Nguyễn Danh Nghĩa – KSTN Điện Tử Truyền Thông K60 Bùi Thái Sơn – KSTN Điện Tử Truyền Thông K60 Hướng dẫn đáp án đề thi thử số ( Ôn thi KSTN GSTT Group) Bài a) Xét hàm 𝑓(𝑡) = 𝑡 𝑥 , 𝑥 ∈ ℝ, 𝑡 ≥ Ta có 𝑓 ′ (𝑡) = 𝑥𝑡 𝑥−1 Mà ta có 𝑓 liên tục [2; 3] 𝑣à [4; 5] có đạo hàm (2;3) (4;5) Áp dụng định lý Lagrange ta có: 𝑓(3) − 𝑓(2) = 𝑓 ′ (𝑡1 ) , 𝑡1 ∈ (2; 3) ⇒ 3𝑥 − 2𝑥 = 𝑥 𝑡1𝑥−1 , 𝑡1 ∈ (2; 3) 𝑓(5) − 𝑓(4) = 𝑓 ′ (𝑡2 ) , 𝑡2 ∈ (4; 5) ⇒ 5𝑥 − 4𝑥 = 𝑥 𝑡2𝑥−1 , 𝑡2 ∈ (4; 5) Vậy từ phương trình cho ta có: 𝑥 𝑡1𝑥−1 = 𝑥 𝑡2𝑥−1 Nếu 𝑥 = Thử lại ta thấy nghiệm phương trình Nếu 𝑥 ≠ Suy 𝑡1𝑥−1 = 𝑡2𝑥−1 mà 𝑡1 ≠ 𝑡2 nên 𝑥 = Thử lại thấy thỏa mãn Vậy tập nghiệm phương trình 𝑆 = {0; 1} b) Xét phương trình: sin(𝑥 2014 ) = 0, nghiệm phương trình có 2014 dạng: 𝑥𝑘 = √𝑘𝜋 , 𝑘 ∈ ℤ+ Giả sử ngược lại 𝑓 tuần hồn với chu kì T Mặt khác, ta có lim (𝑥𝑘+1 − 𝑥𝑘 ) = 𝑘→+∞ 2014 √𝜋 ( 2014 √𝑘 + − 2014 √𝑘) = Chính vậy, khoảng m đủ lớn (𝑚𝑇; (𝑚 + 1)𝑇), 𝑚 ∈ 𝑍 có vố số điểm 𝑥𝑘 Điều vô lý Vậy ta có đpcm Bài Từ cơng thức truy hồi dãy, ta liên tưởng đến công thức nhân đôi hàm số cosin: 𝜋 𝜋 Ta có: 𝑢1 = = cos ( ) ⇒ 𝑢2 = cos − = cos 3 ⇒ 𝑢3 = cos 4𝜋 , Ta chứng minh quy nạp: 𝑢𝑛 = cos 𝑢4 = cos 2𝑛−1 𝜋 2𝜋 8𝜋 … Thật vậy: 𝑛 = Giả sử 𝑢𝑛−1 = cos 2𝑛−2 𝜋 ⇒ 𝑢𝑛 = 2𝑢𝑛−1 − = cos Vậy theo nguyên lý quy nạp ta có: 𝑢𝑛 = cos 2𝑛−1 𝜋 2𝑛−1 𝜋 Bài Ta xét hàm số: 𝑓(𝑥) = 𝑎1 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑎2 𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑎𝑛 𝑠𝑖𝑛𝑛𝑥 + ⋯+ 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 [0; 𝜋] 𝑛 Ta có 𝑓 liên tục [0; 𝜋] khả vi (0; 𝜋) Và ta có: 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑎1 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑎2 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥 Ta có: 𝑓(0) = 𝑓(𝜋) = Theo định lý Rolle ta có tồn 𝑥0 ∈ (0; 𝜋) cho 𝑓 ′ (𝑥0 ) = Ta có