng có mặt chữ số 4.3.2=24, số số có mặt chữ số 60 − 24 = 36 Gọi A biến cố “hai số viết lên bảng có mặt chữ số 5”, B biến cố “hai số viết lên bảng khơng có mặt chữ số 5” Rõ ràng A,B xung khắc Do áp dụng qui tắc cộng xác suất ta có: 1 C C36 C24 C24 13 P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) = 36 + = 1 1 C60 C60 C60 C60 25 13 12 = 25 25 Ví dụ Trong kì thi Thí sinh phép thi lần Xác suất lần đầu vượt qua kì thi 0,9 Nếu trượt lần đầu xác suất vượt qua kì thi lần hai 0,7 Nếu trượt hai lần xác suất vượt qua kì thi lần thứ ba 0,3 Tính xác suất để thí sinh thi đậu Lời giải Gọi Ai biến cố thí sinh thi đậu lần thứ i (i = 1;2;3) Gọi B biến cố để thí sinh thi đậu Suy xác suất để hai số có số có chữ số P = − P ( A ∪ B ) = − Ta có: B = A1 ∪ (A1A ) ∪ (A1 A A ) 88 Suy ra: P(B) = P(A1 ) + P(A1A ) + P(A1 A 2A ) P(A1 ) = 0,9  Trong đó: P(A1A ) = P(A1 ).P(A / A1 ) = 0,1.0,  P(A1 A A ) = P(A1 ).P(A / A1 ).P(A / A1 A ) = 0,1.0,3.0,3 Vậy: P(B) = 0,9 + 0,1.0, + 0,1.0,3.0,3 = 0,979 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1) Từ chữ số tập T = { 0;1;2;3;4;5} , người ta ghi ngẫu nhiên hai số tự nhiên có ba chữ số khác lên hai thẻ Tính xác suất để hai số ghi hai thẻ có số chia hết cho 2) Có 10 học sinh lớp A; học sinh lớp B học sinh lớp C Chọn ngẫu nhiên học sinh từ học sinh Tính xác suất cho lớp có học sinh chọn có học sinh lớp A 3) Một hộp đựng 11 viên bi đánh số từ đến 11 Lấy ngẫu nhiên viên bi cộng số viên bi lại với Tính xác suất để kết thu số lẻ 4) Một hộp đứng bút màu xanh, bút màu đen, bút màu tím bút màu đỏ Lấy ngẫu nhiên bút Tính xác suất để lấy bút màu CHUYÊN ĐỀ 6: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Biên soạn sưu tầm: Hoàng Văn Quý – GV trường THPT Lương Tài số Kiến thức liên quan 1.1 Công thức nguyên hàm Nguyên hàm hàm số ∫ dx = x + C α ∫ x dx = xα +1 + C , α ≠ −1 α +1 Nguyên hàm mở rộng ∫ a.dx = ax + C , a ∈ ¡ ( ax + b)α +1 α ( ax + b ) dx = +C ∫ a α +1 89 c) K = ∫ xe x dx u = x du = dx ⇒    x x dv = e dx v = e  K = xe x 1 − ∫ e x dx = e − e x = 0 Ví dụ Tính tích phân sau ln  x  − x2   / I = ∫  x2 + dx / J = e + x ÷dx ÷ ∫ x + x e +   1  Lời giải 2  − x2  − x2 1/ I = ∫  x + dx ÷dx = ∫ x dx + ∫ x + x3  x + x2 1 1 3/ K = ∫ x2 − ln xdx x2 2 Tính I1 = ∫ x dx = x = 3 2 1− x dx = ∫ x + x 1 I2 = ∫ Vậy I = I1 + I = ln 2/ J = ∫ ∫ e dx = e x ln J2 = ∫ ex + + ln ln ln  x  x e + dx = e dx + dx  ÷ ∫ ∫ x x e +2 e +2  0 ln J1 = 1  + x − d ÷ x 1    x2 dx = − ∫ dx = − ln  + x ÷ = ln 1 x 1 +x +x x x x ln =3 dx; t = e x ⇒ t = e x ⇒ 2tdt = e x dx ⇒ dx = 2  t  ⇒ J2 = ∫ dt = ln  ÷ = ln t t + 2)  t + 1 ( Vậy J = J1 + J = + ln 96 dt t 3/K = ∫ x2 −1 ln xdx x2  u = ln x du = dx  11      x ⇒ K =  x + ÷ln x − ∫  x + ÷ dx Đặt  x −1 ⇒  x xx  1 dv = dx v = x + x   x 2 1 1   ⇒ K =  x + ÷ln x −  x − ÷ = ln − x x 1 2   Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau a) y = x , trục hoành hai đường thẳng x=0, x=2 b) y = x , y = −2 x + hai đường thẳng x =0, x=2 c) y = x , y = x + Lời giải a) y = x , trục hoành hai đường thẳng x= 0, x=2  Trên [0; 2] ta có x = ⇔ x = ∈ [0;2]  Diện tích hình phẳng