Tài Liệu Quan hệ song song

Quan hệ song song I Hai đường thẳng song song A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Vị trí tương đối đường thẳng phân biệt Cho đường thẳng phân biệt a,b không gian: a)Không có mặt phẳng chứa đồng thời a b , ta nói đường thẳng a b chéo b)Có mặt phẳng chứa a b , ta nói đường thẳng a b đồng phẳng +) Nếu a b điểm chung , ta nói chúng song song với kí hiệu a // b +) Nếu a b có điểm chung , ta nói chúng cắt Nếu điểm chung chúng I , ta nói chúng cắt I I giao điểm chúng viết a ∩ b={I} Định nghĩa : Hai đường thẳng gọi chéo chúng không đồng phẳng Hai đường thẳng gọi song song chúng đồng phẳng điểm chung 2.Hai đường thẳng song song Tính chất 1: Trong không gian ,qua điểm nằm đường thẳng , có đường thẳng song song với đường thẳng Tính chất 2: Hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba hai đường thẳng song song với Định lý: Nếu ba mặt phẳng cắt theo ba giao tuyến phân biệt ba giao tuyến đồng qui song song với Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt qua hai đường thẳng song song giao tuyến chúng ( có ) song song với hai đường thẳng (hoặc trùng với hai đường thẳng đó) B.BÀI TẬP ÁP DỤNG Dạng : Chứng minh hai đường thẳng a b song song : Sử dụng cách sau : • Chứng minh a b đồng phẳng điểm chung • Chứng minh a b phân biệt song song với đường thẳng thứ ba • Chứng minh a b đồng phẳng áp dụng tính chất hình học phẳng (cạnh đối hình bình hành , định lý talet … ) • Sử dụng định lý • Chứng minh phản chứng Bài tập : Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD hình bình hành Gọi A’ ,B’ , C’ ,D’ trung điểm cạnh SA , SB , SC , SD a Chứng minh A’B’C’D’ hình bình hành S b Gọi M điểm BC Tìm thiết diện (A’B’M) với hình chóp S.ABCD Giải a Chứng minh A’B’C’D’ hình bình hành : D' C' Trong tam giác SAB, ta có : A’B’ // AB A' B' // Trong tam giác SCD, ta có : C’D’ CD D C Mặt khác AB // CD N M A ⇒ A’B’ // C’D’ Vậy : A’B’C’D’ hình bình hành B b Tìm thiết diện (A’B’M) với hình chóp S.ABCD: Ta có : AB ∕ ∕ A’B’ M điểm chung (A’B’M) (ABCD) Do giao tuyến (A’B’M) (ABCD) Mx song song AB A’B’ Gọi N = Mx ∩ AD Vậy : thiết diện hình thang A’B’MN Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD hình thang với cạnh đáy AB CD (AB >CD) Gọi M , N trung điểm cạnh SA , SB a Chứng minh : MN ∕ ∕ CD b Tìm P = SC ∩ (ADN) c Kéo dài AN DP cắt I Chứng minh : SI ∕ ∕ AB ∕ ∕ CD Tứ giác SABI hình ? Giải a Chứng minh : MN ∕ ∕ CD : Trong tam giác SAB, ta có : MN ∕ ∕ AB Mà AB ∕ ∕ CD ( ABCD hình thang ) Vậy : MN ∕ ∕ CD b Tìm P = SC ∩ (ADN): • Chọn mp phụ (SBC) ⊃ SC • Tìm giao tuyến (SBC ) (ADN) Ta có : N điểm chung (SBC ) (ADN) Trong (ABCD), gọi E = AD ∩ AC ⇒ ( SBC) ∩ (ADN ) = NE S I N M B A P C D E • Trong (SBC), gọi P = SC ∩ NE Vậy : P = SC ∩ ( ADN ) c Chứng minh : SI // AB // CD Tứ giác SABI hình ? SI = (SAB) ∩ ( SCD ) AB ⊂ ( SAB)  ⇒ SI // AB // CD ( theo