Liên thông finsler

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Ngọc Duệ LIÊN THÔNG FINSLER Chuyên ngành: Hình học Tôpô Mã số: 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS KHU QUỐC ANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2008 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy TS Khu Quốc Anh, trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội bước hướng dẫn, động viên giúp đỡ làm quen với “Liên thông Finsler” để bước tiến tới nắm vững lý thuyết “Liên thông Finsler” tự giải toán Tôi xin gởi lời cảm ơn đến quý Thầy, Cô hội đồng chấm luận văn dành thời gian đọc, chỉnh sửa đóng góp ý kiến giúp hoàn thành luận văn cách hoàn chỉnh Tôi xin chân thành cảm ơn Thầy tổ hình học, Khoa Toán-Tin Trường Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh giúp đỡ nâng cao trình độ chuyên môn phương pháp làm việc đạt hiệu suốt trình học cao học Chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng Tổ chức Hành Chánh, Phòng Khoa Học Công Nghệ Sau Đại Học, Phòng Kế hoạch-Tài Trường Đại Học Sư Phạm Tp Hồ Chí Minh động viên, giúp đỡ, tạo điều kiện cho hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn UBND Tỉnh Tây Ninh, Ban Giám Hiệu tập thể tổ toán Trường THPT Hoàng Văn Thụ tạo điều kiện thuận lợi cho hoàn thành luận văn MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 11 1.1 Không gian Tenxơ 11 1.1.1 Không gian vectơ thực n-chiều 11 1.1.2 Không gian tenxơ kiểu (r,s) Vsr 12 1.1.3 Trường vectơ tiếp xúc X đa tạp khả vi M 12 1.1.4 Trường vectơ song song S(u) 13 1.1.5 Mệnh đề 14 1.2 Nhóm tuyến tính tổng quát G  GL(n, ) 14 1.2.1 Phép tự đẳng cấu Lgg 14 1.2.2 Biểu diễn liên hợp g 15 1.2.3 Tích Lie trường vectơ tiếp xúc 15 1.2.4 Dạng vi phân đa tạp khả vi M 16 1.3 Tác động G lên Vsr 17 1.3.1 Tác động G lên không gian vectơ thực n-chiều 17 1.3.2 Tác động G lên không gian vectơ đối ngẫu 17 1.3.3 Tác động G lên Vsr 18 1.3.4 Trường vectơ V(A) Vsr 18 1.3.5 Tác động  L(G) lên Vsr 19 1.3.6 Tính chất 19 1.3.7 Ví dụ 19 1.4 Phân thớ mục tiêu L(M) 20 1.4.1 Định nghĩa phân thớ mục tiêu L(M) 20 1.4.2 Biểu thức tọa độ không gian toàn phần L 20 1.4.3 Không gian thẳng đứng Lvz 21 1.4.4 Trường vectơ Z(A) L 21 1.5 Phân thớ Tenxơ tiếp xúc 22 1.5.1 Phân thớ tenxơ tiếp xúc 22 1.5.2 Biểu thức tọa độ Tsr 23 1.5.3 Không gian thẳng đứng Tsr 23 1.5.4 Ánh xạ thừa nhận Ánh xạ liên kết 24 1.5.5 Nhận xét 24 1.6 Trường Tenxơ 25 1.6.1 Trường tenxơ đa đạp khả vi M 25 1.6.2 Dạng  L 27 1.6.3 Tính chất 27 1.7 Liên thông tuyến tính 28 1.7.1 Liên thông tuyến tính  đa tạp khả vi M 28 1.7.2 Dạng liên thông   29 1.7.3.Tính chất  29 1.7.4 Đường