Giáo trình Xử lý tín hiệu số

Giáo trình môn xử lý tín hiệu do thạc sĩ đỗ huy khôi và thạc sĩ phùng trọng nghĩa viết. Đây là quyển giáo trình được biên tập kỹ và lưu hành nội bộ dành cho sinh viên khoa kỹ thuật điện tham khảo phục vụ trong quá trình học tập, nghiên cứu khoa học cũng như các chuyên viên, kỹ sư điện tử tham khảo, nghiên cứu...

- TÀI LIỆU THAM KHẢO NỘI BỘ - XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ Ths Đỗ Huy Khơi ThS Phùng Trung Nghĩa MỤC LỤC LỜI NĨI ĐẦU CHƢƠNG I: TÍN HIỆU RỜI RẠC VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC 1.1 MỞ ĐẦU 1.2 TÍN HIỆU RỜI RẠC 1.2.2 Phân loại tín hiệu: 1.2.3 Tín hiệu rời rạc - dãy 1.3 HỆ THỐNG RỜI RẠC 11 1.3.1 Khái niệm 11 1.4 HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH BẤT BIẾN THEO THỜI GIAN (LTI: Linear Time-Invariant System) 15 1.4.1 Khái niệm 15 1.4.2 Tổng chập (CONVOLUTION SUM) 16 1.4.3 Các hệ thống LTI đặc biệt 19 1.5.PHƢƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HẰNG 22 1.5.1 Khái niệm 22 1.5.2 Nghiệm LCCDE 23 1.5.3 Hệ thống rời rạc đệ qui (RECURSIVE) khơng đệ quy 26 1.6 TƢƠNG QUAN CỦA CÁC TÍN HIỆU RỜI RẠC 29 1.6.1 Tƣơng quan chéo 29 1.6.2 Tự tƣơng quan 30 1.6.3 Một số tính chất tƣơng quan chéo tự tƣơng quan: 31 1.7 XỬ LÝ SỐ TÍN HIỆU TƢƠNG TỰ 31 1.7.1 Các hệ thống xử lý tín hiệu: 31 1.7.2 Hệ thống xử lý số tín hiệu tƣơng tự: 31 BÀI TẬP CHƢƠNG 38 CHƢƠNG II: BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN Z 41 2.1 MỞ ĐẦU: 41 2.2 CÁC KHÁI NIỆM VỀ BIẾN ĐỔI Z 41 2.2.1 Biến đổi Z ( THE Z - TRANSFORM) 41 2.2.2 Miền hội tụ (ROC: Region of Convergence) 42 2.2.3 Biến đổi Z ngƣợc 48 2.3 CÁC TÍNH CHẤT CỦA BIẾN ĐỔI Z 50 2.4 CÁC PHƢƠNG PHÁP TÌM BIẾN ĐỔI Z NGƢỢC 57 2.4.1 Phƣơng pháp tra bảng: 57 2.4.2 Phƣơng pháp triển khai thành phân thức tối giản 58 2.4.3 Phƣơng pháp triển khai thành chuỗi luỹ thừa 62 2.5 GIẢI PHƢƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HẰNG DÙNG BIẾN ĐỔI Z MỘT PHÍA 64 2.5.1 Biến đổi Z phía 64 2.5.2 Giải phƣơng trình sai phân tuyến tính hệ số hằng: 66 2.6 PHÂN TÍCH HỆ THỐNG LTI TRONG MIỀN Z 66 2.6.1 Hàm truyền đạt hệ thống LTI 66 2.6.2 Đáp ứng hệ thống cực-zero nghỉ 70 2.6.3 Đáp ứng hệ thống cực-zero với điều kiện đầu khác 71 2.6.4 Đáp ứng q độ (TRANSIENT RESPONSE) đáp ứng xác lập (STEADY - STATE RESPONSE) 73 2.6.5 Hệ thống ổn định nhân 74 2.7 THỰC HIỆN CÁC HỆ THỐNG RỜI RẠC 76 2.7.1 Mở đầu: 76 2.7.2 Hệ thống IIR 76 2.7.3 Hệ thống FIR 79 BÀI TẬP CHƢƠNG 79 CHƢƠNG III: PHÂN TÍCH TẦN SỐ CỦA TÍN HIỆU 85 3.1 MỞ ĐẦU 85 3.2 TẦN SỐ CỦA TÍN HIỆU RỜI RẠC 85 3.2.1 Tín hiệu tƣơng tự tuần hồn theo thời gian 85 3.2.2 Tín hiệu rời rạc tuần hồn hình sin 86 3.2.3 Mối liên hệ tần số F tín hiệu tƣơng tự xa(t) tần số f tín hiệu rời rạc x(n) đƣợc lấy mẫu từ xa(t) 89 3.2.4 Các tín hiệu hàm mũ phức có quan hệ hài 90 3.3 PHÂN TÍCH TẦN SỐ CỦA TÍN HIỆU LIÊN TỤC 91 3.3.1 Phân tích tần số tín hiệu liên tục tuần hồn theo thời gian – chuỗi fourier 92 3.3.2 Phổ mật độ cơng suất tín hiệu tuần hồn 93 3.3.3 Phân tích tần số tín hiệu liên tục khơng tuần hồn – biến đổi fourier 97 3.3.4 Phổ mật độ lƣợng tín hiệu khơng tuần hồn 99 3.4 PHẤN TÍCH TẦN SỐ CỦA TÍN HIỆU RỜI RẠC 101 3.4.1 Chuỗi fourier tín hiệu rời rạc tuần hồn 102 3.4.2 Phổ mật độ cơng suất tín hiệu rời rạc tuần hồn 104 3.4.3 Phân tích tần số tín hiệu rời rạc khơng tuần hồn – biến đổi fourier 106 3.4.4 Phổ mật độ lƣợng tín hiệu khơng tuần hồn 107 3.4.5 Các tính chất biến đổi fourier tín hiệu rời rạc theo thời gian 112 3.5 LẤY MẪU TÍN HIỆU TRONG MIỀN THỜI GIAN VÀ MIỀN TẦN SỐ 118 3.5.1 Lấy mẫu