ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Năm học 2012 – 2013 Môn: Toán Câu (2 điểm) a) Tính nhanh: 3 + 13 11 11 2, 75 − 2, + + 13 b) Tìm số hữu tỉ x; biết x − 1,5 + 2,5 − x = 0, 75 − 0, + Câu (2 điểm) a) Chứng minh rằng: 87 − 218 chia hết cho 14 b) So sánh 291 535 Câu (2 điểm) Tìm hai số hữu tỉ x y biết x + y = x.y = x: y Câu (2 điểm) Cho tam giác ABC vuông A; AB = ; BC = 15cm Tính AC cạnh AB AC ? Câu (2 điểm) Cho tam giác ABC có Bµ =750; đường cao AH nửa cạnh BC Chứng minh tam giác ABC tam giác cân Hướng dẫn chấm thi môn: Toán Bài Nội dung cần đạt Câu 1: 2đ a) Biến đổi biểu thức thành: 1 1 3 3 − + + ÷ − + + 13 = 13 = 11 11 11 11 1 1 11 − + + 11 − + + ÷ 13 13 b) x − 1,5 ≥ 0; 2,5 − x ≥ với x nên x − 1,5 + 2,5 − x = ⇔ x − 1,5 = 0; 2,5 − x = đồng thời xảy ra, hay x=1,5 x=2,5 Điều không xảy Vậy không tìm số hữu tỉ thỏa mãn Điểm 1,0 0,25 0,5 0,25 Câu 2: 2đ a) M=87-218 = (23)7-218 = 221-218=217(24-2) = 217.14 Suy M chia hết cho 14 b) 291 > 290 = (25)18 = 3218 535 < 536 = (52)18 = 2518 1,0 0,5 3218 > 2518 nên 291 > 535 0,5 Câu 3: 2đ Từ x+y = x.y ⇒ x = xy-y ⇒ x = y(x-1) ⇒ x:y = x-1 ⇒ x+y = x:y = x-1 ⇒ y = -1 1,0 thay vào x+y = x.y ta cã x-1 = -x ⇒ x = Vậy tìm số hữu tỉ thỏa mãn: x = ; y = -1 Câu 4: 2đ Biển đổi để có: AB AC AB AC = ⇒ = 16 1,0 0,5 Theo tính chất dãy tỉ số định lí Pitago có: AB AC AB + AC BC 152 = = = = =9 16 + 16 25 25 Suy AB2 = 9.9 ⇒ AB = 9(cm) AC2 = 16.9 ⇒ AC = 12(cm) 1,0 Câu 5: 2đ + Dựng điểm D cho tam giác ABD (D C nằm C nửa mặt phẳng có bờ chứa AB) M 0,5 0,5 D H + Chứng minh: Gọi M trung điểm cạnh BC · · Dễ dàng tính BAH = DBM = 150 B A 0,5 · ⇒ ∆AHB = ∆BMD ( c.g c ) ⇒ BMD = ·AHB = 900 Suy tam giác DBC tam giác cân có trung tuyến DM đồng thời đường cao · Từ tính BDC = 1500 ; ·ADC = 1500 0,5 ⇒ ∆ADC = ∆BDC ( c.g c ) ⇒ CA = CB Suy tam giác ABC cân C (Điều phải chứng minh) *Lưu ý: Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa 0,5