Phân phối giá trị cho các siêu mặt trong pn(cp)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Vũ Đức Phú PHÂN PHỐI GIÁ TRỊ CHO CÁC SIÊU MẶT TRONG  n ( p ) LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Vũ Đức Phú PHÂN PHỐI GIÁ TRỊ CHO CÁC SIÊU MẶT TRONG  n ( p ) Chun ngành: Hình học Tơpơ Mã số: 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN TRỌNG HỊA Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 i LỜI CAM ĐOAN Tơi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi sở cơng trình Hà Huy Khối Vũ Hồi An Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực xác Thành phố Hồ Chí Minh tháng năm 2012 Vũ Đức Phú ii LỜI CẢM ƠN Tơi vơ biết ơn Tiến sĩ NGUYỄN TRỌNG HỊA định hướng tơi nghiên cứu phân phối giá trị siêu mặt  n ( p ) , vấn đề quan tâm ứng dụng nhiều lĩnh vực Tốn học; thầy người trực tiếp hướng dẫn tơi thực luận văn Tơi xin gửi lời tri ân đến thầy giáo khoa Tốn-Tin hướng dẫn tơi nghiên cứu Tốn học năm học trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh; Tơi xin gửi lời tri ân đến gia đình bạn bè hiểu, chia sẻ động viên tơi q trình tơi thực đề tài Vũ Đức Phú iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN .ii MỞ ĐẦU Những ký hiệu dùng luận văn Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Trường số phức p-adic 1.1.1 Trường định chuẩn khơng Acsimet 1.1.2 Trường số phức p-adic 1.2 Hàm chỉnh hình hàm phân hình trường số phức p-adic 14 1.2.1 Hàm phân hình Hàm chỉnh hình 14 1.2.2 Các hàm đặc trưng Nevanlinna hàm chỉnh hình 20 1.2.3 Các hàm đặc trưng Nevanlinna hàm phân hình 22 1.2.4 Hai định lý Nevanlinna trường p-adic 25 1.3 Độ cao hàm chỉnh hình  n ( p ) 28 1.3.1 Độ cao hàm chỉnh hình biến  p 28 1.3.2 Độ cao hàm chỉnh hình nhiều biến  mp 29 1.3.3 Độ cao ánh xạ chỉnh hình nhiều biến  n ( p ) 32 1.3.4 Đường cong chỉnh hình 34 1.4 Các siêu mặt p-adic 34 Kết luận chương 36 Chương Phân phối giá trị siêu mặt  n ( p ) 37 iv 2.1 Cơng thức Poisson-Jensen hàm nhiều biến trường p-adic 37 Định nghĩa 2.1.1 37 Bổ đề 2.1.2 38 Bổ đề 2.1.3 40 Hệ 2.1.4 41 Ký hiệu 2.1.5 42 Định lý 2.1.6 44 Định nghĩa 2.1.7 46 Định lý 2.1.8 (Cơng thức Poisson-Jensen p-adic theo nhiều biến) 47 2.2 Phân phối giá trị siêu mặt p-adic 55 Ký hiệu 2.2.1 55 Định lý 2.2.2 (định lý thứ nhất) 56 Định lý 2.2.3 (định lý thứ hai) 57 Định nghĩa 2.2.4 59 Định lý 2.2.5 (mối quan hệ số khuyết) 60 Định lý 2.2.6 61 Ví dụ 2.2.7 61 Kết luận chương 62 KẾT LUẬN 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO 65 MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Lý thuyết phân bố giá trị Nevanlinna xây dựng thành tựu tốn học đẹp đẽ kỷ XX mà ngày gọi Lý thuyết phân bố giá