Tuyen tap Dai so to hop Cac bai toan dem

Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp BÀI TOÁN ĐẾM (ĐHQG TPHCM khối A đợt 1999) Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} Có tập X tập A thoả điều kiện X chứa không chứa 2 Có số tự nhiên chẵn gồm chữ số đôi khác lấy từ tập A không bắt đầu 123 (ĐHQG TPHCM khối D đợt 1999) Một học sinh có 12 sách đôi khác nhau, có sách Toán, sách Văn sách Anh Hỏi có cách xếp tất sách lên kệ sách dài, sách môn xếp kề nhau? (ĐHQG TPHCM khối AB đợt 1999) Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, dãy có ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho học sinh trường A học sinh trường B vào bàn nói Hỏi có cách xếp trường hợp sau: Bất học sinh ngồi cạnh đối diện khác trường với Bất học sinh ngồi đối diện khác trường với (ĐHQG TPHCM khối D đợt 1999) Cho tập X = {0,1,2,3,4,5,6,7} Có thể lập số n gồm chữ số khác đôi từ X (chữ số phải khác 0) trường hợp sau: n số chẵn Một ba chữ số phải (ĐH Huế khối A chuyên ban 1999) Một hộp đựng viên bi đỏ, viên bi trắng viên bi vàng Người ta chọn viên bi từ hộp Hỏi có cách chọn để số bi lấy đủ màu? (ĐH Huế khối D chuyên ban 1999) Người ta xếp ngẫu nhiên phiếu có ghi số thứ tự từ đến cạnh Có cách xếp để phiếu số chẵn cạnh nhau? Có cách xếp để phiếu phân thành hai nhóm chẵn lẻ riêng biệt (chẳng hạn 2, 4, 1, 3, 5)? (ĐH Huế khối RT chuyên ban 1999) Xem Thêm : wWw.ThanhBinh1.Com Tuyển tập Đại số tổ hợp 10 11 12 13 14 Trần Só Tùng Người ta viết chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lên phiếu, sau xếp thứ tự ngẫu nhiên thành hàng Có số lẻ gồm chữ số thành? Có số chẵn gồm chữ số thành? (HV Ngân hàng TPHCM 1999) Xét số gồm chữ số, có năm chữ số bốn chữ số 2, 3, 4, Hỏi có số thế, nếu: Năm chữ số xếp kề Các chữ số xếp tuỳ ý (ĐH Hàng hải 1999) Có cách xếp năm bạn học sinh A, B, C, D, E vào ghế dài cho: Bạn C ngồi Hai bạn A E ngồi hai đầu ghế (HV BCVT 1999) Hỏi từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số gồm chữ số khác nhau, cho chữ số có mặt số (ĐHQG HN khối B 2000) Từ chữ số 0, 1, 3, 5, lập số gồm chữ số khác không chia hết cho (ĐHQG TPHCM khối A 2000) Một thầy giáo có 12 sách đôi khác có sách Văn, sách Nhạc sách Hoạ Ông muốn lấy tặng cho học sinh A, B, C, D, E, F em Giả sử thầy giáo muốn tặng cho học sinh sách thuộc thể loại Văn Nhạc Hỏi có cách tặng? Giả sử thầy giáo muốn sau tặng sách xong, ba loại sách lại Hỏi có cách chọn? (ĐH Huế khối A chuyên ban 2000) Một lớp có 30 học sinh nam 15 học sinh nữ Có học sinh chọn để lập tốp ca Hỏi có cách chọn khác nếu: 1) phải có nữ 2) chọn tuỳ ý (ĐH Huế khối DRT chuyên ban 2000) Cho chữ số 0, 1, 2, 3, 4, Từ chữ số cho ta lập được: Trần Só Tùng 15 16 17 18 19 20 21 22 Tuyển tập Đại số tổ hợp Bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số bốn chữ số khác đôi Bao nhiêu số chia hết cho 5, có ba chữ số ba chữ số khác đôi Bao nhiêu số chia hết cho 9, có ba chữ số ba chữ số khác đôi (ĐH Y HN 2000) Có nhà toán học nam, nhà toán học nữ nhà vật lí nam Lập đoàn công tác người cần có nam nữ, cần có nhà toán học nhà vật lí Hỏi có cách? (ĐH Cần Thơ khối D 2000) Với chữ số 1, 2, 3, 4, 5, ta lập số mà số có năm chữ số chữ số khác đôi Hỏi Có số phải có mặt chữ số 2 Có số phải có mặt hai chữ số (ĐH Thái Nguyên khối AB 2000) Một đội văn nghệ có 20 người, có 10 nam 10 nữ Hỏi có cách chọn người cho: Có nam người Có nam nữ người (ĐH Thái Nguyên khối D 2000) Từ chữ số 2, 3, tạo số tự nhiên gồm chữ số, có mặt đủ chữ số (ĐH Thái Nguyên khối G 2000) Có số gồm chữ số cho tổng chữ số số số lẻ (ĐH Cần Thơ khối AB 2000) Có viên bi xanh, viên bi đỏ, viên bi vàng có kích thước đôi khác Có cách chọn viên bi, có viên bi đỏ Có cách chọn viên bi, số bi xanh số bi đỏ (ĐH Đà Lạt khối ADV 2000) Có thẻ trắng thẻ đen, đánh dấu loại theo số 1, 2, 3, 4, Có cách xếp tất thẻ thành hàng cho hai thẻ màu không nằm liền (ĐH Sư phạm HN khối A 2000) Xem Thêm : wWw.ThanhBinh1.Com Tuyển tập Đại số tổ hợp 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 Trần Só Tùng Có thể lập số gồm chữ số từ chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, chữ số có mặt lần, chữ số khác có mặt lần (ĐH Sư phạm Vinh khối ABE 2000) Có số khác gồm chữ số cho tổng chữ số số số chẵn (ĐH Sư phạm Vinh khối DGM 2000) Tìm tất số tự nhiên có chữ số cho số chữ số đứng sau lớn chữ số đứng liền trước (HV Kỹ thuật quân 2000) Một đồn cảnh sát khu vực có người Trong ngày, cần cử người làm nhiệm vụ địa điểm A, người địa điểm B, người thường trực đồn Hỏi có cách phân công? (ĐH GTVT 2000) Một lớp học có 20 học sinh, có cán lớp Hỏi có cách cử người dự hội nghị Hội sinh viên trường cho người có cán lớp (HV Quân y 2000) Xếp viên bi đỏ có bán kính khác viên bi xanh giống vào dãy ô trống Hỏi: Có cách xếp khác nhau? Có cách xếp khác cho viên bi đỏ xếp cạnh viên bi xanh xếp cạnh nhau? (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CPB 2000) Có số lẻ gồm chữ số, chia hết cho 9? (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CB 2000) Có số lẻ gồm chữ số khác lớn 500000? (CĐSP Nha Trang 2000) Với số: 0, 1, 2, 3, 4, thành lập số tự nhiên gồm chữ số khác phải có mặt chữ số (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000) Một lớp học sinh mẫu giáo gồm 15 em, có em nam, em nữ Cô giáo chủ nhiệm muốn chọn nhóm em để tham dự trò chơi gồm em nam em nữ Hỏi có cách chọn? (ĐH An ninh khối D 2001) Cho chữ số 0, 1, 2, 3, Hỏi thành lập số có bảy chữ số từ chữ số trên, chữ số có mặt lần, chữ số khác có mạt lần (ĐH Cần Thơ 2001) Trần Só Tùng 34 35 36 37 38 39 40 41 42 Tuyển tập Đại số tổ hợp Một nhóm gồm 10 học sinh, có nam nữ Hỏi có cách xếp 10 học sinh thành hàng dài cho học sinh nam phải đứng liền (HV Chính trị quốc gia 2001) Một đội văn nghệ có 10 người, có nữ nam Có cách chia đội văn nghệ thành hai nhóm có số người nhóm có số nữ Có cách chọn người mà nam (ĐH Giao thông vận tải 2001) Cho chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Hỏi lập số gồm chữ số khác nhau, thiết phải có mặt chữ số (ĐH Huế khối ABV 2001) Có số tự nhiên gồm chữ số cho chữ số lặp lại lần? (ĐH Huế khối DHT 2001) Từ nhóm học sinh gồm nam nữ, thầy giáo cần chọn em tham dự lễ mittinh trường với yêu cầu có nam nữ Hỏi có cách chọn? (HV Kỹ thuật quân 2001) Trong số 16 học sinh có học sinh giỏi, khá, trung bình Có cách chia số học sinh thành tổ, tổ có người cho tổ có học sinh giỏi tổ có học sinh (ĐH Kinh tế quốc dân 2001) Với chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên mà số có chữ số khác phải có chữ số (HV Ngân hàng TPHCM khối A 2001) Có thể tìm số gồm chữ số khác đôi một? Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số chẵn có chữ số đôi khác nhau? (ĐH Ngoại thương TPHCM khối A 2001) Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, thiết lập số có chữ số khác mà hai chữ số không đứng cạnh nhau? (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001) Xem Thêm : wWw.ThanhBinh1.Com Tuyển tập Đại số tổ hợp 43 44 45 46 47 48 49 50 Trần Só Tùng Có học sinh nam học sinh nữ xếp thành hàng dọc Hỏi có cách xếp để có học sinh nam đứng xen kẽ học sinh nữ (Khi đổi chỗ học sinh cho ta cách xếp mới) (HV Quan hệ quốc tế 2001) Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, coù thể lập số có chữ số mà chữ số đứng vị trí giữa? (ĐH Quốc gia TPHCM 2001) Có số tự nhiên gồm chữ số đôi khác nhau, có mặt chữ số mặt chữ số Có số tự nhiên gồm chữ số, biết chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần chữ số lại có mặt không lần (ĐHSP HN II 2001) Tính tổng tất số tự nhiên gồm chữ số khác đôi lập từ chữ số 1, 3, 4, 5, 7, (ĐHSP TPHCM khối DTM 2001) Cho A hợp có 20 phần tử Có tập hợp A? Có tập hợp khác rỗng A mà có số phần tử số chẵn? (ĐH Thái Nguyên khối D 2001) Có số chẵn có ba chữ số khác tạo thành từ chữ số 1, 2, 3, 4, Có số có ba chữ số khác tạo thành từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, mà số nhỏ số 345 (ĐH Văn Lang 2001) Một lớp có 10 học sinh nam 10 học sinh nữ Cần chọn học sinh để làm công tác “Mùa hè xanh” Hỏi có cách chọn học sinh phải có nhất: Hai học sinh nữ hai học sinh nam Một học sinh nữ học sinh nam (ĐH Y HN 2001) Với chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số chẵn có ba chữ số khác không lớn 789? (ĐH khối D dự bị 2002) Trần Só Tùng 51 52 53 54 55 56 57 58 59 Tuyển tập Đại số tổ hợp Đội tuyển học sinh giỏi trường gồm 18 em, có học sinh khối 12, học sinh khối 11, học sinh khối 10 Hỏi có cách cử học sinh đội dự trại hè cho khối có em chọn (ĐH khối A 2003 dự bị 2) Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số tự nhiên mà số có chữ số khác chữ số đứng cạnh chữ số (ĐH khối B 2003 dự bị 1) Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5,6 lập số tự nhiên mà số có chữ số thoả mãn điều kiện: sáu chữ số số khác số tổng chữ số đầu nhỏ tổng chữ số cuối đơn vị (ĐH khối B 2003 dự bị 2) Từ tổ gồm học sinh nữ học sinh nam cần chọn em số học sinh nữ phải nhỏ Hỏi có cách chọn vậy? (ĐH khối D 2003 dự bị 1) Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, coù thể lập số tự nhiên chẵn mà số gồm chữ số khác nhau? (CĐ Sư phạm khối A 2002) Tìm số giao điểm tối đa của: a) 10 đường thẳng phân biệt b) đường tròn phân biệt Từ kết câu 1) suy số giao điểm tối đa tập hợp đường nói (CĐ Sư phạm khối A 2002 dự bị) Cho đa giác lồi n cạnh Xác định n để đa giác có số đường chéo gấp đôi số cạnh (CĐ Xây dựng số – 2002) Từ chữ số 1, 2, 3, 4, lập số gồm chữ số khác nhỏ 245 (CĐ Sư phạm Quảng Ngãi 2002) Từ chữ số 0, 1, 2, 5, lập số lẻ, số gồm chữ số khác (ĐH khối B 2004) Xem Thêm : wWw.ThanhBinh1.Com Tuyển tập Đại số tổ hợp 60 61 62 63 64 65 66 67 68 Trần Só Tùng Trong môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác gồm câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi lập đề kiểm tra, đề gồm câu hỏi khác thiết phải có đủ loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) số câu hỏi dễ không (ĐH khối B 2005) Một đội niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam nữ Hỏi có cách phân công đội