cong nằm ngang 29 1.7.5 Trường vectơ nằm ngang B(v) L 30 1.7.6 Tính chất B(v) 30 1.7.7 Vi phân thuận biến Đạo hàm thuận biến 31 1.7.8 Tích Lie trường vectơ tiếp xúc 31 1.7.9 Liên thông liên kết với  32 1.7.10 Tính chất liên thông liên kết 32 Chương 2: LIÊN THÔNG FINSLER 34 2.1 Phân thớ Finsler 34 2.1.1 Phân thớ Finsler F(M) 34 2.1.2 Không gian thẳng đứng Fuv Fu 35 2.1.3 Trường vectơ Z(A) F 35 2.1.4 Mệnh đề 36 2.1.5 Nhận xét 37 2.1.6 Không gian tựa thẳng đứng Fuq 37 2.1.7 Định nghĩa hàm  38 2.1.8 Mệnh đề 38 2.2 Các dạng Tenxơ Finsler 40 2.2.1 Trường tenxơ Finsler 40 2.2.2 Biểu thức tọa độ F 41 2.2.3 Định nghĩa 42 2.2.4 Tính chất 42 2.3 Liên thông thẳng đứng 42 2.3.1 Không gian thẳng đứng cảm sinh Fui 42 2.3.2 Trường vectơ cảm sinh Y(v) F 43 2.3.3 Mệnh đề 43 2.3.4 Mệnh đề 44 2.3.5 Phân thớ Finsler F(M) 45 2.3.6 Liên thông thẳng đứng  v F 46 2.3.7 Liên thông dẹt thẳng đứng 47 2.3.8 Trường vectơ v-cơ Bv (v)  v 47 2.3.9 Trường tenxơ Cartan C 48 2.4 Liên thông phân thớ Finsler 49 2.4.1 Liên thông  phân thớ Finsler 49 2.4.2 Liên thông thẳng đứng liên kết  v 50 2.4.3 Liên thông tầm thường t  F 50 2.4.4 Định lý 52 2.5 Liên thông phi tuyến V-liên thông 52 2.5.1 Liên thông phi tuyến N 52 2.5.2 Dạng v-cơ  v 53 2.5.3 V-liên thông  V 53 2.5.4 Dạng V-liên thông  V 54 2.5.5 Trường vectơ V-cơ B(v) (v1 ) L 55 2.5.6 Liên thông phi tuyến N* 56 2.5.7 Liên thông phi tuyến liên kết với  V 57 2.6 Liên thông Finsler 57 2.6.1 Liên thông Finsler 57 2.6.2 Phần v-nằm ngang h-nằm ngang  58   2.6.3 Cặp Finsler  h ,  v F(M) 59 2.6.4 Định lý 59 2.6.5 Trường vectơ h-cơ Bh (v) 61 2.6.6 Mệnh đề 62 2.6.7 Trường tenxơ lệch D liên thông Finsler F  63 2.6.8 V-liên thông liên kết  V F  63 2.6.9 Định nghĩa ba Finsler 64 2.6.10 Định lý 65 2.6.11 Dạng liên thông   67 2.6.12 Liên thông Finsler tầm thường t F 68 2.6.13 Định lý 68 2.7 Phép chuyển dời song song 70 2.7.1 Phân thớ tenxơ Finsler kiểu (r,s) đa tạp khả vi 70 2.7.2 Định nghĩa 72 2.7.3 Mệnh đề 73 2.7.4 Định nghĩa 73 2.7.5 Định nghĩa 74 2.7.6 Định nghĩa 75 2.8 Các tham số liên thông 75 KẾT LUẬN 80 TÀI LIỆU THAM KHẢO 82 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Hình học vi phân mặt không gian Ơclit ba chiều nghiên cứu từ nửa cuối kỷ XIX với công trình nghiên cứu Gauss, Christoffel Phép tính tenxơ nghiên cứu vào năm 1900 qua công trình Ricci Levi-Civita Để nghiên cứu biến thiên trường vectơ, trường tenxơ mặt nói riêng đa tạp nói chung người ta cần dựa vào phép tịnh tiến song song Trong không gian afin phép tịnh tiến song song định nghĩa cách trực quan dễ dàng Tuy nhiên, mặt nói riêng đa tạp khả vi nói chung việc định