T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com KI U T N PH C A V H NG PHONG Tác gi :V H ng Phong GVTHPT TIÊN DU 1;B C NINH (2-8-2016) (đơy lƠ m t d ng tƠi li u: M T H NG M I T O RA PH T bƠi vi t c a tác gi : NG TRÌNH VƠ T ) DÙNG PH NG PHÁP Đ T N PH Đ GI I M T D NG PH NG TRÌNH VƠ T C BI T Toán học tuổi trẻ (thỏng n m 2015) Khi gặp ph-ơng trình cã d¹ng u.m P v.n Q w (víi u,v, w,P,Q biểu thức chứa ẩn ) mà ta nhẩm đ-ợc số e,f biểu thøc P0 , Q0 chøa Èn tho¶ m·n: u.P0 v.Q0 w (*) m n e.( P0 ) f (Q0 ) e.P f Q th× ta xử lí ph-ơng trình nh- sau: Đặt m P a ; n Q b suy a m P ; b n Q u.a v.b w Ta cã hÖ PT: m n e.a f b e.P f Q (**) Giải hệ PT(**) ta tìm đ-ợc nghiệm (a;b) Đến PT,hệ PT đà cho trở nên đơn giản ! L-u ý: từ (*) ta thấy hệ PT(**) lu«n cã nghiƯm (a,b) = ( P0 ; Q0 ) Sau l ví dụ Ví dụ 1: Giải ph-ơng trình x x2 x2 x x Ph©n tÝch: x x Ta cã: 2 ( x 1) (2 x x ) (2 x x 7) nên PT ta nhẩm đ-ợc e =f =1 vµ ( P0 ; Q0 ) = ( x 1;2) Lời giải Đặt x x2 a ; x2 x b Suy a b x2 2x (1) Tõ PT ®· cho ta cã a b x a x b (2) Thay vào (1) ta đ-ợc: ( x b) b x2 x x2 b x 2b 2bx b x2 x b b 2b 2bx x (b 2)(b 3b x) T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com b hc b 3b x (3) +Tõ (2) cã x a b thay vào PT(3) đ-ợc b 3b 2(a b 1) b b 2a (4) 23 Cã VT (4) (b ) VP (4) 2 x x2 ( x 2) Suy PT(4) v« nghiƯm Do PT(3) vơ nghi m +Với b = thay vào (2) đ-ợc a x x x x x Suy 2 x x ( x 1) 2 2 x x 2x 6x x 11 x 2 x x VËy PT ®· cho cã nghiƯm x 11 Ví dụ 2: Giải ph-ơng tr×nh x2 20 x 86 x 31 x x2 3x Phân tích: Với PT ta nhẩm đ-ợc e=1; f=3 vµ ( P0 ; Q0 ) = (2 x 2;1) 2 x x.1 3x v× 2 2 (2 x 2) 3.1 (7 x 20 x 86) 3.(31 x x ) Lêi giải Đặt a = x2 20 x 86 , b = 31 x x2 Suy a 3b 4x2 8x (1) Tõ PT ®· cho cã: a +xb = 2x + a = 3x + bx Thay vào (1) ta đ-ợc (3x bx) 3b x2 8x x2 b x2 12 x 4bx 6bx2 3b x2 8x ( x2 3)b (6 x2 x)b 5x2 x (b 1)[( x2 3)b x2 x 3] b b x x x2 +Víi b = a = 2x+2, có hệ x 20 x 86 x 31 x x x 1 3x 12 x 90 x 4 x 30 +Víi b = 2 x 2 7 x 20 x 86 (2 x 2) 31 x x x 1 x 2 34 x 34 x2 x x2 16 ( x2 x 15) x2 x 15 (2) x2 + NÕu x2 x 15 th× VT(2) < < VP(2) + NÕu x2 x 15 th× VT(2) > > VP(2) T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com + NÕu x2 x 15 th× VT(2) = = VP(2) Khi x2 x 15 th× b 31 x x a 3x x x 20 x 86 x 2 x x x 31 x x 16 x x 15 x 2 19 7 x 20 x 86 (2 x) 6( x x 15) x= 19 VËy PT ®· cho cã nghiƯm x 2 34 , x 2 19 VÝ dụ 3: Giải hệ ph-ơng trình 20 x3 11x y (1) xy y.3 x y x.