niên tình nguyện giúp đỡ tỉnh miền núi, cho tỉnh có nam nữ (ĐH khối A 2005 dự bị 1) Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số tự nhiên, số gồm chữ số khác tổng chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng ngàn (ĐH khối B 2005 dự bị 1) Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam nữ Hỏi có cách lập nhóm đồng ca gồm người, biết nhóm phải có nữ (ĐH khối B 2005 dự bị 2) Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số tự nhiên, số gồm chữ số khác thiết phải có chữ số 1, (ĐH khối D 2006) Đội niên xung kích trường phổ thông có 12 học sinh, gồm học sinh lớp A, học sinh lớp B học sinh lớp C Cần chọn học sinh làm nhiệm vụ, cho học sinh thuộc không lớp Hỏi có cách chọn vậy? (CĐ GTVT III khối A 2006) Từ nhóm gồm 15 học sinh khối A, 10 học sinh khối B, học sinh khối C, chọn 15 học sinh cho có học sinh khối A học sinh khối C Tính số cách chọn (CĐ Tài – Hải quan khối A 2006) Có số tự nhiên gồm chữ số, chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần hai chữ số lại phân biệt? (CĐ Xây dựng số khối A 2006) Có số tự nhiên chẵn gồm hai chữ số khác nhau? Tính tổng tất số (CĐBC Hoa Sen khối D 2006) Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp Cho đường thẳng d1, d2 song song với Trên đường thẳng d cho 10 điểm phân biệt, đường thẳng d cho điểm phân biệt Hỏi lập tam giác mà đỉnh tam giác lấy từ 18 điểm cho BÀI GIẢI (ĐHQG TPHCM khối A đợt 1999) X ⊂ A   X = { 1} ∪ Y 1∈ X ⇔  2 ∉ X  Y ⊂ { 3,4,5,6,7,8}  Do số tập X số tập Y tập hợp {3,4,5,6,7,8} Mà số tập Y {3,4,5,6,7,8} là: 26 = 64 Vậy có 64 tập X A chứa không chứa 2 Gọi * m số số tự nhiên chẵn gồm chữ số đôi khác lấy từ A * n số số tự nhiên chẵn gồm chữ số đôi khác lấy từ A bắt đầu 123 * p số số tự nhiên thoả mãn yêu cầu đề Ta cần tính p Hiển nhiên p = m – n • Tính m: Lập số chẵn a5a4a3a2a1 gồm chữ số khác a 1, a2, a3, a4, a5 ∈ A, có nghóa là: Lấy a1 từ {2, 4, 6, 8} → có cách Lấy a2, a3, a4, a5 từ số lại A → có A74 = 7.6.5.4 = 840 cách Do đó: m = 4.840 = 3360 • Tính n: Lập số chẵn 123a2a1 bắt đầu 123; a1,a2∈ A; a1 ≠ a2 Lấy a1 từ {4,6,8} → có cách Lấy a2 từ A \ {1,2,3,a1} → có cách Do đó: n = 3.4 = 12 Vậy: số p cần tìm là: p = 3360 – 12 = 3348 (ĐHQG TPHCM khối D đợt 1999) Bước 1: Đặt nhóm sách lên kệ dài: 3! cách Bước 2: Trong nhóm ta thay đổi cách xếp đặt sách: Nhóm sách Toán: 2! cách Nhóm sách Văn: 4! cách Nhóm sách Anh: 6! cách Xem Thêm : wWw.ThanhBinh1.Com Tuyển tập Đại số tổ hợp 10 Trần Só Tùng Kết luận: có 3!2!4!6! = 6.2.24.720 = 207360 cách (ĐHQG TPHCM khối AB đợt 1999) Giai đoạn 1: Xếp chỗ ngồi cho hai nhóm học sinh, có cách xếp: A B A B A B B A B A B A B A B A B A A B A B A B Giai đoạn 2: Trong nhóm học sinh trường A, có 6! cách xếp em vào chỗ Tượng tự, có 6! cách xếp học sinh trường B vào chỗ Kết luận: có 2.6!6! = 1036800 cách Học sinh thứ trường A ngồi trước: có 12 cách chọn ghế để ngồi Sau đó, chọn học sinh trường B ngồi đối diện với học sinh thứ trường A: có cách chọn học sinh trường B Học sinh thứ hai trường A 10 chỗ để chọn, chọn học sinh trường B ngồi đối diện với học sinh thứ hai trường A: có cách chọn, v.v… Vậy: có 12.6.10.5.8.4.6.3.2.1.1 = 26.6!.6! = 33177600 cách (ĐHQG TPHCM khối D đợt 1999) Xem số chắn hình thức abcde (kể a = 0), có cách chọn e ∈ {0,2,4,6}, số chẵn Sau chọn a, b, c, d từ X \ {e}, số cách chọn là: A74 = 840 Vậy: có 4.840 = 3360 số chẵn hình thức Ta loại số có dạng 0bcde Có cách chọn e, A36 cách chọn b, c, d từ X \ {0,e} Vậy có A36 = 360 số chẵn có dạng 0bcde Kết luận: có 3360 – 360 = 3000 số thoả yêu cầu đề n = abcde * Xem số hình thức abcde (kể a = 0) Có cách chọn vị trí cho Sau chọn chữ số khác cho vị trí lại từ X \ {1}: có A74 cách Như thế: có A74 = 2520 số hình thức thoả yêu cầu đề * Xem số hình thức 0bcde Có cách chọn vị trí cho Chọn chữ số khác cho vị trí lại từ X \ {0,1}, số cách chọn A36 Như thế: có A36 = 240 số hình thức dạng 0bcde Kết luận: số số n thoả yêu cầu đề là: 2520 – 240 = 2280 số (ĐH Huế khối A chuyên ban 1999) Tuyển tập Đại số tổ hợp Vậy có tất có: 16 8.7.6.5 C24 Trần Só Tùng = 10080 số thoả yêu cầu đề 23 (ĐH Sư phạm Vinh khối ABE 2000) Số số có chữ số a1a2a3a4a5a6 9.105 số Với số có chữ số a1a2a3a4a5a6 ta lập số có chữ số a1a2a3a4a5a6a7 mà tổng chữ số số chẵn Vậy có tất cả: 9.105.5 = 45.105 số 24 (ĐH Sư phạm Vinh khối DGM 2000) Theo yêu cầu toán số không đứng trước số nên số có chữ số tạo thành từ số {1, 2, 3, 4, …, 8, 9} = T Ứng với chữ số phân biệt T có cách xếp thoả mãn đứng sau lớn chữ số liền trước 9! C59 = Vậy số số cần tìm là: = 126 5!4! 25 (HV Kỹ thuật quân 2000) Có tất cả: C39 C62 = C94 C52 = C92 C74 = 1260 cách 26 (ĐH GTVT 2000) Có khả năng: * cán lớp học sinh thường: có C12 C18 * cán lớp học sinh thường: có C22 C118 Vậy số chọn là: C12 C18 + C22 C118 = 324 cách 27 (HV Quân y 2000) Trước hết xếp viên bi đỏ vào ô trống Do viên bi đỏ khác nên số cách xếp A37 Sau xếp viên bi xanh vào ô lại Do viên bi xanh giống nên số cách xếp C34 Vậy số cách xếp khác là: A37 C34 = 840 cách Trước hết ta cần ý màu, để đỏ đứng cạnh xanh đứng cạnh có cách xếp Sau đó, viên bi đỏ khác nhau, nên ta hoán vị viên bi đỏ với Số hoán vị 3! Vậy số cách xếp khác để viên bi đỏ đứng cạnh viên bi xanh đứng cạnh là: 6.3! = 36 cách 28 (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CPB 2000) Các số có chữ số, chia hết cho 9, viết theo thứ tự tăng là: 100008, 100017, 100035, …, 999999 Trần Só Tùng 17 Tuyển tập Đại số tổ hợp Các số lẻ có chữ số, chia hết cho 9, lập thành cấp số cộng: u1 = 100017, 100035, …, un = 999999 với công sai d = 18 Do đó: un = u1 + (n – 1)d ⇔ 999999 = 100017 + (n – 1).18 ⇔ n = 50000 Vậy tất có 50000 số lẻ gồm chữ số, chia hết cho 29 (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CB 2000) Xét số lẻ có chữ số khác nhau, lớn 500000: x = a1a2a3a4a5a6 Từ giả thiết ⇒ a1 ∈ {5,6,7,8,9}, a6 ∈ {1,3,5,7,9} Có khả năng: a1 lẻ: * a1 có cách chọn * a6 có cách chọn * sau chọn a1, a6, cần chọn a2a3a4a5 , cách chọn ứng với chỉnh hợp chập phần tử Vậy khả thứ có: 6.4 A84 = 40320 số a1 chẵn: * a1 có cách chọn * a6 có cách chọn * a2a3a4a5 có A84 cách chọn Vậy khả thứ hai có: 2.5 A84 = 16800 số Kết luận: Tất có: 40320 + 16800 = 57120 số cần tìm 30 (CĐSP Nha Trang 2000) Số số tự nhiên gồm chữ số khác viết từ chữ số: 0, 1, 2, 3, 4, là: A35 = 300 Trong số nói trên, số số tự nhiên mặt chữ số là: A54 = 120 Vậy số số tự nhiên thoả mãn yêu cầu là: 300 – 120 = 180 số 31 (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000) Chọn em nam: có C39 cách Chọn em nữ: có C62 cách Vậy có: C39 C62 = 1260 cách 32 (ĐH An ninh khối D 2001) Giả sử số có chữ số lập viết ô hình sau: Xem Thêm : wWw.ThanhBinh1.Com Tuyển tập Đại