Tieu luan HHGT 2003 12.1.2013

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH Giảng viên hướng dẫn: TS Nguyễn Hà Thanh ThS Nguyễn Lê Chí Quyết Sinh viên thực hiện: Bùi Thị Hịa (Nhóm trưởng) Đồng Thị Ngọc Ánh Tống Hải Cơ Đinh Thanh Hà Bành Ngọc Hương Phạm Thị Kim Ngân Võ Minh Nhật Nguyễn Thanh Thảo Thành phố Hồ Chí Minh, Tháng 12 năm 2012 Lời nói đầu rong chƣơng trình Hình học giải tích bậc Đại học có số kiến thức liên quan đến Trung học phổ thơng, song có nhiều vấn đề đƣợc đề cập đến lần đầu, sinh viên chƣa đƣợc tiếp cận Trung học phổ thông nhƣ : phƣơng trình đƣờng mặt hệ toạ độ afin, trực chuẩn; tâm đƣờng mặt bậc hai; phƣơng tiệm cận, đƣờng tiệm cận, mặt tiệm cận; đƣờng kính liên hợp, mặt kính liên hợp…Nội dung Tiểu luận nghiên cứu cách tƣơng đối hệ thống dạng tập phƣơng pháp giải chúng, giúp cho sinh viên nắm vững lý thuyết , biết áp dụng, vận dụng để học tốt môn học liên quan nhƣ: Giải tích, Đại số tuyến tính, Hình cao cấp, Vật lý Ngoài kiến thức nêu trên, chúng tơi cịn làm chun đề cụ thể phần vecto, chuyên đề “Tâm tỉ cự”.Thật học Tâm tỉ cự học Trung học phổ thơng, nhiên tốn liên quan đến tâm tỉ cự dừng lại tính toạ độ vecto, tính trọng tâm, trung điểm…Do đó, chúng tơi tìm hiểu sâu thêm tập tâm tỉ cự để giúp cho việc học việc dạy sau đƣợc tốt Bên cạnh đó, chƣơng “ Lịch sử hình thành hình học” chƣơng phụ, dành cho sinh viên có niềm đam mê, nhiệt huyết tìm hiểu lịch sử đời hình học Chúng tơi trình bày cách ngắn gọn, đọng lịch sử hình học nói chung lịch sử Hình học giải tích nói riêng T Nội dung Tiểu luận gồm có chƣơng sau đây: CHƢƠNG I : Chuyên đề “ Tâm tỉ cự” CHƢƠNG II : Ứng dụng phƣơng pháp toạ độ để giải toán CHƢƠNG III : Đổi trục toạ độ CHƢƠNG IV : Đƣờng bậc hai CHƢƠNG V : Mặt bậc hai CHƢƠNG VI : Lịch sử hình thành hình học Chúng tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành đến thầy Nguyễn Hà Thanh thầy Nguyễn Lê Chí Quyết Những ngƣời thầy giúp giải đáp thắc mắc sai sót q trình làm tiểu luận nhƣ giải tập Chúng hi vọng Tiểu luận cung cấp kiến thức sở cần thiết cho sinh viên việc học tập nghiên cứu TP Hồ Chí Minh, ngày 24/12/2012 Mục lục CHƢƠNG I: CHUYÊN ĐỀ TÂM TỈ CỰ I KHÁI NIỆM TÂM TỈ CỰ II ỨNG DỤNG TÂM TỈ CỰ 2.1-Ứng dụng số tâm tỉ cự đặc biệt tam giác 2.1.1-Một số đẳng thức vecto tam giác 2.1.3Các bất đẳng thức hình học tam giác 2.2 Ứng dụng để giải số tốn bất đẳng thức hình học 2.3 Ứng dụng tâm tỉ cự việc giải số toán tập hợp điểm 2.4 Ứng dụng vecto giải toán hình phẳng:……………………………………………………………… 13 2.4.1 Chứng minh ba điểm thẳng hàng 13 2.4.2 Chứng minh đƣờng thẳng qua điểm cố định- hay ba đƣờng thẳng đồng quy 14 CHƢƠNG II: ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ ĐỂ GIẢI TOÁN I.CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 15 1.1 Khái niệm hệ trục tọa độ mặt phẳng 15 1.2 Tọa độ vecto – Tọa độ điểm 15 1.3 Phép tính vecto 16 1.4 Các công