(2) Phân tích: Với PT(2) ta nhẩm đ-ợc e =f =1 vµ ( P0 ; Q0 ) = ( x y;1) x y y.1 x v× 2 2 (x y) (1 xy) ( x y ) Lời giải: điều kiện xy Đặt xy a ; x2 y2 b Suy a b x2 y2 xy (3) Tõ (2) ta cã a + yb = x a x yb (4) thay vµo (3) đ-ợc ( x by) b x2 y2 xy b xy(b 1) y2 (b 1) (b 1)[b b xy y2 (b 1)] b hc b b xy y2 (b 1) (5) +Cã x2 y b nªn b b ; b xy NÕu 1 xy y (b 1) th× (v« lý) y VËy sè kh«ng ©m 1 xy vµ y (b 1) không đồng thời nên xy y2 (b 1) ®ã VT (5) Suy PT(5) v« nghiƯm +Víi b = thay vào (4) đ-ợc a x y x y xy x y Suy 1 xy ( x y) 2 x2 y x y 1 x y (*) x y kÕt hỵp hƯ PT(*) víi PT(1) ta cã hÖ: x y x y 3 20 x 11x y 20 x 11x 4(1 x ) x2 y y x2 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com x y x y 20 x x 11x (2 x 1) (5 x 4) y x2 y x2 x y x y 1 (I) hc x (II) x y y 25 4 3 1 Gi¶i hƯ PT (I) (II) ta đ-ợc nghiệm (x;y) là: ( ; ) ; ( ; ) vµ ( ; ) 2 5 5 4 3 1 VËy hƯ PT ®· cho cã nghiƯm (x;y) lµ : ( ; ) ; ( ; ) vµ ( ; ) 2 5 5 tập Giải ph-ơng trình a) 12 x2 12 x x3 x 3 x2 x.3 x2 x 2 c) b) 3x2 5x x ( x 1) x2 x d) x2 48x 27 x x2 24 x 67 x Giải hệ ph-ơng trình 65 3 x y a) x y y xy x 3 3 3x y x y 35 b) 2 x y x xy y 8 xy x c) x2 y 2 2 x y x Sau đơy lƠ ph n b xung thêm thí d d ng nƠy: D ng :đ t n ph khơng hồn tồn ki uV H ng Phong M t s thí d c a d ng nƠy tác gi nêu d b xung Thí d Gi i ph ph n đ t n ph ng trình x 3x x x4 x3 x H ng d n ph n Sau đơy lƠ thí T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com x4 3x3 x2 x4 x3 x D th y x=1 lƠ nghi m c a ph ng trình Xét x t x4 3x3 x2 a 0; x4 x3 b Suy m i liên h : a b x3 x2 ( x 1)(2 x2 x 1)(*) Pt cho tr thƠnh: a b x 1(**) (a b)(a b) ( x 1)(2 x2 x 1) Gi i (*) vƠ (**) suy ra: a b x a x2 x a b x2 x a b x b x x2 x 1 x x x x4 3x3 x2 ( x2 1) 2 ( x 1)( x x 1) x4 x3 ( x2 1) PT cho có nghi m x 1; x 1 Cánh khác: nhơn liên h p tìm đ c t ng hi u c n Vi c t o ph ng trình lo i nƠy c ng khơng khó kh n Xin nêu cách t o m t ph trình đ n gi n c a d ng nƠy nh sau: u tiên ta đ nh h ng c n s b ng sau bi n đ i Thí d tác gi mu n c c n đ u b ng x2 Cịn ng thí d ta ch n : x4 3x3 x2 x2 x; x4 x3 x2 B c ti p theo lƠ ch n m i liên h gi a n (c n t o PT khó ph i khéo léo),tác gi xin nêu m t liên h đ n gi n lƠ: a b ( x2 1) ( x2 1) x4 x2 2(*) Còn thí d ta ch n : a b x3 x2 ( x 1)(2 x2 x 1) B c quan tr ng nh t lƠ khéo léo ch n a,b(ch a hay b tr mu n Thí d tác gi mu n nghi m đ p nên ch n a : 2 c tùy bƠi) đ đ c nghi m theo ý a x4 x2 x T (*) suy b x4 3x2 x Song song v i vi c ch n a,b lƠ vi c t o PT nh th nƠo cho vi c kh ng ch PT sau bi n đ i h p lí Thí d tác gi t o PT nh nhƠng