Đề chọn HSG khối 8 năm 2013

MA TRẬN ĐỀ KIỂM TRA Cấp độ Nhận biết Thông hiểu Chủ đề TL TL 1.Phân tích đa thức thành nhân tử Số câu Số điểm Phương trình Số câu Số điểm Bất đẳng thức Bất phương trình Số câu Số điểm Tam giác đồng dạng Định lí ta-let Ứng dụng tam giác Số câu Số điểm Cộng Vẽ hình câu hình 0,25đ 0,5đ 0,5đ = 5% Vận dụng cấp thấp TL Phân tích da thức thành nhân tử 1a 1đ Vận dụng cấp cao TL Giải phương trình 2đ Giải bất phương trình Chứng minh BĐT vận dụng tìm GTNN 1b; 3đ Chứng minh Chứng minh tam giác đồng cạnh dạng Tính giá trị đẳng thức Vận dụng tính chất ba đường phân giác 4a 4b; 1đ 2,5đ 2đ = 20% 7,5đ = 75% Cộng 1đ = 10% 2đ= 20% 3đ = 30% 4đ = 40% 10đ = 100% ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN HỌC SINH GIỎI CUỐI NĂM MÔN TOÁN – LỚP Bài 1: (2điểm ) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x + xy − y 2 Giải bất phương trình : x + x − 35 ≤ Bài : (2điểm ) Giải phương trình : 2 x − − = x − − x − + x − = Bài : (2điểm ) Cho x y hai số dấu Chứng minh rằng: x y + ≥2 y x ; 1 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = (x + y)  + ÷ x y   Bài : (2điểm ) · · Cho tam giác ABC (AB < AC), đường phân giác AD Vẽ tia Dx cho CDx (tia = BAC Dx A phía BC ), tia Dx cắt AC E Chứng minh : 1) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác DEC 2) DE = DB Bài : (2điểm ) Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AD, BE, CF cắt H Tính gi trị biểu thức S = HD HE HF + + AD BE CF Chứng minh điểm H cách ba cạnh tam giác DEF HẾT HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN HỌC SINH GIỎI CUỐI NĂM MÔN TOÁN – LỚP Bài Nội dung Điểm 2 x + xy − y Phân tích đa thức sau thành nhân tử: = x + xy + y − y 1 = ( x + y) − ( 3y) 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ = ( x + y + 3y) ( x + y − 3y) = ( x + 5y) ( x − y) Giải bất phương trình : x + x − 35 ≤   x − ≤  x ≤ → −7 ≤ x ≤   x + ≥ x ≥ −   ↔ ( x − 5) ( x + ) ≤ →  →   x − ≥  x ≥   (vô lí)   x + ≤  x ≤ −7 Vậy tập nghiệm bất phương trình S= { x / −7 ≤ x ≤ 5} 0,5đ 0,25đ 0,25đ 2x − − =  2x − − =  2x − = 10  2x − = ( *) → → →  2x − − = −7  2x − = −4  2x − = −2 ( **) Giải (*) có: 2x − = x = 2x − = →  → 2x − = −5  x = Giải (**) có: 2x − = −2 (vô lí) Vậy tập nghiệm phương trình là: S = { 0;5} 0,5đ 0,25đ 0,25đ x − − x − + x −1 = x 3x−3 x−2 x −1 1 - 3x - 3x 9-3x 3x - - 2x 1-x - 2x x-1 2x - x-1 2x - x-1 12 - 4x x − − x − + x − - 2x Nếu x < có: - 2x = → x = (loại) Nếu ≤ x có: 2x - = → x = (thỏa mãn) Vậy tập nghiệm phương trình S = { x / ≤ x ≤ 2} ∪ { 5} Chứng minh rằng: x y + ≥2 y x 2x - 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ ( x − y ) ≥ x + y2 x + y − 2xy ↔ ≥2↔ ≥0↔ xy xy xy 0,75đ Vì ( x − y ) ≥ x,y x,y dấu nên xy >0 0,25đ 2 1 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = (x + y)  + ÷ x y  P = +1 + Mà x y + y x 0,5đ x y + ≥ →P ≥ y x x,y 0,25đ 0,25đ GTNN P P = A x 0,25đ E B D C Xét ∆ABC ∆DEC có: µ chung  C  → ∆ABC ∽ ∆DEC(g.g) · · BAC = EDC(gt)  · AD phân giác BAC BD DC → = (1) AB AC  1đ 0,25đ ∆ ABC ∽ ∆ DEC(g.g) DE DC = (2) AB AC BD DE = → BD = DE (đpcm) Từ (1) (2) → AB AB → 0,25đ 0,25đ A 0,25đ E F H B D C 1 Có SABC = AD.BC SBHC = HD.BC 2 HD SBHC → = (1) AD SABC 0,25đ Tương tự ta có: HE SAHC HF SAHB = = (2) (3) BE SABC CF SABC Mà SABC = SAHB + SBHC + SAHC (4) HD HE HF + + Từ (1)(2)(3) (4) có: S = =1 AD BE CF · · = ACH Có ∆AEB ∽ ∆AFC(g.g) → ABE (5) · · = BAC Có ∆BDF ∽ ∆BAC(c.g.c) → BDF · · · · Mà BDF + ADF = BAC + ACH = 90o · · (6) → ADF = ACH · · Chứng minh tương tự có ADE (7) = ABE · · Từ (5)(6) (7) có: → ADF = ADE → DH phân giác EDF · Chứng minh tương tự có: → EH phân giác DEF · → FH phân giác EFD · Vậy H giao điểm ba đường phân giác tam giác DEF nên H cách cạnh tam giác DEF 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