số tổ hợp 18 Trần Só Tùng Trần Só Tùng 19 Tuyển tập Đại số tổ hợp Thế thì: * Có cách chọn vị trí cho chữ số (trừ ô số 1) * Sau chọn vị trí cho số chữ ta C36 = 20 cách chọn vị trí cho chữ số * Sau chọn vị trí cho chữ số chữ số 4, ta 3! = cách chọn cho chữ số lại Vậy số số lập là: 6.20.6 = 720 số 33 (ĐH Cần Thơ 2001) Coi học sinh nam đứng liền vị trí mà số cách để bố trí học sinh đứng liền xen kẽ với học sinh nữ 4! Nhưng để xếp học sinh nam đứng liền lại có 7! cách Vậy tất có: 4!7! = 120960 cách 34 (HV Chính trị quốc gia 2001) Chia đội văn nghệ thành hai nhóm có số người nhóm có số nữ tức chia nhóm có người mà có nữ nam ⇒ số cách chia là: C36 C24 = 120 * Số cách chọn người mà nam là: C56 = * Số cách chọn người mà có nam (và nữ) là: C64 C14 = 60 Vậy số cách chọn người mà có không nam là: + 60 = 66 35 (ĐH Giao thông vận tải 2001) Giả sử số cần tìm có dạng: A = a1a2a3a4a5a6 + Nếu a1 = chữ số lại A chữ số 0, 1, 2, 3, 5, 6, Vậy có A57 = 2520 số + Nếu a1 ≠ a1 ≠ nên có cách chọn a Vì số phải có vị trí lại a 2, a3, a4, a5, a6 Khi vị trí khác (không có chữ số 4) A64 số khác Vậy trường hợp có 6.5 A64 = 10800 số Vậy tất có: 2520 + 10800 = 13320 số 36 (ĐH Huế khối ABV 2001) • Số số tự nhiên có chữ số là: 9.10.10.10 = 9000 số • Ta tìm số số tự nhiên có chữ số lặp lại lần: + Số lặp lại lần ứng với số tự nhiên a000 với a ∈ {1,2,3, ,9} ⇒ có số + Số lặp lại lần ứng với số: Xem Thêm : wWw.ThanhBinh1.Com Tuyển tập Đại số tổ hợp 20 Trần Só Tùng * a111 với a ∈ {2,3,4, …,9} ⇒ có số * 1b11 với b ∈ {0,2,3,…, 9} ⇒ có số * 11c1 với c ∈ {0,2,3,…, 9} ⇒ có số * 111d với d ∈ {0,2,3,…, 9} ⇒ có số ⇒ có + + + = 35 số + Tương tự với số từ đến ta tìm 35 số tự nhiên cho chữ số lặp lại lần Do số số tự nhiên có chữ số lặp lại lần là: + 9.35 = 324 số • Vậy số số tự nhiên gồm chữ số mà chữ số lặp lại lần là: 9000 – 324 = 8676 số 37 (ĐH Huế khối DHT 2001) * Số cách chọn em từ 13 em là: C13 = 1287 * Số cách chọn em toàn nam là: C57 = 21 * Số cách chọn em toàn nữ là: C56 = Vậy số cách chọn em có nam nữ là: 1287 – (21 + 6) = 1260 38 (HV Kỹ thuật quân 2001) Mỗi tổ có học sinh giỏi Vì không phân biệt thứ tự tổ nên số cách chia phải tìm số cách tạo thành tổ có học sinh phải có học sinh giỏi học sinh Các học sinh lại tạo thành tổ thứ hai • Trường hợp 1: Có học sinh khá: * Có cách chọn học sinh giỏi * Có C52 = 10 cách chọn học sinh * Có C58 = 56 cách chọn học sinh trung bình ⇒ Có: 3.10.56 = 1680 cách • Trường hợp 2: Có học sinh khá: * Có cách chọn học sinh giỏi * Có C35 = 10 cách chọn học sinh * Có C84 = 70 cách chọn học sinh trung bình ⇒ Có: 3.10.70 = 2100 cách Vậy có tất cả: 1680 + 2100 = 3780 cách 39 (ĐH Kinh tế quốc dân 2001) Ta sử dụng ô sau để viết số có chữ số: Trần Só Tùng 21 Tuyển tập Đại số tổ hợp • Trường hợp 1: Số tạo thành chứa chữ số 0: Có cách chọn vị trí cho chữ số Sau cách chọn vị trí cho chữ số Số cách chọn chữ số cọn lại là: A35 ⇒ Số số thu là: 4.4 A35 = 960 số • Trường hợp 2: Số tạo thành không chứa số 0: Có cách chọn vị trí cho chữ số Số cách chọn chữ số lại là: A54 ⇒ Số số thu là: A54 = 600 số Vậy có tất cả: 960 + 600 = 1560 số 40 (HV Ngân hàng TPHCM khối A 2001) Có cách chọn chữ số hàng trăm, cách chọn chữ số hàng chục, cách chọn chữ số hàng đơn vị Vậy có 9.9.8 = 648 số • Trường hợp 1: Chữ số tận Bốn chữ số đứng đầu chọn tuỳ ý chữ số lại nên số