miền thời gian khơi phục tín hiệu tƣơng tự 118 3.5.2 Lấy mẫu miền tần số khơi phục tín hiệu rời rạc theo thời gian 124 3.6 BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC (DFT DISCRETE FOURIER TRANFORM) 128 3.6.1 Khái niệm 128 3.6.2 Quan hệ DFT biến đổi khác 134 3.6.3 Các tính chất biến dổi Fourier rời rạc 136 BÀI TẬP CHƢƠNG 143 CHƢƠNG IV: BIỂU DIỄN, PHÂN TÍCH HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN TẦN SỐ 146 4.1 CÁC ĐẶC TÍNH CỦA HỆ THỐNG LTI TRONG MIỀN TẦN SỐ 146 4.1.1 Đáp ứng tần số hệ thống LTI 146 4.1.2 Đáp ứng q độ đáp ứng xác lập với tín hiệu hình sin 154 4.1.3 Đáp ứng xác lập với tín hiệu vào tuần hồn 155 4.2 PHÂN TÍCH HỆ THỐNG LTI TRONG MIỀN TẦN SỐ 155 4.2.1 Quan hệ vào-ra miền tần số 156 4.2.2 Tính hàm đáp ứng tần số 158 4.3 HỆ THỐNG LTI VÀ MẠCH LỌC SỐ 161 4.3.1 Lọc chọn tần lý tƣởng 162 4.3.2 Tính khơng khả thi lọc lý tƣởng 165 4.3.3 Mạch lọc thực tế 166 BÀI TẬP CHƢƠNG 167 TÀI LIỆU THAM KHẢO 170 LỜI NĨI ĐẦU Xử lý tín hiệu số (Digital Signal Processing - DSP) hay tổng qt hơn, xử lý tín hiệu rời rạc theo thời gian (Discrete-Time Signal Processing - DSP) mơn sở khơng thể thiếu đƣợc cho nhiều ngành khoa học, kỹ thuật nhƣ: điện, điện tử, tự động hóa, điều khiển, viễn thơng, tin học, vật lý, Tín hiệu liên tục theo thời gian (tín hiệu tƣơng tự) đƣợc xử lý cách hiệu theo qui trình: biến đổi tín hiệu tƣơng tự thành tín hiệu số (biến đổi A/D), xử lý tín hiệu số (lọc, biến đổi, tách lấy thơng tin, nén, lƣu trữ, truyền, ) sau đó, cần, phục hồi lại thành tín hiệu tƣơng tự (biến đổi D/A) để phục vụ cho mục đích cụ thể Các hệ thống xử lý tín hiệu số, hệ thống rời rạc, phần cứng hay phần mềm hay kết hợp hai Xứ lý tín hiệu số có nội dung rộng dựa sở tốn học tƣơng đối phức tạp Nó có nhiều ứng dụng đa dạng, nhiều lĩnh vực khác Nhƣng ứng dụng lĩnh vực lại mang tính chun sâu Có thể nói, xử lý tín hiệu số ngày trở thành ngành khoa học khơng phải mơn học Vì vậy, chƣơng trình giảng dạy bậc đại học bao gồm phần nhất, cho làm tảng cho nghiên cứu ứng dụng sau Vấn đề phải chọn lựa nội dung cấu trúc chƣơng trình cho thích hợp Nhằm mục đích xây dựng giáo trình học tập cho sinh viên chun ngành Điện tử - Viễn thơng khoa Cơng nghệ thơng tin mơn học Xử lý tín hiệu số I, II, nhƣ làm tài liệu tham khảo cho sinh viên chun ngành Cơng nghệ thơng tin mơn học Xử lý tín hiệu số, giáo trình đƣợc biên soạn với nội dung chi tiết có nhiều ví dụ minh họa Nội dung chủ yếu giáo trình Xử lý tín hiệu số I bao gồm kiến thức xử lý tín hiệu, phƣơng pháp biến đối Z, Fourier, DFT, FFT xử lý tín hiệu, phân tích tín hiệu hệ thống miền tƣơng ứng Nội dung chủ yếu giáo trình Xử lý tín hiệu số II bao gồm kiến thức phân tích tổng hợp lọc số, kiến thức nâng cao nhƣ lọc đa vận tốc, xử lý thích nghi, xử lý thời gian – tần số wavelet, xử lý tín hiệu số số ứng dụng xử lý số tín hiệu Do hạn chế thời gian phức tạp mặt tốn học mơn học, kiến thức lý thuyết giáo trình chủ yếu sƣu tầm, chọn lọc từ tài liệu tham khảo, nhƣng có bổ sung cho phù hợp với u cầu đào tạo, đặc biệt phần phụ lục chƣơng trình ví dụ xử lý số tín hiệu MATLAB, chƣơng trình xử lý tín hiệu số DSP TMS320 đƣợc tác giả xây dựng chi tiết đầy đủ Những thiếu sót cần phải điều chỉnh bổ sung đƣợc sửa chữa lần tái sau Xin đón nhận đóng góp ý kiến q thầy em sinh viên Xin chân thành cảm ơn thầy bạn giúp đỡ chúng tơi hồn thành giáo trình Nhóm tác giả: Ths Đỗ Huy Khơi Ths Phùng Trung Nghĩa CHƢƠNG I: TÍN HIỆU RỜI RẠC VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC 1.1 MỞ ĐẦU Sự phát triển cơng nghệ vi điện tử máy