thức liên quan 17 1.5 Khái niệm hệ trục tọa độ không gian 18 1.6 Tọa độ vecto – tọa độ điểm 18 1.7 Phép tính vecto 18 1.8 Các công thức liên quan 19 II.Các dạng tập 23 Dạng 1: Các tốn giải phƣơng trình, hệ phƣơng trình 23 Dạng 2:Tính chất hình học tốn 25 Dạng 3: Các toán giải bất phƣơng trình, hệ bất phƣơng trình 26 Dạng 4: Các toán chứng minh bất đẳng thức 28 Dạng 5: Các tốn tìm cực trị 30 Dạng 6: Các tốn tìm quỹ tích 31 Dạng 7: Các tốn dựng hình 32 CHƢƠNG III: ĐỔI TRỤC TOẠ ĐỘ I TÓM TẮT LÝ THUYẾT 34 II CÁC DẠNG BÀI TẬP 38 Dạng 1: Viết công thức đổi từ mục tiêu sang mục tiêu 38 Dạng 2: Tìm toạ độ điểm 42 Dạng 3: Tìm điểm có toạ độ không đổi hai mục tiêu 44 Dạng 4: Áp dụng phƣơng pháp đổi trục để đƣa PT đƣờng bậc hai, mặt bậc hai dạng tắc 45 CHƢƠNG IV: ĐƢỜNG BẬC HAI I ĐỊNH NGHĨA 46 1.1 Hàm bậc hai theo x,y 46 1.2 Đƣờng bậc hai 46 II PHÂN LOẠI ĐƢỜNG BẬC HAI 46 Các loại đƣờng bậc hai 46 Cách phân loại đƣờng bậc hai 47 Dạng : Đƣa PT đƣờng bậc hai dạng tắc 50 Dạng 2: Phân loại đƣờng bậc hai 53 III CÁC ĐƢỜNG BẬC HAI ĐẶC BIỆT: 54 3.1 Elip 54 3.1.1 Lý thuyết 54 3.1.2 Bài Tập: 55 Dạng 1: Lập phƣơng trình đƣờng trịn phƣơng pháp hình học 55 Dạng 2: Lập phƣơng trình đƣờng tròn phƣơng pháp toạ độ 56 Dạng 3: Bài toán họ đƣờng thẳng tiếp xúc với đƣờng tròn cố định 56 Một số toán khác 57 Dạng 1: Lập phƣơng trình tắc Elip: 59 Dạng 2: Lập phƣơng trình Elip dựa vào tính chất hình học 59 Dạng 3: Bài tốn tính chất hình học Elip 61 Dạng 4: PP chứng minh họ đƣờng thẳng qua điểm cố định: 62 Dạng 5: PP tìm quỹ tích điểm 62 3.2 Hypebol 64 3.2.1- Lý thuyết 64 3.2.2- Bài tập 64 Dạng 1: Lập phƣơng trình tắc Hypebol 64 Dạng 2: Viết phƣơng trình Hypebol biết phƣơng trình đƣờng tiệm cận 65 Dạng 3: Các toán liên quan đến tính chất hình học Hypebol 65 3.3 Parabol 68 3.3.1 Lý thuyết 68 3.3.2-Bài tập 69 Dạng 1: Viết phƣơng trình Parabol 69 Dạng 2: Chứng minh tính chất hình học Parabol 70 IV TÂM CỦA ĐƢỜNG BẬC HAI 71 4.1 Định nghĩa: 71 4.2 Tìm tâm đƣờng bậc hai: 72 4.2.1-Bài Tập 72 Dạng 1: Tìm tâm đƣờng bậc hai 72 Dạng 2: Tìm PT đƣờng bậc hai dựa vào điều kiện số tâm đƣờng bậc hai 73 Dạng 3: Tìm tập hợp tâm họ đƣờng bậc hai: 73 Dạng 4: Viết phƣơng trình bậc hai biết tâm 75 V VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI CỦA ĐƢỜNG BẬC HAI VÀ ĐƢỜNG THẲNG 75 Dạng1: Tìm tham số phƣơng trình bậc hai biết tƣơng giao với đƣờng thẳng 76 Dạng 2: Viết PT đƣờng bậc hai biết tƣơng giao với đƣờng thẳng khác 77 VI TIẾP TUYẾN VỚI ĐƢỜNG BẬC HAI 79 6.1 Định nghĩa 79 6.2 Một số dạng tập 79 Dạng 1: Viết phƣơng trình tiếp tuyến có điều kiện 80 Dạng 2: Viết phƣơng trình tiếp tuyến có điều kiện 81 VII PHƢƠNG TIỆM CẬN – ĐƢỜNG TIỆM CẬN 82 7.1 Định nghĩa 82 7.2 Các dạng toán thƣờng gặp 82 Dạng 1: Tìm phƣơng tiệm cận, đƣờng tiệm cận đƣờng bậc hai 82 Dạng 2: Viết phƣơng trình đƣờng bậc hai biết hai đƣờng tiệm cận 90 Dạng 3: Viết phƣơng