trị mặt phẳng phức Lý thuyết Nevanlinna Nội dung Lý thuyết phân bố giá trị hai định lý Định lý thứ mở rộng Định lý đại số, mơ tả phân bố giá trị hàm phân hình khác mặt phẳng phức Định lý thứ hai mở rộng Định lý Picard, mơ tả ảnh hưởng đạo hàm đến phân bố giá trị hàm phân hình Lý thuyết Nevanlinna p-adic chiều xây dựng Hà Huy Khối, Mỵ Vinh Quang phát triển W Cherry, A Boutabaa, P Hu, C.C Yang,… Nhu cầu xây dựng lý thuyết Nevanlinna nhiều chiều xuất phát từ xem xét định lý Nevanlinna trường hợp nhiều biến Năm 1991, Hà Huy Khối xây dựng khái niệm độ cao điểm tới hạn hàm chỉnh hình p-adic nhiều biến sở liên hệ lý thuyết hàm khơng Acsimet với hình học tổ hợp, ý tưởng hình học chưa chứng minh chi tiết Ý tưởng dùng khái niệm điểm tới hạn để nghiên cứu khơng điểm hàm chỉnh hình p-adic nhiều biến nhát cắt xác định họ siêu phẳng để chuyển việc nghiên cứu hàm chỉnh hình p-adic nhiểu biến nghiên cứu họ hàm chỉnh hình p-adic biến tương ứng cảm sinh từ hàm cho Trong [8], Hà Huy Khối đưa phiên padic cơng thức Poisson-Jensen cho hàm nhiều biến Trong [2] Cherry Ye xét hàm phân hình nhiều biến hạn chế đường thẳng chung qua gốc tọa độ, chứng minh hàm đếm cho hàm biến khơng phụ thuộc vào việc chọn đường thẳng qua gốc tọa độ Đây chìa khóa để Cherry-Ye xây dựng Định lý Quan hệ số khuyết ánh xạ chỉnh hình p-adic họ siêu phẳng vị trí tổng qt khơng gian xạ ảnh  n ( p ) Họ dùng nhận xét để định nghĩa hàm đếm định lý hàm biến, dẫn đến cơng thức PoissonJensen cho hàm nhiều biến Cơng thức họ đưa mối quan hệ modun hàm biên hình cầu khơng tập hình cầu, cơng thức [7] liên quan đến khơng tập biên hình hộp Đó kết quan trọng lý thuyết phân phối giá trị p-adic nhiều biến Tiếp tục hướng nghiên cứu Hà Huy Khối Cherry, cách sử dụng ý tưởng [7] số lập luận [2], [8], [10], Vũ Hồi An đưa phiên p-adic cơng thức Poisson-Jensen cho hàm nhiều biến Cơng thức Vũ Hồi An cho phép tính tốn modun hàm biên hình hộp cách sử dụng thơng tin khơng tập Cơng thức cho phép đưa số kết phân phối giá trị cho trường hợp siêu mặt Chú ý rằng, báo ([10]) Min Ru thu kết tương tự, trường hợp đường cong chỉnh hình Việc nghiên cứu phân phối giá trị cho siêu mặt p-adic vấn đề nhiều nhà tốn học giới quan tâm Vì vậy, chúng tơi chọn việc nghiên cứu Phân phối giá trị cho siêu mặt  n ( p ) làm đề tài sở kết Hà Huy Khối Vũ Hồi An ([9]) MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI Nghiên cứu Phân phối giá trị cho siêu mặt p-adic ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU 3 - Cơng thức Poisson-Jensen hàm nhiều biến trường padic - Định lý phân phối giá trị siêu mặt p-adic - Cụ thể hóa kết số trường hợp đặc biệt PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Tổng hợp hồn thiện kết có từ báo, tài liệu khoa học có liên quan đế vấn đề cần nghiên cứu Đưa ví dụ minh họa cho kết trình bày Sử dụng phương pháp Nevanlinna p-adic CẤU TRÚC LUẬN VĂN Chương I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trường số phức p-adic Hàm chỉnh hình hàm phân hình trường số phức padic Độ cao hàm chỉnh hình  n ( p ) Các siêu mặt p-adic Chương 2: PHÂN PHỐI GIÁ TRỊ TRÊN CÁC SIÊU MẶT TRONG  n ( p ) Cơng thức Poisson-Jensen hàm nhiều biến trường padic Phân phối giá trị siêu mặt p-adic 4 Những ký hiệu dùng luận văn ∞   n n a z a ∈ K ,lim a r = • r ( K ) =  f ( z) =  : vành hàm chỉnh ∑ n n n n =0   hình K [0; r ] , ∞   f ( z ) an z n an ∈ K , bán kính hội tụ ρ ≥ r  : = • ( r ( K ) =  ∑ n =0   hàm chỉnh hình K (0; r ) , vành •  ( K ) = ( ∞ ( K ) : vành hàm ngun K , •  p : trường số phức p-adic, •  mp : khơng gian vectơ phức p-adic m-chiều, rm ) K (0; r1 ) ×  × K (0; rm ) , • D(r1 , ,= rm K 0; r1 ×  × K 0; rm , • D r1 , ,= m = K (0;1) ×  × K (0;1) : đa đĩa đơn vị  mp , • D • δ f (a ) = liminf m ( r , f 1−a ) r →∞ T (r , f ) = − limsup N ( r , f 1−a ) r →∞ T (r , f ) : số khuyết f a ,  N ( X , t , , tm )  •= δ f ( X ) lim inf 1 − f +  : số khuyết f siêu T →−∞ ( , , ) dH t t f m   mặt X , = max aγ r γ : Chuẩn hàm chỉnh hình f ( z1 , , zm ) , • f •  ∞ a fˆ : xác định fˆ ( z ) = ∑ γ z γ , γ =0 a y • fi ,k ( zi ) : xác định f ( z1 , , zm ) = ∑ fi ,k ( zi )zik , ( r1 , ,rm ) 0≤ γ ≤∞ ∞ k =0 • fi ,u ( z )= ∞ ∑f k =0 i ,k ui )zik , z= zi ∈ D(0; ri ) , ( • H ( D) : tập hàm giải tích tồn cục D, • Hol ( D ) : tập hàm giải tích địa phương D , • ( D) : tập hàm giải tích (tại điểm) D , = • H f (t ) {v(an ) + nt} : độ cao hàm chỉnh hình f ( z ) , 0≤ n 0} , η* = Trước hết, ta nhắc lại số khái niệm trường định chuẩn khơng Acsimet cách xây dựng trường số phức p-adic 1.1.1 Trường định chuẩn khơng Acsimet Giả sử K trường, chuẩn (giá trị tuyệt đối) K hàm | |: K →  + thỏa mãn: i) x = ⇔ x = 0, = x y , ∀x, y ∈ K , ii) xy iii) x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ K Nếu thay (iii) điều kiện mạnh iv) x + y ≤ max { x , y } , ∀x, y ∈ K ta chuẩn khơng Acsimet K Chuẩn thỏa mãn điều kiện (i), (ii), (iii) gọi chuẩn Acsimet Ví dụ Chuẩn tầm thường K xác định 1 x = 0 Chuẩn | | gọi trù mật tồn tại= K x≠0 x = { x | x ∈ K } tập trù mật + Một chuẩn | | K cảm sinh hàm khoảng cách (metric) d định nghĩa d ( x, y ) =| x − y |, ∀x, y ∈ K Metric ứng với chuẩn khơng Acsimet gọi siêu metric Giả sử K trường, xác định metric d cảm sinh chuẩn khơng Acsimet Ta định nghĩa đĩa mở, đĩa đóng đường tròn K K ( x; r ) = { y ∈ K | d ( x, y ) < r}, K [ x; r ] = { y ∈ K | d ( x, y ) ≤ r}, K x; r = { y ∈ K | d ( x, y ) = r} Tơpơ sinh họ đĩa mở K ( x; r ) gọi tơpơ khơng Acsimet K 1.1.2 Trường số phức p-adic Một ví dụ cho trường khơng Acsimet trường số phức p-adic Trong phần chúng tơi nhắc lại cách xây dựng trường số phức p-adic  p với p số ngun tố 10 Cho p số ngun tố, đó, số ngun a ≠ biểu diễn dạng: a = p v a′ , với p khơng chia hết a′ ∈  \ {0} đó, v ∈  cho a p Đặt v = v p (a ) Khi đó, ta có hàm: v p :  \ {0} →  a  v p (a ) Mở rộng hàm v với x= a ∈  sau Đặt b v (a) − v p (b), vp ( x) =  p +∞, x ≠ x = Khi đó, v p ( x ) hàm  Do vậy, định nghĩa chuẩn p-adic, ký hiệu | | p ,  sau:  p − vp ( x ) , xp = 0, x ≠ x = Hai chuẩn K gọi tương đương chúng cảm sinh tơpơ K Mệnh đề 1.1.2.1 (Ostrowski) Mọi chuẩn khơng tầm thường  tương đương với chuẩn | | p với p số ngun tố hay p = ∞ (Ở chuẩn | |∞ giá trị tuyệt đối thơng thường) 11 Từ định lý này, chuẩn Acsimet khơng Acsimet trường số gọi ngun tố (hữu hạn vơ hạn) Từ với x ∈ * , ta có cơng thức: ∏x p ≤∞ p =1 thỏa mãn, p ≤ ∞ nghĩa ta lấy tích tất số ngun tố  , bao gồm “số ngun tố vơ cực” Đầy đủ hóa  tạo tơpơ cảm sinh từ | | p trường, ký hiệu  p , chuẩn | | p  mở rộng thành chuẩn khơng Acsimet  p , ký hiệu | | p thỏa: i) Tồn phép nhúng  ⊂→  p chuẩn cảm sinh | | p  qua phép nhúng p-adic Từ sau, ta đồng  với ảnh qua phép nhúng  p ii)  trù mật  p iii)  p đầy đủ Trường  p thỏa (i), (ii), (iii) sai khác đẳng cấu bảo tồn chuẩn gọi trường số p-adic  p có tính chất sau: iv) Với x ∈ p* , tồn số ngun v p ( x) cho x p = p −vp ( x) , tức giá trị p-adic v p  mở rộng lên  p Nói cách khác, tập tất giá trị   p qua | | p trùng tập { p n | n ∈ } ∪ {0} 12 Từ (iv) dễ thấy  r ( x; r )  p  x;  , x ∈  p , r ∈  +  p=  p Như vành =  p =  p (0; p ) p [0;1] vừa mở vừa đóng gọi vành số ngun p-adic, ký hiệu  p Ta chứng minh khơng gian  p hồn tồn khơng liên thơng (tức thành phần liên thơng điểm tập chứa điểm nó), khơng gian tơpơ Hausdorff Bây xét mở rộng chuẩn tắc  p ⊂ K nhóm Galois G ( K  p ) Đặt: NK p : K →  p α  N K  (α ) = p ∏ σ (α ), σ ∈G ( K  p ) với σ tự đẳng cấu K giữ ngun phần tử  p Chú ý bậc mở rộng trường [ K :  p ] = n N K  p (α )= α n , ∀α ∈  p Ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 1.1.2.2 Giả sử K  p mở rộng chuẩn tắc bậc n Khi tồn chuẩn khơng Acsimet | |K K mở rộng chuẩn p-adic xác định sau: xK = n N K  p ( x) , p 13 trường K đầy đủ với chuẩn | |K Chuẩn khơng Acsimet K mệnh đề gọi chuẩn (giá trị tuyệt đối) p-adic K ta ký hiệu | | p Đặt  p trường đóng đại số  p Trên  p ta trang bị chuẩn khơng Acsimet sau: Với x ∈  p , tồn mở rộng chuẩn tắc bậc n cho x ∈ K , đặt x= n N K  p ( x) p Ta có