Đẳng thức lượng giácTrong toán học, các đẳng thức lượng giác là các phương trìnhchứa cáchàm lượng giác, đúng với một dải lớn các giá trị của biến số.. Cácđẳng thứcnày hữu ích cho việc rú
Trang 1Đẳng thức lượng giác
Trong toán học, các đẳng thức lượng giác là các
phương trìnhchứa cáchàm lượng giác, đúng với một
dải lớn các giá trị của biến số
Cácđẳng thứcnày hữu ích cho việc rút gọn các biểu
thức chứa hàm lượng giác Ví dụ trong việctính tích
phânvới các hàm không phải là lượng giác: có thể thay
chúng bằng các hàm lượng giác và dùng các đẳng thức
lượng giác để đơn giản hóa phép tính
Xem thêm các hàm lượng giác
tan(x) = sin(x)
cos(x) cot(x) =
cos(x) sin(x) =
1
tan(x)
2 Tuần hoàn, đối xứng và tịnh tiến
Các đẳng thức sau có thể dễ thấy trênvòng tròn đơn
vị:
Đẳng thức sau cũng đôi khi hữu ích: a sin x + b cos x =
√
a2+ b2· sin(x + φ)
với φ =
arctan b
a , n´ˆeu a ≥ 0;
π +arctanb
a , n´ˆeu a < 0.
Các đẳng thức sau dựa vàođịnh lý Pytago
sin2(x) +cos2(x) = 1
tan2(x) + 1 = 1
cos2(x)
1 +cot2
(x) = 1
sin2(x)
Đẳng thức thứ 2 và 3 có thể suy ra từ đẳng thức đầu bởi
chia nó cho cos²(x) và sin²(x).
4 Công thức cộng trừ lượng giác
Xem thêm Định lý Ptolemy
Cách chứng minh nhanh các công thức này là dùng
công thức Euler
sin(x ± y) = sin(x) cos(y) ± cos(x) sin(y)
cos(x ± y) = cos(x) cos(y) ∓ sin(x) sin(y)
tan(x ± y) = tan(x) ± tan(y)
1∓ tan(x) tan(y) cot(x ± y) = 1∓ tan(x) tan(y)
tan(x) ± tan(y)
cıs(x + y) = cıs(x) cıs(y) cıs(x − y) = cıs(x) cıs(y)
với
cıs(x) = e ıx=cos(x) + ı sin(x)
và
ı = √
−1.
5 Công thức góc bội
5.1 Bội hai
Các công thức sau có thể suy ra từ các công thức trên Cũng có thể dùngcông thức de Moivrevới n = 2.
sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) cos(2x) = cos2(x) −sin2
(x) := 2cos2(x) −1 = 1−2 sin2
(x) tan(2x) = 2tan(x)
1− tan2(x) cot(2x) =cot
2(x) − 1
2cot(x)
Công thức góc kép có thể dùng để tìmbộ ba Pytago
Nếu (a, b, c) là bộ ba Pytago thì (a2− b2, 2ab, c2) cũng vậy
cos(nx) = 2 cos((n − 1)x) cos(x) − cos((n − 2)x)
1
Trang 25.2 Bội ba
5.2.1 Cơ bản
Ví dụ của trường hợp n = 3:
sin(3x) = 3 sin x − 4 sin3
x
cos(3x) = 4 cos3x − 3 cos x
5.2.2 Nâng cao
sin(3x) = 4 sin x sin(60 o − x) sin(60 o + x)
cos(3x) = 4 cos x cos(60 o − x) cos(60 o + x)
tan(3x) = tan x tan(60 o − x) tan(60 o + x)
Giải các phương trình ở công thức bội cho cos2(x) và
sin2(x), thu được:
sin2(x) = 1− cos(2x)
2
cos2(x) = 1 +cos(2x)
2 tan2(x) = 1− cos(2x)
1 +cos(2x)
sin2(x)cos2(x) = 1− cos(4x)
8 sin3
(x) = 3sin(x) − sin(3x)
4 cos3(x) = 3cos(x) + cos(3x)
4 sin4(x) = 1cos(4x) − 4 cos(2x) + 3
8 cos4(x) = 1cos(4x) + 4 cos(2x) + 3
8
7 Công thức góc chia đôi
ay x/2 cho x trong công thức trên, rồi giải phương
trình cho cos(x/2) và sin(x/2) để thu được:
sin(x
2
)
=±
√
1− cos(x)
2
cos(x
2
)
=±
√
1 +cos(x)
2 Dẫn đến:
tan(x 2
)
= sin(x/2) cos(x/2) =±
√
1− cos x
1 +cos x . (1) Nhân với mẫu số và tử số 1 + cos x, rồi dùng định lý
Pytago để đơn giản hóa:
tan(x
2
)
= ±√(1−cos x)(1+cos x)
(1+cos x)(1+cos x) =
±√ 1−cos2x
(1+cos x) 2
= sin x
1 +cos x .
