Mot so phuong phap giai phuong trinh nghiem nguyen

CHƯƠNG I: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUN Khơng có phương pháp chung để giải phương trình nghiệm nguyên để giải người ta thường áp dụng số phương pháp sau kết hợp phương pháp tuỳ theo cụ thể Sau số phương pháp thường dùng I- Phương pháp : Sử dụng tính chẵn lẻ Ví dụ 1: Tìm x, y nguyên tố thoả mãn y2 – 2x2 = Hướng dẫn: Ta có y2 – 2x2 = ⇒ y2 = 2x2 +1 ⇒ y số lẻ Đặt y = 2k + (với k nguyên).Ta có (2k + 1)2 = 2x2 + ⇔ x2 = k2 + 2k ⇒ x chẵn , mà x nguyên tố ⇒ x = 2, y = Ví dụ 2: Tìm nghiệm ngun dương phương trình (2x + 5y + 1)( x + y + x2 + x) = 105 Hướng dẫn: Ta có: (2x + 5y + 1)( x + y + x2 + x) = 105 Ta thấy 105 lẻ ⇒ 2x + 5y + lẻ ⇒ 5y chẵn ⇒ y chẵn x x + y + x + x = + y + x(x+ 1) lẻ có x(x+ 1) chẵn, y chẵn ⇒ x lẻ ⇒ x = ⇒ x = Thay x = vào phương trình ta (5y + 1) ( y + 1) = 105 ⇔ 5y2 + 6y – 104 = ⇒ y = y = − 26 ( loại) Thử lại ta có x = 0; y = nghiệm phương trình II Phương pháp : Phương pháp phân tích Thực chất biến đổi phương trình dạng: g1 (x1, x2,…., xn) h (x1, x2,…., xn) = a Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên phương trình x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2 Hướng dẫn: Ta có: x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2⇔ x4 +4x3+6x2+4x +1- y2=1 ⇔ (x+1)4 – y2 = ⇔ [(x+1)2 –y] [(x+1)2+y]= (x+1)2 – y = ⇔ + y = 1- y ⇔ (x+1)2 + y = (x+1)2 – y = -1 -1 + y = -1 - y (x+1)2 + y = -1 ⇒ y = ⇒ (x+1)2 = ⇔ x+1 = ±1 ⇒ x = x = -2 Vậy ( x, y ) = ( 0, ); ( - 2, ) III Phương pháp : Phương pháp cực hạn Sử dụng số toán vai trị ẩn bình đẳng nhau: Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: ( x + y + z + t ) + 10 = xyzt Hướng dẫn: Ta giả sử x ≥ y ≥ z ≥ t ≥ Ta có: ( x + y + z + t ) + 10 = xyzt 5 5 10 30 ⇔ = yzt + + xyt + xyz + xyzt ≤ ⇒ t ≤ 15 ⇒ t = t = xzt t * Với t = ta có 5 (x+ y + z + 1) + 10 = xyz 15 30 ⇔ = yz + + xy + xyz ≤ z xz ⇒ z ≤ 15 ⇒ z = {1;2;3} Nếu z = có (x+ y ) + 20 = 2xy⇔ (2x – 5) (2y - 5) = 65 ⇒ x= Ta nghiệm ( 35; 3; 1; 1); (9; 5; 1; 1) hoán vị chúng Với z = 2; z = phương trình khơng có nghiệm ngun 5 * Với t = (x+ y + z ) + 20 = xyz⇔ 4= xy + yz + ⇒ z ≤ 20 35 + xyz ≤ xz z 35 ≤ ⇒ z = (vì z≥ t≥ 2)⇒ (8x – 5) (8y – 5) = 265 Do x≥ y≥ z ≥ nên 8x – ≥ 8y – ≥ 11 ⇒ (8x – 5) (8y – 5) = 265 vơ nghiệm nghiệm phương trình (x, y, z) = ( 35; 3; 1; 1); (9; 5; 1; 1) hoán vị IV- Phương pháp loại trừ(phương pháp 