định lí 2) Ta có :  CD ⊂ ( SCD ) AB / / CD Xét ∆ ASI , ta có : SI // MN ( song song AB) M trung điểm AB ⇒ SI // 2MN Mà AB // 2.MN Do : SI // AB Vậy : tứ giác SABI hình bình hành Dạng : Xác định giao tuyến hai mặt phẳng (α) (β) Phương pháp : • Tìm hai điểm chung phân biệt hai mặt phẳng (α) (β) • Đường thẳng qua hai điểm chung giao tuyến cần tìm Chú ý : Để tìm chung (α) (β) thường tìm đường thẳng đồng phẳng nằm hai mp giao điểm có hai đường thẳng điểm chung hai mặt phẳng Bài tập : Trong mặt phẳng ( α ) cho tứ giác ABCD có cặp cạnh đối không song song điểm S ∉ (α ) a Xác định giao tuyến (SAC ) (SBD) S b Xác định giao tuyến (SAB) (SCD) c Xác định giao tuyến (SAD) (SBC) Giải a Xác định giao tuyến (SAC) (SBD) Ta có : S điểm chung (SAC) (SBD) C Trong (α), gọi O = AC ∩ BD A • O ∈ AC mà AC ⊂ (SAC) ⇒ O ∈ (SAC) J • O ∈ BD mà BD ⊂ (SBD) ⇒ O ∈ (SBD) k ⇒ O điểm chung (SAC) (SBD) O B Vậy : SO giao tuyến (SAC) (SBD) D b Xác định giao tuyến (SAB) (SCD) Ta có: S điểm chung (SAC) (SBD) Trong (α) , AB không song song với CD Gọi I = AB ∩ CD I • I ∈ AB mà AB ⊂ (SAB) ⇒ I ∈ (SAB) • I ∈ CD mà CD ⊂ (SCD) ⇒ I ∈ (SCD) ⇒ I điểm chung (SAB) (SCD) A Vậy : SI giao tuyến (SAB) (SCD) Cho bốn điểm A,B,C,D không thuộc mặt phẳng M Trên đoạn thẳng AB, AC, BD lấy điểm M, N, P cho MN không song P D song với BC Tìm giao tuyến ( BCD) ( MNP) B Giải • P ∈ BD mà BD ⊂ ( BCD) ⇒ P ∈ ( BCD) N • P ∈ ( MNP) ⇒ P điểm chung ( BCD) ( MNP) C Trong mp (ABC) , gọi E = MN ∩ BC E • E ∈ BC mà BC ⊂ ( BCD) ⇒ E ∈ ( BCD) • E ∈ MN mà MN ⊂ ( MNP) ⇒ E ∈ ( MNP) ⇒ E điểm chung ( BCD) ( MNP) Vậy : PE giao tuyến ( BCD) ( MNP) Dạng : Chứng minh ba điểm thẳng hàng Phương pháp : •Chứng minh ba điểm thuộc hai mp phân biệt •Khi ba điểm thuộc đường thẳng giao tuyến hai mp Bài tập : Cho hình bình hành ABCD S điểm không thuộc (ABCD) ,M N trung điểm đoạn AB SC a Xác định giao điểm I = AN ∩ (SBD) S b Xác định giao điểm J = MN ∩ (SBD) c Chứng minh I , J , B thẳng hàng Giải N a Xác định giao điểm I = AN ∩ (SBD ) • Chọn mp phụ (SAC) ⊃ AN • Tìm giao tuyến (SAC ) (SBD) ⇒ ( SAC) ∩ (SBD) = SO • Trong (SAC), gọi I = AN ∩ SO I ∈ AN I ∈ SO mà SO ⊂ ( SBD) ⇒ I ∈ ( SBD) Vậy: I = AN ∩ ( SBD) I D C J O A M E B b Xác định giao điểm J = MN ∩ (SBD) • Chọn mp phụ (SMC) ⊃ MN • Tìm giao tuyến (SMC ) (SBD) S điểm chung (SMC ) (SBD) Trong (ABCD) , gọi E = MC ∩ BD ⇒ ( SAC) ∩ (SBD) = SE • Trong (SMC), gọi J = MN ∩ SE J∈ MN J∈ SE mà SE ⊂ ( SBD) ⇒ J ∈ ( SBD) Vậy J = MN ∩ ( SBD) c Chứng minh I , J , B thẳng hàng Ta có : B điểm chung (ANB) ( SBD) • I ∈ SO mà SO ⊂ ( SBD) ⇒ I ∈ ( SBD) • I ∈ AN mà AN ⊂ (ANB) ⇒ I ∈ (ANB) ⇒ I điểm chung (ANB) ( SBD) • J ∈ SE mà SE ⊂ ( SBD) ⇒ J∈ ( SBD) • J ∈ MN mà MN ⊂ (ANB) ⇒ J ∈ (ANB) ⇒ J điểm chung (ANB) ( SBD) Vậy : B , I , J thẳng hàng Cho tứ giác ABCD S ∉ (ABCD) Gọi I , J hai điểm AD SB , AD cắt BC O OJ cắt SC M a Tìm giao điểm K = IJ ∩ (SAC) b Xác