cho: S=∫ x dx = x = 3 b) Đặt f1 ( x) = x , f ( x) = −2 x +  x = ∈ [0;2] 2 Ta có: f1 ( x) − f ( x) = ⇔ x − ( −2 x + 3) = ⇔ x + x − = ⇔   x = −3 ∉ [0;2]  Diện tích hình phẳng cho S = ∫ | x + x − | dx = ∫ ( x + x − 3)dx + ∫ ( x + x − 3)dx 1  x3   x3  =  + x − 3x ÷ +  + x − 3x ÷  0  1 = − + + − − −1 + = + = 3 3  x = −1 2 c) Ta có: x − ( x + 2) = ⇔ x − x − = ⇔  x = 97 Diện tích hình phẳng  x3 x  1 S = ∫ | x − x − | dx =  − − 2x ÷ = − − + + − = 2   −1 −1 Ví dụ Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh quay hình (D) quanh trục Ox biết (D) giới hạn y = − x , y = Lời giải  Ta có: − x = ⇔ x = ±1 b  Áp dụng công thức: V = π ∫ f ( x)dx a 1  2x x5  + ÷  Ta có: V = π ∫ (1 − x ) dx = π ∫ ( − 2x + x ) dx = π  x −  −1 −1  −1 2      16π  = π 1 − + ÷−  −1 + − ÷ = π  − + ÷ =   15     Bài Tập tự luyện Bài 1: Tính tích phân sau e ∫ ( x + x + 1)dx ∫ ( x + π ∫ (2sin x + 3cosx + x) dx π ∫ ( x + 1)( x − x + 1)dx 1 + + x )dx x x ∫ 1 ∫ (e + x)dx x ∫ (x π ∫ (3sin x + 2cosx + ) dx x π x + 1dx + x x )dx x ∫ (e + x + 1)dx e2 10 ∫ (x 7x − x − dx 11 ∫ x + 1).dx −1  1 14 ∫  + ÷dx x x  1 13 ∫ ( x − 4)dx −3  16 ∫  x − 3 x 1  ÷dx  Bài 2: Tính tích phân sau 98 12 ∫ x( x − 3)dx −2 x2 − 2x dx 15 ∫ x π ∫ sin xcos xdx 2 π ∫ + 4sin xcosxdx ∫ x − x dx π ∫ e ∫ x x + 1dx sin x x2 ∫ x +1 dx cosxdx sin x(1 + sin x)3dx ∫ cos x ∫ − 5sin x + sin x 13 ∫ e +2 x dx e xdx + ln x dx x ∫ 14 1 16 ∫ x x + 1dx ln dx 19 ∫ x e + 2e − x − ln − x dx 2 ∫ x (1 − x ) dx 12 17 ∫ x x + 5dx −x 15 sin(ln x) dx x ∫ 18 ∫x x2 + π 1 21 4− x dx 24 dx sin x dx x ∫ cos ∫ + 4sin x cos xdx 20 ∫ e dx 23 ∫ 0 π e 1 ∫ x dx x −1 ∫ 11 x ∫ (1 + 3x ) dx π 6 π π 22 1 12 π ∫1+ x dx Bài 3: Tính tích phân sau π ∫ x cos 2 ∫ e sin xdx x xdx 0 ∫ xe dx ( x + cos x)sin xdx ∫ 10 ∫ x ln(1 + x )dx 2 13 ∫ (2 x + 7) ln( x + 1) dx π ∫ x ln xdx ( x + 1)sin xdx ∫ π (2 x − 1)cosxdx ∫ e x π π e x sin 3xdx ∫ 2x ∫ ( x − 2)e dx e 11 ∫ (2 x + 2) ln xdx 12 π ∫ x cos x dx 2x 14 ∫ ( x − 2)e dx Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: 99 a) y = − x + x − , trục hoành, x = x = 3 b) y = x + 1, x = −1, x = trục hoành c) y = x3 − 12 x, y = x d) y = x − tiếp tuyến điểm có tung độ -2 e) y = x − x, y = 0, x = 0, x = 3π x g) y = e , Ox, x = 0, x = f) y = sinx, y=0, x=0, x= Bài 5: Tính thể tích vật trịn xoay quay hình phẳng giới hạn đường sau quanh trục hoành: a) y = x − x, y = 0, x = 0, x = b) y = cos x, y = 0, x = 0, x = π c) y = tan x, y = 0, x = 0, x = π d) y = − x , y = 1 e) y = ln x, x = , x = e, y = e CHUYÊN ĐỀ 7: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Biên soạn sưu tầm: Hoàng Văn Quý – GV trường THPT Lương Tài số Kiến thức liên quan 1.1 Một số phép toán vectơ 100 uuur AB = ( xB − x A , yB − y A , z B − z A ) uuur 2 2 AB = AB = ( xB − x A ) + ( yB − y A ) + ( zB − z A ) r r r r a ± b = ( a1 ± b1 , a2 ± b2 , a3 ± b3 ) a = ( a1 , a2 , a3 ) , b = ( b1 , b2 , b3 ) r k.a = ( ka1 , ka2 , ka3 ) r a = a12 + a22 + a32 a = b r r  1 a = b ⇔ a2 = b2 a = b  rr a.b = a1.b1 + a2 b2 + a3 b3 r r r r a a a a cp b ⇔ a = k b ⇔ = = b1 b2 b3 r r rr a ⊥ b ⇔ a.b = ⇔ a1.b1 + a2 b2 + a3 b3 = rr