trình đƣờng bậc hai biết đƣờng tiệm cận 91 Dạng 4: Bài toán tính chất hai đƣờng bậc hai có chung tiệm cận 94 VIII ĐƢỜNG KÍNH LIÊN HỢP 95 8.1 Khái niệm 95 8.2 Các dạng tập thƣờng gặp 95 Dạng 1:Bài tốn đƣờng kính liên hợp đƣờng bậc hai đặc biệt dạng PT tắc 95 Dạng 2: Dạng viết đƣờng kính liên hợp đƣơng bậc hai có tâm biết phƣơng đƣờng kính 98 Dạng 3: Lập quỹ tích trung điểm dây cung biết vtcp 100 Dạng 4: Lập phƣơng trình đƣờng kính chung hai đƣờng cong 101 Dạng 5: Tìm hai đƣờng kính liên hợp đƣờng cong cho trƣớc: 102 CHƢƠNG V: MẶT BẬC HAI I ĐỊNH NGHĨA 103 II VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI 103 Dạng 1: Hai đƣờng thẳng không gian 103 Dạng 2: Hình chiếu đƣờng lên mặt phẳng 104 Dạng 3: Giao tuyến mặt bậc hai với mặt phẳng 105 Dạng 4: Vị trí tƣơng đối đƣờng thẳng mặt bậc hai 108 Dạng 5: Xác định quỹ tích đƣờng thẳng cắt mặt bậc hai điểm qua điểm M cho trƣớc 110 II TÂM CỦA MẶT BẬC HAI 111 Dạng 1: Phân loại mặt bậc hai theo tâm: 111 III ĐƢỜNG THẲNG TIẾP TUYẾN- MẶT PHẲNG TIẾP XÚC: 115 3.1 Định nghĩa: 115 3.2 Các toán liên quan 115 Dạng 1: Xác định quỹ tích tiếp tuyến với mặt qua điểm M cho trƣớc 115 Dạng 2: Lập phƣơng trình mặt phẳng tiếp xúc qua đƣờng thẳng cho trƣớc 116 4.1- Định nghĩa 118 4.2 Các dạng toán thƣờng gặp : 118 Dạng 1: Xác định đƣờng sinh thỏa mãn điều kiện cho trƣớc mặt kẻ 118 V PHƢƠNG TIỆM CẬN - ĐƢỜNG TIỆM CẬN - MẶT TIỆM CẬN 127 5.1 Định nghĩa 127 5.2 Các dạng toán thƣờng gặp 127 Dạng 1: Tìm quỹ tích đƣờng thẳng tiệm cận với mặt bậc hai thỏa mãn điều kiện cho trƣớc 127 Dạng 2: Xác định phƣơng trình mặt nón tiệm cận mặt bậc hai: 129 VI ĐƢỜNG KÍNH LIÊN HỢP- MẶT KÍNH LIÊN HỢP: 131 6.1-Định nghĩa 131 6.2 Các dạng toán thƣờng gặp 132 Dạng 1: Tìm mặt kính liên hợp biết phƣơng liên hợp, đƣờng kính liên hợp biết mặt phẳng liên hợp: áp dụng cơng thức mặt kính liên hợp đƣờng kính liên hợp 132 Dạng 2: Tìm phƣơng mặt bậc hai 134 VII PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI – CÁC MẶT BẬC HAI ĐẶC BIỆT: 137 7.1 Các loại mặt bậc hai: 137 Một số mặt bậc hai thƣờng gặp: 138 7.3 Bài tập phân loại mặt bậc hai: 140 VIII CÁC BÀI TỐN VỀ LẬP PHƢƠNG TRÌNH MẶT BẬC HAI 152 Dạng 1: Tìm phƣơng trình mặt bậc hai mặt kẻ: 152 Dạng 3:Lập phƣơng trình mặt nón biết đƣờng chuẩn đỉnh 155 Dạng 4:Lập phƣơng trình mặt kẻ tạo thành đƣờng thẳng chuyển động tựa lên ba đƣờng thẳng cho trƣớc chéo không gian 156 Dạng 5: Lập phƣơng trình mặt bậc hai tạo thành đƣờng thẳng chuyển động tự vào hai parabol song song với mặt phẳng cho trƣớc 158 Dạng 6: Lập phƣơng trình mặt trụ biết bán kính trục quay 159 Dạng 7: Lập phƣơng trình mặt trụ 160 Dạng 8: Tìm phƣơng trình mặt bậc hai chứa đƣờng bậc hai cho trƣớc 162 Dạng 9: Lập phƣơng trình mặt cầu qua đƣờng tròn tiếp xúc với mặt phẳng cố 163 định 164 Dạng10: Lập phƣơng trình mặt cầu trực giao với mặt cầu cho trƣớc: Dạng 11 : Lập PT đƣờng Ellipsoid