định giao điểm L = DJ ∩ (SAC) c Chứng minh A ,K ,L ,M thẳng hàng Giải S a Tìm giao điểm K = IJ ∩ (SAC) • Chọn mp phụ (SIB) ⊃ IJ J • Tìm giao tuyến (SIB ) (SAC) S điểm chung (SIB ) (SAC) M Trong (ABCD) , gọi E = AC ∩ BI L K ⇒ (SIB) ∩ ( SAC) = SE B A • Trong (SIB), gọi K = IJ ∩ SE K∈ IJ E I C F K∈ SE mà SE ⊂ (SAC ) ⇒ K ∈ (SAC) Vậy: K = IJ ∩ ( SAC) D b Xác định giao điểm L = DJ ∩ (SAC) • Chọn mp phụ (SBD) ⊃ DJ • Tìm giao tuyến (SBD ) (SAC) S điểm chung (SBD ) (SAC) O Trong (ABCD) , gọi F = AC ∩ BD ⇒ (SBD) ∩ ( SAC) = SF • Trong (SBD), gọi L = DJ ∩ SF L∈ DJ L∈ SF mà SF ⊂ (SAC ) ⇒ L ∈ (SAC) Vậy : L = DJ ∩ ( SAC) c Chứng minh A ,K ,L ,M thẳng hàng Ta có :A điểm chung (SAC) ( AJO) • K ∈ IJ mà IJ ⊂ (AJO) ⇒ K∈ (AJO) • K ∈ SE mà SE ⊂ (SAC ) ⇒ K ∈ (SAC ) ⇒ K điểm chung (SAC) ( AJO) • L ∈ DJ mà DJ ⊂ (AJO) ⇒ L ∈ (AJO) • L ∈ SF mà SF ⊂ (SAC ) ⇒ L ∈ (SAC ) ⇒ L điểm chung (SAC) ( AJO) • M ∈ JO mà JO ⊂ (AJO) ⇒ M ∈ (AJO) • M ∈ SC mà SC ⊂ (SAC ) ⇒ M ∈ (SAC ) ⇒ M điểm chung (SAC) ( AJO) Vậy : A ,K ,L ,M thẳng hàng Cho tứ diện SABC.Gọi L, M, N điểm cạnh SA, SB AC cho LM không song song với AB, LN không song song với SC a Tìm giao tuyến mp (LMN) (ABC) b Tìm giao điểm I = BC ∩ ( LMN) J = SC ∩ ( LMN) c Chứng minh M , I , J thẳng hàng Giải S a Tìm giao tuyến mp (LMN) (ABC) Ta có : N điểm chung (LMN) (ABC) Trong (SAB) , LM không song song với AB L Gọi K = AB ∩ LM C K ∈ LM mà LM ⊂ (LMN ) ⇒ K ∈ (LMN ) N K ∈ AB mà AB ⊂ ( ABC) ⇒ K ∈ ( ABC) b Tìm giao điểm I = BC ∩ ( LMN) A I M • Chọn mp phụ (ABC) ⊃ BC • Tìm giao tuyến (ABC ) (LMN) B ⇒ (ABC) ∩ ( LMN) = NK • Trong (ABC), gọi I = NK ∩ BC I∈ BC I∈ NK mà NK ⊂ (LMN ) ⇒ I ∈ (LMN) Vậy : I = BC ∩ ( LMN) Tìm giao điểm J = SC ∩ ( LMN) • Trong (SAC), LN không song song với SC gọi J = LN ∩ SC J∈ SC J∈ LN mà LN ⊂ (LMN ) ⇒ J ∈ (LMN) Vậy : J = SC ∩ ( LMN) c Chứng minh M , I , J thẳng hàng Ta có : M , I , J điểm chung (LMN) ( SBC) Vậy : M , I , J thẳng hàng Cho tứ giác ABCD S ∉ (ABCD) Gọi M , N hai điểm BC SD a Tìm giao điểm I = BN ∩ ( SAC) b Tìm giao điểm J = MN ∩ ( SAC) c Chứng minh C , I , J thẳng hàng Giải a Tìm giao điểm I = BN ∩ ( SAC) • Chọn mp phụ (SBD) ⊃ BN • Tìm giao tuyến (SBD ) (SAC) Trong (ABCD), gọi O = AC ∩ BD ⇒ (SBD) ∩ ( SAC) = SO K J S • Trong (SBD), gọi I = BN ∩ SO I∈ BN I∈ SO mà SO ⊂ (SAC ) ⇒ I ∈ (SAC) Vậy : I = BN ∩ ( SAC) b Tìm giao điểm J = MN ∩ ( SAC) : • Chọn mp phụ (SMD) ⊃ MN • Tìm giao tuyến (SMD ) (SAC) Trong (ABCD), gọi K = AC ∩ DM ⇒ (SMD) ∩ ( SAC) = SK • Trong (SMD), gọi J = MN ∩ SK J ∈ MN J ∈ SK mà SK ⊂ (SAC ) ⇒ J ∈ (SAC) Vậy : J = MN ∩ ( SAC) c Chứng minh C , I , J thẳng hàng : Ta có : C , I , J điểm chung (BCN ) (SAC) Vậy : C , I , J thẳng hàng N I J D A O B K C M C BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài : Cho hai đường thẳng chéo a b.Lấy a hai điểm A , B Lấy b hai điểm C,D Hai đường thẳng AB CD song song không? HD: Dùng vị