DẠNG TỐN TÌM SỐ DƯ MỘT SỐ DẠNG TỐN TÌM SỐ DƯ 1.Tìm số dư phép chia số a cho số b: 1.1.Lí thuyết Định lí: Với hai số nguyên a b, b ≠ 0, tồn cặp số nguyên q r cho: a = bq + r ≤ r < |b| * Từ định lí cho ta thuật tốn lập quy trình ấn phím tìm dư phép chia a cho b: + Bước 1: Đưa số a vào ô nhớ A , số b vào ô nhớ B + Bước 2: Thực phép chia A cho B + Bước 3: Thực A - q × {ghi nhớ phần nguyên q} B =r 1.2 Bài tập vận dụng Bài a) Viết quy trình ấn phím tìm số dư chia 18901969 cho 3041975 b) Tính số dư c) Viết quy trình ấn phím để tìm số dư chia 3523127 cho 2047 Tìm số dư Giải: a) Quy trình ấn phím: 18901969 SHIFT ANPHA A SHIFT A ÷ STO A 3041975 SHIFT ANPHA B - × B = = STO B (6,213716089) (650119) b) Số dư là: r = 650119 c) Tương tự quy trình câu a), ta kết là: r = 240 Chú ý : Đối với máy tinh FX-570VN PLUS ta thực sau 18901969Qa3041975= Bài (Thi giải Toán MTBT lớp 12 tỉnh Thái Nguyên - Năm học 2002-2003) Tìm thương số dư phép chia: 123456789 cho 23456 Đáp số: q = 5263; r = 7861 Bài 3: (Thi giải Toán MTBT lớp 10 + 11 tỉnh Thái Nguyên - Năm học 2003-2004) Tìm số dư phép chia: a) 987654321 cho 123456789 b) 815 cho 2004 H.Dẫn: a) Số dư là: r = b) Ta phân tích: 815 = 88.87 - Thực phép chia 88 cho 2004 số dư r1 = 1732 - Thực phép chia 87 cho 2004 số dư r2 = 968 ⇒ Số dư phép chia 815 cho 2004 số dư phép chia 1732 x 968 cho 2004 ⇒ Số dư là: r = 1232 DẠNG TỐN TÌM SỐ DƯ Bài Số A gồm số 2015 viết liên tiếp, tìm số dư phép chia: A cho 2016 ĐS: 751 Bài Số B gồm 30 số 2015 viết liên tiếp, tìm số dư phép chia: B cho 2016 ĐS: 1743 Bài (Đề thi GTTMTBT Quốc gia lớp 9- Năm học 2005-2006) Tìm số dư phép chia sau a) 103103103:2006 b) 30419753041975:151975 c) 103200610320061032006:2010 ĐS: a) 721; b) 113850; c) 396 Một số toán sử dụng tính tuần hồn số dư nâng lên luỹ thừa 2.1 Lí thuyết Định lí: Đối với số tự nhiên a m tuỳ ý, số dư phép chia a, a 2, a3, a4 cho m lặp lại cách tuần hồn (có thể không đầu) Chứng minh Ta lấy m + luỹ thừa đầu tiên: a, a2, a3, a4 , am, am+1 xét số dư chúng chia cho m Vì chia cho m có số dư {0, 1, 2, , m - 2, m - 1}, mà lại có m + số, nên số phải có hai số có số dư chia cho m Chẳng hạn hai số ak ak + l, l > Khi đó: ak ≡ ak + l (mod m) (1) Với n ≥ k nhân hai vế phép đồng dư (1) với an - k được: an ≡ an + l (mod m) Điều chứng tỏ vị trí tương ứng với ak số dư lặp lại tuần hoàn Số l gọi chu kỳ tuần hoàn số dư chia luỹ thừa a cho m Định lí Fermat Với số nguyên a số nguyên tố p ta có a p ≡ p(mod p ) Cách phát biểu khác Định lí Fermat Với số nguyên a, số nguyên tố p, UCLN (a,p)=1 a p −1 ≡ 1(mod p ) 2.2 Bài tập vận dụng Bài toán: Xét luỹ thừa liên tiếp số 2: 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, DẠNG TỐN TÌM SỐ DƯ Tìm xem chia luỹ thừa cho nhận loại số dư ? Giải: Ta có: 21 = 2, 23 = ≡ (mod 5), 22 = 4, 24 = 16 ≡ (mod 5) (1) Để tìm số dư chia 25 