Duong di ngan nhat Lê Minh Hoàng

BÀI GiẢNG ĐỒ THỊ •Bài tốn đường ngắn •Thuật tốn Ford-Bellman •Thuật tốn Dijkstra •Thuật tốn Floyd Bài tốn đường ngắn Đồ thị có trọng số đồ thị mà cạnh (i,j) gán số thực A(i,j) gọi trọng số cạnh  Ta quy ước A(i,j) = ∞, (i,j) không thuộc E A(i,i) = với i  Cho đường G Độ dài đường tổng trọng số cạnh đường  Bài tốn đường ngắn Đường đi: A B E M  Chiều dài: (A, B) + (B, E) + (E, M) = 12 + + 26 = 21  Bài toán đường ngắn  Bài tốn: cho đồ thị có trọng số G (E,V) Hai đỉnh s,t thuộc V Tìm đường ngắn s t  Đường đi: A H G M Bài toán đường ngắn Nhận xét: Nếu đường A H G M đường ngắn đường đường ngắn  A H G, H G M đđ ngắn  Bài tốn đường ngắn Giả sử cần tìm đường ngắn hai đỉnh s t đồ thị khơng có chu trình âm  Gọi D[s,t] khoảng cách từ s đến t Quy ước khơng có đường từ s đến t D[s,t] = ∞  Để tìm đường ngắn từ s tới t, ta thấy ln có đỉnh t1 khác t cho:  D[s,t]=D[s,t1] + A[t1,t]  Cơng thức có ý nghĩa là: đường ngắn từ s đến t, ta trước tiên từ s tới t1 sau từ t1 đến t theo cạnh (t1,t) Bài toán đường ngắn S t Bài toán đường ngắn S D(s,t1) t1 A(t1,t) t Bài toán đường ngắn S D(s,t1) t1 A(t1,t) t Đi theo đường ngắn từ S đến t1 Bài toán đường ngắn Rồi theo cạnh t1 đến t S D(s,t1) t1 A(t1,t) Đi theo đường ngắn từ S đến t1 t Thuật toán Dijkstra Check: D: 12 30 21 13 Check: D: 13 Check: D: 42 Check: D: 12 12 Check: D: 16 Lặp lần 3: Tìm đỉnh khơng tối ưu Thuật toán Dijkstra Check: D: 12 30 21 13 Check: D: 13 Check: D: 42 Check: D: 12 12 Check: D: 16 Lặp lần 3: Tìm đỉnh khơng tối ưu Thuật tốn Dijkstra Check: D: 12 30 21 13 Check: D: 13 Check: D: 42 Check: D: 12 12 Check: D: 16 Lặp lần 3: Tìm đỉnh khơng tối ưu Tối ưu đỉnh cịn lại Thuật tốn Dijkstra Check: D: 12 30 21 13 Check: D: 13 Check: D: 42 Check: D: 12 12 Check: D: 14 Lặp lần 3: Tìm đỉnh khơng tối ưu Tối ưu đỉnh cịn lại Thuật tốn Dijkstra Check: D: 12 30 21 13 Check: D: 13 Check: D: 42 Check: D: 12 12 Check: D: 14 Lặp lần 4: Tìm đỉnh khơng tối ưu Thuật toán Dijkstra Check: D: 12 30 21 13 Check: D: 13 Check: D: 42 Check: D: 12 12 Check: D: 14 Lặp lần 4: Tìm đỉnh khơng tối ưu Thuật tốn Dijkstra Check: D: 12 30 21 13 Check: D: 13 Check: D: 42 Check: D: 12 12 Check: D: 14 Lặp lần 4: Tìm đỉnh khơng tối ưu Tối ưu đỉnh lại Thuật toán Dijkstra Check: D: 12 30 21 13 Check: D: 13 Check: D: 26 Check: D: 12 12 Check: D: 14 Lặp lần 4: Tìm đỉnh khơng tối ưu Tối ưu đỉnh lại Thuật toán Dijkstra Check: D: 12 30 21 13 Check: D: 13 Check: D: 26 Check: D: 12 12 Check: D: 14 Lặp lần 5: Tìm đỉnh khơng tối ưu Thuật tốn Dijkstra Check: D: 12 30 21 13 Check: D: 13 Check: D: 26 Check: D: 12 12 Check: D: 14 Lặp lần 5: Tìm đỉnh khơng tối ưu Thuật toán Dijkstra Check: D: 12 30 21 13 Check: D: 26 Check: D: 12 12 Check: D: 14 Check: D: 13 Lặp lần 5: Tất đỉnh đánh dấu Thuật toán kết thúc Thuật tốn Floyd Tìm đường ngắn cặp đỉnh  Gọi D[i,j] độ dài đường ngắn từ đỉnh i đến đỉnh j  Ta tiến hành cực tiểu D[i,j] theo đỉnh k xét theo thứ tự từ … n công thức: D[i,j]=min{D[i,j],D[i,k]+D[k,j]}  Thuật toán Floyd Thuật toán trình bày sau for k:=1 to n for i:=1 to n for j:=1 to n D[i,j]=min{D[i,j], D[i,k]+D[k,j]}  Ta xét tính đắn thuật toán  Thuật toán Floyd Gọi Dk[i,j] độ dài đường ngắn từ i tới j mà qua đỉnh trung gian thuộc tập {1, ,k}  Dễ thấy D0[i,j]=A[i,j] đường trực tiếp  Giả sử tính D(k-1)[i,j], ta tiến hành xây dựng Dk[i,j] cách lầy tối ưu hai trường hợp  ◦ Đường ngắn không qua k: Dk[i,j]=D(k-1)[i,j] ◦ Đường ngắn có qua k: Dk[i,j]=D(k-1)[i,u]+D(k-1)[u,j]  Khi k chạy đến n ta có đường ngắn từ i, tới j qua {1 n} đỉnh BÀI TậP