nghĩa phép chuyển dời song song không đơn giản Để giải vấn đề lý thuyết liên thông đời Người trình bày khái niệm chuyển dời song song mặt Levi-Civita (năm 1917) Đến năm 1918 qua công trình nghiên cứu mình, nhà toán học Đức Paul Finsler (18941970) cho đời “Hình học Finsler” theo quan điểm toán học cổ điển đến năm 1934 E.Cartan người nghiên cứu hình học Finsler theo quan điểm toán học đại Hình học Finsler xem mở rộng hình học Riemann Ngay từ đời, hình học Finsler nhiều nhà toán học quan tâm như: E Cartan, V Barthel, H Rund, S.S Chern, M.Matsumoto,…và trở thành hướng nghiên cứu quan trọng hình học vi phân đại phát triển mạnh mẽ ngày Trong năm gần đây, metric Finsler nghiên cứu sử dụng rộng rãi hình học vi phân mà giải tích phức đại, tôpô vi phân, lý thuyết số, Chọn đề tài liên thông Finsler, lĩnh vực hình học Finsler muốn tìm hiểu sâu hình học vi phân học đại học 2 Mục đích Luận văn nghiên cứu chứng minh cách đầy đủ số định lý mệnh đề chủ yếu Liên thông Finsler Đối tượng nội dung nghiên cứu Trong luận văn này, nghiên cứu định nghĩa tương đương liên thông Finsler, số định lý mệnh đề chủ yếu Ý nghĩa khoa học thực tiễn Kết luận văn tạo sở mở đầu để nghiên cứu Liên thông Finsler Thông qua đó, giúp ta tìm hiểu sâu hình học vi phân học đại học Cấu trúc luận văn Luận văn gồm có chương Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị Giới thiệu khái niệm không gian tenxơ, nhóm tuyến tính tổng quát G  GL (n , ) , phân thớ mục tiêu L(M), phân thớ tenxơ tiếp xúc, trường tenxơ, liên thông tuyến tính đa tạp khả vi Chương 2: Liên thông Finsler Trình bày liên thông Finsler đến kết luận: có định nghĩa tương đương liên thông Finsler: + F   (, N )  + F    h , v   + F   V , N , v  Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 KHÔNG GIAN TENXƠ 1.1.1 Không gian vectơ thực n-chiều Biểu thức tọa độ vectơ Gọi V không gian vectơ thực n-chiều e a a 1,2,,n sở n V, với v V ta có v  v ae a ,v a  Ứng với sở e a  a 1 n V ta thu ánh xạ V    ,v  v a , V xem   đa tạp khả vi n-chiều tập v a gọi tọa độ v sở e a  Ta ký hiệu V 1o hay V v * V * * không gian vectơ đối ngẫu V Giá trị   v V biểu thị dạng v ,v *  gọi tích v v * Không gian V ban đầu xem không gian đối ngẫu V *   cho với v V ta có ánh xạ tuyến tính V *  , v *  v ,v * Tập hợp n phần tử e a V * , a  1,2,, n sở V * , ký hiệu 0, i  j với e a xác định phương trình e a ,e b   ab   , 1, i  j e   a    a,b  1,2, , n Khi đó, e a gọi sở đối ngẫu với e a  Theo sở e  , vectơ v * V a n v  v ae a , v a  * a 1 e  a * biểu thị dạng Do v a  gọi tọa độ v * sở 1.1.2 Không gian tenxơ kiểu (r,s) V sr Biểu thức tọa độ Tenxơ Cho