III.ACGUMEN CỦA MỘT SỐ PHỨC KHÁC 3.1 Acgumen ? Điều hoàn toàn xa lạ với bạn mặt ngôn ngữ, nhiên tìm hiểu thông qua định nghĩa sau Định nghĩa Cho số phức z ≠ M ảnh z mặt phẳng phức JJJJG JG JJJJG JG Acgumen z số đo góc e1 , OM (đó góc vectơ e1 OM ) Kí hiệu ( ) Arg(z) Như θ acgumen z arg(z) = θ + k 2π , k ∈ Z arg(z) = θ + k 2π Người ta thường coi acgumen giá trị không âm nhỏ θ Còn ký hiệu khác : arg(z) = θ modulo 2π Hay arg(z) = θ ( 2π ) Ta thường ký hiệu tắt Arg(z) = θ (hiểu ngầm θ + k 2π ) Ví dụ VD1 Bằng hình vẽ, ta dễ dàng xác định kết sau : arg(1) = arg(-1) = π arg(2i) = π arg(-3i) = − π 3π arg(-1 + i) = VD2 Số phức z = + i có acgumen ? Giải : Đặt α = arg ( z ) ⎞ ⎛ đặt z = ⎜ +i ⎟, 5⎠ ⎝ ảnh M1 số phức +i điểm 5 JG JJJJG JG JJJJJG đường tròn lượng giác (bán kính 1) arg(z) = e1 , OM = e1 , OM Bởi z = 22 + 12 = , ( sin α = 5 Dùng máy tính tìm α ≈ 0, 46rad Từ suy cos α = ) ( ) Sự hai số phức ⎧⎪ z = z ' ⎧z = z ' ⇔⎨ ⎨ ⎩ z vaø z' khaÙ c ⎪⎩arg ( z ) = arg ( z ') Hai số phức mođun acgumen tương ứng chúng Số phức liên hợp số phức đối Dựa vào đồ thị ta đẳng thức sau : arg z = − arg ( z ) () arg ( − z ) = arg ( z ) + π ( ) arg − z = π − arg ( z ) 3.2 Dạng lượng giác số phức Định lí : Cho số phức z = a + ib khác với r = z α = arg ( z ) Nếu z viết dạng z = r ( cos α + i sin α ) (*) (*) gọi dạng lượng giác số phức z Minh họa Dễ thấy , r α tương ứng môđun acgumen số phức z = a + ib : ⎧ 2 ⎪r = a + b = z ⎪ a ⎪ ⎨cos α = r ⎪ b ⎪ ⎪⎩sin α = r Từ công thức ta suy a = r cos α b = r sin α Do số phức z = a + bi viết dạng z = r ( cos α + i sin α ) Trong r = z α = arg ( z ) Đó dạng lượng giác số phức z Ngoài ta xác định liên hệ M M1 (với M1 thuộc đường tròn lượng giác) hình sau Ví dụ Biểu diễn dạng lượng giác số phức sau: a) z = -1 – i b) z = + 3i Giải a) r = a + b = + = toạ độ –1 - i nằm góc vuông thứ mặt phẳng phức nên : 1 sin α = − cos α = − 2 3π α = − −π < α ≤ π ⎛ ⎛ 3π ⎜ cos ⎜ − ⎝ ⎝ b) Ta có : Vậy -1 – i = r= ⎞ ⎛ 3π ⎟ + i sin ⎜ − ⎠ ⎝ ⎞⎞ ⎟⎟ ⎠⎠ a + b = 16 + = ⇒ α ≈ 36o 52 ' 4 + 3i = ( cos 36o52 '+ i sin 36o 52 ') tan α = z = argz ≈ 36o52 ' Ngoài ta biểu diễn cách khác sau : + 3i = ( cos α + i sin α ) với tgα = Sự liên hệ dạng lượng giác dạng đại số Như ta biết dạng lượng giác số phức z z = r ( cos α + i sin α ) dạng đại số z = a + ib Với z ≠ ta có : r = z = a + b ; cos α = a b ; sin α = r r Chú ý : - Số phức dạng lượng giác - r α gọi toạ độ cực điểm M(z) - Số phức z có mođun z = cos α + i sin α Ví du VD1 : Xác định dạng lượng giác số phức sau : a = ( cos + i sin ) ; −5 = ( cos π + i sin π ) π π⎞ 3π 3π ⎞ ⎛ ⎛ + i sin b 2i = ⎜ cos + i sin ⎟ ; −i = 1⎜ cos ⎟ 2 ⎠ 2⎠ ⎝ ⎝ π π⎞ ⎛ c + i = ⎜ cos + i sin ⎟ 4⎠ ⎝ VD2 : Hãy tính mođun acgumen cuả số phức z, sau viết dạng lượng giác cuả a cos α − i sin α b −2 ( cos α − i sin α ) Giải : Bạn nên ý kĩ dạng tổng quát số phức dạng lượng giác, z = r ( cos α + i sin α ) ( r>0 ) a cos α − i sin α = cos ( −α ) + i sin ( −α ) với mođun cuả z acgumen cuả z −α b −2 ( cos α − i sin α ) = ⎡⎣cos (α + π ) + i sin (α + π ) ⎤⎦ với mođun cuả z acgumen cuả z α + π VD3 2π 2π ⎞ ⎛ + i sin Biểu diễn : z = ⎜ cos ⎟ dạng đại số 3 ⎠ ⎝ Giả sử z = x + iy 2π Ta có : r = 2, α = 2π = −1 x = rcos α = cos 2π y = r sin a = 2sin = 3 Vậy : z = -1+ i 3.3 Các phép toán acgumen Định lí Với số phức z z’ khác ta có: arg ( zz ') = arg ( z ) + arg ( z ') Chứng minh : Ta có z = r ( cos α + i sin α ) z ' = r ' ( cos α '+ i sin α ') (r > r’ > 0) zz ' = rr ' ⎡⎣( cos α cos α '− sin α sin α ') + i ( sin α cos α '+ cos α sin α ') ⎤⎦ Bằng công thức cộng lượng giác ta : zz ' = rr ' ⎡⎣cos (α + α ') + i sin (α + α ') ⎤⎦ Vì r,r’ > nên theo dạng lượng giác số phức ta α + α ' = arg ( zz ' ) + k2π Vậy arg ( zz ') = arg ( z ) + arg ( z ') + k2π Hệ : ⎛1⎞ Với số phức z z’ khác n số tự nhiên ta có arg ⎜ ⎟ = − arg ( z ) ; ⎝z⎠ ⎛z⎞ arg ⎜ ⎟ = arg ( z ) − arg ( z ') ; ⎝ z'⎠ arg ( z n ) = n arg ( z ) Ví dụ VD1 : π π⎞ 5π 5π ⎞ ⎛ ⎛ Cho : z1 = ⎜ cos + i sin ⎟ z2 = ⎜ cos + i sin ⎟ 3⎠ 6 ⎠ ⎝ ⎝ 7π 7π ⎞ ⎛ Ta có : z1 z2 = ⎜ cos + i sin ⎟ 6 ⎠ ⎝ ( VD2 : Tính + i ) Giải : + i có mođun acgumen π ( ) Từ ta có : + i có mođun 5π Từ suy ⎛1 5π 5π ⎞ 3⎞ ⎛ + i = 32 ⎜ cos + i sin ⎟ = 16 − i ⎟ = 32 ⎜⎜ − i 3 ⎠ ⎟⎠ ⎝ ⎝2 - Nhận xét : dựa vào tính chất mođun acgumen ta tính toán luỹ thừa cách nhanh chóng , không bạn khai triển luỹ thừa bậc nhị thức , toán dài VD3 : Giải phương trình có dạng : z3 = Đặt r = z α = arg ( z ) , vấn đề đặt cần xác định r α 25 acgumen ( ) ( ) Mođun z = r arg ( z ) = 3α Vì = arg (1) = k 2π Áp dụng điều kiện hai số phức , ta có : ⎧r = (r ∈ R; r > 0) ⎧⎪r = ⎪ ⇔⎨ kπ ⎨ ⎪⎩α = ( k ∈ Z ) ⎩⎪3α = 2kπ ( k ∈ Z ) Vậy phương trình có nghiệm có mođun acgumen , Tập nghiệm phương trình biểu diễn dạng đại số : ⎧⎪ 3 ⎫⎪ S = ⎨1 ; − + i ; − −i ⎬ 2 2 ⎪⎭ ⎪⎩ 3 - Chú ý : Nếu đặt j = − + i j = − − i 2 2 2π 4π ; 3