số tạo thành là: A74 = 840 • Trường hợp 2: Chữ số tận khác * Chữ số tận có cách chọn (từ 2, 4, 6) * Chữ số đứng đầu có cách chọn * chữ số lại chọn tuỳ ý chữ số lại ⇒ Số số tạo thành: 3.6 A36 = 2160 Vậy có tất cả: 840 + 2160 = 3000 số 41 (ĐH Ngoại thương TPHCM khối A 2001) Số số gồm chữ số khác là: 6! = 720 Trong đó, số số có chứa 16 5! = 120 số số có chứa 61 5! = 120 Vậy số số cần tìm là: 720 – 240 = 480 số 42 (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001) Đánh số vị trí đứng từ đến Để có học sinh nam đứng xen kẽ với học sinh nữ học sinh nữ đứng cách một, tức học sinh nữ đứng vị trí (1;3;5); (2;4;6); (3;5;7); (4;6;8); (5;7;9) Xem Thêm : wWw.ThanhBinh1.Com Tuyển tập Đại số tổ hợp 22 Trần Só Tùng Có cặp vị trí học sinh nữ Cách xếp bạn nữ vào cặp vị trí 3! Cách xếp bạn nam vào vị trí lại 6! Vậy tất số cách xếp là: 5.3!.6! = 21600 cách 43 (HV Quan hệ quốc tế 2001) Ta có cách chọn vị trí cho chữ số Khi số cách xếp chữ số lại 8! Vậy tất có: 8! = 40320 số 44 (ĐH Quốc gia TPHCM 2001) Số xét có dạng: a1a2a3a4a5a6 Xếp chữ số vào vị trí từ a2 đến a6: có cách xếp Còn lại vị trí, ta chọn chữ số để xếp vào vị trí này: có A58 cách Vậy tất có: A58 = 33600 cách Số xét có dạng: a1a2a3a4a5a6a7 Chọn vị trí để xếp hai chữ số 2: có C72 cách Chọn vị trí để xếp ba chữ số 3: có C35 cách Còn vị trí, chọn chữ số tuỳ ý để xếp vào vị trí này: có 2! C82 cách Như xét số bắt đầu chữ số có: C72 C35 2! C82 = 11760 số Trong số này, cần loại bỏ số bắt đầu bới chữ số Đối với số 0a2a3a4a5a6a7 : * Chọn vị trí để xếp chữ số 2: có C62 cách * Chọn vị trí để xếp ba chữ số 3: có C34 cách * Chọn số để xếp vào vị trí lại: có cách Như loại có: C62 C34 = 420 số Vậy tất có: 11760 – 420 = 11340 số 45 (ĐHSP HN II 2001) Kí hiệu X tập hợp tất số tự nhiên gồm chữ số khác đôi lập từ chữ số 1, 3, 4, 5, 7, Xeùt x = a1a2a3a4a5 ∈ X Nếu chọn a5 = a1a2a3a4 ứng với chỉnh hợp chập phần tử 3, 4, 5, 7, ⇒ có A54 số có hàng đơn vị Tương tự có A54 số có hàng đơn vị 3; … Trần Só Tùng 23 Tuyển tập Đại số tổ hợp ⇒ Tổng tất chữ số hàng đơn vị phần tử x ∈ X là: (1 + + + + + 8) A54 = 3360 Laäp luận tương tự, tổng tất chữ số hàng chục phần tử x ∈ X là: 3360.10; … Vậy tổng tất phần tử X là: S = 3360 + 3360.10 + 3360.100 + 3360.1000 + 3360.10000 = 3360.11111 = 3732960 46 (ĐHSP TPHCM khối DTM 2001) 20 + + C20 Số tập A là: C020 + C120 + C20 = 220 Số tập khác rỗng A có số phần tử chẵn là: 20 + + C20 T = C220 + C20 20 − + C20 Ta coù: = (1 – 1)20 = C020 − C120 + C20 20 + C20 + + C20 ⇒ C020 + C20 = C120 + C320 + + C19 20 ( 20 20 + + C20 ⇒ C020 + C120 + C20 = C20 + C20 + C20 + + C20 ) 220 − C020 = 219 – 47 (ĐH Thái Nguyên khối D 2001) Xét số chẵn x = abc với chữ số khác nhau; a, b, c ∈ {1;2;3;4;5} = E Vì x chẵn nên c ∈ {2;4} ⇒ có cách chọn c 20 + + C20 ⇒ T = C220 + C20 = Với cách chọn c, có A24 cách chọn bc Vậy tất có: A24 = 24 số chẵn Xét x = abc với chữ số khác thuộc E = {1;2;3;4;5;6} * Nếu a ≥ x > 345 * Nếu a = với chỉnh hợp chập (b,c) E \ {a} ta có x = abc < 345 Loại có: A52 = 40 số b = 1hoặc 2; c ∈ E \ { a,b} * Nếu a = x = 3bc < 345 ⇔  c = 1hoặc b = 4; Loại có: 2.4 + 1.2 = 10 số Vậy có tất cả: 40 + 10 = 50 số 48 (ĐH Văn Lang 2001) Nếu học sinh phải có học sinh nữ học sinh nam có trường hợp: C10 * nam nữ: có C10 cách Xem Thêm : wWw.ThanhBinh1.Com Tuyển tập Đại số tổ hợp 24 Trần Só