r, s số nguyên dương (r, s không đồng thời không), tenxơ kiểu (r,s) w ánh xạ đa tuyến tính * w :V V *   V * V   V   r s Khi đó, không gian tenxơ V sr tập hợp tất tenxơ kiểu (r,s)   Cho sở e a  V sở đối ngẫu e a V * , ta có n r  s bs r   phần tử e ab1 a V s , a s ,b s  1,2, , n xác định phương trình: r   cr bs c1 b1 bs c1 cr e ab1 a e , ,e ,e d1 , ,e d s   a  ar  d  d r  1 s  bs sở V sr gọi sở suy Khi đó, tập e ab1 a r từ e a  Ta có, V sr không gian vectơ thực n r  s - chiều với ar b1bs a1ar w V sr biểu thị dạng w  w ba1 b e a a , w b b  a,b  s ar đó, V sr đa tạp khả vi n r  s -chiều tập w ba1 b  s r s Do  gọi tọa độ w  bs sở e ab1 a r 1.1.3 Trường vectơ tiếp xúc X đa tạp khả vi M Gọi t  nhóm phép biến đổi tham số đa tạp khả vi M Khi đó, trường vectơ tiếp xúc X M sinh từ t  phương trình: X x (f )  d  f t (x )  d t (f t (x )), x  M dt t 0 đó, f hàm M Ngược lại, nhóm phép biến đổi tham số t  sinh cách địa phương trường vectơ tiếp xúc X cho phương trình thỏa mãn 1.1.4 Trường vectơ song song S(u) Bây giờ, ta xét không gian vectơ thực m-chiều U Với phép lấy tổng  : U U  U , u1,u2   u1  u2 U xem nhóm Lie phép biến đổi U với điểm cố định u U , ánh xạ  u :U  U , u1  u1  u cho ta nhóm phép biến đổi tham số  tu  U Khi đó, trường vectơ tiếp xúc S(u) cảm sinh từ  tu  gọi trường vectơ song song ứng với u U Ta có: S u  f  d t  f  tu  với f hàm U Ngoài ra, trường vectơ song song S(u) biểu thị dạng: S (u )   u      , u  u  u   đó, u  ,   1,2,, m tọa độ tự nhiên u sở e   không gian vectơ U Từ khái niệm trường vectơ song song ta có phép đẳng cấu tuyến tính: S u :U  U u , u1  S (u1 )u S (u1 )u giá trị trường S (u1 ) u Một cách tổng quát, cho P, Q, M đa tạp khả vi  : P  Q  M , ( p ,q )  pq ánh xạ khả vi Khi đó, với điểm cố định p  P ta thu ánh xạ cố định bên trái p   sau: p : Q  M , q  pq Và với điểm cố định q Q , ta thu ánh xạ cố định bên phải q  sau: q : P  M , p  pq 1.1.5 Mệnh đề Cho ánh xạ khả vi  : M U , vi phân   : M x  U u , u   (x ) ánh xạ tuyến tính Mặt khác, xem  hàm M lấy giá trị U từ vi phân d  : M x  U phép đẳng cấu tuyến tính S u :U  U u ta có    S u d  1.2 NHÓM TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT Ta ký hiệu nhóm tuyến tính tổng quát thực GL (n , )  G Phần tử   g G cấu trúc khả vi thực không suy biến n -chiều tập g ba gọi tọa độ g G 1.2.1 Phép tự đẳng cấu Lg Cho phép nhân  : G  G  G ,  g , g   g 1g     tọa độ g g g 1, g g 1ab , g 2ab Nghĩa là, tọa độ   g1ac g 2cb Ánh xạ cố định trái g  , g G  gọi phép tịnh tiến trái  g phép tịnh tiến phải Bằng cách kết hợp hai phép tịnh tiến, ta có phép tự đẳng cấu Lg  g   g 1  g 1 g  1.2.2 