tính với phát triển thuật tốn tính tốn nhanh làm phát triển mạnh mẽ ứng dụng XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ (Digital Signal Proccessing) Hiện nay, xử lý tín hiệu số trở thành ứng dụng cho kỹ thuật mạch tích hợp đại với chip lập trình tốc độ cao Xử lý tín hiệu số đƣợc ứng dụng nhiều lĩnh vực khác nhƣ: - Xử lý tín hiệu âm thanh, tiếng nói: nhận dạng tiếng nói, ngƣời nói; tổng hợp tiếng nói / biến văn thành tiếng nói; kỹ thuật âm số ;… - Xử lý ảnh: thu nhận khơi phục ảnh; làm đƣờng biên; lọc nhiễu; nhận dạng; thị giác máy; hoạt hình; kỹ xảo hình ảnh; đồ;… - Viễn thơng: xử lý tín hiệu thoại tín hiệu hình ảnh, video; truyền liệu; khử xun kênh; điều chế, mã hóa tín hiệu; … - Thiết bị đo lƣờng điều khiển: phân tích phổ; đo lƣờng địa chấn; điều khiển vị trí tốc độ; điều khiển tự động;… - Qn sự: truyền thơng bảo mật; xử lý tín hiệu rada, sonar; dẫn đƣờng tên lửa;… - Y học: não đồ; điện tim; chụp X quang; chụp CT(Computed Tomography Scans); nội soi;… Có thể nói, xử lý tín hiệu số tảng cho lĩnh vực chƣa có biểu bão hòa phát triển Việc xử lý tín hiệu rời rạc đƣợc thực hệ thống rời rạc Trong chƣơng này, nghiên cứu vấn đề biểu diễn, phân tích, nhận dạng, thiết kế thực hệ thống rời rạc 1.2 TÍN HIỆU RỜI RẠC 1.2.1 Định nghĩa tín hiệu: Tín hiệu đại lƣợng vật lý chứa thơng tin (information) Về mặt tốn học, tín hiệu đƣợc biểu diễn hàm hay nhiều biến độc lập Tín hiệu dạng vật chất có đại lƣợng vật lý đƣợc biến đổi theo qui luật tin tức Về phƣơng diện tốn học, tín hiệu đƣợc biểu diễn nhƣ hàm số hay nhiều biến độc lập Chẳng hạn, tín hiệu tiếng nói đƣợc biểu thị nhƣ hàm số thời gian tín hiệu hình ảnh lại đƣợc biểu diễn nhƣ hàm số độ sáng hai biến số khơng gian Mỗi loại tín hiệu khác có tham số đặc trƣng riêng, nhiên tất loại tín hiệu có tham số độ lớn (giá trị), lƣợng cơng suất, tham số nói lên chất vật chất tín hiệu Tín hiệu đƣợc biểu diễn dƣới dạng hàm biên thời gian x(t), hàm biến tần số X(f) hay X(  ) Trong giáo trình này, qui ƣớc (khơng mà làm tính tổng qt) tín hiệu hàm biến độc lập biến thời gian Giá trị hàm tƣơng ứng với giá trị biến đƣợc gọi biên độ (amplitude) tín hiệu Ta thấy rằng, thuật ngữ biên độ khơng phải giá trị cực đại mà tín hiệu đạt đƣợc 1.2.2 Phân loại tín hiệu Tín hiệu đƣợc phân loại dựa vào nhiều sở khác tƣơng ứng có cách phân loại khác Ở đây, ta dựa vào liên tục hay rời rạc thời gian biên độ để phân loại Có loại tín hiệu nhƣ sau: - Tín hiệu tương tự (Analog signal): thời gian liên tục biên độ liên tục - Tín hiệu rời rạc (Discrete signal): thời gian rời rạc biên độ liên tục Ta thu đƣợc tín hiệu rời rạc cách lấy mẫu tín hiệu liên tục Vì tín hiệu rời rạc đƣợc gọi tín hiệu lấy mẫu (sampled signal) - Tín hiệu lượng tử hóa (Quantified signal): thời gian liên tục biên độ rời rạc Đây tín hiệu tƣơng tự có biên độ đƣợc rời rạc hóa - Tín hiệu số (Digital signal): thời gian rời rạc biên độ rời rạc Đây tín hiệu rời rạc có biên độ đƣợc lƣợng tử hóa Các loại tín hiệu đƣợc minh họa hình 1.1 Hình 1.1 Minh hoạ loại tín hiệu 1.2.3 Tín hiệu rời rạc - dãy 1.2.3.1 Cách biểu diễn: Một tín hiệu rời rạc đƣợc biểu diễn dãy giá trị (thực phức) Phần tử thứ n dãy (n số ngun) đƣợc ký hiệu x(n) dãy đƣợc ký hiệu nhƣ sau: x = {x(n)} với - ∞ < n < ∞ x(n) đƣợc gọi mẫu thứ n tín hiệu x (1.1.a) Ta biểu diển theo kiểu liệt kê Ví dụ: x = { , 0, 2, -1, 3, 25, -18, 1, 5, -7, 0, } (1.1.b) Trong đó, phần tử đƣợc mũi tên phần tử rƣơng ứng với n = 0, phần tử tƣơng ứng với n > đƣợc xếp lần lƣợt phía phải ngƣợc lại Nếu x = x(t) tín hiệu liên tục theo thời gian