a 10 [a, b] =   b2 a3 a3 , b3 b3 a1 a1 a2  , ÷ b1 b1 b2  11 M trung điểm AB  x + xB y A + y B z A + z B  M A , , ÷ 2   12 G trọng tâm tam giác ABC  x + xB + xC y A + yB + yC z A + zB + zC  G A , , ,÷ 3   1.2 Phương trình mặt phẳng r *) Phương trình mp(α) qua M(xo ; yo ; zo) có vtpt n = (A;B;C) A(x – xo) + B(y – yo ) + C(z – zo ) = r (α) : Ax + By + Cz + D = ta có vtpt n = (A; B; C) *) Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) x y z + + =1 a b c Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng ta cần xác định tọa độ điểm qua véctơ pháp tuyến *) Vị trí tương đối hai mp (α1) (α2) : ° (α ) cắt ( β ) ⇔ A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2 ° (α ) / / ( β ) ⇔ A1 B1 C1 D1 = = ≠ A2 B2 C2 D2 101 ° (α ) ≡ ( β ) ⇔ A1 B1 C1 D1 = = = A2 B2 C2 D2 ° (α ) ⊥ ( β ) ⇔ A1 A2 + B1B2 + C1C2 = *) Khoảng cách từ M(x0,y0,z0) đến (α) : Ax + By + Cz + D = Ax o + Byo + Cz o + D d(M,α ) = A + B2 + C r r n1 n2 *) Góc hai mặt phẳng : cos((α ),(β )) = r r n1 n2 1.3 Phương trình đường thẳng r *) Phương trình tham số đường thẳng d qua M(xo ;yo ;zo) có vtcp a = (a1;a2;a3)  x = x o + a1t  d : y = y o + a2 t ( t ∈ ¡ ) z = z + a t o  *) Phương trình tắc d : d: x − xo a = y − yo a2 = z - z0 a3 *) Vị trí tương đối đường thẳng d , d’ : Ta thực hai bước r uur + Tìm quan hệ vtcp a d , a d /  x + a1t = x'0 + a'1t'  + Tìm điểm chung d , d’ cách xét hệ:  y + a t = y'0 + a'2 t' (I) z + a t = z' + a' t'  r uur Hệ (I) Quan hệ a d , a d / Vị trí d , d’ Vơ số nghiệm Cùng phương d ≡ d' Vô nghiệm d / /d ' Có nghiệm d cắt d’ Khơng phương Vơ nghiệm d , d’ chéo *) Góc đường thẳng : Gọi ϕ góc d d’ r uur ad ad / cosϕ = r uur (0o ≤ ϕ ≤ 90o ) ad ad / 1.4 Một số dạng toán thường gặp  Dạng 1: Các toán bản( yếu tố cho sẵn) • Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm, qua điểm song song với mặt phẳng cho trước • Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm, song song với đường thẳng cho trước 102 • Chứng minh ABCD tứ diện, tính diện tích tam giác biết tọa độ ba điểm • Tìm tọa độ hình chiếu điểm đường thẳng, mặt phẳng • Viết phương trình mặt cầu biết tâm bán kính, qua điểm cho  Dạng 2: Bài toán phương trình mặt phẳng vấn đề liên quan • Viết phương trình mặt phẳng cách xác định VTPT • Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách • Viết phương trình mặt phẳng dạng đoạn chắn • Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến góc • Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu • Các dạng tốn khác mặt phẳng  Dạng 3: Bài tốn phương trình đường thẳng vấn đề liên quan • Viết phương trình đường thẳng cách xác định VTCP • Viết phương trình đường thẳng liên quan đến đường thẳng khác • Viết phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách • Viết phương trình đường thẳng liên quan đến góc • Viết phương trình đường thẳng liên quan đến diên tích tam giác  Dạng Các tốn tổng hợp 1.5 Phương trình mặt cầu 1.5.1 Phương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c), bán kính R (S) : ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = r (1) 2 +/ (S) : x2 + y2 + z2 − 2ax − 2by − 2cz + d = (2) ( với a2 + b2 + c2 − d > ) +/Ta có: Tâm I(a ; b ; c) r = a + b2 + c2 − d 1.5.2 Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu Cho (S) : ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = r ( α) : Ax + By + Cz + D = 2 Gọi d = d(I,(α)) : khoảng cách từ tâm mặt cầu (S) đến mp(α)  d > r : (S) ∩ (α) = ∅  d = r : (α) tiếp xúc (S) H (H: tiếp điểm, (α): tiếp diện) *Tìm tiếp điểm H (là hình chiếu vng góc tâm I mp(α ) ) uur r + Viết phương trình đường thẳng d qua I vng góc mp(α) : ta có ad = n (α ) + H = d ∩ (α) Gọi H (theo t) ∈ d H∈ (α) ⇒ t = ? ⇒ tọa độ H (S) : ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = r  d < r : (α) cắt (S) theo đường tròn (C):  (α ) : Ax + By + Cz + D = *Tìm bán kính R tâm H đường trịn giao tuyến: + Bán kính R = r − d2 ( I ,(α )) + Tìm tâm H ( hình chiếu vng góc tâm I mp(α) ) 103 1.5.3 Các dạng toán mặt cầu • Viết phương trình mặt cầu cách xác định tâm bán kính • Viết phương trình mặt cầu cách xác định hệ số phương trình tổng qt • Bài tốn khác liên quan đến mặt cầu VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng x = t x−2 y−2 z−2  d1 : = = & d :  y = + 2t ( t ∈ R ) z = t  Chứng minh hai đường thẳng song song Viết phương trình mp(P) chứa đường thẳng Lời giải ur uur • Ta có u1 = ( 2;4;2 ) ; u2 = ( 1;2;1) suy hai véc tơ phương • Ta có M ( 2;2;2 ) ∈ d1 M ( 2;2;2 ) ∉ d • Suy hai đường thẳng song song ur uuuur ur uuuur • Ta có u1 = ( 2;4;2 ) ; MN = ( −2; −1; −2 ) ⇒ u1, MN  = ( 6;0;6 ) với N(0;1;0) • Phương trình mp(P): x+z-4=0 Ví dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x-2y-3z+1=0 mặt phẳng (Q): 5x+2y+5z-1=0 Viết phương trình mặt phẳng (R) vng góc với mp(P) mp(Q) đồng thời biết khoảng cách từ gốc tọa độ đến mp(R) Lời giải uur uur uur • Ta có nR =  nP , nQ  = ( −4; −30;16 ) • Suy phương trình (R) là: -4x-30y+16z+D=0 D =1 • Ta có d ( O; ( R ) ) = 293 • Vậy phương trình mp(R) là: −2 x − 15 y + z ± 293 = Ví dụ 3: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0,1,2), B(2,-2,1), C(-2;0;1) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng 2x+2y+z-3=0 cho MA=MB=MC Lời giải 1.Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C uuur uuur r uuur uuur AB = 2; − 3; − ; AC = − 2; − 1; − ⇒ n =  AB, AC  = ( 2;4; −8 ) ( ) ( ) • Ta có • Phương trình mặt phẳng(ABC) : x+2y-4z+6=0 Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng 2x+2y+z-3=0 cho MA=MB=MC uuur uuur • Ta có AB AC = nên M thuộc đường thẳng vng góc với (ABC) trung điểm I(0;-1;1) đoạn BC 104 ... đặt t = e x dx - Nếu tích phân chứa đặt t = x x dx - Nếu tích phân chứa đặt t = x x - Nếu tích phân chứa cos xdx đặt t = sin x - Nếu tích phân chứa sin xdx đặt t = cos x dx - Nếu tích phân... lấy số chia hết cho Lời giải thuộc là: Giả sử abcde ∈E ⇒ a ≠ ⇒có cách chon a; & Chọn bcde có A ⇒ n( E ) = A = 5880 e = ⇒ n(Ω) = 5880; abcde ∈ E abcdeM5 ⇔  ⇒ Trong E có : A + 6A 36 = 1560 e =... mũ, mẫu - Nếu hàm có chứa dấu ngoặc kèm theo luỹ thừa đặt t phần bên dấu ngoặc có luỹ thừa cao - Nếu hàm chứa mẫu số đặt t mẫu số - Nếu hàm số chứa thức đặt t = thức 94 dx đặt t = ln x x - Nếu