Tương tự, lại nhân với mẫu số và tử số của phương trình
(1) bởi 1 − cos x, rồi đơn giản hóa:
tan(x
2
)
= ±√(1−cos x)(1−cos x)
(1+cos x)(1−cos x) =
±√(1−cos x)2
(1−cos2x)
=1− cos x
sin x .
Suy ra:
tan(x 2
)
= sin(x)
1 +cos(x)=
1− cos(x)
sin(x) .
Nếu
t =tan(x
2
)
,
thì:
Phương pháp dùng t thay thế như trên hữu ích trong
giải tíchđể chuyển các tỷ lệ thức chứa sin(x) và cos(x)
thànhhàmcủa t Cách này giúp tínhđạo hàmcủa biểu thức dễ dàng
8 Biến tích thành tổng
Dùng công thức tổng và hiệu góc bên trên có thể suy ra
sin (x) sin (y) = − cos (x + y) − cos (x − y)
2
cos (x) cos (y) = cos (x + y) + cos (x − y)
2
sin (x) cos (y) = sin (x + y) + sin (x − y)
2
Trang 39 Biến tổng thành tích
ay x bằng (x + y) / 2 và y bằng (x – y) / 2, suy ra:
sin(x) + sin(y) = 2 sin
(
x + y
2
) cos
(
x − y
2 )
sin(x) − sin(y) = 2 cos
(
x + y
2
) sin
(
x − y
2 )
cos(x) + cos(y) = 2 cos
(
x + y
2
) cos
(
x − y
2 )
cos(x) − cos(y) = −2 sin
(
x + y
2
) sin
(
x − y
2 )
arcsin(x) + arccos(x) = π/2
arctan(x) + arccot(x) = π/2.
arctan(x) + arctan(1/x) =
{
π/2, n´ˆeu x > 0
−π/2, n´ˆeu x < 0 .
arctan(x) + arctan(y) = arctan
(
x + y
1− xy
)
arctan(x) − arctan(y) = arctan
(
x − y
1 + xy
)
sin(arccos(x)) =√
1− x2
cos(arcsin(x)) =√
1− x2
sin(arctan(x)) = √ x
1 + x2
cos(arctan(x)) = √ 1
1 + x2
tan(arcsin(x)) = √ x
1− x2
tan(arccos(x)) =
√
1− x2
x
cos(x) = e
ix + e −ix
2
sin(x) = e
ix − e −ix
2i
với i2=−1.