t tín hiệu đƣợc lấy mẫu cách khoảng thời gian Ts, biên độ mẫu thứ n x(nTs) Ta thấy, x(n) cách viết đơn giản hóa x(nTs), ngầm hiểu ta chuẩn hố trục thời gian theo TS Ts gọi chu kỳ lấy mẫu (Sampling period) Fs = 1/Ts đƣợc gọi tần số lấy mẫu (Sampling frequency) Ví dụ: Một tín hiệu tƣơng tự x(t) = cos(t) đƣợc lấy mẫu với chu kỳ lấy mẫu Ts = (/8 Tín hiệu rời rạc tƣơng ứng x(nTs) = cos(nTs) đƣợc biểu diễn đồ thị hình 1.2.a Nếu ta chuẩn hóa trục thòi gian theo Ts tín hiệu rời rạc x = {x(n)} đƣợc biểu diễn nhƣ đồ thị hình 1.2.b Ghi chú: - Từ sau, trục thời gian đƣợc chuẩn hóa theo Ts, cần trở thời gian thực, ta thay biến n nTs - Tín hiệu rời rạc có giá trị xác định thời điểm ngun n chúng có giá trị - Để đơn giản, sau này, thay ký hiệu đầy đủ, ta cần viết x(n) hiểu dãy x = {x(n)} Hình 1.2 Tín hiệu rời rạc 1.2.3.2 Các tín hiệu rời rạc 1/ Tín hiệu xung đơn vị (Unit inpulse sequence): Đây dãy nhất, ký hiệu làĠ, đƣợc định nghĩa nhƣ sau: 1, n  0, n  (1.2)  ( n)   (1.3)  (n)   ,0, ,0,1,0 ,0,  Dãy  (n) đƣợc biểu diễn đồ thị nhƣ hình 1.3 (a) 2/ Tín hiệu ( Constant sequence): tín hiệu có giá trị với tất giá trị chủa n Ta có: x(n)=A, với    n   (1.4) x(n)   , A, A., A, A , A (1.5) Dãy đƣợc biểu diễn đồ thị nhƣ hình 1.3.(b) 3/ Tín hiêu nhẫy bậc đơn vị (Unit step sequence) Dãy thƣờng đƣợc ký hiệu u(n) đƣợc định nghĩa nhƣ sau: 1, n  u ( n)   (1.5) 0, n  Dãy u(n) đƣợc biểu diễn đồ thị hình 1.3 (c) Mối quan hệ tín hiệu nhãy bậc đơn vị với tín hiệu xung đơn vị: u ( n)  n   (k )   (n)  u(n)  u(n  1) k   với u(n-1) tín hiệu u(n) đƣợc dịch phải mẫu (1.6) Hình 1.3 Các dãy a) Dãy xung đơn vị b) Dãy c) Dãy nhảy bậc đơn vị d) Dãy hàm mũ e) Dãy tuần hồn có chu kỳ N=8 f) Dãy hình sin có chu kỳ N=5 4/ Tín hiệu hàm mũ (Exponential sequence) x(n) = A n (1.7) Nếu A α số thực dãy thực Với dãy thực, < α < A>0 dãy có giá trị dƣơng giảm n tăng, hình 1.3(d) Nếu –1< α < giá trị dãy lần lƣợc đổi dấu có độ lớn giảm n tăng Nếu   độ lớn dãy tăng n tăng 5/ Tín hiệu tuần hồn (Periodic sequence) Một tín hiệu x(n) đƣợc gọi tuần hồn với chu kỳ N khi: x(n+N) = x(n), với n Một tín hiệu tuần hồn có chu kỳ N=8 đƣợc biểu diễn đồ thị hình 1.3(e) Dĩ nhiên, tín hiệu hình sin hiệu tuần hồn  2  Ví dụ: x(n)  sin  (n  3) tín hiệu tuần hồn có chu kỳ N=5, xem hình1.3(f)   1.2.3.3 Các phép tốn dãy Cho dãy x1 = {x1(n)} x2 = {x2(n)} phép tốn hai dãy đƣợc định nghĩa nhƣ sau: 1/ Phép nhân dãy: y = x1 x2 = {x1(n).x2(n)} (1.8) 2/ Phép nhân dãy với hệ số: y = a.x1 = {a.x1(n)} (1.9) 3/ Phép cộng dãy: (1.10) y = x1 + x2 = {x1(n) + x2(n)} 4/ Phép dịch dãy (Shifting sequence): 10 Trong phần trƣớc, phƣơng pháp miền tần số đƣợc dùng để xác định đáp ứng xác lập hệ thống LTI ổn định với tín hiệu vào tuần hồn, phƣơng pháp đƣợc tổng qt hóa để giải tốn tính đáp ứng trạng thái khơng tín hiệu có lƣợng hữu hạn khơng tuần hồn Cơng cụ tốn học đƣợc dùng biến đổi Fourier tín hiệu rời rạc 4.2.1 Quan hệ vào-ra miền tần số Xét hệ thống LTI có đáp ứng xung h(n) đƣợc kích thích tín hiệu có lƣợng hữu hạn x(n) Đáp ứng hệ thống : y ( n)    h( k ) x ( n  k ) (4.26) k   Áp dụng tính chất tích chập, ta thu đƣợc: Y ()  H () X () (4.27) Pt(4.27) quan hệ vào - miền tần số Theo đó, phổ tín hiệu phổ tín hiệu vào nhân với đáp ứng tần số hệ thống Quan hệ đƣợc viết đƣợc dƣới dạng cực : Y ( )  H ( ) e j n   X ( ) e jx ( ) = H ( ) X ( ) e j x ( ) n( )  (4.28) Kết quả, biên độ pha Y(ω) : Y()=H()X() Y() = X() + H() hay y() = x() + h() (4.29) (4.30) (4.31) Về chất, tín hiệu khơng tuần hồn có lƣợng hữu hạn có phổ bao gồm dải tần liên tục Hệ thống LTI