cho ta nhân hai vế phép đồng dư (1) với được: 25 = 24.2 ≡ 1x2 ≡ (mod 5) 26 = 25.2 ≡ 2x2 ≡ (mod 5) 27 = 26.2 ≡ 4x2 ≡ (mod 5) Ta viết kết vào hai hàng: hàng ghi luỹ thừa, hàng ghi số dư tương ứng chia luỹ thừa cho 5: 21 22 23 24 25 26 27 28 29 210 211 (2 1) (2 1) (2 ⇒ hàng thứ hai cho ta thấy số dư lập lại cách tuần hoàn: sau số dư (2, 4, 3, 1) lại lặp lại theo thứ tự Bài Tìm hai chữ số cuối số: A = 21999 + 22000 + 22001 Giải: Xét luỹ thừa chia cho 100 (sử dụng MTBT để tính luỹ thừa 2, thực theo quy trình 11), ta kết sau: 21 22 23 24 25 26 27 28 29 210 211 212 (4 16 32 64 28 56 12 24 48 96 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 92 84 68 36 72 44 88 76 52) (4 16 ⇒ số dư lặp lại tuần hoàn chu kỳ 20 số (từ số đến số 52) Ta có: 1999 ≡ 19 (mod 20) ⇒ số dư chia 21999 cho 100 88 2000 ≡ (mod 20) ⇒ số dư chia 22000 cho 100 76 2001 ≡ (mod 20) ⇒ số dư chia 22001 cho 100 52 88 + 76 + 52 = 216 ≡ 16 (mod 100) ⇒ số dư A = 21999 + 22000 + 22001 chia cho 100 16 hay hai chữ số cuối số A 16 Bài Tìm ba chữ số tận tổng sau a) 21 + 22 + 23 + + 240 b) 21 + 22 + 23 + + 22819 Bài Chứng minh ( 148 ) 2004 +10 chia hết cho 11 Giải: - Ta có: 14 ≡ (mod 11) ⇒ ( 14 ) 2004 ≡ (3 ) 2004 (mod 11) DẠNG TỐN TÌM SỐ DƯ Do 38 = 6561 ≡ (mod 11), nên ( ) 2004 = 65612004 ≡ 52004 (mod 11) Xét tuần hoàn số dư chia luỹ thừa cho 11: 51 52 53 54 55 56 57 58 (5 1) (5 1) ⇒ 52004 = (54)501 ≡ 1501 (mod 11) ≡ (mod 11) Mặt khác: 10 ≡ 10 (mod 11) (1) (2) Cộng vế với vế phép đồng dư (1) (2) có: 148 2004 +10 ≡ 11 (mod 11) ≡ (mod 11) ⇒ 148 2004 +10 chia hết cho 11 Bài Chứng minh số 222555 + 555222 chia hết cho Giải: 1) Trước hết tìm số dư phép chia 222555 cho 7: - Vì 222 = x 31 + 5, nên 222 ≡ (mod 7) ⇒ 222555 ≡ 5555 (mod 7) - Xét tuần hoàn số dư chia luỹ thừa cho 7: 51 52 53 54 55 56 57 58 (5 1) (5 ⇒ 5555 = 56.92 + = (56)92.53 ≡ 53 ≡ (mod 7) (1) Vậy số dư chia 222555 cho 2) Tương tự, tìm số dư phép chia 555222 cho 7: - Vì 555 = x 79 + 2, nên 555 ≡ (mod 7) ⇒ 555222 ≡ 2222 (mod 7) - Xét tuần hoàn số dư chia luỹ thừa cho 7: 21 22 23 24 25 26 27 28 (2 4) (2 ⇒ 2222 = 23.74 = (23)74 ≡ 174 ≡ (mod 7) (2) Vậy số dư chia 555222 cho Cộng vế với vế phép đồng dư (1) (2), ta được: 222555 + 555222 ≡ + ≡ (mod 7) Vậy số 222555 + 555222 chia hết cho Số có bất biến với luỹ thừa: 1) Luỹ thừa bậc số có chữ số tận ; ; (và số ấy) có chữ số tận ; ; (có bất biến) 2) Luỹ thừa bậc số có chữ số tận 25 76 (và số ấy) có chữ số tận 25 76 (có bất biến) DẠNG TỐN TÌM SỐ DƯ 3) Luỹ thừa bậc số có chữ số tận 376 625 (và số ấy) có chữ số tận 376 625 (có bất biến) 4) Luỹ thừa bậc số có chữ số tận 9376 0625 (và số ấy) có chữ số tận 9376 0625 (có bất biến) Bài Tìm số dư chia số 133762005! cho 2000 (TH & TT T3/ 317) Giải: - Giả sử A, B hai số tự nhiên có tận 376, thì: A.B = (1000.a + 376)(1000.b + 376) = 376000(a + b) + 106a.b + 3762 = 2000t + 1376; với a, b t ∈ N ⇒ A.B chia 2000 có số dư 1376 Với k > chia 13376k cho 2000 (thực (k - 1) lần phép nhân số có tận 376 chia cho 2000) dư 1376 Đề ứng với k = 2005! Bài Tìm chữ số tận số: A = 21999 + 22000 + 22001 H.Dẫn: - Ta có: 21999 + 22000 + 22001 = 21999(1 + + 22) = x 29 x 210 x 21980 = x 29 x 210 x (220)99 29 = 512 210 = 1024 ; 220 = 1048576 Nhận xét: số có chữ số tận 76, luỹ thừa bậc có chữ số tận 76 - Ta có (dùng máy): Vậy (220)99 có số tận 76 ⇒ 21999 + 22000 + 22001 = x 512 x 1024 x ( 76) = .16 Vậy chữ số cuối A 16 Bài Tìm bốn chữ số tận 51994 Giải: - Ta có: 54 = 625 - Nhận thấy số có tận 625 luỹ thừa bậc có tận 625 - Do đó: 51994 = 54.498 + = 25.(54)498 = 25.( 0625)249 = 25( 0625) = 5625 Vậy bốn chữ số tận số 51994 5625 Khai triển nhị thức Newton tốn chia hết: 4.1 Lí thuyết DẠNG TỐN TÌM SỐ DƯ -Ta có khai triển: a) ( a + b ) = a n + Cn1 a n −1b + Cn2 a n −2b + + Cnn −1ab n −1 + b n n = a n + na n−1b + n(n + 1) n − 2 n(n − 1)(n − 2) n −3 n(n − 1) n − a b + a b + + a b + nab n −1 + b n 1.2 1.2.3 1.2 b) ( a − b ) = a n − Cn1 a n −1b + Cn2 a n −2b − + (−1) n −1 Cnn −1ab n −1 + ( −1) n b n n Chú ý k - Cn = n! ,n ≥ k k !(n − k )! - Khi chứng minh tính chia hết luỹ thừa, cần nhớ số kết sau: 1) an - bn chia hết cho a - b (a ≠ b) 2) a2n + + b2n + chia hết cho a + b (a ≠ -b) 3) (a + b)n = BS a + bn (BS a: bội số a) Đặc biệt: (a + 1)n = BS a + (a - 1) 2n = BS a + (a - 1) 2n + = BS a - 4.2 Bài tập vận dụng Bài Tìm số dư chia 2100 cho: a) b) c) 125 Giải: a) Luỹ thừa sát với bội 23 = = (9 - 1) - Ta có: 2100 = 2(23)33 = 2(9 - 1)33 = 2(BS - 1) = BS - = BS + Vậy số dư chia 2100 cho b) Luỹ thừa sát với bội 25 210 = 1024 = (BS 25 - 1) - Ta có: 2100 = (210)10 = (BS 25 - 1)10 = BS 25 + Vậy số dư chia 2100 cho 25 c) Dùng công thức Newton: 2100 = ( −1) 50 = 550 − 50.549 + + 50.49 − 50.5 +1 Để ý 48 số hạng đầu chứa thừa số với số mũ lớn nên chia hết cho 125, hai số hạng chia hết cho125, số hạng cuối Vậy 2100 = BS 125 + ⇒ Số dư 2100 chia cho 125 Tổng quát: Nếu số tự nhiên n khơng chia hết cho chia n100 cho 125 ta số dư Bài Tìm ba chữ số tận 2100 H.Dẫn: - Ta tìm dư phép chia 2100 cho 1000 DẠNG TỐN TÌM SỐ DƯ - Trước hết tìm số dư phép chia 100 cho 125 Theo Bài 1: 2100 = BS 125 + 1, mà 100 số chẵn, nên ba chữ số tận (dùng máy tính để thử): 126, 376, 626 876 100 - Hiển nhiên chia hết ba chữ số tận phải chia hết cho Bốn số có 376 thoả mãn điều kiện Vậy ba chữ số tận 2100 376 Tổng quát: Nếu n số tự nhiên chẵn không chia hết cho ba chữ số tận n100 376 Bài Tìm ba chữ số tận 3100 100 Giải: - Ta phân tích sau: = ( 10 − 1) 50 = 1050 − + 50.49 10 − 50.10 + = BS 1000 + 500 - 500 + = BS 1000 + 100 Vậy tận 001 Tổng quát: Nếu n số tự nhiên lẻ khơng chia hết cho ba chữ số tận n100 001 Bài Thay dấu * chữ số thích hợp: 896 = 496 * * 290 961 H.Dẫn: - Ta có: (896 - 1) M(89 - 1) ⇒ (896 - 1) M11 (896 - 1) M(893 + 1) ⇒ (896 - 1) M(89 + 1) ⇒ (896 - 1) M9 - Đặt A = (896 - 1) = 496 x y 290 960 Ta có A chia hết cho 11 Ta có tổng chữ số hàng lẻ (từ phải sang trái) A bằng: 36 + y ; tổng chữ số hàng chẵn A bằng: 18 + x A chia hết cho nên: 54 + x + yM9 ⇒ x + y ∈ {0 ; ; 18} A chia hết cho 11 nên: [(36 + y) - (18 + x)] M11 ⇒ x - y ∈ {-4 ; 7} + Nếu x + y = x = y = (loại) + Nếu x + y = 18 x = y = (loại) + Nếu x + y = : ý (x + y) (x - y) chẵn lẻ nên: x - y = ⇒ x = ; y = Vậy 896 = 496 981 290 961 Bài Tìm chữ số tận A=171717 HD: C1 Theo Bài ta có 17100 ≡ 1(mod125) Mặt khác 1717 ≡ 77(mod100) suy 1717 = 100a + 77 , 17 1717 = 17100 a+77 Suy 17 1717 ≡ 1777 ≡ 27(mod125) (1) 17 Mà 17 ≡ 1(mod 8) ⇒ 1717 ≡ 1(mod 8) (2) Từ (1) suy A=125m+27 ; từ (2) suy A=8n+1 47.8 A = 47.1000m + 47.8.27 3.125 A = 3.1000n + 125.3 Trừ vế cho vế ta suy A= 1000t+777 KQ : 777 DẠNG TỐN TÌM SỐ DƯ C2 Ta có 17100 ≡ 1(mod1000) 1717 ≡ 77(mod100) suy 17 1717 = 17100 a+77 ≡ 1777 (mod1000) ≡ 777(mod1000) 19 Bài Tìm chữ số tận A= 1919 2014 Bài 7.Tìm chữ số tận A= 20162015 Bài Tìm chữ số tận số A = 20072008 + 20082009 Bài Tìm số dư phép chia số: 17762010 cho 2000 Bài 10 Tìm số dư chia số 182008 + 82009 cho 49 Bài 11 Tìm chữ số tận Tổng 39999 + 29999 H D: Bài Ta tìm chữ số tận 20072008 = 20078 20072000 20072 ≡ 49(mod 100) ⇒(20072)4 ≡ 494(mod 100) ≡ 01(mod 100) 20072000 = (20078)250 ≡ 01(mod 100) Vậy: 20072008 ≡ 01(mod 100) Tìm chữ số tận 20082009 Ta có: 20082009 = 2008 20088 20082000 * 20082 ≡ 64(mod 100) ⇒(20082)4 ≡ 644(mod 100) ≡ 16(mod 100) 20088 ≡ 16(mod 100) ⇒(20088)5 ≡ 165(mod 100) ≡ 76(mod 100) * 200840 ≡ 76(mod 100) đó: 20082000 ≡ 76(mod 100) ⇒20088 20082000≡ 16.76(mod 100) ≡ 16(mod 100) Do đó: 2008 20082008 ≡ 2008.16(mod 100) ≡ 28(mod 100) Vậy A có chữ số tận 29 Bài 17761 ≡ 1776(mod 2000) 17762 ≡ 176(mod 2000) 17763 ≡ 576(mod 2000) 17764 = (17762)2 ≡ 976(mod 2000) 17765 = 17762 17763 ≡ 176 576(mod 2000) ≡ 1376(mod 2000) 17766= 1776 17765 ≡ 176 1736(mod 2000) ≡ 1776(mod 2000) 17767 ≡ 976(mod 2000) Vậy chu kỳ lặp lại sau bước mà: 2010 = 402 có dạng 5k Do số 17762010 chia 2000 cho số dư 1376 Bài 10 * Ta t ìm số dư chia 182008 cho 49 Ta có: 182008 = 18.182007 = (183)669 18 183 ≡ 1(mod 49) ⇒ (183)669 ≡ 1(mod 49) 18 (183)669 ≡ 18(mod 49) * Ta tìm số dư chia 82009 chia cho 49 Ta có 82009 = (87)287 87 ≡ 1(mod 49) DẠNG TỐN TÌM SỐ DƯ ⇒ (8 ) ≡ 01(mod 49) Kết luận: Vậy số dư chia số 182008 + 82009 cho 49 19 287 Bài 11 * Có 39999 = 320.499.319 319 = 1162261467 ≡ 67(mod 100) 320 = 3486784401 ≡ 01(mod 100) ⇒ (320)499 ≡ 01(mod 100) Do (320)499.319 ≡ 67(mod 100) * Có 29999 = 220.499.219 219 = 524288 ≡ 88(mod 100) 220 = 1048576 ≡ 76(mod 100) ⇒ (220)499 ≡ 76(mod 100) Do (220)499.219 ≡ 76.88(mod 100) ≡ 88(mod 100) ⇒39999 + 29999 ≡ (67+88)(mod 100) = 55(mod 100) Vậy chữ số tận tổng 55