4) Khẳng định nghiệm loại trừ giá trị cịn lại ẩn Ví dụ 5: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình 1! + 2! + … + x! = y Hướng dẫn: Với x≥ x! có tận 1! + 2! + 3! + 4! Có tận ⇒ 1! + 2! + … + x! có tận 3, khơng số phương (loại) Vậy x < mà x nguyên dương nên: x = {1;2;3;4} Thử vào phương trình ta (x = 1, y= 2); (x = 3, y= 3) thoả mãn Ví dụ 6: Tìm tất nghiệm nguyên phương trình y2 + y = x4 + x3 + x2 + x Hướng dẫn: Ta có : y2 + y = x4 + x3 + x2 + x⇔4 y2+4y+1=4 x4 + x3 + 4x2 + 4x+1 ⇒ (2x2 + x ) - (2y + 1)2 = (3x + 1) (x +1) hay (2x2 + x + 1) - (2y+ 1)2 = x(x-2) Ta thấy: Nếu x> x< - (3x + 1) (x +1) > Nếu x > x < -1 x (x-2) > ⇒ Nếu x>2 x< (2x2 + x) ⇒ ⇒ x2 + y y  3, x2 chia cho dư chia cho dư mà 3026 chia cho dư (loại) Vậy nghiệm (x,y) = (55,0) VI Phương pháp : Sử dụng tính chất số nguyên tố Ví dụ 9: Tìm x, y, z nguyên tố thoả mãn x + = z Hướng dẫn: Ta có x, y nguyên tố xy + = z ⇒ z > Mà z nguyên tố ⇒ z lẻ ⇒ xy chẵn ⇒ x chẵn ⇒x=2 Xét y = ⇒ 22 + = nguyên tố ⇒ z = (thoả mãn) Xét y> ⇒ y = 2k + (k ∈ N)⇒ 22k+1 + = z ⇒ 4k + = z Có chia cho dư ⇒ (2.4k+1)  ⇒ z không thỏa mãn (loại) Vậy x = 2, y = 2, z = thoả mãn VII Phương pháp 7: Đưa dạng tổng Ví dụ 10: Tìm nghiệm nguyên phương trình x2 + y2 – x – y = Hướng dẫn: Ta có x2 + y2 –x – y = 8⇔ x2 + y2 – x –4y = 32 ⇔ (4x2 – 4x +1) + (4y2 – 4y + 1) = 34⇔ (2x – 1)2 + (2y – 1)2 = 34 Bằng phương pháp thử chọn ta thấy 34 có dạng phân tích thành tổng số phương 32 52 Do ta có Giải ta (x,y) = (2,3); (2,-2); (-1, -2); (-1, 3) hốn vị Ví dụ 11: Tìm nghiệm ngun phương trình x2 – 4xy + 5y2 = 169 Hướng dẫn: Ta có x2 – 4xy + 5y2 = 169⇔ (x – 2y)2 + y2 = 169 Ta thấy 169 = 02 + 132 = 52 + 122 ⇒ hoặc Giải ta (x, y) = (29, 12);(19, 12); (-19, -12); (22, 5); (-2, 5) ;(2, -5); (22, -5); (26, 13); (-26, -13); (-13 0); (13, 0) VIII Phương pháp 8: Lùi vơ hạn Ví dụ 12: Tìm nghiệm ngum phương trình x2 – 5y2 = Hướng dẫn: Giả sử x0, y0 nghiệm phương trình x2 – 5y2 = ta có x 02 - 5y 02 = ⇒ x0  đặt x0 = x1 Ta có (5x1) – 5y 02 = ⇔ 5x 12 - y 02 = ⇒ y0  đặt y0 = 5y1 ⇒ x 12 - 5y 12 = Vây (x0,,y0) nghiệm phương trình cho ( x0 y , ) nghiệm phương trình cho Cứ tiếp tục lập luận 5 ( x0 y , ) với k nguyên dương nghiệm 5k 5k phương trình Điều xảy x0 = y0 = Vậy phương trình có nghiệm x = y = Ví dụ 13: Tìm nghiệm ngun phương trình x2 + y2 + z2 = x2 y2 Hướng dẫn: Nếu x, y số lẻ ⇒ x2 , y2 chia cho dư x2y2 chia cho