12 Tích vô hạn
Trong các ứng dụng vớihàm đặc biệt, cáctích vô hạn
sau có ích:
sin x = x
∞
∏
n=1
(
1− x2
π2n2
)
sinh x = x
∞
∏
n=1
(
1 + x
2
π2n2
)
cos x =
∞
∏
n=1
(
1− x2
π2(n −1
2)2
)
cosh x =
∞
∏
n=1
(
2
π2(n −1
2)2
)
sin x
x =
∞
∏
n=1
cos( x
2n
)
13 Đẳng thức số
13.1 Cơ bản
Richard Feynmantừ nhỏ đã nhớ đẳng thức sau:
cos 20◦ · cos 40 ◦ · cos 80 ◦= 1
8. Tuy nhiên nó là trường hợp riêng của:
k∏−1 j=0
cos(2j x) = sin(2k x)
2k sin(x) .
Đẳng thức số sau chưa được tổng quát hóa với biến số:
cos 24◦+cos 48◦+cos 96◦+cos 168◦= 1
2 Đẳng thức sau cho thấy đặc điểm của số 21:
cos(2π
21
) + cos(
2· 2π
21
) + cos(
4· 2π
21
)
+cos
(
5· 2π
21
) +cos
(
8· 2π
21
) +cos
(
10· 2π
21
)
=1
2.
Một cách tínhpicó thể sựa vào đẳng thức số sau, do
John Machintìm thấy:
π
4 = 4arctan1
5 − arctan 1
239
Trang 4hay dùngcông thức Euler:
π
4 = 5arctan1
7 + 2arctan 3
79. Một số đẳng thức khác:
sin 0 = sin 0◦ = 0 = cos 90◦ = cos(π
2
)
sin(π
6
)
= sin 30◦ = 1/2 = cos 60◦ = cos(π
3
)
sin(π
4
)
= sin 45◦ = √
2/2 = cos 45◦ = cos(π
4
)
sin(π
3
)
= sin 60◦ = √
3/2 = cos 30◦ = cos(π
6
)
sin(π
2
)
= sin 90◦ = 1 = cos 0◦ = cos 0
sinπ
7 =
√
7
6 −
√
7 189
∞
∑
j=0
(3j + 1)!
189j j! (2j + 2)!
sin π
18 =
1
6
∞
∑
j=0
(3j)!
27j j! (2j + 1)!
Dùngtỷ lệ vàngφ:
cos(π
5
)
=cos 36◦=
√
5 + 1
4 = ϕ/2
sin(π
10
)
=sin 18◦=
√
5− 1
φ − 1
1
2φ
-13.2 Nâng cao
-• − sin(π7 )
sin 2 (2π
7 )+sin(3π7 )
sin 2 (π
7 )+ sin(2π7 ) sin−2 (3π
7 ) = 2√
7
-• sin2(π
7 )
sin 4 (2π
7 )+sin2(3π7 )
sin 4 (π
7 ) + sin2(2π7 ) sin−4 (3π
7 )= 28
-• sin2(π
7 )
sin 4 (2π
7 )(4sin(π7 )
sin(2π
7 ) −2 sin(3π
7 ) sin−( π
7 )) + sin2(3π7 ) sin 4 (π
7 )(2sin(2π7 ) sin(3π
7 ) +
4 sin(3π
7 )
sin−( π
7 ))−sin 2 (2π
7 ) sin 4 (3π
7 )(2sin(π7 ) sin(2π
7 ) +4−sin( 2π
7 ) sin(3π
7 ) ) = 280
-• cos( π
17) =18√
(2(2
√√
17(17− √17)
2 −√17− √17
2 − 4√34 + 2√
17 + 3√
17 + 17+
√
34− 2 √17 +√
17 + 15))
-• tan( π
120) =
√
8− √
2(2− √3)(3− √5)− √
2(2+√
3)(5+√
5) 8+√
2(2− √3)(3− √5)+√
2−(2+ √3)(5+√
5)
-• cos( π
240) = 161(
√
2−√2 +√
2(
√ 2(5 +√
