Đẳng thức lượng giác

Đẳng thức lượng giác Công thức cộng trừ lượng giác Trong toán học, đẳng thức lượng giác phương trình chứa hàm lượng giác, với dải lớn giá trị biến số Xem thêm Định lý Ptolemy Các đẳng thức hữu ích cho việc rút gọn biểu Cách chứng minh nhanh công thức dùng thức chứa hàm lượng giác Ví dụ việc tính tích công thức Euler phân với hàm lượng giác: thay chúng hàm lượng giác dùng đẳng thức lượng giác để đơn giản hóa phép tính sin(x ± y) = sin(x) cos(y) ± cos(x) sin(y) cos(x ± y) = cos(x) cos(y) ∓ sin(x) sin(y) tan(x) ± tan(y) tan(x ± y) = ∓ tan(x) tan(y) ∓ tan(x) tan(y) cot(x ± y) = tan(x) ± tan(y) cıs(x + y) = cıs(x) cıs(y) cıs(x) cıs(x − y) = cıs(y) với Định nghĩa Xem thêm hàm lượng giác tan(x) = sin(x) cos(x) cot(x) = cos(x) = sin(x) tan(x) cıs(x) = eıx = cos(x) + ı sin(x) Tuần hoàn, đối xứng tịnh tiến Các đẳng thức sau dễ thấy vòng tròn đơn vị: ı= Đẳng thức sau hữu ích: a sin x + b cos x = √ a2 + b2 · sin(x + φ)    arctan b , ˆeu a ≥ 0; n´ a với φ = π + arctan b ,  5.1 ˆeu a < n´ a Công thức góc bội Bội hai Các công thức sau suy từ công thức Cũng dùng công thức de Moivre với n = Đẳng thức Pytago sin(2x) = sin(x) cos(x) Các đẳng thức sau dựa vào định lý Pytago cos(2x) = cos2 (x)−sin2 (x) := cos2 (x)−1 = 1−2 sin2 (x) tan(x) tan(2x) = − tan2 (x) sin2 (x) + cos2 (x) = cot2 (x) − cot(x) Công thức góc kép dùng để tìm ba Pytago Nếu (a, b, c) ba Pytago (a2 − b2 , 2ab, c ) tan (x) + = cos2 (x) cot(2x) = + cot2 (x) = √ −1 sin (x) Đẳng thức thứ suy từ đẳng thức đầu chia cho cos²(x) sin²(x) cos(nx) = cos((n − 1)x) cos(x) − cos((n − 2)x) BIẾN TÍCH THÀNH TỔNG 5.2 Bội ba 5.2.1 Cơ Ví dụ trường hợp n = 3: tan (x) ( ) tan x2 = √ 1−cos x ± (1+cos x)2 cos(3x) = cos3 x − cos x = cos(3x) = cos x cos(60o − x) cos(60o + x) tan(3x) = tan x tan(60o − x) tan(60o + x) ± √ (1−cos x)(1+cos x) (1+cos x)(1+cos x) = − cos(2x) + cos(2x) cos2 (x) = − cos(2x) tan2 (x) = + cos(2x) − cos(4x) sin(x) − sin(3x) sin3 (x) = cos(x) + cos(3x) cos3 (x) = cos(4x) − cos(2x) + sin4 (x) = cos(4x) + cos(2x) + cos4 (x) = sin2 (x) cos2 (x) = Công thức góc chia đôi ay x/2 cho x công thức trên, giải phương trình cho cos(x/2) sin(x/2) để thu được: (x) √ − cos(x) 2 √ (x) + cos(x) cos =± 2 Dẫn đến: =± sin x + cos x ( ) tan x2 = √ x)2 ± (1−cos (1−cos2 x) Công thức hạ bậc sin2 (x) = sin (1) Tương tự, lại nhân với mẫu số tử số phương trình (1) − cos x, đơn giản hóa: Giải phương trình công thức bội cho cos2 (x) sin2 (x), thu được: − cos x + cos x Nâng cao sin(3x) = sin x sin(60o − x) sin(60o + x) √ Nhân với mẫu số tử số + cos x, dùng định lý Pytago để đơn giản hóa: sin(3x) = sin x − sin3 x 5.2.2 sin(x/2) = =± cos(x/2) = ± √ (1−cos x)(1−cos x) (1+cos x)(1−cos x) = − cos x sin x Suy ra: tan (x) = sin(x) − cos(x) = + cos(x) sin(x) Nếu t = tan (x) , thì: Phương pháp dùng t thay hữu ích giải tích để chuyển tỷ lệ thức chứa sin(x) cos(x) thành hàm t Cách giúp tính đạo hàm biểu thức dễ dàng Biến tích thành tổng Dùng công thức tổng hiệu góc bên suy sin (x) sin (y) = − cos (x + y) − cos (x − y) cos (x + y) + cos (x − y) sin (x + y) + sin (x − y) sin (x) cos (y) = cos (x) cos (y) = 12 Tích vô hạn Biến tổng thành tích ay x (x + y) / y (x – y) / 2, suy ra: ( sin(x) + sin(y) = sin x+y ) ( cos x−y ) ) ( ) x−y x+y sin sin(x) − sin(y) = cos 2 ( ) ( ) x+y x−y cos(x) + cos(y) = cos cos 2 ( ) ( ) x+y x−y cos(x) − cos(y) = −2 sin sin 2 ( Trong ứng dụng với hàm đặc biệt, tích vô hạn sau có ích: ) ∞ ( ∏ x2 1− 2 sin x = x π n n=1 sinh x = x ∞ ( ∏ n=1 cos x = ∞ ∏ x2 1+ 2 π n ( 1− n=1 cosh x = ∞ ( ∏ 10 Hàm lượng giác ngược arcsin(x) + arccos(x) = π/2 arctan(x) + arccot(x) = π/2 { ˆeu x > π/2, n´ arctan(x) + arctan(1/x) = ´ −π/2, nˆeu x < ( ) x+y arctan(x) + arctan(y) = arctan − xy ) ( x−y arctan(x) − arctan(y) = arctan + xy √ sin(arccos(x)) = − x2 √ cos(arcsin(x)) = − x2 x sin(arctan(x)) = √ + x2 x2 π (n − 12 )2 1+ n=1 ) ) x2 π (n − 21 )2 ) (x) sin x = cos n x n=1 ∞ ∏ 13 Đẳng thức số 13.1 Cơ Richard Feynman từ nhỏ nhớ đẳng thức sau: cos 20◦ · cos 40◦ · cos 80◦ = Tuy nhiên trường hợp riêng của: k−1 ∏ cos(2j x) = j=0 sin(2k x) 2k sin(x) cos(arctan(x)) = √ + x2 Đẳng thức số sau chưa tổng quát hóa với biến số: x tan(arcsin(x)) = √ − x2 √ − x2 tan(arccos(x)) = x cos 24◦ + cos 48◦ + cos 96◦ + cos 168◦ = Đẳng thức sau cho thấy đặc điểm số 21: cos 11 Dạng số phức cos(x) = eix + e−ix sin(x) = eix − e−ix 2i với i2 = −1 ( 2π ) 21 ( + cos · 2π 21 ) ( + cos · 2π 21 ) ( ) ( ) ( ) 2π 2π 2π + cos · + cos · + cos 10 · = 21 21 21 Một cách tính pi sựa vào đẳng thức số sau, John Machin tìm thấy: π 1 = arctan − arctan 239 13 ĐẲNG THỨC SỐ hay dùng công thức Euler: √ π • tan( 120 )= π = arctan + arctan 79 sin (π) sin (π) sin (π) sin (π) sin 0◦ = = cos 90◦ = sin 30◦ = 1/2 = cos 60◦ = sin 45◦ = √ 2/2 = cos 45◦ -( ) = cos π4 = sin 60◦ = √ 3/2 = cos 30◦ = cos = sin 90◦ = = cos 0◦ = √ √ ∞ π 7∑ (3j + 1)! − sin = 189 j=0 189j j! (2j + 2)! π 1∑ (3j)! = 18 j=0 27j j! (2j + 1)! √ 5+1 = cos 36 = = ϕ/2 cos √ (π) 5−1 φ−1 sin = sin 18◦ = = = 10 2φ 13.2 16 ( ( π• ) π4 = cot−1 (2) + cot−1 (3) • π = cot−1 (2) + cot−1 (5) + cot−1 (8) • π = cot−1 (3) + cot−1 (7) • π = cot−1 (4) + cot−1 ( 99 ) • π = cot−1 (5) − cot−1 (239) • = cot−1 (5) − cot−1 (70) + cot−1 (99) π4 = −1 cot−1 (6) − cot−1 ( 503 (117) 16 ) − cot • π −1 = cot−1 (7) + cot−1 ( 79 (8) + ) = cot −1 99 −1 cot ( ) − cot (268) • = cot−1 (10)−cot−1 (239)−4 cot−1 (515) π4 = −1 (1393) cot−1 (10) − cot−1 ( 452761 2543 ) − cot • = cot−1 (10) − cot−1 (100) − cot−1 (515) − ) π4 = 12 cot−1 (18) + cot−1 ( 371498882 3583 −1 −1 cot (70) + cot (99) + cot−1 (307) - - Dùng tỷ lệ vàng φ: (π) 2−(2+ 3)(5+ 5) cos ∞ sin 2(2− 3)(3− 5)+ √ √ √ √ √ • − + 2( 2(5 + 5) + = √√ √ √ √ √ ( )√ + + 2( 6(5 + 5) + = cos π2 − 15) + √ ( ) − 1)) = cos π3 π cos( 240 ) = 8+ - Một số đẳng thức khác: sin √ √ √ √ √ √ √ 2(2−√ 3)(3−√ 5)−√ 2(2+ √3)(5+ √5) 8− ◦ - - Nâng cao - π sin( π ) + • − sin2 ( 2π ) sin( 3π ) sin2 ( π 7) + sin( 2π ) sin −2 ( 3π ) √ =2 - π • sin2 ( π 7) sin4 ( 2π ) • sin2 ( π sin( π ) sin( 3π ) sin2 ( 3π ) sin( 2π ) 7) ( sin( 2π7 ) − sin −( 7π ) ) + sin4 ( π7 ) ( sin( 3π7 ) + sin4 ( 2π ) 7 7 π sin( 3π 4−sin( 2π sin2 ( 2π ) ) sin( ) ) ( + ) = 280 π ) − 3π 2π 3π sin −( ) sin ( ) sin( ) sin( ) + sin2 ( 3π ) sin4 ( π 7) + sin2 ( 2π ) sin −4 ( 3π ) = 28 - - π π √√ √ √ √ √ √ √ 17(17− 17) 17− 17 • (2(2 = − − 34π+ 17 +−13 17 + 17+−1 2 • = 12 cot (18) + cot (99) + cot−1 (239) + √ √ √ 34 − 17 + 17 + 15)) cot−1 (307) π cos( 17 ) √ 14 Giải tích arctan z Các công thức giải tích sau dùng góc đo radian sin(x) = 1, x→0 x arccsc z = z − z3 + ∑∞ = n=0 z5 z7 + −n 72n+1 (−1) z 2n+1 ··· ( ) = arcsin z −1 ( ) −3 ( ) z−5 ( 1·3·5 ) z−7 = z −1 + 21 z +( 1·3 2·4 )+ 2·4·6 + ··· ∑∞ (2n)! z −(2n+1) = n=0 22n (n!)2 2n+1 lim arcsec z − cos(x) = 0, x→0 x d sin(x) = cos(x) dx arccot z Các đẳng thức sau suy từ quy tắc đạo hàm: lim = = π − (z −1 + π = − ∑3∞ n=0 z −(2n+1) (2n+1) (2n)! 22n (n!)2 π z 3− arctan π z z5 z7 + ···) − (z − + −n 72n+1 ∑∞ (−1) z π − n=0 2n+1 = = = d tan(x) = sec2 (x) dx d cot(x) = − csc2 (x) dx d sec(x) = sec(x) tan(x) dx d csc(x) = − csc(x) cot(x) dx d arcsin(x) = √ dx − x2 d arctan(x) = dx + x2 Các biểu thức tính tích phân tìm danh sách tích phân với hàm lượng giác danh sách tích phân với hàm lượng giác ngược ∫ x arcsin (x) = ∫ |x| < 1 √ dz, − z2 |x| < 1 x ∫ x arctan (x) = ∫ dz, + z2 ∞ arccot (x) = x ∫ arcsec (x) = x ∫ |z| < x dz, z2 + ∀x ∈ R z>0 √ dz, |z| z − ∞ arccsc (x) = Hàm lượng giác nghịch đảo √ dz, − z2 arccos (x) = x>1 −1 √ dz, |z| z − x>1 Công thức cho phép mở rộng hàm lượng giác nghịch đảo cho biến phức: Các hàm lượng giác tuần hoàn, để tìm hàm nghịch đảo, cần giới hạn miền hàm Dươi ( ( )) √ định