chuẩn x khơng phụ thuộc vào tồn K chuẩn khơng Acsimet  p Ta gọi chuẩn chuẩn p-adic ký hiệu | | p Tuy nhiên,  p khơng đầy đủ theo chuẩn | | p Đầy đủ hóa  p ứng với tơpơ sinh | | p trường ký hiệu  p , gọi trường số phức p-adic Chuẩn | | p  p mở rộng thành chuẩn khơng Acsimet  p mà ta ký hiệu chuẩn | | p Chuẩn | | p  p thỏa: i) Tồn phép nhúng  p ⊂→  p chuẩn sinh | | p  p qua phép nhúng p-adic Từ sau, ta đồng  p với ảnh qua phép nhúng  p ii)  p trù mật  p 14 iii)  p đầy đủ Trường  p thỏa (i), (ii) (iii) sai khác đẳng cấu bảo tồn chuẩn có tính chất sau: iv) Với x ∈  p* , tồn số hữu tỉ v p ( x) cho x p = p −vp ( x) , tức giá trị p-adic v p  p mở rộng lên  p Và ảnh  p* qua v p  v)  p đóng đại số khơng compắc địa phương 1.2 Hàm chỉnh hình hàm phân hình trường số phức p-adic Chi tiết hàm chỉnh hình hàm phân hình trường số phức p-adic tham khảo [5] Ta xây dựng khái niệm hàm phân hình hàm chỉnh hình trường tổng qt K có đặc số khác 0, đóng đại số, đầy đủ với chuẩn khơng Acsimet | | khơng tầm thường 1.2.1 Hàm phân hình Hàm chỉnh hình Các khái niệm dãy, chuỗi hội tụ dãy, chuỗi giống trường định chuẩn Acsimet Tuy nhiên với chuẩn khơng Acsimet ta có số tính chất đặc biệt Mệnh đề 1.2.1.1 ∞ Chuỗi ∑a n =0 n , an ∈ K hội tụ lim an = Khi ta có: n→∞ [...]... cơ bản, cần thiết cho việc nghiên cứu phân phối giá trị cho các siêu mặt trong  n ( p ) ở chương 2, cụ thể là trường các số phức p-adic; hàm chỉnh hình và hàm phân hình trên trường các số phức p-adic; độ cao của hàm chỉnh hình trên  n ( p ) và các siêu mặt p-adic 1.1 Trường các số phức p-adic Chi tiết về trường các số phức p-adic có thể xem trong [5] Cho η là một tập con của  , trong tiểu luận này... nó qua phép nhúng trong  p ii)  trù mật trong  p iii)  p đầy đủ Trường  p thỏa (i), (ii), (iii) là duy nhất sai khác một đẳng cấu bảo toàn chuẩn và được gọi là trường các số p-adic  p còn có tính chất sau: iv) Với mỗi x ∈ p* , tồn tại một số nguyên v p ( x) sao cho x p = p −vp ( x) , tức là giá trị p-adic v p trong  được mở rộng lên  p Nói cách khác, tập tất cả các giá trị của  và  p qua... logarit Napier (log Nê-pe), • log := log p : logarit cơ số p , • M ( D) : tập các hàm phân hình toàn cục trên D , • Mer ( D ) : tập các hàm phân hình địa phương trên D , • ( D) : trường các hàm phân hình trên D , • = ( K )  = ( K (0; ∞)) : tập các hàm phân hình trên K , (∞ ( K ) • ( ρ ( K ) = ( K (0; ρ )) : trường các hàm phân hình trên K (0; ρ ) , • µ (r , f ) = max an r n : số hạng lớn nhất của... điểm kể cả bội của f − a   f − a mà giá trị tuyệt đối không vượt quá r ,  1  • n  r,  : hàm đếm số các không điểm phân biệt của f tại a trong f − a   K [0; r ] ,  1 • n(r , f ) = n  r ,  : hàm đếm số các cực điểm kể cả bội của hàm phân  f0  f hình f = 1 trên K [ 0; r ] , f0  1 • n (r , f ) = n  r ,  : hàm đếm số các cực điểm phân biệt của hàm phân  f0  f hình f = 1 trên K [ 0; r... số hữu tỉ v p ( x) sao cho x p = p −vp ( x) , tức là giá trị p-adic v p trong  p được mở rộng lên  p Và ảnh của  p* qua v p là  v)  p đóng đại số nhưng không compắc địa phương 1.2 Hàm chỉnh hình và hàm phân hình trên trường các số phức p-adic Chi tiết về hàm chỉnh hình và hàm phân hình trên trường các số phức p-adic có thể tham khảo trong [5] Ta sẽ xây dựng khái niệm hàm phân hình và hàm chỉnh... f (0,0) min k : fi ,k ( = zi ) ≡/ 0 , • ni , f (0, r1 , , rm ) : số các không điểm với giá trị tuyệt đối không vượt quá ri của hàm một biến fi ,u ( z ) , • ni , f (a, r1 , , rm ) = ni , f −a (0, r1 , , rm ) , • ni , f (a,0) = ni , f −a (0,0) , •  1  N  r,  : hàm giá trị của f tại a , f − a   •  1  N  r,  : hàm giá trị (phân biệt) của f tại a ,  f −a •  1 f N (r , f ) = N  r ,  với... sinh bởi họ các đĩa mở K ( x; r ) được gọi là tôpô không Acsimet trên K 1.1.2 Trường số phức p-adic Một ví dụ cho trường không Acsimet là trường các số phức p-adic Trong phần này chúng tôi sẽ nhắc lại cách xây dựng trường số phức p-adic  p với p là số nguyên tố 10 Cho p là số nguyên tố, khi đó, mọi số nguyên a ≠ 0 có thể biểu diễn dạng: a = p v a′ , với p không chia hết a′ ∈  \ {0} trong đó, v... p với p là số nguyên tố hay p = ∞ (Ở đây chuẩn | |∞ là giá trị tuyệt đối thông thường) 11 Từ định lý này, các chuẩn Acsimet hoặc không Acsimet trên các trường số còn được gọi là nguyên tố (hữu hạn hoặc vô hạn) Từ đó với mỗi x ∈ * , ta có công thức: ∏x p ≤∞ p =1 được thỏa mãn, trong đó p ≤ ∞ nghĩa là ta lấy tích này trên tất cả các số nguyên tố trong  , bao gồm cả “số nguyên tố ở vô cực” Đầy đủ hóa... Ak ( x)) dx : hàm giá trị của f tại a, ∑ ln p k =1 ∫ρk x • N f (a, t1 , , tm ) = • N f (t1 , , tm ) := N f (0, t1 , , tm ) , • N f ( X , t1 , , tm ) = N Q f (t1 , , tm ) , •  n ( p ) : không gian xạ ảnh phức p-adic n-chiều, •  p : đầy đủ hóa của trường các số hữu tỷ  được trang bị chuẩn padic, •  p : trường đóng đại số của  p , • R ( D) : tập các hàm hữu tỷ h không có cực điểm trong D, • T= (r... H Q f (t1 , , tm ) : độ cao của siêu mặt X : Q = 0 , • H +f ( X , t1 , , tm ) = − H f ( X , t1 , , tm ) , { } • I f (t1 , , tm ) = (γ 1 , , γ m ) ∈  m : v(aγ ) + γ t =H f (t1 , , tm ) , • K là một trường, • K ( x; r ) = { y ∈ K | d ( x, y ) < r} : đĩa mở trong K , • K [ x; r ] = { y ∈ K | d ( x, y ) ≤ r} : đĩa đóng trong K , { y ∈ K | d ( x, y ) = r} : đường tròn trong K , • K x; r = • ln = log e