TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN TOÁN LUYỆN THI ĐẠI HỌC

TĨM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN TỐN LUYỆN THI ĐẠI HỌC PHẦN I/ Đại số I/ Phương trình hệ phương trình: 1/ Phương trình bậc ẩn số a/ phương pháp giải : Giải biện luận pt ax + b = (1) (1) ⇔ ax = – b b •Nếu a ≠ (1) ⇔ x = – a b/ ví dụ hướng dẫn: •Nếu a = (1) ⇔ 0.x = –b +Với b ≠ 0: (1) vô n0 +Với b = 0: (1) vô số n0 ∀ x ∈ R Giải phương trình sau: 5x + − 3x = +/ x − ⇔12x – 2(5x+2)=(7 – 3x)3⇔12x – 10x – = 21 – 9x ⇔12x – 10x + 9x = 21 + 4⇔ 11x = 25 25  25  ⇔ x= Vậy: tập nghiệm phương trình S=   11  11  +/ x − = x Điều kiện: 2x ≥ ⇔ x ≥ Khi đó: x − = x ⇔ x − = x x – = - 2x * x – = 2x ⇔ x = -1 (không thỏa mãn đk ) * x – = - 2x ⇔ x = (thoả mãn đk : x ≥ ) 1  Vậy tập nghiệm là: S =   3 Vậy tập nghiệm S = { -1 } +) – 4x( 25 – 2x) = 8x2 + x – 300 – 100x + 8x2 = 8x2 + x – 300 101x = 303 x = Tập nghiệm S = { } x+2 +) x − − x = x( x − 2) * ĐKXĐ: x ≠ và x ≠ *x(x+2)–(x–2) =2 x2 + x = x ( x + ) = x = ( không thỏa ĐKXĐ) x = -1 ( thỏa ĐKXĐ) + Giải biện luận phương trình : m(x - m ) = x + m - (1) Giải Phương trình (1) ⇔ (m - 1)x = m2 + m – (1a) Ta xét trường hợp sau : + Khi (m-1) ≠ ⇔ m ≠ nên phương trình (1a) có nghiệm x= m2 + m − = m – ;nên pt(1) có nghiệm m −1 +) Khi (m – 1) = ⇔ m = phương trình (1a) trở thành 0x = 0; phương trình nghiệm với x ∈ R; nên pt(1) với x ∈ R Kết luận : m ≠ : nghiệm x= m-2 (Tập nghiệm S = {m - 2}) m = : ∀ x ∈R (Tập nghiệm S = R) +: Giải biện luận phương trình: m(x-1) = 2x+1 (2) Giải Ta có (2)  mx-m = 2x+1  (m-2)x = m+1 Biện luận: (2a) (có dạng ax+b =0) m +1 m−2 + m-2= 0 m = (2a) trở thành 0x=3; pt vơ nghiệm, nên (2) vô nghiệm Kết luận: m +1 m ≠ (2) có nghiệm x = m−2 m=2 (2) vô nghiệm + m-2 ≠ 0 m ≠ (2a) có nghiệm x = m2x+2 = 2m-2 (3) Giải 2 Ta có: (3) m x-x = 2m-2  (m -1)x = 2(m-1) (3a) Biện luận: + Nếu m2-1 ≠  m ≠ ± (3a) có nghiệm 2(m − 1) x= = ; nên (3) có nghiệm m +1 m −1 + Nếu m2-1=0  m= ± - với m=1 :(3a) có dạng 0x= 0, (3a) với x ∈ R (phương trình có vơ số nghiệm), nên (3) có vơ số nghiệm - với m=-1: (3a) có dạng 0x=-4; (3a)vơ nghiệm, nên (3) vơ nghiệm Kết luận: + m≠1 m≠ -1 (3) có nghiệm x = m +1 + m =1 (3) có vơ số nghiệm + m= -1 (3) vơ nghiệm +: Giải biện luận phương trình 2/Ơn luyện phương pháp giải hệ phương trình bậc hai ẩn A- Kiến thức cần nắm : 1- Giải hệ phương pháp minh hoạ đồ thị : a c  y = − x + (d )  ax + by = c  b b Cho hệ pt:  ⇔ a ' x+.b' y = c '  y = − a ' x + c' (d ' )  b' b' * Vẽ d d' mặt phẳng toạ độ * Xác định giao điểm chung : +Nếu d cắt d' điểm A (x0; y0) ⇒ Hệ có nghiệm (x0; y0) + d// d' ⇒ Hệ vô nghiệm + d trùng với d' ⇒ Hệ vô số nghiệm nghiệm tổng quát ( x ∈ R; y= −a c x+ ) b b 2- Giải hệ phương pháp B1: Chọn PT hệ ; biểu thị ẩn qua ẩn Rồi vào PT lại để PT bậc ẩn B2: Giải PT ẩn vừa tìm ; thay giá trị tìm y (hoặc x) vào biểu thức tìm bước thứ để tìm giá trị ẩn 3- Giải hệ phương pháp cộng đại số B1: Nhân vế PT với số thích hợp (nếu cần ) cho hệ số x( y) Trong PT hệ đối B2: Sử dụng qui tắc cộng đại số để hệ PT ; có PT mà hệ số hai ẩn B3: Giải hệ PT vừa tìm B- Bài tập vận dụng : Bài 1: Giải hệ PT sau phương pháp thế; Phương pháp cộng minh hoạ lại đồ thị : x + y =  2 x + y = Giải: PP : Hướng dẫn HS chọn PT(1) ⇒ y= -x (1') Thế vào PT (2) ta : 2x + 3( -x ) = ⇔ 