TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN TOÁN LUYỆN THI ĐẠI HỌC 1

Chuyên đề: KHO ST S BIN THIấN V V THỊ HÀM SỐ I MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa đạo hàm hàm số điểm Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a; b) điểm x0 ∈ (a; b) tồn giới hạn f ( x) − f ( x0 ) (Hữu hạn): xlim giới hạn gọi đạo hàm hàm số y = f(x) x0 →x x − x0 f ( x ) − f ( x0 ) Ký hiệu: y ' = xlim →x x − x0 Các quy tắc tính đạo hàm 2.1 Đạo hàm hàm số thường gặp : (u = u(x)) • ( C )/ = ( C số ) • (un)/ = nun – 1u/ / • ( x )/ = u/ 1 = − • với u ≠  ÷ • (xn)/ = nxn - với (n ≥ ; u2 u n∈N) 0 / 1 •  ÷ = − với x ≠ x  x / • x = với (x > 0) x • ( u) ( ) / = u/ u = x với (x > 0) 2.2 Các qui tắc tính đạo hàm : / • ( u ± v ) = u / ± v/ • ( u.v ) = u / v + v / u ( ku ) = ku / / • / ,  u  u '.v − v'.u   = v2 v 2.3 Đạo hàm hàm số hợp (g(x) = f[u(x)] • g ( x) = f ( u) u ( x) Phương pháp xét tính đơn điệu hàm số * Định lý: Cho hàm số : y = f (x) có đạo hàm K / / / a) Nếu f ' ( x) > với x ∈ K hàm số f (x) đồng biến K b) Nếu f ' ( x ) < với x ∈ K hàm số f (x ) nghịch biến K (Chú ý: f ' ( x) dương khoảng hàm số đồng biến khoảng đó; f ' ( x) âm khoảng hàm số nghịch biến khoảng đó.) * Phương pháp xét tính đơn điệu hàm số: - Tìm tập xác định - Tính đạo hàm y ' = f ' ( x ) tìm điểm x1 ; x2 ; ; xn mà đạo hàm không xác định - Sắp xếp điểm x1 ; x2 ; ; xn theo thứ tự tăng dần, lập bảng biến thiên - Áp dụng định lý đưa khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số Phương pháp tìm cực trị hàm số * Định lý Giả sử hàm số : y = f (x) liên tục khoảng K = ( x0 − h; x0 + h) có đạo hàm K K \ { x } , với h > a) Nếu f ' ( x) > khoảng ( x0 − h; x0 ) f ' ( x) < khoảng ( x0 ; x0 + h) x0 điểm cực đại hàm số f (x ) b) Nếu f ' ( x) < khoảng ( x0 − h; x0 ) f ' ( x) > khoảng ( x0 ; x0 + h) x0 điểm cực tiểu hàm số f (x) (Chú ý: Nếu gọi K = ( x0 − h; x0 + h) lân cận điểm x0 ta phát biểu định lý lời sau: a Nếu f ' ( x ) đổi dấu từ dương sang âm lân cận điểm x0 x0 điểm cực đại hàm số f (x) b Nếu f ' ( x ) đổi dấu từ âm sang dương lân cận điểm x0 x0 điểm cực tiểu hàm số f (x) ) * Bảng biến thiên minh họa định lý a) x f’(x) x0-h x0 + fCĐ f(x) x0+h - b) x f’(x) f(x) x0-h - x0 x0+h + fCT * Phương pháp tìm cực đai, cực tiểu hàm số - Tìm tập xác định - Tính đạo hàm y ' = f ' ( x ) tìm điểm x1 ; x2 ; ; xn mà đạo hàm không xác định - Sắp xếp điểm x1 ; x2 ; ; xn theo thứ tự tăng dần, lập bảng biến thiên - Áp dụng định lý đưa điểm cực đại, cục tiểu hàm số Phương pháp tìm đường tiệm cận 5.1 Đường tiệm cận ngang Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng vô hạn ( khoảng dạng: (a;+∞), ( −∞; b), ( −∞;+∞) ) Đường thẳng: y = y gọi đường tiệm cận ngang hàm số y = f(x) điều kiện sau thỏa mãn: lim f ( x) = y0 ; lim f ( x) = y0 x → +∞ x →−∞ 5.2 Đường tiệm cận đứng Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng vô hạn ( khoảng dạng: (a;+∞), ( −∞; b), ( −∞;+∞) ) Đường thẳng: x = x0 gọi đường tiệm cận đứng hàm số y = f(x) điều kiện sau thỏa mãn: f ( x ) = −∞ lim f ( x ) = +∞ lim ; x→x x →x + + lim f ( x) = −∞; lim f ( x) = +∞; x→x0− x→x0− Dấu nhị thức bậc dấu tam thức bậc hai 6.1 Dấu nhị thức bậc nhất: f(x) = ax + b (a ≠ 0) - Tìm nghiệm phương trình