nghĩa hàm lượng giác nghịch đảo: arcsin(z) = −i log i z + − z Các hàm nghịch đảo ký hiệu sin−1 hay ( ) √ cos−1 thay cho arcsin arccos Việc dùng ký hiệu mũ arccos(z) = −i log z + z − gây nhầm lẫn với hàm mũ hàm lượng giác ( ) i − iz Các hàm lượng giác nghịch đảo định arctan(z) = log nghĩa chuỗi vô hạn: + iz arcsin z = z+ ( ) z3 = arccos z = = = ( ) z5 ( 1·3·5 ) z7 + (1·3 +) 2·4·6 + ··· ∑∞ 2·4 (2n)! z 2n+1 n=0 π − (z 22n (n!)2 16|z| ( ) arccos z −1 ( 1·3 ) z−5 ( 1·3·5 ) z−7 + ( 2·4 )+ 2·4·6 + · · · ) ( ) z−3 Chúng định nghĩa thông qua biểu thức sau, dựa vào tính chất chúng đạo hàm hàm khác d cos(x) = − sin(x) dx 15 |z| < Xem thêm Đẳng thức lượng giác Xem thêm Danh sách tích phân với hàm lượng + · · · giác, ) |z| < 1sách tích phân với hàm lượng giác Danh ngược 18 THAM KHẢO sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y sin (x − y) = sin x cos y − cos x sin y cos (x + y) = cos x cos y − sin x sin y cos (x − y) = cos x cos y + sin x sin y ( ) ( ) x+y x−y sin x + sin y = sin cos 2 ( ) ( ) x+y x−y sin x − sin y = cos sin 2 ( ) ( ) x+y x−y cos x + cos y = cos cos 2 ( ) ( ) x+y x−y cos x − cos y = −2 sin sin 2 tan x + tan y = sin (x + y) cos x cos y tan x − tan y = sin (x − y) cos x cos y cot x + cot y = sin (x + y) sin x sin y cot x − cot y = − sin (x − y) sin x sin y 17 Xem thêm • Lượng giác • Hàm lượng giác 18 Tham khảo 19 19.1 Nguồn, người đóng góp, giấy phép cho văn hình ảnh Văn • Đẳng thức lượng giác Nguồn: https://vi.wikipedia.org/wiki/%C4%90%E1%BA%B3ng_th%E1%BB%A9c_l%C6%B0%E1%BB%A3ng_gi% C3%A1c?oldid=23716890 Người đóng góp: Trung, YurikBot, DHN-bot, Ctmt, Whynot, Escarbot, ijs!bot, TXiKiBoT, AlleborgoBot, SieBot, Dieu2005, TVT-bot, PipepBot, Supremecommander, Alexbot, MelancholieBot, Luckas-bot, Eternal Dragon, Xqbot, Prenn, KamikazeBot, Bongdentoiac, MastiBot, Tnt1984, Saxi753, EmausBot, Motkiepvuvo, ZéroBot, Calmsea~viwiki, Middle-germany, RedBot, Brother rain 1024, Cheers!-bot, Liverpoolmylove, Demon Witch, AlphamaBot, AlphamaBot2, Addbot, OctraBot, Gaconnhanhnhen, Boehm, Sonphu, Huypro2831997, Tuanminh01, AlphamaBot3, 1stpangu 81 người vô danh 19.2 Hình ảnh • Tập_tin:Question_book-new.svg Nguồn: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/99/Question_book-new.svg Giấy phép: CC-BY-SA-3.0 Người đóng góp: Chuyển từ en.wikipedia sang Commons en.wikipedia to Commons Created from scratch in Adobe Illustrator Based on Image:Question book.png created by User:Equazcion Nghệ sĩ đầu tiên: Tkgd2007 19.3 Giấy phép nội dung • Creative Commons Aribution-Share Alike 3.0