CHUYÊN ĐỀ: BẤT ĐẲNG THỨC Bài Biên tập: Nguyễn Phú Khánh Cho a, b, c số thưc dương thỏa mãn abc Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P bc a (b c ) ca b (a c ) ab c (a b ) Phân tích: Dự đoán đẳng thức xảy a b c , P Lời giải: Vì abc nên đặt a 1 x2 y2 z2 , b , c xyz , biểu thức P x y z yz xz yx Bài toán trở thành: “ Cho x , y, z thỏa mãn xyz Tìm giá trị nhỏ biểu thức P ” x2 BĐT Cô-si: yz yz x, y2 xz xz y, yx z yx z2 1 Suy P ( x y z ) x y z P ( x y z ) 3 xyz 2 2 Đẳng thức xảy x y z a b c a b c Bài tập tương tự: Vậy P Cho a, b, c số thưc dương thỏa mãn ab bc ca 3abc Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 1 P 2 a (3a 1) b (3b 1) c (3c 1) TRƯỜNG THPT SỐ II PHÙ MỸ – BÌNH ĐỊNH Hướng dẫn: 1 x3 y3 z3 Đặt x , y , z x y z 3, biểu thức P 2 a b c y z x z y x Bài toán trở thành: “ Cho x , y, z thỏa mãn x y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức P ” P xyz 3 Đẳng thức xảy x y z a b c P 4 Bài Cho a, b, c số thực dương a b c Tìm giá trị lớn biểu thức: P bc 3a bc ca 3b ca ab 3c ab TRƯỜNG THPT SỐ AN LÃO – BÌNH ĐỊNH Phân tích: Dự đoán đẳng thức xảy a b c , P Lời giải: Vì a b c nên BĐT Cô-Si: bc 3a bc bc a ( a b c ) bc bc (a b )( a c ) bc 1 a b a c 1 , đẳng thức xảy b c a b a c ( a b )( a c ) ca Tương tự ca 1 b a b c ab 3b ca 3c ab bc ca ab bc ab ca a b c Suy P 2( a b ) 2( c a ) 2(b c ) 2 ab 1 c a c b Đẳng thức xảy a b c Vậy P a b c Bài tập tương tự: Cho x , y, z số thưc dương thỏa mãn x y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P x ( y z ) y ( z x ) z ( x y) yz zx xy TRƯỜNG QUỐC HỌC QUY NHƠN – BÌNH ĐỊNH Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a 2b c a b c ab bc ca Tìm giá trị lớn biểu thức: P a c 2 a b 1 a (b c ) a b ( a c )(a 2b c ) TRƯỜNG THCS &THPT iSCHOOL QUY NHƠN – BÌNH ĐỊNH Hướng dẫn: Nhận xét: x y xy xy với x , y , x y xy ( x y ) với x , y hay x y2 y2 z z2 x2 x y Tương tự: y z, zx y x z y x z Khi đó: P x x y y2 z z 2( x y z ) y z z x x y Đẳng thức xảy x y z P BĐT Cô-Si: ab bc ac a b c a 2bc 2ab 2ac a bc ab ac Khi đó: ab ac a b a c a b c a b a b a c a c 2 a b c a b a b a b 1 a b 1 Lại có: a c a b 2c a c a b 2c a b a c a 2b c a b 2 a b 1 1 1 1 max P 2 a b a b a b a b a b 4 Do đó: P Bài Cho a, b, c ba số thực dương thoả mãn : a b c P a 3b b 3c 3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : c 3a TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỮU QUANG – BÌNH ĐỊNH Phân tích: Dự đoán đẳng thức xảy a b c Lời giải: , P 1 1 Ta có: ( x y z ) 3 xyz x y z P a 3b BĐT Cô-Si: b 3c c 3a 3 xyz 9 1 (*) x y z xyz a 3b b 3c c 3a (*) a 3b 1 a 3b 2 3 b c 1 b 3c 1.1 b 3c 2 3 c a 1 c 3a 1.1 c 3a 2 3 1 Suy a 3b b 3c c 3a a b c 6 6 3 a 3b 1.1 Do P a b c Đẳng thức xảy a b c a 3b b 3c c 3a 1 Vậy P a b c Bài tập tương tự: Cho a, b, c ba số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: b c a 3c 12 b c P 2a 3b 2a 3c TRƯỜNG THPT TRƯNG VƯƠNG – BÌNH ĐỊNH Hướng dẫn: Với x 0, y P 11 1 * Đẳng thức xảy x y x y xy b c 2a a 3c 12 b c 1 8 3b 2a 3c 1 a 3b 3c a 3b 3c 4a 3b 3c 4a 3b 3c 2a 3b 2a 3c 2a 3b a 3c 1 4 16 1 16 ; 2a 3b 2a 3b 2a 3b 2a 3c a 3b 3c 2a 3b 2a 3c a 3b 3c Khi P 11 16 P Vậy P b c Bài 2a Cho a, b, c ba số thực dương thoả mãn : a b c 1 Chứng minh rằng: 1 9 a 2bc b 2ac c 2ab TRƯỜNG THPT TAM QUAN – BÌNH ĐỊNH Lời giải: Đặt : x a 2bc ; y b 2ac ; z c 2ab 1 1 1 9 9 a 2bc b 2ac c 2ab x y z 1 Bài toán trở thành : Cho x , y, z thỏa mãn x y z Chứng minh : x y z Khi : x y z a b c 2 BĐT Cô-Si: 1 1 1 1 33 x y z . (*) x y z x y z xyz x y z 3 xyz 1 ( đpcm ) x y z Vì x y z nên (*) suy Đẳng thức xảy x y z Bài tập tương tự: Cho a, b, c ba số thực không âm, chứng minh rằng: a3 a b c b3 b c a c3 c a b 1 TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG – BÌNH ĐỊNH Hướng dẫn: Xét BĐT: 1 x 1 x2 , x Thật vậy, theo BĐT Cô - si, ta có: x 1 x 1 x x x 1 x x x2 1 2 Áp dụng vào toán : a3 a b c Tương tự, có: b3 b c a b c a b2 a b2 c 2 Đẳng thức xảy a b c a2 a2 b2 c b c a 2 ; c3 c a b 1 c2 a b2 c2 3