sau: Thí d Gi i ph ng trình x x x x4 3x2 x x2 H ng d n t a x4 x2 x b x4 3x2 x Suy m i liên h : a b ( x2 1) ( x2 1) x4 x2 2(*) Pt cho tr thành: a b x2 1(**) Gi i h g m (*) vƠ (**) b ng ph ng pháp th ta đ c T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com a x4 x2 x x2 b x4 3x2 x x2 Gi i ti p suy PT cho có nghi m x 1; x Chú ý: Vi c ch n m i liên h ph c t p h n có nhi u l a ch n ví d nh : 2a b 2a 3b 2a 3b 2a b 2 a b Vi c ch n ph ng trình t p h n có nhi u l a ch n ví d nh : a 2b 3a 2b 3a 2b a 2b ( x 1)a 2b a xb Vi c ch n c n b c ba, b c 4,… h ng t o t M t s thí d khó h n u tiên ta đ nh h ng c n a,bl n l Suy m i liên h : a b x8 x4 x2 1(*) ng t t b ng x4 ; x2 Ch n a x8 x4 x2 x b x4 x Thí d Gi i ph ng trình x x x x ( x2 1) x4 x V H ng Phong Thôn B t L , HoƠn S n,Tiên Du, B c Ninh H ng d n chi ti t t o PT Ch n d ng m ( x2 1) n p Ch n c n sau bi n đ i: m x4 ; n x2 1; p Suy m i liên h : a b x8 x4 x2 1(*) Ch n: n x2 1; n x4 x T (*) suy ra: m x8 x4 x2 x Vi c ch n n hay n tr c c n h p lí n đơy tác gi tin r ng m i ng i s t t o đ !!! H c r t nhi u ph ng d n gi i: t a x8 x4 x2 x b x4 x Suy m i liên h : a b x8 x4 x2 1(*) Pt cho tr thƠnh: a ( x2 1)b(**) Thay a vƠo (*) ta đ c 1 ( x 1)b b 1 ( x 1) b 2 2 2 x8 x4 x2 2( x2 1)b ( x2 1) x2 ( x4 x2 2) ng trình d ng nƠy T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com b x2 x2 ( x4 x2 2) 0 b ( x2 1) D th y x2 ( x4 x2 2) 0 x0 ( x2 1) X=0 không làm cho b=0 Suy b x4 x x2 Thay vƠo (**) đ c: a x x x x x4 Suy x 0; x 1; x 1 PT cho có nghi m x 0; x 1; x Thí d Gi i ph ng trình 1 x x ( x2 1) x4 x3 x2 V H ng Phong Thôn B t L , HoƠn S n,Tiên Du, B c Ninh H ng d n t a x8 x3 b x4 x3 x2 Suy m i liên h : a b x8 x4 x2 1(*) Pt cho tr thƠnh: a ( x2 1)b(**) Thay a vƠo (*) ta đ c 1 ( x 1)b b 1 ( x 1) b 2 2 2 x8 x4 x2 2( x2 1)b ( x2 1) x2 ( x4 x2 2) b x2 x2 ( x4 x2 2) b 0 ( x2 1) D th y x2 ( x4 x2 2) 0 x0 ( x2 1) X=0 không làm cho b=0 Suy b x4 x3 x2 x2 Thay vƠo (**) đ c: a x x x4 Suy x3 PT cho có nghi m x T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Thí d Gi i ph ng trình x8 x5 ( x2 1) x5 x4 x2 V H ng Phong Thôn B t L , HoƠn S n,Tiên Du, B c Ninh H ng d n t x8 x5 a x5 x4 x2 b Suy m i liên h : a b x8 x4 x2 1(*) Pt cho tr thƠnh: a ( x2 1)b(**) Thay a vƠo (*) ta đ c 1 ( x 1)b b 1 ( x 1) b 2 2 2 x8 x4 x2 2( x2 1)b ( x2 1) x2 ( x4 x2 2) b x2 x2 ( x4 x2 2) 0 b ( x2 1) D th y x2 ( x4 x2 2) 0 x0 ( x2 1) X=0không làm cho b=0 Suy x5 x4 x2 x2 Thay vƠo (**) đ x x 2 x c: Suy x 