5) +
√
3 − √15) +√√
2 +√
2 + 2(
√ 6(5 +√
5) +
√
5− 1))
-• π
4 =cot−1(2) +cot−1(3)
-• π
4 =cot−1(2) +cot−1(5) +cot−1(8)
-• π
4 = 2cot−1(3) +cot−1(7)
-• π
4 = 3cot−1(4) +cot−1(995)
-• π
4 = 4cot−1(5)− cot −1(239)
-• π
4 = 4cot−1(5) − cot −1(70) + cot−1(99)π4 =
5cot−1(6)− cot −1(503
16)− cot −1(117)
-• π
4 = 5cot−1(7) + 2cot−1(793)π4 = 6cot−1(8) + cot−1(995)− 3 cot −1(268)
-• π
4 = 8cot−1(10)−cot −1(239)−4 cot −1(515)π
4 =
8cot−1(10)− 2 cot −1(452761
2543 )− cot −1(1393)
-• π
4 = 8cot−1(10)− cot −1(100)− cot −1(515)−
cot−1(3714988823583 )π4 = 12cot−1(18) +
3cot−1(70) + 5cot−1(99) + 8cot−1(307)
-• π
4 = 12cot−1(18) + 8cot−1(99) + 3cot−1(239) +
8cot−1(307)
Trang 514 Giải tích
Các công thức trong giải tíchsau dùng góc đo bằng
radian
lim
x →0
sin(x)
x = 1,
lim
x →0
1− cos(x)
x = 0,
d
dx sin(x) = cos(x)
Các đẳng thức sau có thể suy ra từ trên và các quy tắc
củađạo hàm:
d
dx cos(x) = − sin(x)
d
dx tan(x) = sec2(x)
d
dx cot(x) = − csc2(x)
d
dx sec(x) = sec(x) tan(x)
d
dx csc(x) = − csc(x) cot(x)
d
dx arcsin(x) = √ 1
1− x2
d
dx arctan(x) = 1
1 + x2
Các biểu thức về tính tích phân có thể tìm tạidanh sách
tích phân với hàm lượng giácvàdanh sách tích phân
với hàm lượng giác ngược
15 Hàm lượng giác nghịch đảo
Các hàm lượng giác tuần hoàn, do vậy để tìm hàm
nghịch đảo, cần giới hạn miền của hàm Dươi đây là
định nghĩa các hàm lượng giác nghịch đảo:
Các hàm nghịch đảo có thể được ký hiệu là sin−1hay
cos−1thay cho arcsin và arccos Việc dùng ký hiệu mũ
có thể gây nhầm lẫn vớihàm mũcủa hàm lượng giác
Các hàm lượng giác nghịch đảo cũng có thể được định
nghĩa bằng chuỗi vô hạn:
arcsin z = z +(1
2
)z3
3 +(1·3
2·4
)z5
5 +(1·3·5
2·4·6
)z7
7 +· · ·
n=0
(
(2n)!
22n (n!)2
)
z 2n+1
(2n+1)
|z| < 1
= π2 − (z +(1
2
)z3
3 +(1·3
2·4
)z5
5 +(1·3·5
2·4·6
)z7
7 +· · · )
= π2−∑∞ n=0( (2n)!
22n (n!)2
)
z 2n+1
(2n+1)
|z| < 1
arctan z = z − z3
3 +z55 − z7
7 +· · ·
n=0
(−1) n z 2n+1 2n+1
|z| < 1
z −1)
= z −1+(1
2
)z −3
3 +(1·3
2·4
)z −5
5 +(1·3·5
2·4·6
)z −7
7 +· · ·
n=0
(
(2n)!