điều phải chứng minh Bài 𝑥 𝑥 𝑥 Sử dụng điều kiện i) ta có 𝑓(𝑥) = (𝑓 ( )) = (𝑓 ( )) = ⋯ = (𝑓 ( 𝑛 )) 𝑥 Theo điều kiện iii) ta có 𝑓(𝑥) = (𝑓 ( 𝑛 )) 2𝑛 ≥ (1 + 𝑛 𝑥 2𝑛 ) 2𝑛 Tương tự ta có: 𝑓(−𝑥) = (𝑓 (− Từ ta có: (1 + 𝑛 𝑥 2𝑛 ) ≤ 𝑓(𝑥) = 𝑥 2𝑛 𝑓(−𝑥) Cho 𝑛 → +∞ ta 𝑒 𝑥 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑒 −𝑥 2𝑛 )) ≤ ≥ (1 − 𝑛 𝑥 2𝑛 ) 𝑛 𝑥 (1− 𝑛 ) ⇒ 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 , ∀𝑥 ( thỏa mãn) Vậy 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 , ∀𝑥 ∈ ℝ Bài 5: Ta có 𝑥 ≥ 𝑛ê𝑛 𝑒 −𝑥 ≤ Mặt khác t có 𝑠𝑖𝑛𝑥 ≤ Nên: 𝑒 𝑒 −𝑥 √3 𝑒 −𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 1 √3 𝜋 𝑠𝑖𝑛𝑥 ≤ ⇒ ∫ 𝑑𝑥 ≤ ∫ 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥2 + 𝑒 𝑥2 + 12𝑒 Bài 6: Giả sử điêm 𝑎 ∈ 𝐴 Ta gọi số điểm nối với 𝑎 số điểm cho 𝑆(𝑎) Khí tốn đưa chứng minh tồn 𝑎1 , 𝑎2 ∈ 𝐴 cho 𝑆(𝑎1 ) = 𝑆(𝑎2 ) Rõ ràng với 𝑎 ∈ 𝐴 ta có: ≤ 𝑆(𝑎) ≤ 𝑛 − (1) Mặt khác rõ ràng không tồn điểm 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴 𝑠𝑎𝑜 𝑐ℎ𝑜 𝑆(𝑎) = 𝑛 − 1, 𝑆(𝑏) = Thật giả sử ngược lại điều Do 𝑆(𝑎) = 𝑛 − nên a nối với tất điểm lại A Nói riêng a phải nối với b suy 𝑆(𝑏) ≥ (vô lý) Ta gọi tập S sau: 𝑆 = {𝑚, 𝑚 = 𝑆(𝑎), ∀𝑎 ∈ 𝐴} Từ (1) ta suy 𝑆 có tối đa 𝑛 giá trị Mà tập S lại vừa chứa 𝑛 − 𝑣à nên tập 𝑆 tối đa có 𝑛 − giá trị Theo nguyên lý Dirichlet tồn điểm 𝑎1 , 𝑎2 ∈ 𝐴 cho 𝑆(𝑎1 ) = 𝑆(𝑎2 ) ✪ Link đăng ký: https://goo.gl/j0wyAD ✪ Link fanpage: https://www.facebook.com/onthikstngsttgroup/ ✪ Email: onthikstngsttgroup@gmail.com ✪ Địa điểm: Nhà số 1, ngách 30/18 Tạ Quang Bửu, Hai Bà Trưng ✪ Liên hệ: Anh Tùng: 01686560691, Anh Nghĩa 0978915620 ... https://goo.gl/j0wyAD ✪ Link fanpage: https://www.facebook.com/onthikstngsttgroup/ ✪ Email: onthikstngsttgroup@gmail.com ✪ Địa điểm: Nhà số 1, ngách 30 /18 Tạ Quang Bửu, Hai Bà Trưng ✪ Liên hệ: Anh Tùng:... mãn) Vậy