5 PT cho có nghi m x 5 Thí d Gi i ph ng trình x12 x2 3x ( x4 x2 1) x4 x2 3x V H ng Phong Thôn B t L , HoƠn S n,Tiên Du, B c Ninh H ng d n t x12 x2 3x a x4 x2 3x b Suy m i liên h : a b x12 x4 x2 1(*) Pt cho tr thƠnh: a ( x4 x2 1)b 1(**) Thay a vƠo (*) ta đ c ( x x2 1)b b x12 x4 x2 1 ( x4 x2 1) b 2( x4 x2 1)b ( x2 1) x2 ( x8 x6 x4 x2 2) b x2 x2 ( x8 x6 x4 x2 2) 0 b ( x4 x2 1) D th y x2 ( x8 x6 x4 x2 2) 0 x0 ( x4 x2 1) T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com x=0 không làm cho b=0 Suy x4 x2 3x x2 Thay vƠo (**) đ c: x x 3x x 12 Suy x 0; x 3 PT cho có nghi m x 0; x 3 Thí d Gi i ph ng trình x12 x4 3x ( x4 x2 1) x4 x2 3x H ng d n t x12 x4 3x a x4 x2 3x b Suy m i liên h : a b x12 x4 x2 1(*) Pt cho tr thƠnh: a ( x4 x2 1)b 1(**) Thay a vƠo (*) ta đ c ( x x2 1)b b x12 x4 x2 1 ( x4 x2 1) b 2( x4 x2 1)b ( x2 1) x2 ( x8 x6 x4 x2 2) b x2 x2 ( x8 x6 x4 x2 2) b 0 ( x4 x2 1) D th y x2 ( x8 x6 x4 x2 2) 0 x0 ( x4 x2 1) x=0 không làm cho b=0 Suy x4 x2 3x x2 Thay vƠo (**) đ c: x x 3x x 12 Suy x 0; x 3 PT cho có nghi m x 0; x 3 Thí d Gi i ph ng trình x x x ( x4 x2 1) x4 x 12 H ng d n t x12 x2 x a x4 x b Suy m i liên h : a b x12 x4 x2 1(*) T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Pt cho tr thƠnh: a ( x4 x2 1)b 1(**) Thay a vƠo (*) ta đ c ( x x2 1)b b x12 x4 x2 1 ( x4 x2 1) b 2( x4 x2 1)b ( x2 1) x2 ( x8 x6 x4 x2 2) b x2 x2 ( x8 x6 x4 x2 2) b 0 ( x4 x2 1) D th y x2 ( x8 x6 x4 x2 2) 0 x0 ( x4 x2 1) x=0 không làm cho b=0 Suy x4 x x2 Thay vƠo (**) đ c: x12 x2 x x6 Suy x 1; x PT cho có nghi m x 1; x Thí d Gi i ph ng trình x x x ( x4 x2 1) x4 x 12 V H ng Phong Thôn B t L , HoƠn S n,Tiên Du, B c Ninh H ng d n t x12 x2 x a x4 x b Suy m i liên h : a b x12 x4 x2 1(*) Pt cho tr thƠnh: a ( x4 x2 1)b 1(**) Thay a vào (*) ta đ c ( x x2 1)b b x12 x4 x2 1 ( x4 x2 1) b 2( x4 x2 1)b ( x2 1) x2 ( x8 x6 x4 x2 2) b x2 x2 ( x8 x6 x4 x2 2) b 0 ( x4 x2 1) D th y x2 ( x8 x6 x4 x2 2) 0 x0 ( x4 x2 1) x=0 không làm cho b=0 Suy x4 x x2 Thay vƠo (**) đ c: x x x x6 12 10 ... (2) ? ?-? ??c a x x x x x Suy 2 x x ( x 1) 2 2 x x 2x 6x x 11 x 2 x x VËy PT ®· cho cã nghiƯm x 11 VÝ dơ 2: Giải ph-ơng trình. .. cã nghiƯm x 2 34 , x 2 19 Ví dụ 3: Giải hệ ph-ơng trình 20 x3 11x y (1) xy y.3 x y x.(2) Phân tích: Với PT(2) ta nhẩm ? ?-? ??c e =f =1 vµ ( P0 ; Q0 ) = ( x y;1) x ... y (b 1) th× (v« lý) y VËy số không âm xy y (b 1) không đồng thời nên xy y2 (b 1) VT (5) Suy PT(5) vô nghiệm +Với b = thay vào (4) ? ?-? ??c a x y x y xy x