ax + b = ⇔ x = − - Bảng xét dấu: x −∞ f(x) Trái dấu a − b a b a +∞ Cùng dấu a 6.2 Dấu tam thức bậc hai: f ( x ) = ax + bx + c (a ≠ 0) - Giải phương trình: ax + bx + c = (*) + Nếu phương trình (*) vơ nghiệm (∆ < 0) f(x) ln dấu a + f (− Nếu phương trình (*) có nghiệm kép (∆ = 0) x1 = x = − b f(x) ln dấu a 2a b ) = 2a + Nếu phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt (∆ > 0) giả sử hai nghiệm x1 ; x x1 0 Nếu a ⇒ * Nếu a < ⇒ lim y = lim (ax + bx + c) = +∞ x → ±∞ x → ±∞ lim y = lim (ax + bx + c ) = −∞ x →±∞ x →±∞ - Lập bảng biến thiên: * Đồ thị: - Xác định yếu tố biết trục tọa độ Oxy - Tìm giao điểm đồ thị với trục tung: cho x = tìm y - Tìm giao điểm đồ thị vơi trục hồnh: Cho y = Giải phương trình ax + bx + c = Tìm x ( Nếu giải phương trình khó q ta khơng cần thực bước này) 2.2 Chú ý : Khi xét dấu đạo hàm y’ * Nếu phương trình y’ = có nghiệm x ta có bảng xét dấu y’ sau: x -∞ +∞ x0 y’ Trái dấu a Cùng dấu a *Nếu phương trình y’ = có ba nghiệm phân biệt x ; x ; x (giả sử: x < x < x ) ta có bảng xét dấu y’ sau: x -∞ +∞ x1 x2 x3 y’ Trái dấu a Cùng dấu a Trái dấu a Cùng dấu a 2.3 Các ví dụ: Ví dụ 4: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số: y = x4 - 2x2 + * Tập xác định: D = R * Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y ' = 4x − 4x giải phương trình:  x = ±1 y ' = ⇔ 4x − 4x = ⇔ 4x(x2 - 1) = ⇔  x = Bảng dấu y’: x -∞ -1 +∞ y’ + 0 + Đồ thị hàm số đồng biến khoảng: (-1; 0) ∪ (1;+∞) nghịch biến khoảng: (-∞; - 1) ∪ (0;1) - Hàm số đạt cực đại tại: x = ⇒ y CĐ = Hàm số đạt cực tiểu tại: x = ±1 ⇒ y CT = - Giới hạn: - lim y = lim ( x − x + 2) = +∞ x →−∞ x→ −∞ lim y = lim ( x − x + 2) = +∞ x →+∞ x→ +∞ - Bảng biến thiên: x y’ y -∞ +∞ -1 + 0 - +∞ + +∞ 1 * Đồ thị: Giao với trục tung: Cho x = ⇒ y = Giao với trục hoành: Cho y = giải phương trình y x4 − 2x2 + = Đặt : t = x (t ≥ 0) Ta có phương trình: t − 2t + = ⇒ phương trình vơ nghiệm (khơng có giao điểm với trục hồnh) Cho x = ± ⇒ y = 10 x -2 -1 O -1 Ví dụ 5: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số: y= * Tập xác định: D = R * Sự biến thiên: x4 -x + 2 - Chiều biến thiên: y ' = -2 x − 2x = -2x(x + 1) y ' = ⇔ -2x(x + 1) = ⇔ x = ta có bảng dấu y’: x -∞ +∞ y’ + ∞ Hàm số đồng biến (- ;0) nghịch biến (0; + ∞ ) - Hàm số đạt cực đại x = ⇒ y CĐ = ; hàm số khơng có cực tiểu x - Giới hạn: lim y = lim (− − x + ) = −∞ x → ±∞ 2 x → ±∞ - Bảng biến thiên: x -∞ +∞ y’ + y -∞ * Đồ thị: -∞ - Giao với trục tung: cho x = ⇒ y= - Giao với trục hoành: cho y = giải phương trình: - x4 -x + = 2 ⇔ x + x − = đặt t = x (t ≥ 0)Ta có phương trình: t = ⇒ x = ⇒ x = ±1 t + 2t − = ⇔  t = −3(loai ) y - Bảng giá trị: x -2 y 21 − 21 − - Vẽ đồ thị 3/2 x -3 -2 -1 O -1 -2 2.4 Các dạng đồ thị hàm số bậc bốn: y = ax4 +bx2+ c (a≠0) a>0 a ∀x ∈ D y ' < ∀x ∈ D +) Nếu E < ⇒ - Hàm số khơng có cực trị ⇒ Hàm số đồng biến D ⇒ Hàm số nghịch biến D + − d d - Giới hạn tiệm cận: ( tính giới hạn x → ±∞ x → − ; x → − ) c c lim y = lim x→±∞ ax + b a = cx + d c lim y Tính giới hạn Tiệm cận đứng: x →− d c − ⇒ Tiệm cận ngang: x=− - Bảng biến thiên: a) Nếu E >0 lim y x →− d+ c y= a c ( dựa vào bảng biến thiên) d c b) Nếu E < x -∞ y’ y − + d c +∞ x + +∞ − y’ a c a c -∞ y - +∞ +∞ a c -∞ d c a c -∞ * Đồ thị: - Tìm giao điểm đồ thị với trục tung: cho x = tìm y - Tìm giao điểm đồ thị với trục hoành: cho y =0 Giải phương trình: b ax + b =0 ⇒ x = − cx + d a - Vẽ nhánh đồ thị nhánh lại lấy đối xứng qua tâm I( − đường tiệm cận 3.2 Các ví dụ Ví dụ 6: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số: y = * Tập xác định: D = R \ { − 1} d a ; ) giao hai c c − 2x − x +1 * Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y ' = > ∀x ∈ D ⇒ Hàm số đông biến D ( x +1) - Cực trị : Không có - Giới hạn tiệm cân : lim y = −2 lim y = −2 ⇒ đường thẳng y = -2 tiệm cận ngang đồ thị x → +∞ x → −∞ lim y = +∞ vaø limy = −∞ ⇒ đường thẳng x = -1 tiệm cận đứng đồ thị x → −1− x →-1+ - Bảng biến thieân : x y’ -∞ −1 + +∞ + +∞ -2 y -2 -∞ * Đồ thị: - Vẽ tiệm cận đứng: x = -1 tiệm cận ngang: y=-2 - Giao với trục tung: Cho x=0 ⇒ y=-4 - Giao với trục hoành: Cho y = giải phương trình: − 2x − =0 ⇒ x=-2 x +1 - bảng giá trị: x y -3 -8/3 Vẽ nhánh bên phải đường tiệm cận đứng nhánh lại lấy đối xứng qua tâm I(1;-2) y x -4 -3 -2 -2 I -8/3 -3 22 -4 -5 * Tập xác định: D = R \ { 2} - Chiều biến thiên: y ' = O 11 -1 Ví dụ 7: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số: y = * Sự biến thiên: -1 3− x x−2 −1 < ⇒ Hàm số nghịch biến D ( x − 2) - Cực trị : Không có - Giới hạn tiệm cân : lim y = −1 lim y = −1 ⇒ đường thẳng y = -1 tiệm cận ngang đồ thị x → +∞ x →−∞ lim y = −∞ vaø limy = +∞ ⇒ đường thẳng x = tiệm cận đứng đồ thị x →2 − x →2 + - Bảng biến thiên : x -∞ y’ -1 y +∞ - +∞ -∞ - -1 * Đồ thị: - Vẽ tiệm cận đứng x = 2; tiệm cận ngang: y = -1 - Giao điểm đồ thị với trục tung: cho x = ⇒ y = - x=2 y - Giao điểm đồ thị với trục hoành: cho y = giải phương trình: 3− x = ⇒x = x−2 x - Bảng giá trị: -2 -1 x y -1 -4/3 11 O -1 -2 -2 -4/3 y=-1 I -3/2 -3 -4 3.3 Các dạng hàm số phân thức dạng: y = ax + b cx + d   a b  c ≠ 0, E =  = ad − bc ≠   c d   E = ad − bc > E = ad − bc < y I y I x O O III CÁC BÀI TẬP TỰ GIẢI Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số bậc ba a) y = x + 3x − b) y = x + x + x + c) y = x − x − x + d) y = x − x + 3 f) y = x + 3x + x + g) y = x + x − x + h) y = x − x i) y = − x + x −1 x − x + 3x − j) y = x e) y = − x + x Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương x4 − 3x + 2 y = ( x + 1) ( x − 1) y = x − 5x + y = x + 2x + y = x4 a) y = b) c) d) e) f) y = x − x + g) y = x − x − 4 h) y = + x − x i) y = − x + x + j) y = x − x + 3.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm phân thức 2x + x+2 x+2 y= x −1 x+2 y= x−3 2x − y= x+2 y= x a) y = b) c) d) e) 2x − x −1 3x − g) y = x−3 x+2 h) y = x−2 3x + i) y = x+2 −1 j) y = 2x − f) y = ... O 11 -1 Ví dụ 7: Khảo sát biến thi? ?n vẽ đồ thị hàm số: y = * Sự biến thi? ?n: -1 3− x x−2 ? ?1 < ⇒ Hàm số nghịch biến D ( x − 2) - Cực trị : Không có - Giới hạn tiệm cân : lim y = ? ?1 lim y = ? ?1 ⇒... ⇒ y = 10 x -2 -1 O -1 Ví dụ 5: Khảo sát biến thi? ?n vẽ đồ thị hàm số: y= * Tập xác định: D = R * Sự biến thi? ?n: x4 -x + 2 - Chiều biến thi? ?n: y ' = -2 x − 2x = -2x(x + 1) y ' = ⇔ -2x(x + 1) = ⇔... vaø limy = −∞ ⇒ đường thẳng x = -1 tiệm cận đứng đồ thị x → ? ?1? ?? x → -1+ - Bảng biến thi? ?n : x y’ -∞ ? ?1 + +∞ + +∞ -2 y -2 -∞ * Đồ thị: - Vẽ tiệm cận đứng: x = -1 tiệm cận ngang: y=-2 - Giao với