thơng qua hàm đáp ứng tần số nó, làm suy giảm số thành phần tần số tín hiệu vào đồng thời khuếch đại thành phần tần số khác Đồ thị |H(ω)| cho ta biết đƣợc vùng tần số Mặt khác, góc pha H(ω) xác định dịch pha tín hiệu vào qua hệ thống nhƣ hàm tần số Ta thấy, tín hiệu hệ thống LTI khơng chứa thành phần tần số mà khơng có tín hiệu vào Nghĩa là, hệ thống khơng sinh thành phần tần số (hệ thống biến đổi theo thời gian phi tuyến tính sinh thành phần tần số khơng chứa tín hiệu vào) Hình 4.3 minh họa hệ thống LTI ổn định (BIBO)-nghỉ với phương pháp phân tích miền thời gian miền tần số Ta thấy, phân tích miền thời gian xử lý tổng chập tín hiệu vào đáp ứng xung để thu đƣợc đáp ứng hệ thống miền thời gian, ngƣợc lại, phân tích miền tần số, ta xử lý phổ X(ω) tín hiệu đáp ứng tần số H(ω) thơng qua phép nhân để thu đƣợc phổ tín hiệu ngã hệ thống Một cách tƣơng đƣơng, ta dùng biến 156 đổi Z tín hiệu vào X(z) hàm truyền đạt H(z) để thu đƣợc biến đổi Z tín hiệu Y(z) tìm đáp ứng y(n) qua biến đổi Z ngƣợc Hình 4.3 : Mối quan hệ vào miền tần số miền thời gian hệ thống LTI nghỉ Trở lại quan hệ (4.27), giả sử ta có Y(ω), ta tìm biểu thức tín hiệu miền thời gian biến đổ Fourier ngƣợc y ( n)  2 x  Y ( )e jn d (4.32) x Từ quan hệ vào-ra (4.28), bình phƣơng biên độ vế, ta đƣợc Y ( )  H ( ) X ( ) 2 Syy(  ) = H ( ) Sxx(  ) (4.33) Ở Syy(ω) Sxx(ω) lần lƣợt phổ mật độ lƣợng y(n) x(n) ta có quan hệ Parseral cho lƣợng tín hiệu ra, : Ey = 2 x  Y ( ) d  x x H ( ) Sxx ( )d  2  x (4.34) Ví dụ 4.6 : Cho hệ thống LTI đƣợc đặc tả đáp ứng xung : n 1 h( n)    u ( n) 2 Xác định phổ phổ mật độ lƣợng tín hiệu ra, hệ thống đƣợc kích thích tín hiệu : n 1 x ( n)    u ( n) 4 Giải : Đáp ứng tần số hệ thống (xem ví dụ 4.1): H ( )  Biến đổi Fourier tín hiệu vào: X ( )  1  e  j 157 1  e  j Phổ tín hiệu là: Y ( )  H ( ) X ( )    j   j  1  e 1  e     Phổ mật độ lƣợng tƣơng ứng: Syy ( )  Y ( )  H ( ) X ( ) = 5  17    cos    cos   4  16  4.2.2 Tính hàm đáp ứng tần số Nếu đáp ứng xung h(n) hệ thống LTI đƣợc biết, hàm đáp ứng tần số H(ω) đƣợc tính từ cơng thức biến đổi Fourier H ( )    h( n)e  jn (4.35) n   Nếu hệ thống đƣợc mơ tả phƣơng trình sai phân tuyến tính hệ số : N M k 0 k 0 y ( n )    a k y ( n  k )   bk x ( n  k ) (4.36) H(ω) thu đƣợc cách tính H(z) vòng tròn đơn vị : M H ( z)  b k 0 N k z k   ak z (4.37) k k 1 M Suy ra: H ( )  b e k 0 N  jk k   ak e (4.38)  jk k 1 Ta thấy H(ω) phụ thuộc vào hệ số {ak} {bk} phƣơng trình sai phân Đặc biệt hệ thống zero (FIR) nghĩa ak = 0, k = 1,2, N H(ω) có dạng : M H ( )   bk e  jn (4.39) k 0 Điều phù hợp với hệ thống FIR đề cập chƣơng 1, có đáp ứng xung là:  bn ; n  0,1, , M  h( n)   (4.40)  0 n   158 Nếu hệ thống cực hay đệ qui nghĩa bk = 0, k = 1,2, , M; H(ω) có dạng : H ( )  b0 N   ak e (4.41)  jn k 1 Nếu hệ thống hệ cực - zero, đƣợc mơ tả phƣơng trình sai phân (4.36) Hàm truyền đạt H(z) viết dƣới dạng tích : H ( z )  Gz  M  N z  z1 z  z  z  z M  z  p1 z  p  z  p N  (4.42) Trong z1, z2 zM M zero khác khơng H(z) p1, p2, pN N cực khác khơng H(z) G số Hàm đáp ứng tần số H(ω) có đƣợc cách tính H(z) vòng tròn đơn vị (thay z = ejω) Ta có : H ( )  Ge j ( N  M ) e e j j      z1 e j  z e j  z M  p1 e j  p e j  p N   (4.43) Mỗi thừa số (4.43) biểu diễn dƣới dạng cực nhƣ sau: Và với e j  zk  Vk ( )e jk ( ) (4.44) e j  pk  U k ( )e jk ( ) (4.45) j V k (  ) = e  zk ;  k ( )  (e j  zk ) (4.46) Khi đó, biên độ H(ω) : H ( )  G V1 ( ) VM ( ) U ( )U ( ) U N ( ) (4.48) (vì biên độ ejω(N-M) = 1) Pha H(ω) tổng pha thừa số tử số trừ cho tổng pha thừa số mẫu số cộng cho pha