Biểu diễn liên hợp g Gọi L(G) đại số Lie G Mỗi phần tử A  L (G ) trường vectơ bất biến trái G, nghĩa g  A  A với g G Giá trị A điểm g G xác định A g = g  Ae với e phần tử đơn vị G, ta có đẳng cấu LL : L (G )  Ge , A  Ae , Ge không gian vectơ tiếp xúc với G e Hơn nữa, vi phân Lg phép tự đẳng cấu Lg cho ta biễu diễn liên hợp g sau: ad ( g )  LL1.Lg LL : L (G)  L(G)    Gọi gab tọa độ tự nhiên g G, ta có  a  sở  g   b e      Ge Lba sở tự nhiên L(G) với Lba  LL1  a  Theo sở  g   b e     này, phần tử A  L (G ) xem ma trận thực n  n A ba , A   A ba Lba Khi đó, A g  a,b   g caAbc g a , a,b ,c b   g  g ba 1.2.3 Tích Lie trường vectơ tiếp xúc Bây ta định nghĩa tích Lie trường vectơ tiếp xúc đa tạp khả vi Cho X, Y, Z trường vectơ tiếp xúc đa tạp khả vi M, với f, g hàm M ta có: *  X ,Y x  f   X x Y (f ) Y x  X (f ) x  M *  X ,[Y , Z ]  Y ,[Z , X ]   Z ,[X ,Y ]  (đồng thức Jacobi) *  fX , gY   fg  X ,Y    fX ( g ) Y   gY (f )  X * Nếu t  nhóm phép biến đổi tham số sinh X tích Lie [X,Y] biểu thị dạng: [X ,Y ]  d t (  tY ) * Trong trường hợp M nhóm Lie, ta xét trường vectơ tiếp xúc A, B đại số Lie L(M) tích Lie [A,B] phần tử L(M) xác định bởi: [A , B ]  d t  ad (at (e ))B  at  nhóm phép biến đổi tham số sinh A * Đặc biệt, nhóm Lie L(G) nhóm tuyến tính tổng quát G, tích Lie [A,B] biểu thị đơn giản dạng: [A , B ]  A B  BA AB & BA tích ma trận A B 1.2.4 Dạng vi phân đa tạp khả vi M Ta nhắc lại dạng vi phân đa tạp khả vi M Cho X, Y, Z vectơ tiếp xúc M, ta có : * 2d  (X ,Y )  X ( (Y )) Y ( (X ))   ([X ,Y ]) (  vi phân 1-dạng) * 3d  (X ,Y , Z )  X ( (Y , Z )) Y ( (Z , X ))  Z ( (X ,Y ))  ([X ,Y ], Z )   ([Y , Z ], X )   ([Z , X ],Y ) (  vi phân 2-dạng) 1.3 TÁC ĐỘNG CỦA G LÊN V sr 1.3.1 Tác động G lên không gian vectơ thực n-chiều V Gọi e a  sở cố định không gian vectơ V, theo sở nhóm tuyến tính tổng quát G  GL (n , ) thực phép toán  V sau:  : G V V , ( g ,v )  gv      tọa độ tự nhiên gv  g v  Do G Nghĩa là, g ba tọa độ tự nhiên g G v a tọa độ tự nhiên v sở e a a b b nhóm Lie phép biến đổi V 1.3.2 Tác động G lên không gian vectơ đối ngẫu V *   Gọi e a sở đối ngẫu e a  , phép toán G V  * : G V * V * ,  g ,v   gv * *       sở e  tọa độ xác định v , gv *  g 1v ,v * với v V Nếu v a  tọa độ tự nhiên v * b * a   tự nhiên gv * v b g 1a , g  g ba   ma trận a g 1b   nghịch đảo g ba Sau này, ngắn gọn ta sử dụng ký hiệu  thay cho  * 1.3.3 Tác động G lên không gian tenxơ V sr   sở tự nhiên V bs Gọi e ab1 a r r s , phép toán  sr G V sr xác định bởi:  sr : G V sr V sr , ( g ,w )  gw     đó: ( gw ) v 1* ,,v r* ,v 1,,v s  w g 1v 1* ,, g 1v r* , g 1v 1,, g 1v s với v s V , v *s