dư ⇒ z2 chia cho dư (loại) x2 + y2 chia cho dư mà x2 + y2 + z2 = x2 y2 ⇒ x chẵn y chẵn * Giả sử x chẵn ⇒ y chẵn * Giả sử x chẵn ⇒ x2 , x2y2 chẵn ⇒ x2  ⇒ x2 y2  4⇒ (y2 + z2)  ⇒ y z phải đồng thời chẵn Đặt x = 2x1, y = 2y1, z = 2z1 Ta cóx 12 + y 12 +z 12 = x 12 y 12 lập luận tương tự ta có x 22 + y 22 + z 22 = 16 x 22 y 22 Quá trình tiếp tục ta thấy (x1, y1, z1 ) nghiệm phương trình ( x1 y1 z1 , , ) nghiệm phương trình với k nguyên dương 2k 2k 2k ⇒ x1 = y1 = z1 = Vậy pt có nghiệm (0, 0, 0) IX Phương pháp 9: Sử dụng tính chất nghiệm phương trình bậc Biến đổi phương trình dạng phương trình bậc ẩn coi ẩn khác tham số, sử dụng tính chất nghiệm phương trình bậc để xác định giá trị tham số Ví dụ 14: Giải phương trình nghiệm nguyên 3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + = Hướng dẫn: Ta có pt 3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + = ⇔ y2 + (4x + 2)y + x2 + 4x + = ) (*) coi x tham số giải phương trình bậc pt (*) ẩn y ta có y = -(2x + 1) ± ∆' x Do y nguyên, x nguyên ⇒ ∆' x nguyên Mà ∆' x = (2x + 1)2 – (3x2 + 4x + 5) = x2 – 4⇒ x2 – = n2 (n º ∈ Z) ⇒ (x- n) (x+ n) = 4⇒ x – n = x + n = ± ⇒ x = ± Vậy phương trình có nghiệm ngun (x, y) = (2; -5); (-2, 3) Ví dụ 15: Tìm nghiệm nguyên phương trình x2 – (y+5)x + 5y + = Hướng dẫn: Ta có x2 – (y+5)x + 5y + = coi y tham số ta có phương trình bậc ẩn x Giả sử phương trình bậc có nghiệm x1, x2 Ta có ⇒ ⇒ x1 + 5x2 – x1x2 = 23 ⇔ (x1 -5) (x2 -5) = Mà = 1.2 = (-1)(-2) ⇒ x1 + x2 = 13 x1 + x2 = ⇒ y = y = thay vào phương trình ta tìm cặp số (x,y ) = (7, 8); (6, 8); (4, 2); (3, 2); nghiệm phương trình X- Phương pháp 10 : Dùng bất đẳng thức Ví dụ 16: Tìm nghiệm ngun phương trình x2 –xy + y2 = Hướng dẫn: Ta có x2 –xy + y2 = ⇔ (x- y 3y2 ) =32 y 3y2 Ta thấy (x- ) ≥ ⇒ ≥ ⇒ -2 ≤ y ≤ 2 ⇒ y= ± 2; ±1; thay vào phương trình tìm x Ta nghiệm nguyên phương trình : (x, y) = (-1,-2), (1, 2); (-2, -1); (2,1) ;(-1,1) ;(1, -1) CHƯƠNG II: BÀI TẬP RÈN TƯ DUY SÁNG TẠO Bài 1:Tìm nghiệm nguyên phương trình 2x + 3y = 11 Hướng dẫn Cách 1: Ta thấy phương trình có cặp nghiệm đặc biệt x0 = 4, y0 = Vì 2.4 + 3.1 = 11 ⇒( 2x + 3y) – (2.4 + 3.1) = 0⇔ 2(x-4) + 3(y-1) = 0⇒ 2(x-4) = - 3(y-1) mà (2,3) = Đặt x – = 3k y – = 2k với ( k ∈ Z) Vậy nghiệm tổng quát pt : x = – 3k y = 1+ 2k ( k ∈ Z) *Nhận xét: Theo cách giải phải tìm cặp nghiệm ngun đặc biệt (x0, y0) phương trình vơ định ax + by = c Nếu phương