trí tương đối hai đường thẳng để giải Bài : Cho tứ diện ABCD Gọi E F trọng tâm tam giác BCD ACD Chứng minh EF//CD HD: Gọi M trung điểm CD E nằm BM F nằm AM ME MF = = (tính chất trọng tâm) Mà MB MA => EF // CD ( ta-let đảo) Bài 3: Cho tứ diện ABCD Gọi M,N trung điểm AC BC.P điểm di động đoạn CD MP(MNP) cắt AD Q a)Tứ giác MNPQ hình ? b)Tìm tập hợp giao điểm I MQ NP M di động CD HD : a)Ta có : MN // AB ( đường trung bình ) (MNP) (ABD) có P chung chứa MN AB song song nên chúng cắt theo giao tuyến PQ // MN => MNPQ hình thang b)I điểm chung (ACD) (BCD) => I ∈ giao tuyến CD mặt phẳng Gọi E trung điểm BD Khi P di động DE PQMN nên I thuộc tia Ct’ nối dài DC Vậy điểm I di động đường thẳng CD ngoại trừ đoạn CD Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành.Gọi E F trung điểm SA SB a)Lấy điểm M cạnh SC.Mặt phẳng (EFM) cắt hình chóp theo hình gì? b)Lấy điểm I BC Mặt phẳng (EFI) cắt hình chóp theo hình gì? HD: a)Ta có EF // AB // CD (EFM) (SCD) có M chung chứa EF CD song song nên giao tuyến chúng MN//EF Vậy thiết diện hình thang EFMN b)CM tương tự IV : PHÉP CHIẾU SONG SONG A : TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1/Phép chiếu song song: Trong không gian, cho mặt phẳng (P) đường thẳng d cắt (P) Với điểm M không gian, đường thẳng qua M song song trùng với d cắt (P) điểm M’ Phép đặt tương ứng điểm M không gian với điểm M’ mặt phẳng (P) gọi phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo phương d + Mặt phẳng (P) gọi mặt phẳng chiếu, đường thẳng d gọi phương chiếu, điểm M’ gọi hình chiếu song song (hoặc ảnh) điểm M’ qua phép chiếu song song + Cho hình (H) Tập hợp (H’) gồm hình chiếu song song tất điểm thuộc (H) gọi hình chiếu song song (hoặc ảnh) hình (H) qua phép chiếu nói 2/Tính chất: Chú ý: Trong tính chất phép chiếu song song theo phuơng d, ta xét hình chiếu song song đoạn thẳng đường thẳng không song song không trùng với d a Phép chiếu song song biến điểm thẳng hàng thành điểm thẳng hàng không làm thay đổi thứ tự điểm b Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng c Phép chiếu song song biến đường thẳng song song thành đường thẳng song song trùng d Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài đoạn thẳng nằm đường thẳng song song nằm đường thẳng 3/Hình biểu diễn hình không gian: a Định nghĩa: Hình biểu diến hình (H) không gian hình chiếu song song hình (H) mặt phẳng hình đồng dạng với hình chiếu b Qui tắc vẽ hình biểu diễn: Nếu hình (H) có đoạn thẳng nằm đường thẳng song song (hoặc trùng nhau) chúng biểu diễn đoạn thẳng nằm đường thẳng song song (hoặc trùng nhau) mà tỉ số đoạn thẳng phải tỉ số đoạn thẳng tương ứng hình (H) c Hình biểu diễn số hình không gian: * Một tam giác coi hình biểu diễn tam giác tuỳ ý cho trước ( tam giác đều, tam giác cân, tam giác vuông…) * Một hình bình hành coi hình biểu diễn hình bình hành tuỳ ý cho