22n (n!)2
)
z −(2n+1)
2n+1
|z| > 1
z −1)
= π2 − (z −1+(1
2
)z −3
3 +(1·3
2·4
)z −5
5 +(1·3·5
2·4·6
)z −7
7 +· · · )
22n (n!)2
)
z −(2n+1)
(2n+1)
|z| > 1
2 − arctan z
= π2− (z − z3
3 +z55 − z7
7 +· · · )
= π2 −∑∞ n=0(−1) n z 2n+1
2n+1
|z| < 1
Chúng cũng có thể được định nghĩa thông qua các biểu thức sau, dựa vào tính chất chúng là đạo hàm của các hàm khác
arcsin (x) =
∫ x
0
1
√
1− z2dz, |x| < 1
arccos (x) =
∫ 1
x
1
√
1− z2dz, |x| < 1
arctan (x) =
∫ x
0
1
1 + z2dz, ∀x ∈ R
arccot (x) =
∫ ∞
x
1
z2+ 1dz, z > 0
arcsec (x) =
∫ 1
x
1
|z| √ z2− 1 dz, x > 1
arccsc (x) =
∫ ∞
x
−1
|z| √ z2− 1 dz, x > 1
Công thức trên cho phép mở rộng hàm lượng giác nghịch đảo ra cho các biếnphức:
arcsin(z) = −i log(i
(
z +√
1− z2))
arccos(z) = −i log(z +√
z2− 1)
arctan(z) = i
2log
(
1− iz
1 + iz
)
16 Một số đẳng thức
Xem thêm Đẳng thức lượng giác Xem thêm Danh sách tích phân với hàm lượng giác , Danh sách tích phân với hàm lượng giác ngược
Trang 6sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y
sin (x − y) = sin x cos y − cos x sin y
cos (x + y) = cos x cos y − sin x sin y
cos (x − y) = cos x cos y + sin x sin y
sin x + sin y = 2 sin
(
x + y
2
) cos
(
x − y
2 )
sin x − sin y = 2 cos
(
x + y
2
) sin
(
x − y
2 )
cos x + cos y = 2 cos
(
x + y
2
) cos
(
x − y
2 )
cos x − cos y = −2 sin
(
x + y
2
) sin
(
x − y
2 )
tan x + tan y = sin (x + y)
cos x cos y
tan x − tan y = sin (x − y)
cos x cos y
cot x + cot y = sin (x + y)
sin x sin y cot x − cot y = − sin (x − y)
sin x sin y
• Lượng giác
• Hàm lượng giác
Trang 719 Nguồn, người đóng góp, và giấy phép cho văn bản và hình ảnh
19.1 Văn bản
• Đẳng thức lượng giác Nguồn:https://vi.wikipedia.org/wiki/%C4%90%E1%BA%B3ng_th%E1%BB%A9c_l%C6%B0%E1%BB%A3ng_gi% C3%A1c?oldid=23716890Người đóng góp: Trung, YurikBot, DHN-bot, Ctmt, Whynot, Escarbot, ijs!bot, TXiKiBoT, AlleborgoBot,
SieBot, Dieu2005, TVT-bot, PipepBot, Supremecommander, Alexbot, MelancholieBot, Luckas-bot, Eternal Dragon, Xqbot, Prenn, KamikazeBot, Bongdentoiac, MastiBot, Tnt1984, Saxi753, EmausBot, Motkiepvuvo, ZéroBot, Calmsea~viwiki, Middle-germany, RedBot, Brother rain 1024, Cheers!-bot, Liverpoolmylove, Demon Witch, AlphamaBot, AlphamaBot2, Addbot, OctraBot, Gaconnhanhnhen, Boehm, Sonphu, Huypro2831997, Tuanminh01, AlphamaBot3, 1stpangu và 81 người vô danh
19.2 Hình ảnh
• Tập_tin:Question_book-new.svg Nguồn:https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/99/Question_book-new.svgGiấy phép:
CC-BY-SA-3.0 Người đóng góp: Chuyển từ en.wikipedia sang Commons.en.wikipedia to Commons Created from scratch in Adobe Illustrator Based on Image:Question book.png created by User:EquazcionNghệ sĩ đầu tiên:Tkgd2007
19.3 Giấy phép nội dung
• Creative Commons Aribution-Share Alike 3.0