trình có hệ số a, b, c lớn cách giải khó khăn Cách 2: Dùng tính chất chia hết Ta có 2x + 3y = 11⇒ x= Do x, y nguyên ⇒ đặt 11 − y y −1 = 5- y2 y −1 nguyên y −1 = k ⇒ y = 2k +1 ⇒ x = 4- 3k (k ∈ Z Vậy nghiệm tổng quát Bài 2: Tìm cặp số nguyên dương (x,y) thoả mãn phương trình 6x2 + 5y2 = 74 Hướng dẫn: Cách 1: Ta có 6x2 + 5y2 = 74 ⇔ 6x2 –24 = 50 – 5y2 ⇔ 6(x2 – 4) = 5(10 – y2)⇒ 6(x2 – 4)  (6, 5) = 1⇒ x2 = 5t + ⇒ x2 –  (t ∈N) Thay x2 – = 5t vào phương trình ⇒ y2 = 10 – 6t ⇔ lại có  −4 t <  t <  ⇒ t = t = với t = ta có x2 = 4, y2 = 10 (loại) Với t = ta có x2 = ⇔ y2 = x=±3 y=±2 mà x, y ∈ Z + ⇒ x = 3, y = thoả mãn Cách 2: Sử dụng tính chẵn lẻ phương pháp chặn Ta có 6x2 + 5y2 = 74 số chẵn ⇒ y chẵn lại có 0< 6x2 ⇒ 0< 5y2 < 74⇔ < y2 < 14 ⇒ y2 = ⇒ x2 = Cặp số (x,y) cần tìm (3, 2) Cách 3: Ta có 6x2 + 5y2 = 74 ⇔ 5x2 + 5y2 + x2 + = 75⇒ x2 +  mà < x2 ≤ 12 ⇒ x2 = x2 = Với x2 = ⇒ y2 = 10 loại Với x2 = ⇒ y2 = thoả mãn cặp số (x,y) cần tìm (3, 2) Bài 3: Tìm nghiệm nguyên phương trình:x2 + y2 = 2x2y2 Hướng dẫn: Cách 1: Đặt x2 = a, y2 = b Ta có a + b = ab ⇒ ⇒ a = b ⇒ a = ± b Nếu a = b ⇒ 2a = 2a2 ⇒ a= a2 ⇒ a= 0, a= 1⇒ (a,b) = (0, 0); (1, 1) Nếu a = - b ⇒ b2 = ⇒ a = b = 0⇒ (x2, y2) = (0, 0); (1, 1) ⇒ (x, y ) = (0, 0); (-1, -1); (-1, 1); (1, -1) ; (1, 1) Cách 2: Ta có x2 + y2 = 2x2y2 Do x2, y2 ≥ Ta giả sử x2 ≤ y2 ⇒ x2 + y2 ≤ y2 ⇒ 2x2 y2 ≤ 2y2 Nếu y = phương trình có nghiệm (0;0) Nếu y ≠ 0⇒ x2 ≤ ⇒ x2= x2 = ⇒ y2 = (loại) y2 = ⇒ (x, y) = (1, 1); (1, -1) ; (-1, 1) Vậy phương trình có nghiệm (x;y) =(0, 0); (-1, -1); (-1, 1); (1, -1); (1, 1) Cách 3: Có x2 + y2 = 2x2y2 ⇔ 2x2 + 2y2 = x2y2⇔ x2y2 –2x2 – 2y2 + = 2x2 (2y2 - 1) – (2y2 - 1)= 1⇔ (2x2 – 1) (2y2 - 1) = Mà = 1.1 = (-1)(-1) ⇒ (x2, y2) = (1, 1); (0, 0) ⇒ (x, y) = (1, 1); (0, 0) ; (1, -1); (-1; -1); (-1, 1) Bài 4: Tìm nghiệm tự nhiên phương trình x2 –3xy + 2y2+ = Hướng dẫn: Ta thấy(x, y) = (0, 0) khơng phải nghiệm phương trình Ta coi phương trình x2 – 3xy + 2y2 + = ẩn x ta tính ∆ y = y2 – 24 Phương trình có nghiệm tự nhiên ∆ y số phương ⇒ y2 – 24 = k2 ⇒ (y – k)(y + k) = 24 (k∈N) mà 24 = 24.1 = 12.2 = 6.4 = 3.8 ; y+k y – k chẵn ⇒ ⇒ y = y+ ⇒y=7 Thay vào ta tìm (x,y) = (8, 7); (13, 7); (7, 5); (8,5) Bài 5: Tìm nghiệm nguyên phương trình 2x2 + 2y2 – 2xy + y + x – 10 = Hướng dẫn: Cách 1: Ta có phương trình cho ⇔ 2x2 – (2y-1) x + 2y2 + y – 10 = Coi x ẩn y tham số ta có phương trình bậc ẩn x Xét ∆ y = (2y – 1)2 – 4.2 (2y2 + y -10) = -12y2 – 12y+ 81 Để nghiệm x nguyên ∆ y số phương Đặt k2= -12y2 – 12 y + 81 ⇒ k2 + 3(2y + 1) = 84 k2 ⇒ (2y + 1) = 28 ≤ 28; (2y + 1)2 lẻ ⇒ (2y + 1)2 = 1, 9, 25 ⇒ y = 0, 1, -2, 2, -3 Thử trực tiếp vào phương trình ta tìm cặp số (x, y) = (2, 0); (0, 2) thoả mãn Cách 2: Đặt x + y = a, xy = b ta có x, y ∈ Z ⇒ a, b ∈ Z phương trình 2x2 – (2y-1) x + 2y2 + y – 10 = ⇔ 2a2 – 4b + a – 10 = 0⇔ 4a2 – 8b + 2a – 20 = ⇔ (a+ 1)2 + 3a2 – 8b – 21 = 0⇔ (a+ 1)2 + 3a2 = 8b + 21 lại có (x+ y)2≥ xy ⇒ a2 ≥ 4b ⇒ 8b + 21 ≤ 2a2 + 21⇒ (a+ 1)2 + 3a2 ≤ 2a2 + 21⇒ (a+ 1)2 ≤ 21 10 mà (a+ 1)2 số phương ⇒ (a+ 1)2 ∈ {1, 4, 9, 16} ⇒ a ∈ {0, 1, 2, 3} Với a = ⇒ 12 + = 8b + 21 ⇒ 8b = 20 loại Với a = ⇒ (1+1)2 + 3.12 = 8b + 21 ⇒ 8b = -14 loại Với a = ⇒ (1+ 2)2 + 3.22 = 8b + 21 ⇒ 8b = ⇒ b = Với a = ⇒ (1+ 3)2 + 3.32 = 8b + 21 ⇒ 8b = 22 loại Vậy a = 2, b = ⇒ ⇒ (x, y )= (0, 2); (2, 0) thoả mãn Bài 6: Hai đội cờ thi đấu với đấu thủ đội phải đấu ván với đấu thủ đội Biết tổng số ván cờ đấu lần tổng số đấu thủ hai đội biết số đấu thủ đội số lẻ hỏi đội có đấu thủ Hướng dẫn: Gọi x, y số đấu thủ đội đội (x, y nguyên dương ) Theo ta có xy = (x + y) Đây phương trình nghiệm nguyên ta giải cách sau  Cách 1: Có xy = 4(x + y)⇔ xy – 4x – 4y + 16 = 16⇔ (x-4) (y - 4) = 16 mà 16 = 1.16 = 2.8 = 4.4 lại có đội có số đấu thủ lẻ ⇒ ⇔ Cách 2: Ta thấy x, y bình đẳng.Khơng tính tổng qt ta giả sử x≤ y Ta có x, y nguyên dương xy = (x + y)⇔ lại có Mà 4 + y=1 x 4 4 8 ≥ y ⇔ + y ≤ ⇔ ≤ 1⇒ x ≤ ⇒ x= {5, 6, 7, 8} x x x x ≤1⇒x>4 x Thử trực tiếp ta x = 5, y = 20 (thoả mãn) Vậy đội có đấu thủ cịn đội có 20 đấu thủ Bài 7: Tìm năm sinh Bác Hồ biết năm 1911 Bác tìm đường cứu nước tuổi Bác tổng chữ số năm Bác sinh cộng thêm Hướng dẫn: Ta thấy Bác Hồ sinh vào thể kỷ 20 năm 1911 Bác nhiều 11 tuổi (1+ + + + 3) loại Suy Bác sinh kỷ 19 Gọi năm sinh Bác 18 xy 11 (x, y nguyên dương, x, y ≤ 9) Theo ta có 1911 - 18 xy = + + x + y = 3⇔ 11x + 2y = 99 ⇒ 2y  11 mà (2, 11) = ⇒ y  11 mà 0≤ y ≤ Nên y = ⇒ x = Vậy năm sinh Bác Hồ 1890 Bài 8: Hãy dựng tam giác vng có số đo cạnh a, b, c số nguyên có cạnh đo đơn vị Hướng dẫn: Giả sử cạnh đo đơn vị cạnh huyền (a = 7) ⇒ b2 + c2 = 72 ⇒ b2 + c2  ⇒ b  7; c  (vì số phương chia hết cho dư 0, 1, 4, 2) lại có < b, c < loại ⇒ Cạnh đo cạnh góc vng giả sử b = Ta có a2 – c2 = 49 ⇔ (a+c)(a-c) = 49⇒ ⇒ Vậy tam giác cần dựng có số đo cạnh 7, 25, 24 12