trước( hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông…) * Một hình thang coi hình biểu diễn hình thang tuỳ ý cho trước, miễn tỉ số độ dài đáy hình biểu diễn tỉ số độ dài đáy hình cho * Người ta thường dùng hình elip để biểu diễn hình tròn B : BÀI TẬP ÁP DỤNG A Bài : Cho tứ diện ABCD Gọi G trọng tâm ΔABC a Chứng minh hình chiếu song song K điểm G mặt phẳng (BCD) theo phương chiếu AD trọng tâm ΔBCD b Gọi M,N,P trung điểm cạnh AB,AC,AD Tìm hình chiếu song song điểm M,N,P phép chiếu song song câu a Bài làm A N M G P B M’ K E D P’ C a Từ giả thiết ta : GK//AD AG∩DK=E trung điểm BC EK EG = = ⇒K trọng tâm ΔBCDΔBCD suy : KD GA b Ta thực : - Trong (ABD) dựng Mx song song với AD cắt BD M′, M′chính hình chiếu song song điểm M phép chiếu song song câu a.a - Vì N thuộc AD nên D hình chiếu song song điểm N phép chiếu song song câu a - Trong (ACD) dựng Ny song song với AD cắt CD N′ N′ hình chiếu song song điểm N phép chiếu song song câu a Bài 2: Tam giác ABC có hình chiếu song song tam giác A’B’C’ Chứng minh trọng tâm tam giác ABC có hình chiếu song song trọng tâm tam giác A’B’C’ Bài làm: Gọi G trọng tâm tam giác ABC G′ hình chiếu Gọi M trung điểm BC, A,G,M thẳng hàng Gọi M′ hình chiếu M Khi tính chất phép chiếu song song ta có M′ A' G ' AG = = trung điểm B′C′ Ngoài A′,G′,M′ thẳng hàng A' M ' AM Từ suy G′ trọng tâm tam giác A′B′C′ Bài 3: Cho ba điểm A,B,C nằm mặt phẳng α Giả sử BC song song với α, AB,AC cắt α D,E Hãy chọn phương chiếu l cho hình chiếu tam giác ABC α theo phương l tam giác Thực cách dựng : - Trong mặt phẳng α, dựng điểm A′ cho ΔA′ED - Dựng hình chiếu B′,C′ B,C mặt phẳng α theo phương chiếu AA′ Ta chứng minh ΔA′B′C′ tam giác Thật vậy, ta có : E,A′,C′ thẳng hàng D,A′,B′ thẳng hàng ED//B′C′ suy ΔA′DE,ΔA′B′C′ đồng dạng tức ΔA′B′C′ tam giác C: BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: CMR hình chiếu song song hình bình hành mp(P) theo phương d cho trước thường hình bình hành: HD: Áp dụng tính chất phép chiếu song song Bài 2:Cho đường thẳng a cắt mp (P) A Gọi a’ hình chiếu song song a mp(P) theo phương d cho trước a)Chứng tỏ a’ qua A b)Lấy hai điểm B C a gọi B’ , C’ hình chiếu song song B C mp (P) theo phương d Chọn phương d cho B’C’=BC HD: a) Ta có điểm A ∈ a điểm A ∈ mp(P) => hình chiếu song song A mp(P) theo phương d điểm A Mà hình chiếu song song đường thẳng a mp(P) a’ => A∈ a’ b)Nếu B’C’=BC tứ giác BCC’B’ hình thang cân cạnh đá BB’ CC’ Do AB’=AB Vậy : Lấy điểm B’ mp(P) cho AB’=AB chọn phương d // với BB’ Bài 3: Cho tam giác ABC nằm mp (P) Giả sử BC // với (P) , AB AC cắt (P) D E Hãy chọn phương chiếu d cho hình chiếu tam giác ABC (P) theo phương d tam giác HD:Ta có BC// (P) nên BC // DE // B’C’ ( B’ ,C’ hình chiếu BC lên (P) ) Do : Nếu tam giác A’B’C’ tam giác tam giác A’DE tam giác Vậy mp (P) ta dựng tam giác A’DE biết cạnh DE cho trước Chọn phương d// AA’