V *  ar Nếu w ba1 b s  tọa độ tự nhiên w ứng với sở e b1bs a1ar  đó, tọa độ tự nhiên gw cho bởi: d1 ds   c r 1 a 1 g ca1  g car w dc1 d g b1  g bs , g  g b r s Để cho ngắn gọn ta sử dụng ký hiệu  thay cho  sr 1.3.4 Trường vectơ V(A) V sr Một vectơ tiếp xúc điểm w V sr xác định bởi: V (A )w  w LL (A ), A  L (G ) LL : L (G )  Ge w : G V sr , w V sr ánh xạ cố định phải  Trường vectơ tiếp xúc V(A) V sr mà giá trị w xác định bởi: V (A )w  w LL (A ) gọi trường vectơ V sr ứng với A  L (G ) 1.3.5 Tác động  đại số Lie L(G) V sr Tác động  đại số Lie L(G) V sr xác định sau:  (A ,w )  A w , Sw (A w ) V (A )w   với Sw :V sr  V sr w phép tự đẳng cấu tuyến tính Hơn ta có: g  .Sw  S gw g  1.3.6 Tính chất * Nếu A  L (G ) sinh nhóm phép biến đổi tham số at  V(A) sinh nhóm phép biến đổi tham số  a (e ) với g  t ánh xạ cố định trái  * Trường vectơ tiếp xúc S(w) sinh nhóm phép biến đổi tham số  tw  * A w  d t  at (e )w  với at  nhóm phép biến đổi tham số sinh A * V (A ),S (w )  S (A w ) 1.3.7 Ví dụ Xét trường vectơ V(A) không gian tenxơ V 21 , ký hiệu w  tọa độ w V a bc V (A )w  Hơn nữa, ta có:   , với A  A ba V(A) biểu thị dạng:  a ,b ,c ,d A w a d d bc a a  w dc A bd  w bd A cd  w a bc  Aw  a,b ,c ,d A w a d d bc    a a  w dc A bd  w bd A cd e abc , A  A ba ,w   w bca e abc a ,b ,c 1.4 PHÂN THỚ CÁC MỤC TIÊU L(M) 1.4.1 Định nghĩa phân thớ mục tiêu L(M) Cho M đa tạp khả vi n-chiều, M x không gian vectơ tiếp xúc với M x Một sở z   z a  , a  1,2,, n M x gọi mục tiêu tuyến tính M với x điểm gốc z Tập hợp L tất mục tiêu tuyến tính M có cấu trúc phân thớ L (M )   L , M , L ,G  gọi phân thớ mục tiêu M, không gian toàn phần L đa   tạp khả vi n  n -chiều, phép chiếu  L : L  M , z  x ánh xạ khả vi với x điểm gốc z G  GL (n , ) nhóm cấu trúc 1.4.2 Biểu thức tọa độ không gian toàn phần L   Gọi U miền xác định tọa độ x i M mục tiêu tuyến tính      z  (z a ) với điểm gốc x  x i biểu thị z a   z  i  Do đó,  x x i  ta có x i , z  tọa độ điểm z L mà miền xác định    L1(U ) Đây gọi tọa độ cảm sinh từ x i Xét phép toán  : L  G  L ,     z , g   zg , nghĩa z  (z a )  g  g ba zg  z a g ba Khi đó, ánh xạ cố định phải  g  gọi phép tịnh tiến phải L ánh xạ cố định trái z   gọi ánh xạ Nếu [...]... diễn liên hợp của g Gọi L(G) là đại số Lie của G Mỗi phần tử A  L (G ) là một trường vectơ bất biến trái trên G, nghĩa là g  A  A với g G Giá trị của A tại điểm g G được xác định bởi A g = g  Ae với e là phần tử đơn vị của G, do đó ta có đẳng cấu LL : L (G )  Ge , A  Ae , ở đây Ge là không gian vectơ tiếp xúc với G tại e Hơn nữa, vi phân Lg của phép tự đẳng cấu trong Lg cho ta biễu diễn liên