G cộng ω (N - M) Ta có : H() = G + (N - M) + 1() + 2() + + M() - [1() + 2() + + N()] (4.49) Trong đó, pha G G dƣơng π G âm Rõ ràng, biết đƣợc cực zero hàm hệ thống H(z), ta tính đáp ứng tần số từ pt(4.48) vàpt(4.49), cách tính rõ ràng phức tạp, nhƣng thuận lợi tìm thuật tốn cho chƣơng trình máy tính Hình 4.4 trình bày cách biểu diễn tƣơng đƣơng hệ thống mắc song song mắc liên tiếp miền thời gian miền tần số 159 Hình 4.4: Các hệ thống LTI a) Mắc song song b) Mắc nối tiếp Ví dụ 4.7 : Lọc Hanning Xác định vẽ đồ thị đáp ứng biên độ, đáp ứng pha hệ thống FIR đƣợc đặc tả phƣơng trình sai phân (hệ thống trung bình di động) y ( n)  1 x(n)  x(n  1)  x(n  2) 4 Giải : Áp dụng phƣơng trình (4.39) ta đƣợc : H ( )  1  j  j 2  e  e 4 Hay H ( )   j j e (e   e  j 2 ) Suy H ( )  (1  cos  )e  j Kết H ( )  (1  cos  ) (4.50) Hình 4.5 vẽ đồ thị đáp ứng biên độ đáp ứng pha hệ thống Ta thấy lọc Hanning có đặc tuyến đáp ứng tần số lọc hạ thơng 160 Hình 4.5 Đáp ứng biên độ pha mạch lọc Hamming Đáp ứng biên độ ω = (dc) suy giảm đến 0, ω =π Đáp ứng pha hàm tuyến tính theo tần số Bộ lọc đơn giản đƣợc dùng để ‘làm trơn’ (smooth) liệu nhiều ứng dụng 4.3 HỆ THỐNG LTI VÀ MẠCH LỌC SỐ Trong xử lý tín hiệu số, hệ thống phổ biến lọc số (digital filter) Lọc số mạch điện tử (phần cứng) chƣơng trình (phần mềm) kết hợp hai Nhƣ vậy, lọc số thật chƣa mạch điện hay thiết bị cụ thể, nhƣng để thuận tiện ta gọi mạch lọc hay lọc Cũng giống nhƣ mạch lọc tƣơng tự, tác động mạch lọc gồm lọc bỏ lọc chọn thành phần tần số khác tín hiệu vào để tạo tín hiệu có phổ khác với phổ tín hiệu vào Bản chất tác động lọc đƣợc xác định đặc tuyến đáp ứng tần số H(ω) Đặc tuyến phụ thuộc vào chọn lựa tham số hệ thống (ví dụ : hệ số a k  b k  phƣơng trình sai phân tuyến tính hệ số hằng) Nhƣ cách chọn tập tham số hệ thống, ta thiết kế mạch lọc chọn tần Nhƣ ta thấy số ví dụ phần trƣớc, hệ thống LTI có tác động lọc tần số Tổng qt, hệ thống LTI biến đổi tín hiệu vào có phổ X(ω) theo đáp ứng tần số H(ω) tín hiệu có phổ Y(ω) = H(ω)X(ω) Theo cách tiếp cận này, H(ω) tác động nhƣ hàm sửa dạng phổ (spectral shaping function) tín hiệu vào Động tác sửa dạng phổ đồng nghĩa với chọn lựa tần số, hệ thống LTI coi nhƣ mạch lọc chọn tần Mạch lọc đƣợc dùng 161 phổ biến xử lý tín hiệu số với nhiều cức khác Ví dụ nhƣ : loại bỏ nhiễu tín hiệu, sửa dạng phổ xử lý tín hiệu âm thanh, hình ảnh hay cân kênh truyền thơng; tách tín hiệu radar, sonar truyền liệu; thực phân tích phổ tín hiệu, 4.3.1 Lọc chọn tần lý tƣởng Trong nhiều ứng dụng thực tế, ta phải giải tốn tách tín hiệu mà phổ chúng khơng có chồng lấp với u cầu tín hiệu mong muốn khơng bị méo dạng tác động mạch lọc đƣợc dùng Bài tốn thƣờng nảy sinh truyền tin, nơi mà nhiều tín hiệu đƣợc ghép kênh theo cách chia tần đƣợc truyền kênh chung (chẳng hạn nhƣ cáp đồng trục, cáp quang, hay kênh truyền vệ tinh) đầu cuối thu nhận hệ thống truyền tin, tín hiệu phải đƣợc tách mạch lọc chọn tần đƣợc truyền đến đích cuối chúng Mạch lọc chọn tần phải đƣợc thiết kế cho méo dạng khơng đáng kể tín hiệu qua Xét tín hiệu x(n) có băng tần ω1 < ω < ω2 nghĩa : X(ω) = ω ≥ ω2  1 Giả sử tín hiệu qua mạch lọc có đáp ứng tần số : Ce  jk ; 1     H ( )  (4.51) ;n khác Ở C k số dƣơng Tín hiệu mạch lọc có phổ : Y() = X()H() = C X()e-jk ;1 <  < 2 (4.52) Áp dụng tính chất dịch miền thời gian biến đổi Fourier nhƣ sau : x(n  k )  X ( )e  jk y(n)  Cx(n  k ) (4.53) Kết quả, tín hiệu mạch lọc đơn giản tín hiệu vào đƣợc dịch k mẫu thay đổi thang biên độ thừa số C Một phép trể túy khơng làm méo tín hiệu Vì mạch lọc