2x +9 - 3x = ⇔ -x = 7-9 =-2 ⇔ x= Thay x = vào (1') ⇒ y= -2 = Vậy hệ PT có nghiệm ( x= ; y =1) PP cộng : Nhân vế PT(1) với ta hệ tương đương với hệ cho : 2 x + y = y = y = ⇔ ⇔  2 x + y = x + y = x = PP minh hoạ đồ thị : Cho HS vẽ đường thẳng y = -x + y = -2/3 x +7/3 Sao cho dường thẳng cắt điểm có toạ độ ( ; ) chứng tỏ hệ có nghiệm x=2 ; y =1 Bài 2:  x − y = a; Giải hệ phương trình :   x + y = + HD: Nhân vế PT (1) với ta có hệ tương đương với hệ cho :  x − y =   x + y = + 3 Dùng phương pháp cộng đại số giải ta có nghiệm hệ : 3+ 1+ x= ;y= 5 b; Giải hệ pt: 3( x − 7) − 6( x − y + 1) =  4( x − 1) + 2( x − y + 7) = HD: Cho HS nhân khai triển thu gọn ta hệ PT đơn giản giải nghiệm hệ : x = ; y = 5,5 c; Giải hệ PT sau cách đặt ẩn phụ :  x + 2y − x − 2y =    20 + =  x + y x − y HD: Đặt 1/x+2y = a ; 1/x-2y = b 4 a − b = Hệ trở thành :  Giải hệ pp pp cộng đại số ta có a= 1/8; 20a + 3b = 1 / x + y = / x + y = x = ⇔ ⇔ b = -1/2 Suy :  1 / x − y = −1 /  x − y = −2  y = 2,5 Bài 3: Cho hệ PT : mx + y =  mx + my = m − a; Tìm m biết nghiệm hệ x= -1/3 ; y =1 ? b; Giải hệ với m =0 ? c; Tìm m để hệ cho vơ số nghiệm ? HD Giải: a; Vì nghiệm hệ x= -1/3 ; y =1 Nên Ta thay vào hệ ta có : (−1 / 3).m + 2.1 = m = ⇔ ⇔m=3  (−1 / 3) m + m.1 = m − m = Vậy với m= hệ có nghiệm x= -1/3 ; y =1 b; Thay m = vào hệ PT ta : 0 x + y = 2 y = ⇔ ⇒ Hệ PT vô nghiệm  0 x + y = − 0 = −1 c; Để hệ có vơ số nghiệm ta phải có : a/a' = b/b' = c/c' Tức : m/ m.= 2/m= 1/m-1 ⇒ m =2 Bài 4: Cho hệ phương trình bậc hai ẩn x y : (2m − n) x + (n − m) y = 5(2m + 3n) −  (4m + 11n) x − (m − n − 9) y = n + 13m − a; Giải hệ phương trình m= -5 n =3 b; Tìm m n hệ phương trình có nghiệm ( 5; -1) Giải : a; Thay m = -5 ; n = vào hệ PT khai triễn thu gọn ta hệ PT : − 13 x + y = −8  13 x + 17 y = −67 Bằng phương pháp cộng đại số giải ta nghiệm hệ là: x = -16/13 ; y = -3 b; Nếu HPT có nghiệm ( ;-1) thay vào hệ ta hệ với m : (2m − n).5 + (n − m)(−1) = 5(2m + 3n) −  (4m + 11n).5 − (m − n − 9).(−1) = n + 13m − m − 19n = −3 ⇔ giải hệ ta nghiệm : m= -80/207; n = 28/207 8m + 55n = Bài 5: tìm a b biết : a; Để đường thẳng y = ax + b qua hai điểm A(- ; ), B ( ;−1) ; b; Để đường thẳng ã + b qua hai điểm M(9 ;-6) qua giano điểm hai đường thẳng(d1) : 2x +5y = 17, 9d2) : 4x - 10y = 14 Giải : a; Vì đường thẳng y = ax + b qua hai điểm A(- ; ), B ( ;−1) nên thay phương trình đường thẳng ta có hệ: 3 = −5a + b   − = a + b Giải ta : a=- ; b = 13 13 b; Hướng dẫn : 2 x + y = 17 Trước hết ta giải hệ  tìm giao điiểm của(d1) (d2) A(6;1) Muốn cho đường 4 x − 10 y = 14 9a + 48 = b thẳng ax-8y=b qua hai điểm M A a,b phải nghiệm hệ phương trình  6a − = b 56 Đáp số: a=- , b = −120 3/ PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ Phương trình chứa ẩn dấu (phương trình vơ tỉ) Cách giải: - Bình phương hai vế + đặt điều kiện ⇒ để làm - Đặt ẩn phụ Các dạng Dạng 1: f ( x ) = g ( x ) , ta sử dụng phép biến đổi tương đương  f ( x) ≥ f ( x) = g ( x ) ⇔   f ( x) = g ( x ) (có thể chọn điều kiện g(x)≥0) Ví dụ: Dạng 2: f ( x) = g ( x ) , ta sử dụng phép biến đổi tương đương  g ( x) ≥ f ( x) = g ( x ) ⇔   f ( x ) = g ( x) Ví dụ: Giải phương trình x + = x −  2x + = x − x ≥ x − ≥ x ≥  ⇔     x = (loaïi) 2 x + = ( x − 4)  x − 10 x + = x -  nghiệm phương trình x = Dạng 3: f ( x) = c (c∈ ¡ ) Nếu c