dạng tắc biết qua điểm M chứa đƣờng tròn cho trƣớc 165 CHƢƠNG VI: LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN HÌNH HỌC I LỊCH SỬ HÌNH THÀNH HÌNH HỌC 166 1.Giai đoạn hình học thực hành 166 Sự hình thành hình học lí thuyết 167 3.Sự hƣng thịnh hình học Hi Lạp 167 Những tốn điển hình thời cổ đại 168 Từ ngƣời Ai Cập đến Decartes 169 II HÌNH HỌC GIẢI TÍCH 170 1.Giải tích hình học 170 2.Hình học giải tích 170 III NHỮNG HÌNH HỌC KHÁC 171 TÀI LIỆU THAM KHẢO 172 CHƢƠNG I: CHUYÊN ĐỀ TÂM TỈ CỰ I KHÁI NIỆM TÂM TỈ CỰ Cho hệ điểm A1 , A2 , , An không gian n số thực  1 , 2 , n  i 1 i  Khi tồn điểm I cho 1 IA1  2 IA2  , n  với  n IAn   Chứng minh: Ta có 1 IA1  2 IA2   n IAn  Điểm M điểm tùy ý  n     i  MI  1 MA1   MA  3 MA3    n MAn từ suy điểm I  i 1  tồn Điểm I thỏa mãn đẳng thức   đƣợc gọi tâm tỉ cự hệ điểm A1 , A2 , , An với số  1 , 2 , , n  Với M điểm tùy ý điểm I đƣợc xác định hệ n thức MI  n   k i MAi  k i i1 i 1 II ỨNG DỤNG TÂM TỈ CỰ 2.1-Ứng dụng số tâm tỉ cự đặc biệt tam giác 2.1.1-Một số đẳng thức vecto tam giác Chúng ta bắt đầu toán quen thuộc sau Bài toán :Cho ABC, M điểm nằm tam giác.Chứng minh M tâm tỉ cự ba điểm A,B,C ứng với số (Sa,Sb,Sc).Trong đó: Sa= SMBC ; Sb= SMCA ; Sc= SMAB S S S Nếu ta đặt x  MBC , y  MAC , z  MBA SABC SABC SABC Ta có: x  y  z  xMA  yMB  zMC  Hệ thức Jacobi Giải: Giả sử AM,BM,CM kéo dài cắt BC,CA,AB lần lƣợt A1,B1,C1.Dựng hình bình hành MB’CA’.Khi ta có : MC  MA '  MB' (1) Kẻ AH  BM CK  BM Theo định lý Talet ta có: B'C CB1 AB1M CB1B'   (2) MA AB 1 CK CB1  (3) AH AB B'C CB1 CK   Từ (2) (3) ta suy : (4) MA AB AH CK SMBC Sa B'C MA '   Do (vì MA’ = B’C ) ;  AH SMAB Sc MA MA S S MA ' Sa    MA '  a MA  MA '   a MA (5) (do MA MA ' ngƣợc hƣớng) MA Sc Sc Sc S Lập luận hồn tồn tƣơng tự ta có : MB'   b MB (6) Sc Thay (5) (6) vào (1) ta đƣợc : S S MC  MA '  MB'   a MA  b MB hay Sa MA  Sb MB  Sc MC  (7) Sc Sc Mặc khác: Sa + Sb + Sc ≠ ,nên từ đẳng thức (7) ta suy M tâm tỉ cự ba điểm A,B,C ứng với số (Sa,Sb,Sc) (đpcm) Bài toán : Cho ABC có ba cạnh BC = a, CA = b, AB = c Gọi I tâm đƣờng tròn nội tiếp ABC Chứng minh I tâm tỉ cự hệ ba điểm A,B,C ứng với số a,b,c Giải: Thực chất toán hệ toán S S S Ta có: IBC  IAC  IAB d(I, AB)  d(I, BC)  d(I, AC)  r a b c Nên I tâm tỉ cự A,B,C với ba số a,b,c aIA  bIB  cIC  Hệ : Đƣờng tròn tâm I nội tiếp ABC , tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB lần lƣợt M, N, P.Chứng minh rằng: aIM  bIN  cIP  Giải: aIM  bIN  cIP AB1h CB1K          aIA  bIB  cIC    aAM  bBN  cCP   aAM  bBN  cCP  a IA  AM  b IB  BN  c IC  CP MB CN BP  MC   AN   AP   a AB  AC   b  BC  BA   c  CB  CA  a b c  a   b   c    MC  CN  AB   AN  AP  BC   BP  MB CA  Mở rộng: Định lý Con nhím Cho đa giác lồi A1A2 A n ei 1  i  n  vecto đơn vị vuông góc với Ai Ai 1 ( xem An 1  A1 ) hƣớng ngồi đa giác Khi ta có đẳng thức: A1A2 e1  A2 A3 e2   An A1 en  A_ A_ A_ k+ A_ k