Tùng C10 * nam nữ: có C10 cách Vậy tất có: C10 C10 = 10800 cách Nếu học sinh phải có học sinh nữ học sinh nam có trường hợp: * nam nữ: có C110 C10 cách C10 * nam nữ: có C10 cách C10 * nam nữ: có C10 cách C110 cách * nam nữ: có C10 C10 Vậy tất có: C110 C10 + C10 = 15000 cách 49 (ĐH Y HN 2001) Ta xét trường hợp sau: Chữ số hàng đơn vị 2, 4, ⇒ có cách chọn chữ số hàng đơn vị a) Chữ số hàng trăm nhỏ 7: Khi chọn chữ số hàng đơn vị, ta cách chọn chữ số hàng trăm Sau chọn chữ số hàng đơn vị hàng trăm, ta cách chọn chữ số hàng chục ⇒ Số số thu là: 3.5.7 = 105 số b) Chữ số hàng trăm 7: Sau chọn chữ số hàng đơn vị, ta cách chọn chữ số hàng chục ⇒ Số số thu là: 3.6 = 18 số Chữ số hàng đơn vị 8: a) Chữ số hàng trăm nhỏ 7: có cách chọn chữ số hàng trăm Sau chọn chữ số hàng trăm, ta cách chọn chữ số hàng chục ⇒ Số số thu là: 6.7 = 42 số b) Chữ số hàng trăm 7: có cách chọn chữ số hàng chục ⇒ Số số thu là: số Vậy tất có: 105 + 18 + 42 + = 171 số 50 (ĐH khối D dự bị 2002) Tổng số cách chọn học sinh từ 18 em đội tuyển là: C18 = 43758 Tổng số cách phân làm hai phận rời nhau: Bộ phận I gồm cách chọn từ đội tuyển em cho khối có em chọn (số cách phải tìm) Trần Só Tùng 25 Tuyển tập Đại số tổ hợp Bộ phận II gồm cách chọn từ đội tuyển em gồm khối (lưu ý số em thuộc khối nên cách chọn mà em thuộc khối) Bộ phận II chia thành ba loại: • em chọn từ khối 12 11: có C13 cách • em chọn từ khối 12 10: có C12 cách • em chọn từ khối 11 10: có C11 cách 8 8 Vậy số cách phải tìm là: C18 – ( C13 + C12 + C11 ) = 41811 cách 51 (ĐH khối A 2003 dự bị 2) Ta coi cặp (2;3) phần tử “kép”, có phần tử 0, 1, (2; 3), 4, Số hoán vị phần tử P 5, phải loại trừ số trường hợp phần tử vị trí đầu gồm P4 trường hợp Chú ý phần tử kép, ta giao hoán nên số trường hợp nhân đôi Nên số số tự nhiên thoả mãn đề là: 2(P – P4) = 192 số 52 (ĐH khối B 2003 dự bị 1) Coi số tự nhiên gồm chữ số khác chọn từ tập số cho có dạng: a1a2a3a4a5a6 (ai ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}; ≠ aj ) cho: a1 + a2 + a3 = a4 + a5 + a6 – ⇔ a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 = 2(a4 + a5 + a6) – ⇔ 21 = + + + + + = 2(a4 + a5 + a6) – ⇔ a4 + a5 + a6 = 11 ⇒ a1 + a2 + a3 = 10 (1) Vì a1, a2 a3 ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6} nên hệ thức (1) thoả mãn khả sau: • a1, a2, a3 ∈ {1; 3; 6} • a1, a2, a3 ∈ {1; 4; 5} • a1, a2, a3 ∈ {2; 3; 5} Mỗi số a1, a2, a3 nêu tạo 3! hoán vị, hoán vị lại ghép với 3! hoán vị số a 4, a5, a6 Vì tổng cộng số số tự nhiên gồm chữ số thoả mãn yêu cầu đề là: 3.3!.3! = 108 số 53 (ĐH khối B 2003 dự bị 2) Có khả năng: • nam nữ: có C55 C17 cách • nam nữ: có C54 C72 cách • nam nữ: có C35 C37 cách Xem Theâm : wWw.ThanhBinh1.Com ... 2000) Số cách chọn nhà to? ?n học nam, nhà to? ?n học nữ, nhà vật lí nam là: C15 C13 C14 = 5.3.4 = 60 Số cách chọn nhà to? ?n học nữ, nhà vật lí nam là: C13 C42 = 18 Số cách chọn nhà to? ?n học nữ, nhà vật... chữ số ba chữ số khác đôi (ĐH Y HN 2000) Có nhà to? ?n học nam, nhà to? ?n học nữ nhà vật lí nam Lập đoàn công tác người cần có nam nữ, cần có nhà to? ?n học nhà vật lí Hỏi có cách? (ĐH Cần Thơ khối... tất số (CĐBC Hoa Sen khối D 2006) Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp Cho đường thẳng d1, d2 song song với Trên đường thẳng d cho 10 điểm phân biệt, đường thẳng d cho điểm phân biệt Hỏi lập tam