đƣợc đặc trƣng hàm truyền (4.51) đƣợc gọi mạch lọc lý tƣởng Phổ biên độ hằng, : H() = C ; 1 <  < 2 phổ pha hàm tuyến tính tần số : () = -k Đặc tuyến đáp ứng tần số đƣợc minh họa hình 4.6 162 với C=1, k=4, 1     3 Hình 4.6: Đặc tuyến biên độ pha mạch lọc dải thơng lý tƣởng Một cách tổng qt sai lệch đặc tuyến (của đáp ứng) tần số mạch lọc tuyến tính so với đặc tuyến tần số lý tƣởng méo dạng Nếu mạch lọc có đặc tuyến đáp ứng biên độ biến đổi theo tần số băng tần mong muốn tín hiệu mạch lọc tạo méo dạng biên độ (amplitude distortion) Nếu đặc tuyến pha khơng tuyến tính băng tần mong muốn tín hiệu bị méo pha (phase distortion) lệch pha theo tần số đồng nghĩa với trễ, nên độ trễ tín hiệu đƣợc định nghĩa nhƣ hàm tần số :  ( )   d ( ) d (4.54) Ta thấy rằng, mạch lọc pha tuyến tính có độ trễ số, độc lập với tần số Nhƣ vậy, mạch lọc mà gây méo pha có độ trễ biến thiên theo tần số Ta nói mạch lọc đƣa vào méo trễ (delay distortion) Vì vậy, méo trễ đồng nghĩa với méo pha Giống nhƣ mạch tƣơng tự, mạch lọc đƣợc phân loại theo đặc tuyến đáp ứng tần số, ta có loại mạch lọc nhƣ sau : - Lọc thơng thấp lý tƣởng, có đáp ứng tần số : Ce  jk ;   c H ( )  (4.55) 163 ;ngƣợc lại Ở ωc đƣợc gọi tần số cắt - Lọc thơng cao lý tƣởng, có đáp ứng tần số : Ce  jk ;   c H ( )  (4.56) ;ngƣợc lại - Lọc thơng dải lý tƣởng, có đáp ứng tần số : Ce  jk ; 1     H ( )  (4.57) ;ngƣợc lại - Lọc triệt dải lý tƣởng, có đáp ứng tần số : Ce  jk ;   1    c H ( )  (4.58) ; 1     Đặc tuyến đáp ứng tần số mạch lọc đƣợc minh họa hình4.7 164mạch lọc Hình 4.7: Các loại 4.3.2 Tính khơng khả thi lọc lý tƣởng Trong thực tế, ta thực lọc lý tƣởng hay khơng? Để trả lời câu hỏi này, ta khảo sát đáp ứng xung h(n) lọc thơng thấp lý tƣởng có đáp ứng tần số :   c H ( ) = (4.57) c     Đáp ứng xung lọc là: c  ;n=0 H ( ) = (4.58)  c sin  c n  c n Đồ thị h(n) với  c = ;n   đƣợc vẽ hình 4.8 Rõ ràng lọc thơng thấp lý tƣởng khơng nhân Hơn h(n) có chiều dài vơ hạn khơng khả tổng tuyệt đối Vì vậy, khơng thể thực đƣợc thực tế Chúng ta quan sát thấy rằng, độ rộng múi (main lobe) h(n) tỉ lệ nghịch với tần ωc lọc Khi băng tần lọc tăng, đáp ứng xung trở nên hẹp Khi ωc =π, lọc trở thành lọc thơng tất (All-pass) đáp ứng xung trở thành xung đơn vị Hình 4.8: Đáp ứng xung lọc thơng thấp lý tƣởng Nếu đáp ứng xung bị trễ n0 mẫu, lọc thơng thấp lý tƣởng lọc pha tuyến tính, là:  h(n  n0 )  H ( )e  jn0 Ta chọn độ trễ n0 lớn (một cách tùy ý) coi nhƣ h(n)=0 với n < n0 Tuy nhiên, hệ thống thu đƣợc khơng có đáp ứng tần số lý tƣởng 165 Kết luận cho tất lọc lý tƣởng khác Tóm lại, tất lọc lý tƣởng khơng thể thực mặt vật lý 4.3.3 Mạch lọc thực tế Mặc dù lọc lý tƣởng điều mong muốn, nhƣng ứng dụng thực tế, khơng thiết phải có xác tuyệt đối nhƣ Ta thực lọc nhân có đáp ứng tần số xấp xĩ với mạch lọc lý tƣởng mà ta mong muốn Đặc biệt, khơng thiết phải có biên độ |H(ω)| tồn dãi thơng lọc Một lƣợng gợn sóng nhỏ dải thơng (hình 4.9) thƣờng chấp nhận đƣợc Tƣơng tự, khơng cần thiết |H(ω)| phải dải chặn (stopband), giá trị nhỏ hay lƣợng gợn sóng nhỏ chấp nhận Biên độ |H(ω)|cũng khơng thể giảm đột ngột từ xuống tần số cắt Nhƣ phải có dải tần q độ dải thơng dải chặn, ta gọi dải q độ (transition band) hay vùng chuyển tiếp (transition region) lọc (hình 4.9) Từ đặc tuyến đáp ứng biên độ lọc thực tế (hình (4.9)) ta định nghĩa thơng số sau : ω1: biên độ gợn sóng dải thơng gọi tắt gợn sóng dải thơng (passband ripple) ω2 : biên độ gợn sóng dải chặn gọi tắt gợn sóng dải chặn (stopband ripple) ωp : tần số cạnh dải thơng ωs: tần số cạnh dải chặn ωs - ωp : độ rộng dải q độ Hình 4.9: Đặc tuyến đáp ứng biên độ lọc thực tế Băng tần mạch lọc độ rộng dải thơng Trong mạch lọc thơng thấp này, ta thấy, biên độ H(ω)| dao động khoảng  1 Trong tốn thiết kế mạch lọc, ta cần xác định chi tiết kỹ thuật sau: (1) Gợn sóng dải thơng cực đại chấp nhận (2) Gợn sóng dải chặn cực đại chấp nhận (3) Tần số cạnh dải thơng 166 (3) Tần số cạnh dải chặn Nhắc lại rằng, hệ thống LTI đƣợc mơ tả phƣơng trình sai phân tuyến tính hệ số : N M k 0 k 0 y ( n )    a k y ( n  k )   bk x ( n  k ) (4.59) Có thể hệ thống nhân thực thực tế Đáp ứng tần số : M H ( )  b e k 0 N  jk k   ak e (4.60)  jk k 0 Từ tiêu đƣợc nêu trên, ta chọn hệ số a k  bk  để có mạch loạc với đáp ứng tần số H(  ) tƣơng ứng Mức độ xấp xỉ H(  ) với chi tiêt kỹ thuật tuỳ thuộc vào tiêu chuẩn chọn lựa hệ số a k  bk  nhƣ M N BÀI TẬP CHƢƠNG 4.1 Cho hệ thống LTI có đáp ứng xung 1 h( n)     3 n a - Hãy xác định biên độ đáp ứng xung |H()| đáp ứng pha H() b - Hãy xác định vẽ phổ biên độ phổ pha tín hiệu vào tín hiệu lần lƣợc cho tín hiệu sau 4.2 Hãy xác định vẽ đáp ứng biên độ pha hệ thống sau : a) y(n) = (1/2)[x(n) + x(n-1)] b) y(n) = (1/2)[x(n) - x(n-1)] c) y(n) = (1/2)[x(n) + x(n-2)] d) y(n) = (1/2)[x(n) - x(n-2)] 167 e) y(n) = (1/3)[x(n) + x(n-1) + x(n-2)] f) (f) y(n) = 2x(n-1) - x(n-2) g) y(n) = (1/8)[x(n) + 3x(n-1) + 3x(n-2) + x(n-3)] h) y(n) = x(n-4) (a) y(n) = x(n+4) 4.3 Xét lọc số có sơ đồ khối nhƣ hình 4.27 Hình 4.27 (a) Hãy xác định quan hệ vào đáp ứng xung h(n) (b) Hãy xác định vẽ phổ biên độ, phổ pha lọc tìm dải tần hồn tồn bị chận lọc (c) Khi ω0= π/2, xác định tín hiệu tƣơng ứng với tín hiệu vào là:  n x(n)  cos( n  30 ) , 4.4 Xét lọc FIR: y(n) = x(n) - x(n-4) (a) Tính ve đáp ứng biên độ đáp ứng pha (b) Tính đáp ứng lọc với tín hiệu vào là: x(n)  cos  n  cos  n ,n (c) Giải thích kết câu (b) kết câu (a) 4.5 Hãy xác định đáp ứng xác lập hệ thống có quan hệ vào nhƣ sau: y(n) = (1/2)[x(n) - x(n-2)] với tín hiệu vào là:  x(n)   cos( n  60 )  sin(n  45 ) , n 4.6 Cho hệ thống có đáp ứng xung h1(n), h2(n) h3(n) đƣợc liên kết nhƣ hình vẽ 168 Cho biết: h1(n) = {0, 1, -2, 1, 0}; h2(n) = u(n) - u(n-6); h3(n) = (n) + 2(n-1) - (n-2) - (n-7) (a) Tìm hệ thống H(z) hệ thống tƣơng đƣơng (b) Tính đáp ứng xung h(n) củ hệ thống tƣơng đƣơng (c) Xác định đáp ứng tần số H() hệ thống tƣơng đƣơng (d) Tìm đáp ứng hệ thống tín hiệu vào là:  x(n)   2e j n    sin( n  ) 3 4.7 Một hệ thống số có hàm truyền đạt H(z)=0.15  z 2  0.7 z  (a) Xác định đáp ứng biên độ đáp ứng pha hệ thống (b) Tính đáp ứng hệ thống với kích thích là:       x(n)  sin n   cos n   cos n   4 8  2   Nhận xét giải thích Chức hệ thống gì? 169 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Qch Tuấn Ngọc - XỬ LÍ TÍN HIỆU SỐ - NXB Giáo Dục - 1995 [2] Nguyễn Quốc Trung - XỬ LÝ TÍN HIỆU VÀ LỌC SỐ TẬP 1- NXB Khoa Học Kỹ Thuật 1999 [3] Nguyễn Quốc Trung - XỬ LÝ TÍN HIỆU VÀ LỌC SỐ TẬP II- NXB Khoa Học Kỹ Thuật 2001 [4] Dỗn Hòa Minh, Xử lý tín hiệu số, Đại học Cần Thơ – 2000 [5] Alan V Oppenheim, Ronald W Schafer - DISCRETE-TIME SIGNAL PROCESSING Prentice-Hall, Inc - 1989 [6] C Sidney Burrus, James H McClellan, Alan V Oppenheim, Thomas W Parks, Ronald W Schafer, Hans W Schuessler - COMPUTER-BASED EXERCICES FOR SIGNAL PROCESSING USING MATLAB - Prentice Hall International, Inc - 1994 [7] Emmanuel C Ifeachor - Barrie W Jervis - DIGITAL SIGNAL PROCESSING A PRACTICAL APPROACH - Prentice Hall - 2002 [8] William D Stanley - Gary R Dougherty - Ray Dougherty - DIGITAL SIGNAL PROCESSING - Reston Publishing Company, Inc - 1984 170